7/25/2019 02 Pasos y Ejemplo de Eliminacion Gaussiana Simple

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Pasos y ejemplo de mtodo de eliminacin gaussiana.Encontrar la solucin del siguiente sistema de ecuaciones lineales:

4x1 + x2 - x3 =-2

5x1 + x2 + 2x3 = 4

6x1 + x2 + x3 = 6

Se genera la matriz ampliada con los coeicientes

4.0 1.0 -1.0 -2.0 R1

5.0 1.0 2.0 4.0 R2

6.0 1.0 1.0 6.0 R3

Primero haremos la eliminacin hacia delante para generar una matriz triangular superior.

Se deine el elemento pi!ote en este caso es: 4" el primer elemento en la diagonal principal" esto es" el

elemento #ue est$ en el rengln uno % la columna uno&

4.0 1.0 -1.0 -2.0 R1

5.0 1.0 2.0 4.0 R2

6.0 1.0 1.0 6.0 R3

Se di!ide '1 (todo el rengln 1) entre el elemento pi!ote

*4 1 -1 -2,4 *1 &25 -&25 -&5

El resultado ser$ el nue!o '1

1.0 0.25 -0.25 -0.5 R1

5.0 1.0 2.0 4.0 R2

6.0 1.0 1.0 6.0 R3

Se de.en de con!ertir todos elementos #ue est$n de.a/o del elemento pi!ote a cero& 0ara cada rengln

por de.a/o del pi!ote: ultiplicar el rengln #ue contiene el elemento pi!ote por el elemento #uedesea con!ertir en cero" despus rstele ste resultado al rengln #ue contiene el elemento #ue desea

con!ertir en cero&

0ara con!ertir el 5& en &:

*1 &25 -&25 -&5(5) *5& 1&25 -1&25 -2&5

*5 1 2 4 *5& 1&25 -1&25 -2&5 *& -&25 3&25 6&5

0ara con!ertir el 6& en &:

*1& &25 -&25 -&5(6) *6& 1&5 -1&5 -3&

*6 1 1 6 *6& 1&5 -1&5 -3& *& -&5 2&5 &

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a nue!a matriz #ueda de la siguiente orma&

1.0 0.25 -0.25 -0.5

0.0 -0.25 3.25 6.5

0.0 -0.5 2.5 9.0

dentiicamos el siguiente elemento pi!ote" este ser$ el siguiente elemento de la diagonal principal" en

este caso el -&25 #ue esta en el segundo rengln % segunda ila&

1.0 0.25 -0.25 -0.5

0.0 -0.25 3.25 6.5

0.0 -0.5 2.5 9.0

Se di!ide '2 (todo el rengln 2) entre el elemento pi!ote

*& -&25 3&25 6&5 ,-&25 * 1 -13 -26

El resultado ser$ el nue!o '2

1.0 0.25 -0.25 -0.5

0.0 1.0 -13.0 -26.0

0.0 -0.5 2.5 9.0

Se de.en de con!ertir todos elementos #ue est$n de.a/o del elemento pi!ote a cero&

0ara cada rengln por de.a/o del pi!ote 7acer: ultiplicar el rengln #ue contiene el elemento pi!otepor el elemento #ue desea con!ertir en cero" despus rstele ste resultado al rengln #ue contiene el

elemento #ue desea con!ertir en cero&

0ara con!ertir el -&5 en &

* 1 -13 -26(-&5)*& -&5 6&5 13

*& -&5 2&5 & *& -&5 6&5 13 *& -& -4& -4&

a nue!a matriz #ueda de la siguiente orma&

1.0 0.25 -0.25 -0.5

0.0 1.0 -13.0 -26.0

0.0 0.0 -4.0 -4.0

dentiicamos el 8ltimo elemento pi!ote" en este caso es el elemento #ue esta en el tercer rengln %tercera columna" esto es" el -4&&

1.0 0.25 -0.25 -0.5

0.0 1.0 -13.0 -26.0

0.0 0.0 -4.0 -4.0

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Se di!ide '3 (todo el rengln 3) entre el elemento pi!ote

*& & -4& -4& ,-4& *& & 1& 1&

El resultado ser$ el nue!o '3

1.0 0.25 -0.25 -0.5

0.0 1.0 -13.0 -26.0

0.0 0.0 1.0 1.0

9a tenemos una matriz tri$ngula superior % el siguiente sistema de ecuaciones lineales e#ui!alente:

x1 + &25x2 - &25x3 = -&5 x2 - 13&x3 = -26:

x3= 1&

Ahora debemos hacer la sustitucin hacia atrs, iniciando con x3, continuando con x2 y

terminando con x-&1

3 =x

-&13)-&1(13-&2613-&26 32 =+=+= xx

-&3)-&1(25&-)-&13(25&-5&-25&-25&-5&- 321 =+=+= xxx

a solucin al sistema de ecuaciones lineales es:x1= 3&

x2= -13&

x3 = 1&

Encuentre las soluciones a los siguientes sistemas de ecuaciones:

2)3&x1 - &1x2 - &2x3 = &;5

&1x1 + &x2 - &3x3 = -1&3

&3x1 - &2x2 + 1&x3 = 1&4

1) x1 - 2&x2 + &5x3 = -5&

-2&x1 + 5&x2 - 1&5x3 = &

-&2x1 + 1&5x2 - 1&x3 = 1&

4)-2&x1 + 3&x2+ 4&x3 = 4&

3&x1 - 2&x2 - 6&x3 = &

5&x1 + &x2 + ;&x3 = &

3)

4x1 - 2&x2 - 1&x3 = 3&

x1 - 6&x2 + 2&x3 = - 2;&

x1 - 3&x2 + 12&x3 = - ;6&

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