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Números Enteros

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Objetivos: Al realizar en forma completa esta guía el alumno será capaz de: - Reconocer y ordenar números enteros. - Operar con números enteros usando paréntesis y prioridad de las operaciones. - Usa correctamente la calculadora en ejercicios que involucren paréntesis. - Escribir números como potencias y desarrollar potencias según su definición. - Operar con potencias mediante sus propiedades. - Aplicar las reglas de los números enteros y las propiedades de las potencias para resolver

problemas de aplicación.

1. Los números enteros y su génesis Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye números negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor además del cero). Así los números enteros están formados por un conjunto de enteros positivos que podemos interpretar como los números naturales convencionales, el cero, y un conjunto de enteros negativos que son los opuestos de los naturales (éstos pueden ser interpretados como el resultado de restar a 0 un número natural).

Para estudiar los números enteros es necesario conocer la necesidad de crear un sistema numérico. Los números negativos pueden aplicarse en diversos contextos, como la representación de deudas, profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, entre otros. Inicialmente el primer campo de aplicación fue la contabilidad donde los números negativos significaban deudas y los positivos haberes o activos poseídos. El hecho de que un número sea entero, significa que no tiene parte decimal. Imaginemos que disponemos de dos barras de chocolate, cada una con tres divisiones, las cuales van a repartirse entre tres personas. Es claro que esta operación puede realizarse convenientemente si a cada persona le toca una parte de las tres que tiene cada barra. Ahora bien, imaginemos que tenemos 7 balines (esferas de metal) que queremos repartir entre las mismas tres personas. Es claro que no puede partirse un balín para que a cada persona le toque la misma cantidad de balines, así que a cada uno le deben tocar tres balines. Los balines ilustran así, por analogía, los números enteros: números que no pueden dividirse, a menos que la división sea exacta, por decir:

8/4 sí es exacta: 8/4 = 2 y es un entero, pero 8/3 no es exacta y no puede ser, en consecuencia, un número entero.

a. Averigue cuál fue uno de los conflictos que precedieron a la aceptación por parte de la

comunidad científica de los números enteros

2. Orden en los números enteros En la imagen adjunta se puede observar el orden que siguen los números enteros, los números están ordenados de menor a mayor, desde hasta . Teniendo esto en cuenta resuelva los ejercicios que aparecen en el siguiente link http://www.thatquiz.org/es/practice.html?inequality (también puede acceder a estos ejercicios llevando a cabo la siguiente secuencia de pasos: ingrese a www.thatquiz.org luego seleccione el ícono comparar en la

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columna enteros). Una vez dentro de la página configúrelo de acuerdo a la siguiente figura y a las instrucciones de más abajo:

1. La zona etiquetada con el número 1 configúrenlo con largo:10, nivel:10, duración: abierta, pausa: no

2. En la zona etiquetada con el número 2 seleccionen todas las casillas en forma simultánea. 3. La zona etiquetada con el número 3 es donde está el área de trabajo, en el ejemplo se

pregunta

, es decir, hay tres

preguntas en forma simultánea, ¿cuál es la correcta?, mirando la recta que aparece al comienzo podemos concluir que . Por lo cuál deben presionar el ícono con el símbolo y luego presionar ok

4. En la zona etiquetada con el número 4 aparecerá información de su desempeño como la cantidad de respuestas acertadas, la cantidad de respuestas erróneas y el tiempo que demora en responder todas las preguntas.

5. Cada vez que realices una serie de 10 ejercicios completa esta tabla:

Comparar 1ª vez 2ª vez 3ª vez 4ª vez 5ª vez 6ª vez 7ª vez 8ª vez 9ª vez

Nivel 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Duración

Buenas

3. Operatoria en los enteros (regla de los signos en Z) y uso de paréntesis

a. Para comenzar Ingrese a la página http://www.thatquiz.org/es/practice.html?arithmetic (también: www.thatquiz.org luego presiona aritmética en la columna enteros) resuelvan los ejercicios que aparecen en el link configurando la página de la siguiente forma: 0. En el círculo que está etiquetado con el número cero configúrelo con largo:10, nivel:10,

duración: abierta y pausa: no 1. Seleccione las casillas sumar, restar, multiplicar, dividir y negativos (en este punto se

diferencia del ejercicio realizado en la guía de números naturales, es la casilla encerrada en un cuadrado rojo )

2. Primero haga ejercicios seleccionando el modo sencillo, luego invertido, luego triple 3. La zona 3 es donde aparece el ejercicio, una vez que escriba la respuesta presione ok.

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4. En este lugar aparecerá la siguiente información: cantidad de preguntas acertadas, cantidad de preguntas erradas y el tiempo que se demora en realizarlos

Cada vez que realices una serie de 10 ejercicios completa esta tabla:

Sencillo 1ª vez 2ª vez 3ª vez 4ª vez 5ª vez 6ª vez 7ª vez 8ª vez 9ª vez

Nivel 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Duración

Buenas

Invertido 1ª vez 2ª vez 3ª vez 4ª vez 5ª vez 6ª vez 7ª vez 8ª vez 9ª vez

Nivel 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Duración

Buenas

Triple 1ª vez 2ª vez 3ª vez 4ª vez 5ª vez 6ª vez 7ª vez 8ª vez 9ª vez

Nivel 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Duración

Buenas

b. Ahora está preparado para resolver problemas más largos (no más difíciles). Utilice su calculadora para encontrar el valor de cada ejercicio, se recomienda que intente ingresar todo el ejercicio de forma completa en la calculadora para practicar el correcto uso de paréntesis. Una vez que tenga el resultado resuelva el problema a mano.

i.

ii.

iii.

iv.

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v.

vi.

vii.

viii.

ix. —

x.

4. Aplicando los números enteros a problemas de la vida cotidiana a. En invierno en cierto lugar del sur de Chile la temperatura a las 16 horas fue de 12°C. A las 3 de la mañana hubo un descenso de 17°C. ¿Cuál fue la temperatura registrada a esa hora? ¿Alguien reconoce de qué lugar del sur de Chile es la fotografía?

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b. El submarino O´Higgins de la flota naval chilena,

desciende a 50 metros bajo el nivel del mar y luego asciende a 20 metros. ¿A qué profundidad queda el submarino?

c. Escribe el entero que interpreta estos datos:

i. 3 grados bajo cero = ii. Debo $2.000 =

iii. 15 metros de profundidad = iv. 80 metros de altura = v. El monte Everest está a 8.847 metros de altura = vi. Un buzo desciende a 45 metros de profundidad =

d. Una sustancia química que está a 5° bajo cero se calienta en un mechero hasta que alcanza una temperatura de 12° sobre cero. ¿Cuántos grados subió?

e. María deposita el día lunes, en su libreta de ahorros, cuyo capital ascendía a $123.000, la cantidad de $12.670. El día miércoles por una urgencia, realiza un giro de $ 56.000. ¿Cuál es el nuevo capital que posee?. Escribe la operación utilizando números enteros.

f. ¿Cuántos años transcurrieron desde la muerte de Julio César (año 44 A.de C.) hasta la caída del Imperio Romano de Occidente (año 395 D. de C.)?

g. Un auto está ubicado a 7 m. a la derecha de un punto A, luego avanza 23 m., retrocede 36m.vuelve avanzar 19 m. y retrocede 36 m. ¿A qué distancia del punto A se encuentra?

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h. Dado el siguiente cuadro de temperaturas promedio en el mundo:

Santiago (Chile) 15°C New York - 2°C Barcelona 17°C París 12°C Berlín 8°C Roma 15°C Londres 5°C Moscú - 8°C i. ¿Cuál fue la diferencia de temperaturas entre Barcelona y Berlín? ii. ¿Cuánto más alta fue la temperatura en Santiago que en Moscú? iii. ¿Cuánto más baja fue la temperatura en New York que en Londres? iv. ¿En qué ciudades se registraron las mismas temperaturas?

i. En cada una de las siguientes actividades imagina que partes del número cero: i) Retrocedes 5 pasos y avanzas 3 pasos. ¿En qué punto te encuentras? ii) Avanzas 10 pasos y retrocedes 8 pasos. ¿En qué punto te encuentras? iii) Avanzas 2 pasos y retrocedes 2. ¿En qué punto te encuentras? iv) Si avanzas 13 pasos. ¿Cuántos pasos debes retroceder para llegar al punto –5? j. La invención de la escritura data del año 3.000 A de C ¿Cuántos años han transcurrido hasta hoy

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k. En la siguiente recta numérica: x, y, w y z son números enteros. Evalúa cuál de las afirmaciones es verdadera y fundamenta:

/ / / / / / / / / /

i.

ii.

iii.

iv. iv. –

5. Escritura de multiplicaciones reiteradas como potencias Cuando , se define Utilizando lo anterior escribe como potencia las siguientes operaciones (recuerda la prioridad en las operaciones).

i. ii.

iii. iv. v.

vi. – – – – –

vii. – –

viii. – –

ix. – –

x.

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Al ver los resultados ¿puede apreciar la utilidad de las potencias?

6. Escribir el resultado de operaciones con potencia Ahora deben hacer el proceso inverso al que se hizo en el ejercicio anterior, debemos obtener el resultado de una potencia. Para esto resuelva los ejercicios que aparecen en el siguiente link http://www.thatquiz.org/es/practice.html?exponent (también puede acceder a estos ejercicios llevando a cabo la siguiente secuencia de pasos: ingrese a www.thatquiz.org luego seleccionar el ícono potencias en la columna enteros). Una vez dentro de la página configúrelo de acuerdo a la siguiente figura y las instrucciones que aparecen más abajo:

1. La zona etiquetada con el número 1 configúrenlo con largo:10, nivel:10, duración: abierta,

pausa: no 2. En la zona etiquetada con el número 2 seleccione sólo (por el momento) la casilla

potencias. 3. En la zona 3 debe elegir el tipo de ejercicio, primero realice ejercicios en el modo sencillo y

luego en el modo avanzado

4. La zona etiquetada con el número 4 es donde está el área de trabajo, en el ejemplo se pregunta el valor de , deben escribir el resultado

en el espacio que hay y luego presionar ok 5. En la zona etiquetada con el número 5 aparecerá información de su desempeño como la

cantidad de respuestas acertadas, la cantidad de respuestas erróneas y el tiempo que demora en responder todas las preguntas. Cada vez que realices una serie de 10 ejercicios completa esta tabla:

Sencillo 1ª vez 2ª vez 3ª vez 4ª vez 5ª vez 6ª vez 7ª vez 8ª vez 9ª vez

Nivel 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Duración

Buenas

Avanzado 1ª vez 2ª vez 3ª vez 4ª vez 5ª vez 6ª vez 7ª vez 8ª vez 9ª vez

Nivel 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Duración

Buenas

7. Aplicación de las potencias a problemas de la vida cotidiana a. ¿Qué cantidad ha fumado Alonso después de 7 semanas si fuma 7 cigarros al día?

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b. ¿Cuántos lápices hay en 5 cajas que contienen cada una 5 paquetes, si en cada paquete hay 5 lápices?

c. ¿Cuántas gomas de borrar hay en 12 estuches, si en cada estuche hay una docena de gomas? d. ¿Cuántos árboles hay en un bosque que tiene 83

filas y 83 árboles en cada fila?

e. Un cubo que cada arista con una longitud de x cms, i. ¿cuál es su volumen? ii. Si x mide 10cm ¿Cuánta agua podemos guardar en el cubo?

f. El desarrollo embrionario tiene comienzo cuando

un espermatozoide fecunda a un óvulo y se forma un cigoto, proceso que ocurre en el oviducto (trompa de Falopio) de la mujer. Treinta horas después de la concepción, el cigoto sufre la primera división celular. Se divide primero en dos células, posteriormente en cuatro, en ocho, dieciséis, treinta y dos, llegando al cuarto día a la mórula. Sigue dividiéndose a medida que recorre la trompa de Falopio hasta implantarse en el útero, entre 4 y 7 días después de la fecundación. i. Investigue cual es la velocidad media entre una división y la siguiente

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ii. Investigue cuántas células hay hasta el día 7, ¿cómo se puede expresar ese número como potencia de dos?

g. Cadena de favores: para mejorar el mundo usted crea (similar a la película pero no idénticamente igual) una cadena de favores, esta consiste en que usted debe hacer a favor a 3 personas distintas en un solo día, a su vez cada persona que usted le hizo un favor debe hacer 1 favor a tres personas distintas entre ellas y distintas a las que usted ya les hizo durante un mismo día pero al día siguiente al cual le hicieron el favor a ella i. Al 3er día ¿cuántas personas han sido beneficiadas? ii. Al 10º día ¿cuántas personas han sido beneficiadas? iii. ¿Cuántos días aproximadamente deben transcurrir para que sean beneficiadas todas las personas de una ciudad como Valparaíso? Utilice la población conocida hasta el último censo

h. La leyenda del ajedrez: Existe una leyenda que dice que hace mucho tiempo existió un rey que era muy bueno, pero una vez luchando contra un reino enemigo perdió a su hijo en una batalla, y por tal motivo se puso muy triste y se aisló en su castillo reviviendo una y otra vez la batalla donde murió su hijo, recreándola de muchas formas, y en ninguna podía

salvar a su hijo y a su reino al mismo tiempo. Un joven que sabia el dolor que el rey sentía pidió una entrevista con el, luego de muchos intentos logro que el rey le diera la entrevista, el joven mostró al rey el juego del ajedrez y le enseño su similitud con una batalla real. El rey que era un gran amante de los planes de guerra no tardo mucho tiempo en entender el juego, el joven le enseño al rey como era de importante sacrificar alguna pieza para lograr el partido (haciéndole ver que el sacrificio que su hijo había hecho fue lo

mejor para el reino). El rey comprendió su error y acepto la muerte de su hijo, y le dijo al joven que le daría la recompensa que el pidiese, el joven le pidió la siguiente recompensa por la primera casilla del tablero quiero un grano de trigo, por la segunda casilla quiero 2 granos de trigo, por la tercera casilla quiero 4 granos de trigo, por la cuarta casilla quiero 8 granos de trigos y así sucesivamente por las demás casillas, el rey ordeno que entregaran la recompensa inmediatamente y agrego que era un pedido muy poco digno de su generosidad, los sabios del rey al tratar de encontrar el numero que correspondía a la cantidad de granos de trigo se dieron cuenta que era un numero muy grande de imaginar

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en esos días . Así fue como el rey aprendió otra lección a ser prudente y le pidió al joven se quedara en el castillo y trabajara como uno de sus asesores... i. ¿cuántos granos le corresponden por la última casilla del tablero?

ii. ¿cuántos granos le corresponden por la suma de todos los cuadros del tablero?

iii. Tomamos un kilo de granos de trigo. Contamos su número: supongamos que en un kilo hay 6.000 granos. ¿Cuántos gramos hay en una tonelada? ¿Cuántas toneladas de trigo equivalen a los granos de trigo que corresponden al último casillero del tablero?

iv. Un vagón de ferrocarril carga (10.000 kilos). ¿Cuántos vagones se necesitan para cargar los granos de trigo que habían en el último casillero?

v. Un vagón mide 10m de longitud aproximadamente, y supongamos que están separados por una distancia de 2m entre vagones, ¿qué longitud tendría un tren junto

con sus vagones para transportar los granos de trigo que habían en el último casillero? Compara esta cifra con la distancia que hay desde Arica a Punta Arenas