02_ granulometria y pulpa

22
UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA FACULTAD DE INGENIERIA DPTO. INGENIERIA DE MINAS QUIROZ R., Apuntes de curso de MINERALURGIA, 2009. 7 CAPITULO 2 CARACTERIZACION DE FLUJOS DE MATERIAL 2.1. TAMAÑO DE PARTÍCULA Y ANÁLISIS GRANULOMÉTRICO 2.1.1. Definición del tamaño de una partícula. Para describir la extensión en el espacio de una partícula aislada se requiere de a lo menos tres magnitudes: Volumen, Superficie y Longitud. Esta tarea, aparentemente simple, conlleva la aplicación de técnicas de medición diferentes, algunas de las cuales pueden ser de alta complejidad y requerir bastante tiempo de dedicación. Este problema puede simplificarse en el caso de minerales. En efecto, estos materiales son sólidos que presentan una estructura cristalina, además, en ella se encuentran planos preferenciales, hábito de clivaje, a través de los cuales tienen lugar las fracturas. Esto hace que partículas de un mismo mineral, pero de diferente tamaño, presenten formas aproximadamente similares y puedan ser descritas mediante parámetros denominados factores de forma, l , s , v , definidos en forma tal que: VP x v () 3 (2-1) SP x s () 2 (2-2) LP x l () (2-3) donde V(P), S(P) y L(P) son, respectivamente el volumen, superficie y longitud de la partícula y x representa un tamaño característico aún por definir. Las definiciones anteriores permiten transformar al conjunto de tres variables, [V(P),S(P),L(P)], en uno que contiene tres parámetros, los factores de forma, y una única variable, el tamaño característico. El tamaño puede definirse arbitrariamente ya que más que una definición rigurosa de esta variable, interesa adoptar una magnitud que sea representativa de la partícula y que resulte fácil de medir. Entre las posibles definiciones de tamaño se encuentra el denominado Tamaño Feret, que se define como la distancia entre dos paralelas tangentes a la partícula y perpendiculares a la dirección de medición y que se muestra en la Figura 2-1. La utilidad de dicha definición se basa en el hecho que varias metodologías de medición, como el tamizaje, resultan ser consistentes con ella. Sin embargo, en algunos casos pueden utilizarse otras definiciones, en particular, cuando se mide el tamaño mediante técnicas que emplean sedimentación resulta útil la definición del tamaño de Stoke, expresado éste como:

Transcript of 02_ granulometria y pulpa

Page 1: 02_ granulometria y pulpa

UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA FACULTAD DE INGENIERIA DPTO. INGENIERIA DE MINAS

QUIROZ R., Apuntes de curso de MINERALURGIA, 2009.

7

CAPITULO 2

CARACTERIZACION DE FLUJOS DE MATERIAL 2.1. TAMAÑO DE PARTÍCULA Y ANÁLISIS GRANULOMÉTRICO 2.1.1. Definición del tamaño de una partícula.

Para describir la extensión en el espacio de una partícula aislada se requiere de a lo menos tres magnitudes: Volumen, Superficie y Longitud. Esta tarea, aparentemente simple, conlleva la aplicación de técnicas de medición diferentes, algunas de las cuales pueden ser de alta complejidad y requerir bastante tiempo de dedicación.

Este problema puede simplificarse en el caso de minerales. En efecto, estos materiales son sólidos que presentan una estructura cristalina, además, en ella se encuentran planos preferenciales, hábito de clivaje, a través de los cuales tienen lugar las fracturas. Esto hace que partículas de un mismo mineral, pero de diferente tamaño, presenten formas aproximadamente similares y puedan ser descritas mediante

parámetros denominados factores de forma, l, s, v, definidos en forma tal que:

V P xv( ) 3 (2-1)

S P xs( ) 2 (2-2)

L P xl( ) (2-3)

donde V(P), S(P) y L(P) son, respectivamente el volumen, superficie y longitud de la partícula y x representa un tamaño característico aún por definir.

Las definiciones anteriores permiten transformar al conjunto de tres variables, [V(P),S(P),L(P)], en uno que contiene tres parámetros, los factores de forma, y una única variable, el tamaño característico. El tamaño puede definirse arbitrariamente ya que más que una definición rigurosa de esta variable, interesa adoptar una magnitud que sea representativa de la partícula y que resulte fácil de medir. Entre las posibles definiciones de tamaño se encuentra el denominado Tamaño Feret, que se define como la distancia entre dos paralelas tangentes a la partícula y perpendiculares a la dirección de medición y que se muestra en la Figura 2-1.

La utilidad de dicha definición se basa en el hecho que varias metodologías de medición, como el tamizaje, resultan ser consistentes con ella. Sin embargo, en algunos casos pueden utilizarse otras definiciones, en particular, cuando se mide el tamaño mediante técnicas que emplean sedimentación resulta útil la definición del tamaño de Stoke, expresado éste como:

Page 2: 02_ granulometria y pulpa

UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA FACULTAD DE INGENIERIA DPTO. INGENIERIA DE MINAS

QUIROZ R., Apuntes de curso de MINERALURGIA, 2009.

8

ds

u

g

18 (p)

(2-4)

donde µ es la viscosidad del fluido; u(P) es la velocidad terminal de sedimentación; la diferencia de densidades entre el fluido y el sólido y g la aceleración de gravedad.

XF

Dirección de medición

FIGURA 2-1. Concepto de Tamaño Feret

2.1.2.- Funciones de distribución de tamaño

Un sistema que tenga partículas comprendidas en un rango amplio de tamaños puede describirse adecuadamente haciendo uso de funciones estadísticas. Para ello se utiliza la función distribución, definida ésta como:

Probabilidad de encontrar en el sistema una partícula con tamaño comprendido entre x y x+dx

f(x) dx Fracci Fracción de partículas en el sistema con tamaños comprendidos entre

x y x + dx.

esta función es normalizable y cumple con la condición:

f x dx( )

10

(2-5)

Page 3: 02_ granulometria y pulpa

UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA FACULTAD DE INGENIERIA DPTO. INGENIERIA DE MINAS

QUIROZ R., Apuntes de curso de MINERALURGIA, 2009.

9

la representación gráfica de la función de distribución se muestra en la Figura (2-2):

Tamaño de partícula

f(x)

0

FIGURA 2-2: Función de distribución de tamaño

A menudo resulta conveniente caracterizar el sistema particulado a través de un único valor. Para ello pueden utilizarse las funciones acumulativas que se obtienen al definirse un cierto tamaño de referencia x. Estas son las denominadas Función Acumulativa Pasante y Función Acumulativa Retenida

La Función Acumulativa Pasante corresponde a la fracción del total de partículas cuyo tamaño es menor al tamaño de referencia x. Se define mediante la relación siguiente:

x

0

d)(f)x(F (2-6)

Esta función recibe el nombre de “pasante” haciendo clara referencia al método

de análisis de partículas por tamizaje, debido a que corresponde a la fracción total que "pasa" por un determinado tamiz. Además, de acuerdo a esta definición se cumple:

f xdF(x

dx( )

) (2-7)

La función acumulativa pasante se presenta en gráficos respecto del tamaño en gráficos en escala logarítmica, como se muestra en la figura 2-3.

Page 4: 02_ granulometria y pulpa

UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA FACULTAD DE INGENIERIA DPTO. INGENIERIA DE MINAS

QUIROZ R., Apuntes de curso de MINERALURGIA, 2009.

10

Tamaño de partícula

Fu

nc

ión

ac

um

ula

tiv

a p

as

an

te1

0

FIGURA 2-3: Función acumulativa pasante versus tamaño.

La Función Acumulativa Retenida corresponde a la fracción total de partículas

cuyo tamaño es mayor a un tamaño de referencia x. Se define mediante la relación siguiente:

R x f dX

( ) ( )

(2-8)

De manera análoga al caso anterior, su nombre hace referencia al método de análisis de partículas por tamizaje, debido a que corresponde a la fracción total que queda "retenida" en un determinado tamiz. De las definiciones anteriores se desprende que: R x F(x( ) ) 1 (2-9)

esto permite, conocido el valor de una de las funciones, determinar fácilmente el valor de la función restante. 2.1.3.- Métodos de medición de tamaño de partículas. Existen variados métodos de medición que dependen del rango de tamaño de partículas que se desea medir y de las características del material. En la Tabla 2-1 se encuentran sumarizados algunos de ellos. Entre estos métodos se encuentran los discontinuos o de laboratorio, que permiten medir la distribución de tamaños de una

Page 5: 02_ granulometria y pulpa

UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA FACULTAD DE INGENIERIA DPTO. INGENIERIA DE MINAS

QUIROZ R., Apuntes de curso de MINERALURGIA, 2009.

11

muestra, y los continuos o medidores en línea. Estos últimos han tenido un gran desarrollo en los últimos años transformándose es herramientas indispensables en la automatización de sistemas de molienda-clasificación.

TABLA 2-1

Métodos de medición de tamaño de partícula

Técnica de medición

Variable de separación

Rango de tamaño (µm)

Equipo y método

Tamizaje L(x) 105 - 30 Tamices

Recuento L(x) 105 - 102

102 - 1

102 - 10-1

10 - 10-3

Proyección Microscopía luz Microscopía electrónica Microscopía electrónica de transmisión.

Sedimentación K(x), V(x), g

K(X), V(x), w2r 102 - 1

10 - 10-1

Gravitacional Centrífuga

Dispersión de luz

S(x) 103 - 10-1 Contador de dispersión

Sensores de conductividad

V(X) 102 - 5 10-1 Coulter Counter

Absorción de rayos x o gama

V(X) 102 - 10 Densitómetro

2.1.3.1.- Métodos de laboratorio.

Para los propósitos de este curso se comentarán sólo los métodos de tamizaje y recuento.

a.- Tamizaje.

Tamizar consiste en separar a las partículas, de acuerdo a su tamaño, en un harnero o tamiz. Las partículas cuyo tamaño es inferior a la abertura de la urdimbre de la malla del tamiz pasan a través de esta, en tanto, las partículas cuyo tamaño es mayor quedan retenidas. A fin de determinar la distribución, para varios tamaños, la muestra a ensayar se somete a la acción de una serie de tamices, o harneros, donde la abertura de malla de cada tamiz es menor que la abertura del tamiz inmediatamente anterior. En la figura se muestra la disposición de una serie de tamices, sobre ellos se encuentra

Page 6: 02_ granulometria y pulpa

UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA FACULTAD DE INGENIERIA DPTO. INGENIERIA DE MINAS

QUIROZ R., Apuntes de curso de MINERALURGIA, 2009.

12

una tapa y cierra la serie un fondo que retiene a las partículas cuyo tamaño es menor a la abertura de malla del último tamiz utilizado.

x

xx

x

x

x

Cubierta

0

1

2

i-1

i

i+1

xn-1

Fondo

X = Abertura de malla

x0>x

1> > x

i+1> x

n-1

Los tamices se identifican por el número de hilos de urdimbre por pulgada lineal. Para la serie de tamices Tyler se distinguen la llamada serie normal, en la que las

aberturas de tamices contiguos se encuentran en la relación 2 , y la serie doble,

donde la aberturas de tamices contiguos se encuentran en una relación 24 . En la

Tabla 2-2 se muestra la serie completa y su equivalencia con la serie ASTM. Debido a la relación existente entre tamices contiguos, se define como tamaño de las partículas retenidas en un tamiz al promedio geométrico entre la abertura de la malla en la cual se encuentran retenidas las partículas y la abertura de la malla inmediatamente anterior.

x x xi i i 1 (2-10)

Para el tamaño promedio de las partículas retenidas en el primer tamiz utilizado, se considera en su cálculo a la abertura del tamiz anterior en la serie. Para el caso de las partículas que pasaron el último tamiz y que quedaron retenidas en el fondo, sólo es posible indicar que su tamaño es menor a xn-1.

Una vez ordenados los tamices, como se muestra en la figura anterior, se disponen en una máquina, (ro-tap), la que imprime a los tamices un movimiento rotativo excéntrico horizontal y, sobre este, un movimiento brusco vertical. La eficiencia del tamizado depende del tamaño de las partículas y del tiempo empleado para tamizar. Las partículas de tamaño grueso requieren de menos tiempo de tamizado que las partículas de tamaño fino. El tiempo de tamizaje recomendado es del orden de 10 a 15

Page 7: 02_ granulometria y pulpa

UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA FACULTAD DE INGENIERIA DPTO. INGENIERIA DE MINAS

QUIROZ R., Apuntes de curso de MINERALURGIA, 2009.

13

minutos, sin embargo ese valor depende del tipo de material y es conveniente estimarlo para cada caso en particular. Un factor que es necesario tener en cuenta es la abrasión del mineral, en algunos casos esto es crítico y la granulometría se modifica significativamente con el tiempo de tamizaje. El tamizaje está limitado para partículas sobre 34 micras, la razón de ello es la imposibilidad práctica de fabricar y operar tamices con aberturas menores. Una vez terminado el tamizaje, se detiene la máquina y se pesa el material retenido en cada tamiz. La masa retenida dividida por la masa total permite calcular la frecuencia en peso.

TABLA 2-2 EQUIVALENCIAS EN SERIES DE TAMICES TYLER Y ASTM

Serie Tyler

Nº Tamiz

Serie ASTM

Nº Tamiz

Abertura Serie Tyler

Nº Tamiz

Serie ASTM

Nº Tamiz

Abertura

4.24” 107.6 mm. 7 7 2830 m.

4.00” 101.6 mm. 8 8 2380 m.

3 ½ “ 90.5 mm. 9 10 2000 m.

3” 76.1 mm. 10 12 1680 m.

2 ½ “ 64.0 mm. 12 14 1410 m.

2.12” 53.8 mm. 14 16 1190 m.

2” 50.8 mm. 16 18 1000 m.

1 3/4” 45.3 mm. 20 20 841 m.

1 ½ “ 38.1 mm. 24 25 707 m.

1 ¼ “ 32.0 mm. 28 30 595 m.

1.06” 26.9 mm. 32 35 500 m.

1” 25.4 mm. 35 40 420 m.

0.883 “ 7/8” 22.6 mm. 42 45 354 m.

0.742 “ ¾ ” 19.0 mm. 48 50 297 m.

0.624 “ 5/8 “ 16.0 mm. 60 60 250 m.

0.525 “ 0.530 “ 13.5 mm. 65 70 210 m.

½ “ 12.7 mm. 80 80 177 m.

0.441 “ 7/16 “ 11.2 mm. 100 100 149 m.

0.371 “ 3/8 “ 9.51 mm. 115 120 125 m.

2.172 “ 5/16” 8.0 mm. 150 140 105 m.

3 0.265 “ 6.73 mm. 170 170 88 m.

¼ “ 6.35 mm. 200 200 74 m.

3 ½ “ 3 ½ “ 5.55 mm. 250 230 63 m.

4 4 4760 m. 270 270 53 m.

5 5 4000 m. 325 325 44 m.

6 6 3360 m. 400 400 37 m.

Page 8: 02_ granulometria y pulpa

UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA FACULTAD DE INGENIERIA DPTO. INGENIERIA DE MINAS

QUIROZ R., Apuntes de curso de MINERALURGIA, 2009.

14

Por las dificultades para clasificar eficientemente los tamaños pequeños es un procedimiento normal el deslamar la muestra antes de tamizar. Para ello se pesa la muestra total y luego se lava con abundante agua sobre un tamiz de 325 mallas. El material deslamado se seca en una estufa para luego proceder a tamizar, la diferencia de peso que tenga, respecto de la muestra inicial, se considera compuesta por material de tamaño inferior a 325 mallas. Otro procedimiento, utilizado sobre todo en el caso de partículas finas, consiste en tamizar en húmedo, para ello se alimenta en forma continua una corriente de agua en la parte superior de la columna de tamices la que es recibida por un fondo en forma de embudo. b.- Técnicas de recuento.

Estas permiten medir la frecuencia en número, para ello se cuentan una a una las partículas discriminadas por alguna magnitud física, usualmente la longitud, esto puede efectuarse directamente sobre las partículas o bien a través de su imagen o proyección.

A partir de estos resultados se puede construir una tabla de rango de tamaño y número de partículas que se encuentran en dicho rango. A partir de estos datos se obtiene la distribución de frecuencia en número del sistema particulado.

En los minerales estas técnicas pueden utilizarse para partículas que quedan fuera del rango de medición del tamizaje , ya sea por ser muy grandes o muy pequeñas. En este último caso una de las herramientas de mayor uso es la microscopía óptica o electrónica. 2.2.3.2.- Métodos de medición en línea. Los métodos de medición en línea buscan determinar en tiempo real la distribución granulométrica, o algún tamaño característico, asociada a un flujo de material. En el mercado se encuentran disponibles equipos que permiten la estimación de la distribución granulométrica en una corriente de pulpa o en un flujo de material seco. En el caso de los flujos de material seco uno de los métodos utilizados cuenta, como elemento principal, de un equipo de video que permite capturar imágenes digitales. Este equipo de video se enfoca hacia una cinta transportadora, por donde se conduce el material cuya granulometría se desea conocer, y cada un determinado intervalo de tiempo su obturador se acciona y toma imágenes que envía, mediante fibra óptica, a un computador para su análisis. Dicho computador cuenta con un software de procesamiento de imágenes que permite recomponer los contornos de las partículas y a través de un algoritmo, normalmente de comparación con una base de datos interna, puede estimar la distribución de tamaños asumiendo que se cumple algún modelo de distribución, por ejemplo el de Schuhman.

Uno de los aspectos que es necesario cuidar es el de la luminosidad bajo la cual se adquiere la imagen, ella debe mantenerse constante y uniforme a fin de minimizar el

Page 9: 02_ granulometria y pulpa

UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA FACULTAD DE INGENIERIA DPTO. INGENIERIA DE MINAS

QUIROZ R., Apuntes de curso de MINERALURGIA, 2009.

15

efecto de sombra. Esto se logra disponiendo el equipo de video en una cámara con luz artificial y con una distribución apropiada de focos. El equipo necesita ser calibrado periódicamente para lo cual debe tomarse una muestra representativa de material y proceder a determinar su granulometría mediante tamizaje. En el comercio existen varios sistemas, Splitt, Petra, etc..

Para el caso de corrientes de pulpas en el mercado se dispone de instrumentos de medición tales como el PSM de Autometrics y el PSI-200 de Outokumpu Mintec. En el primero de estos instrumentos, PSM, (Particle Size Monitor), utiliza como mecanismo la atenuación que experimentan las ondas de ultrasonido al atravesar una pulpa. Dicha atenuación depende de la cantidad de sólidos que contiene la pulpa y de su respectiva distribución de tamaño. Por lo anterior se puede obtener una señal que refleje solamente el efecto de la distribución granulométrica. Para realizar las mediciones la pulpa debe ser previamente desaireada y se asume que la distribución granulométrica es normal. En el caso del PSI-200 de Outokumpu Mintec, las partículas se miden individualmente mediante un pistón tipo pie de rey, que es un sistema muy pequeño de martillo y yunque articulado con un calibrador que mide la distancia entre ellos cada vez que actúan juntos, de esa forma, cuando las partículas son aprisionadas por el sistema la medición se convierte en una señal eléctrica que es enviada y procesada por la unidad electrónica, (PCCS), que informa, en pantalla, el porcentaje pasante bajo una malla de referencia. Para hacer las mediciones en el dispositivo, (PSTS), este debe limpiarse periódicamente con agua y estar ajustado respecto de un cero de referencia. El equipo se calibra con muestras de granulometría conocida y que fueron analizadas mediante métodos convencionales. El equipo puede almacenar en memoria hasta 30 medidas de calibración. De acuerdo al fabricante el rango de medición va entre las 28 y

600 m, (entre 500 y 28 mallas) y la exactitud de las mediciones es del orden del 1 a 2 %. 2.2.4.- Discretización de funciones.

Las técnicas de medición granulométricas entregan el valor de la función de distribución en forma discreta. Esto lleva a discretizar todas las relaciones mencionadas

en los párrafos precedentes. Considerando que Xi = xi-1 - xi , la función de frecuencia

relativa está dado por:

f f x xi i i ( ) (2-11)

y su sentido es análogo al de la definición primera, es decir la fracción de partículas

cuyo tamaño está comprendido en el rango Xi , igual a xi-1 - xi. Con esta

consideración la frecuencia relativa puede normalizarse mediante la expresión:

Page 10: 02_ granulometria y pulpa

UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA FACULTAD DE INGENIERIA DPTO. INGENIERIA DE MINAS

QUIROZ R., Apuntes de curso de MINERALURGIA, 2009.

16

k

n

kf

0

1 (2-12)

y las funciones acumulativas, retenida y pasante, quedan representadas por las expresiones siguientes:

R x fi

k

i

k

0

(2-13)

F x fik i

n

k

1

(2-14)

Asimismo, todas las expresiones en las que se considera al tamaño como variable continua pueden expresarse en su forma discreta. 2.2.5.- Presentación de resultados.

Los resultados de un tamizaje se presentan en forma de tablas y gráficos. Un informe típico se muestra en la Tabla siguiente. En ella, la primera columna indica el tamiz utilizado, la segunda la abertura de dicho tamiz, la tercera el tamaño geométrico promedio entre la abertura del tamiz y la del tamiz precedente, en la cuarta columna se presentan los resultados obtenidos en el tamizaje y en la quinta, sexta y séptima las funciones correspondientes a f(x), R(x) y F(x) respectivamente. La Tabla suele acompañarse de gráficos que permiten ilustrar en mejor forma la distribución de tamaño, por ejemplo histogramas, Figura 2-3, y gráficas en escala logarítmica, Figura 2-4.

Page 11: 02_ granulometria y pulpa

UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA FACULTAD DE INGENIERIA DPTO. INGENIERIA DE MINAS

QUIROZ R., Apuntes de curso de MINERALURGIA, 2009.

17

Tabla 2-3 Planilla de resultados de un tamizaje

Tamiz Tyler

Abertura (micras)

Tamaño promedio

Masa (gramos)

f3(x)

R3(x)

F3(x)

3 6698 7965 0,0 0 0 1

4 4736 5632 9,2 0,0106 0,0106 0,9894

6 3349 3982 13,1 0,0151 0,0257 0,9743

8 2368 2816 16,9 0,0195 0,0453 0,9547

10 1674 1991 32,4 0,0374 0,0826 0,9174

14 1184 1408 40,2 0,0464 0,1291 0,8709

20 837 996 60,1 0,0694 0,1985 0,8015

28 592 704 83,2 0,0960 0,2945 0,7055

35 419 498 97,0 0,1120 0,4065 0,5935

48 296 352 105,3 0,1216 0,5281 0,4719

65 209 249 110,5 0,1276 0,6557 0,3443

100 148 176 127,8 0,1476 0,8033 0,1967

150 105 124 73,2 0,0845 0,8878 0,1122

200 74 88 34,5 0,0398 0,9277 0,0723

270 53 63 17,7 0,0204 0,9480 0,0520

325 43 48 12,6 0,0146 0,9626 0,0374

-325 - - 32,4 0,0374 1 0

0,2

0

0,05

0,1

0,15

-325

27

0

15

0

65 48

35

28

20

14

32

5

20

0

10

0

10 8 6 4

Mallas Tyler

Funció

n d

istr

ibu

ció

n d

e fre

cu

encia

FIGURA 2-4: Histograma asociado a la tabla 2-3

Page 12: 02_ granulometria y pulpa

UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA FACULTAD DE INGENIERIA DPTO. INGENIERIA DE MINAS

QUIROZ R., Apuntes de curso de MINERALURGIA, 2009.

18

1

10 102 103 104

10-2

10-1

F(x)

Tamaño de partícula

FIGURA 2-5: F(x) versus tamaño promedio en una gráfica log-log

2.2.6.- Ajustes empíricos de la función distribución de tamaño.

A menudo resulta conveniente representar los resultados de un análisis granulométrico mediante una función matemática. Al respecto se han propuesto varios modelos empíricos que representan el sistema, entre ellos se tienen los modelos de Schuhman; Rosin-Ramler; de tres parámetros y otros. En relación a su uso y aplicación, no existe una justificación teórica para inclinarse por alguno de ellos en particular, la decisión debiera tomarse exclusivamente por la calidad del ajuste que se obtiene, no obstante la costumbre hace que en determinados circunstancias se prefiera el uso de alguno de estos modelos en especial. a- Función de distribución de Schuhman.

Se conoce también con el nombre de distribución de Gates-Gaudin-Schuhman y se representa como:

m

k

x)x(F

(2-15)

donde k y m son parámetros ajustables llamados, respectivamente, módulos de

posición y de tamaño. Aún cuando los parámetros de esta ecuación no tienen significados físicos, el término k da una indicación del tamaño máximo de partícula

presente en el sistema. El valor de estos parámetros se calcula ajustando mediante mínimos cuadrados la recta:

Page 13: 02_ granulometria y pulpa

UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA FACULTAD DE INGENIERIA DPTO. INGENIERIA DE MINAS

QUIROZ R., Apuntes de curso de MINERALURGIA, 2009.

19

log F(x) = mlog x - m log k (2-16) b.- Función de distribución de Rosin-Ramler. Esta función tiene la forma:

m

0x

x- exp - 1 )x(F (2-17)

donde x

0 y m son parámetros de ajuste que se llaman, respectivamente, tamaño

característico y coeficiente de uniformidad. Estos se determinan ajustando por mínimos cuadrados la recta:

0 xlog m - x log m =

)x(R

1 ln log (2-18)

Es posible demostrar que para partículas pequeñas, cuando se cumple que x<< x0 la función de distribución de Rosin-Ramler se transforma en la de Schuhman.

c.- Otras ecuaciones

Se han propuesto variadas ecuaciones para representar el sistema, algunas de ellas muestran mejores posibilidades que las comentadas precedentemente, sin embargo, su uso no se ha extendido por el hecho de requerir de métodos no lineales para la determinación de los parámetros de ajuste. Entre ellas se tienen: i.- Ecuación de tres parámetros:

F x

sr

3 ( )

1 - 1 -

x

x0

(2-19)

donde x0, s y r son parámetros de ajuste.

ii.- Función Gamma

f x b x ej

a

a a bx( ) 1 1

(2-20)

donde a y b son parámetros de ajuste.

Page 14: 02_ granulometria y pulpa

UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA FACULTAD DE INGENIERIA DPTO. INGENIERIA DE MINAS

QUIROZ R., Apuntes de curso de MINERALURGIA, 2009.

20

2.3. PULPAS METALURGICAS 2.3.1.- Caracterización de pulpas.

Para caracterizar las pulpas se definen las siguientes variables de concentración: Densidad de pulpa; Fracción en sólidos (o porcentaje); Fracción en volumen (o porcentaje) y Dilución. Estas variables se utilizan indistintamente, según sea su conveniencia para describir algunos aspectos de las operaciones. La definición de ellas es la siguiente: a.- Densidad de pulpa.

La densidad de pulpa se define a través de la relación:

pulpa de Volumen

pulpa de Masap (2-21)

b.- Fracción en peso. Se define por la relación:

pulpa de asam

sólido de masax (2-22)

Esta variable se calcula utilizando valores de densidad de pulpa mediante la relación:

xs p f

p s f

(2-23)

En caso que el fluido sea agua pura la relación anterior se escribe:

xs p

p s

1

1 (2-24)

Esta variable suele presentarse en forma porcentual y se denomina porcentaje

de sólidos.

c.- Fracción en volumen Se define por la relación:

pulpa de olumenv

sólido de olumenv (2-25)

para su cálculo, conocido los valores de densidad, se utiliza la siguiente relación:

Page 15: 02_ granulometria y pulpa

UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA FACULTAD DE INGENIERIA DPTO. INGENIERIA DE MINAS

QUIROZ R., Apuntes de curso de MINERALURGIA, 2009.

21

p f

s f

(2-26)

de manera similar al caso anterior su valor suele expresarse en forma porcentual. c.- Dilución Se define por la relación:

sólido de Masa

líquido de MasaD (2-27)

en términos de la densidad de pulpa y las densidades del sólido y del fluido esta expresión se escribe como:

Df p s

s p f

(2-28)

la dilución puede tomar cualquier valor positivo, pero suele expresarse en forma fraccionada con denominador uno, por ejemplo dilución 3:1. Si la dilución se multiplica por 100 se obtiene el porcentaje de humedad. 2.3.2.- Relación entre variables. En las relaciones anteriores se expresaron las variables en términos de la densidad de la pulpa, por ser esta la variable corrientemente medida. Sin embargo, si

se conoce el valor de la densidad del sólido, s , de la densidad del fluido, f , y el valor de cualquiera de las variables antes indicadas, es posible, mediante un ordenamiento matemático simple, obtener relaciones que permitan el cálculo de las variables restantes. La tabla siguiente muestra esas equivalencias:

Page 16: 02_ granulometria y pulpa

UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA FACULTAD DE INGENIERIA DPTO. INGENIERIA DE MINAS

QUIROZ R., Apuntes de curso de MINERALURGIA, 2009.

22

TABLA 3-1 EQUIVALENCIA ENTRE VARIABLES

VARIABLE SIMBOLO EQUIVALENCIA

p f

S f

(2-29)

FRACCION VOLUMETRICA

x

x x

f

S f

1

(2-30)

f

S fD

(2-31)

f S f (2-32)

DENSIDAD DE PULPA p

S f

S fx x1

(2-33)

S f

S

D

D x

1

(2-34)

S p f

p S f

s

f S f

(2-35)

FRACCION EN PESO X (2-36)

1

1 D

(2-37)

f

s

1

(2-38)

DILUCION D

fpS

psf

(2-39)

1 x

x

(2-40)

2.3.3.- Métodos de medición.

La forma más precisa es proceder a una medición directa de las variables, para ello se debe proceder a medir volúmenes y pesos, en el caso de una muestra, o bien flujos volumétricos y másicos en el caso de una pulpa en movimiento. Los métodos

Page 17: 02_ granulometria y pulpa

UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA FACULTAD DE INGENIERIA DPTO. INGENIERIA DE MINAS

QUIROZ R., Apuntes de curso de MINERALURGIA, 2009.

23

indirectos tienen el inconveniente de la propagación de errores experimentales y son recomendados en el caso que no haya otra forma de estimar la variable y teniendo en cuenta la estructura de errores asociados a las mediciones que se realizan.

En cuanto a los métodos es posible identificar métodos discretos, o discontinuos, y métodos que operan en línea. Los primeros son las mediciones que se hacen corrientemente sobre una muestra que se extrae del sistema y se analizan corrientemente en laboratorio. En cambio en los métodos de medición en línea buscan conocer la variable en tiempo real a.- Densidad del sólido.

La densidad del sólido es uno de los parámetros más importantes y, como se advierte en la Tabla de equivalencias, resulta fundamental para expresar la concentración de la pulpa mediante diferentes variables. La densidad del sólido se mide por dos métodos: desplazamiento de volumen y mediante el picnómetro.

Para medir la densidad mediante desplazamiento de volumen se requiere de un

recipiente cuyo volumen esté graduado, se agrega un líquido hasta alcanzar un volumen VL . luego, se toma una masa conocida del sólido, M, cuya densidad se desea calcular y se sumerge en el líquido. A consecuencia de ello se produce un desplazamiento del líquido en el recipiente hasta alcanzar un volumen VT. La densidad del sólido se calcula por la relación:

LT

pVV

M

(2-42)

El valor calculado por el procedimiento anterior es aproximado de allí que se

prefiera el uso del picnómetro. Este consiste en una pequeña botella de vidrio, de volumen conocido y certificado, con un tapón esmerilado que termina en un capilar. Para hacer la determinación en primer lugar se pesa el picnómetro vacío y seco, B, luego se agrega a la botella el mineral cuya densidad se quiere calcular y se pesa, M, una vez hecho esto el volumen del picnómetro se completa con agua destilada, se calienta por algunos minutos para eliminar burbujas de aire, se deja enfriar y se pesa, P. Finalmente, el picnómetro se limpia, se llena sólo con agua destilada y se hace una última pesada A. La densidad se calcula por la relación:

)BMA(P

BMp

(2-43)

B : Peso del picnómetro vacío. M : Peso del picnómetro más el mineral a determinar. A : Peso del picnómetro mas el mineral a determinar más agua que completa el volumen P : Peso del picnómetro más agua destilada.

Page 18: 02_ granulometria y pulpa

UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA FACULTAD DE INGENIERIA DPTO. INGENIERIA DE MINAS

QUIROZ R., Apuntes de curso de MINERALURGIA, 2009.

24

b.- Densidad de pulpa.

Para medir esta variable en laboratorio se utiliza una probeta graduada de un litro, la cual se tara vacía para luego enrasar con la pulpa y pesar. La lectura entrega directamente la densidad de la pulpa en gramos por litro.

Otro método es a través de la denominada balanza Marcy. Esta tiene un

recipiente estandarizado de tal forma que al llenarlo de pulpa se lee directamente la densidad de dicha pulpa. La balanza Marcy tiene escalas intercambiables para distintas densidades de sólido, esto permite medir directamente la fracción en peso o el porcentaje en sólido.

Para mediciones continuas se utilizan densímetros nucleares de rayos gamma. Ellos consisten en una fuente que emite un haz uniforme de rayos gamma, que atraviesan la tubería y la pulpa, detrás y a una distancia conocida de la fuente, se encuentra un detector que mide la intensidad. Este valor es inversamente proporcional a la concentración en sólidos de la pulpa, lo que permite una lectura directa de la densidad de la pulpa o de la fracción en sólidos. c.- Flujo másico de sólidos.

Esta variable se mide mediante pesómetros ubicados en las correas transportadoras que alimentan el mineral a la molienda. Existen de variados tipos, entre los que se pueden distinguir:

a. Mecánicos o electromecánicos. (Transmiten el peso de la correa a una

balanza mediante dispositivos de tipo mecánicos.) b. Eléctricos. (El elemento de medición es un dinamómetro y el flujo másico se

mide a través de variaciones en el voltaje. c. Pesómetros nucleares. (Utilizan un pulso de rayos gamma, Estos atraviesan

transversalmente la correa y son medidos por un detector ubicado en la parte inferior de la estructura.)

d.- Flujo volumétrico.

Puede determinarse mediante medidores electromagnéticos o de sonido. a. Medidor electromagnético. Su acción se basa en la ley de inducción de

Faraday. El voltaje inducido en un conductor que se mueve a través de un campo magnético es proporcional a la velocidad de dicho conductor. Para utilizarlos es condición básica que la pulpa sea conductora.

b. Medidor ultrasónico. Se mide la diferencia de tiempo de viaje entre un pulso de sonido que se transmite aguas abajo en una tubería y un pulso que se trasmite aguas arriba. El tiempo de viaje entre ambos pulsos es proporcional al flujo volumétrico.

Page 19: 02_ granulometria y pulpa

UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA FACULTAD DE INGENIERIA DPTO. INGENIERIA DE MINAS

QUIROZ R., Apuntes de curso de MINERALURGIA, 2009.

25

2.4. EJERCICIOS PROPUESTOS ANALISIS GRANULOMETRICO Problema 1 Se muestreó el producto de un chancador secundario de cono entregando los resultados que se presentan a continuación: Con los valores anteriores:

a. Calcule las funciones frecuencia; acumulativo pasante y acumulativo retenido. b. Calcule el tamaño x80 c. Calcule los parámetros que ajustan a la ecuación de Schuhman y la ecuación de

Rosin – Ramler. Problema 2

Se muestreó un concentrado de cobre a fin de determinar su distribución granulométrica. Para ello se tomó una muestra representativa de 500 grs la que se sometió a un tamizaje cuyos resultados se muestran en la tabla siguiente:

Tamices Masa (Kgrs)

2 " 3.116,8

1 1/2 " 7.175.1

1 " 25.629,2

3/4 " 14.942,3

1/2 " 997,3

3/8 " 15.064,6

5/16 " 3.593,0

1/4 " 70,7

1/8 " 3.029,5

8 mallas 1.169,9

- 8 mallas 7.211,6

Tamices Masa gramos

65 12,1

100 78,3

150 120,2

200 129,3

270 71,2

325 58,3

- 325 72,3

Page 20: 02_ granulometria y pulpa

UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA FACULTAD DE INGENIERIA DPTO. INGENIERIA DE MINAS

QUIROZ R., Apuntes de curso de MINERALURGIA, 2009.

26

Con los valores anteriores:

a. Calcule las funciones frecuencia; acumulativo pasante y acumulativo retenido. b. Calcule el tamaño x80. c. Calcule los parámetros que ajustan a la ecuación de Schuhman y la ecuación de

Rosin – Ramler. VARIABLES DE PULPAS.

1. Se preparó una pulpa, con un mineral de densidad de 2,72 grs/cc y agua, de tal forma que el porcentaje en sólidos fuera de 23.54 %. Se pide calcular para dicha pulpa: Densidad de pulpa; Fracción volumétrica y Dilución

2. Se tomó una muestra desde la descarga del hidrociclón y la balanza Marcy

indica que la densidad de la pulpa es de 1325,6 gramos por litro. Si la gravedad específica del sólido es de 2,7 gr/cc. ¿Cuál será el porcentaje en sólidos de dicha pulpa?

3. Para el problema anterior, si la descarga en base seca del hidrociclón es de 350

TPH de mineral. Calcule el flujo volumétrico de pulpa expresado en M3/h. 4. Un molino SAG se alimenta con 2.600 TPH de un material de densidad 2,7 y

3% de humedad de 3%. Si la pulpa en el interior del molino debe tener un porcentaje en sólidos de 72 %, ¿Qué flujo de agua se debe agregar en la boca del molino?. Exprese sus resultados en M3/h.

5. Un molino de bolas que opera en un circuito directo procesa 6.000 TPD de un

material de densidad 2,7 y de 5 % de humedad. La carga circulante del molino es de 250 % y la descarga del hidrociclón tiene un contenido de sólidos de 72 %. Si la molienda se efectúa a 67,5 % en sólidos: Calcule el agua que se debe agregar en el chute de alimentación al molino.

6. En una concentradora el cajón de alimentación recibe desde el rebose del ciclón

11.645 M3PH de una pulpa de densidad 1.214,1 grs/ltr. La densidad del mineral en proceso es de 2,7 g/cc. La flotación se realiza a 15 % en sólidos. Calcule el agua, en metros cúbicos por hora, que es necesario agregar en el cajón de distribución que alimenta la flotación primaria.

7. En un espesador se agrega un flujo volumétrico de pulpa de 10.000 M3PH, la

fracción volumétrica de alimentación es de 0.118 y se espera que el porcentaje en sólido de la descarga sea de 63 %. ¿Qué cantidad de agua saldrá por hora desde el rebalse del espesador?

Page 21: 02_ granulometria y pulpa

UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA FACULTAD DE INGENIERIA DPTO. INGENIERIA DE MINAS

QUIROZ R., Apuntes de curso de MINERALURGIA, 2009.

27

8. Un sistema de filtración de concentrado de cobre se alimenta con 140 TPH de una pulpa cuya consistencia es 68 % en sólidos. Si el queque de descarga contiene una humedad de 8 % . ¿Calcule el flujo de agua que sale del sistema?

9. En una fundición de cobre debe secarse el concentrado en un secador rotatorio

hasta que este alcance un 3 % de humedad. Si se alimenta concentrado de 15 % de humedad a una razón de 12 TMH calcule las toneladas de concentrado en la descarga y los metros cúbicos de agua evaporada.

10. Para el circuito de la figura complete la tabla que se adjunta. (debe llenar con sus

cálculos todos los casilleros vacíos. Para sus cálculos considere: Peso específico del sólido = 2,7; Carga circulante del molino de bolas = 270 (%); Rechazo de pebbles = 5 (%)

Flujo (%) sólidos Flujo másico sólidos (Tph)

Flujo másico

pulpa (Tph)

Flujo de agua (m3/h)

Alimentación fresca (A) ----- 2480 ----- -----

Agua al molino (B) ----- ----- -----

Rebose del ciclón (C) -----

Descarga del molino SAG (D) 68.9

Flujo de Pebbles (E) ---- ---- -----

Agua al sump (F) ----- ---- ----

Descarga molino de bolas (G) 68

Alimentación al ciclón (H) 54 -----

Agua al molino de bolas (I) ----- ----- -----

Descarga del ciclón (J) 72 -----

Page 22: 02_ granulometria y pulpa

UNIVERSIDAD DE ANTOFAGASTA FACULTAD DE INGENIERIA DPTO. INGENIERIA DE MINAS

QUIROZ R., Apuntes de curso de MINERALURGIA, 2009.

28

Rebose del ciclón C

SAG

Bolas

Alimentación

fresca A

Agua al SAG B

Alimentación ciclón H

Descarga ciclón J

Pebbles E

Agua al Sump F

Descarga SAG D

Descarga bolas G

Agua a bolas I

BIBLIOGRAFIA

Concha, Fernando. Apuntes: “Análisis granulométrico”, Universidad de Concepción.1983. Magne Luis, “Conminución de minerales”, Primer Curso Internacional de Procesamiento de Minerales, CIMM-JICA-AGCI, Santiago, 1995. Herbst J.A. y Sepúlveda J. L., en Section 30, “Sampling and testing”. Mineral Processing Hanbook, AIME, 1979.