02 perfiles de velocidad. sistemas rectangulares

FENÓMENOS DE

TRANSPORTE. CAPÍTULO 2: DISTRIBUCIONES DE

VELOCIDAD EN FLUJO LAMINAR.

SISTEMAS RECTANGULARES.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 2. Distribuciones de velocidad en flujo laminar. Sistemas rectangulares.

Fenómenos de Transporte. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1

PRESENTACIÓN.

La presente es una Guía de Ejercicios de Fenómenos de Transporte para estudiantes

de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería Civil, Industrial,

Mecánica, de Petróleo y Química de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las

respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido

programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y

exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Fenómenos de Transporte en los

núcleos de Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía

especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y

responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma

integrada de información existente en la literatura.

Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con

fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es

libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de los Fenómenos de Transporte, así como las

sugerencias que tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar

directamente a través de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN:

2736CCF1 ó 7A264BE3, correo electrónico: [email protected] ó

[email protected], twitter: @medinawj ó personalmente en la sección de Matemáticas,

Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,

Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se

desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y

Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.

En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela

(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de

Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual

comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el

Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.

Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,

Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción

y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte

del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento

químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta

finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de

Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo

de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas

tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),

Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos

Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es

autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,

Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,

Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería

Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



2.1.- DEFINICIONES BÁSICAS.

En general, el procedimiento a seguir para plantear y resolver problemas de flujo viscoso es

el siguiente: primeramente se escribe un balance de cantidad de movimiento para una

envoltura de espesor finito ( x ); después se hace tender a cero este espesor ( 0 x ),

utilizando la definición matemática de la derivada (x

xfxxf

x

)()(lim

0

) con el fin de

obtener la correspondiente ecuación diferencial que describe la distribución de la densidad

de flujo de cantidad de movimiento ( ). Se introduce entonces la adecuada expresión

newtoniana de la densidad de flujo de cantidad de movimiento (xd

vd ), con el fin de

obtener una ecuación diferencial para la distribución de velocidad ( v ). Mediante la

integración de estas dos ecuaciones se obtienen, respectivamente, las distribuciones de

densidad de flujo de cantidad de movimiento y de velocidad del sistema. Esta información

puede utilizarse después para calcular muchas otras magnitudes, tales como velocidad

media ( ›‹v ), velocidad máxima ( maxv ), velocidad volumétrica de flujo (Q), pérdida de

presión, y fuerzas que actúan sobre las superficies límite.

En las integraciones que hemos mencionado aparecen varias constantes de

integración que se evalúan utilizando las ‹‹condiciones límite››, es decir, determinaciones

de hechos físicos para valores concretos de la variable independiente. La mayor parte de las

condiciones límite utilizadas son las siguientes:

a) En las interfases sólido – fluido, la velocidad del fluido es igual a la velocidad con que se

mueve la superficie misma; es decir, que se supone que el fluido está adherido a la

superficie sólida con la que se halla en contacto.

b) En las interfases líquido – gas, la densidad de flujo de cantidad de movimiento, y por

consiguiente, el gradiente de velocidad en la fase líquida es extraordinariamente pequeño, y

en la mayor parte de los cálculos puede suponerse igual a cero.

c) En las interfases líquido – líquido, tanto la densidad de flujo de cantidad de movimiento

como la velocidad son continuas a través de la interfase; es decir, que son iguales a ambos

lados de la interfase.



Subíndices en la nomenclatura.

Densidad de flujo de cantidad de movimiento: zx , x – z es el plano a través del cual se

observa el elemento diferencial de fluido.

Velocidad: zv , z es el eje en el cual se mueven los elementos diferenciales de fluido.

Suposiciones.

1. El flujo es laminar.

2. La densidad es constante (‹‹fluido incompresible››).

3. El flujo es independiente del tiempo (‹‹estado estacionario››).

4. El fluido es newtoniano; es decir, xd

vd zzx .

5. Los efectos finales son despreciables.

6. El fluido se comporta como un medio continuo.

7. No hay deslizamiento en la pared.

2.2.- FLUJO DE UNA PELÍCULA DESCENDENTE.

Elemento diferencial de

espesor.

0)(cos

presión de Efecto

0

gravedad de Efecto velocidadde Efecto

2

0

2

viscosoEfecto

xWPPgxWLvxWvxWWLWL LLz

zz

zxxxzxxz

Como zv vale lo mismo para 0z y Lz , para cada valor de x, los términos tercero y

cuarto (efecto de velocidad) se anulan entre sí.



0)(cos 0

xWPPgxWLWLWL Lxxxzxxz (1)

zg es la componente gravitacional en la dirección del flujo. En este caso cosgg z .

Las películas descendentes son de longitud L, de ancho W y de espesor x . El espesor de

la capa de fluido descendente es .

En caso de un sistema en el cual las coordenadas rectangulares se encuentren en otra

orientación, debe hacerse la adaptación de la ecuación (1) al sistema indicado.

Definición de la derivada de una función:

x

ff

xd

fd xxx

xlim

0

(2)

Ley de Newton de la viscosidad:

xd

vd zzx (3)

Magnitudes relacionadas al flujo de fluidos.

Velocidad máxima. Velocidad media. Flujo volumétrico.

0,max,

zxrzz vv

W

W

z

ydxd

ydxdxvv

0 0

0 0)(

W

z ydxdxvQ0 0

)(

Número de Reynolds.

44Re

v. (4)

Régimen de flujo:

Flujo laminar sin ondulaciones 25a4Re

Flujo laminar con ondulaciones 2000a1000Re25a4

Flujo turbulento 2000a1000Re

x

y

W



Desarrollo en series de potencias para funciones de interés.

...)1(

...5432

)1(ln15432

nn

xn

xxxxxx (5)

...!

...!5!4!3!2

15432

n

xxxxxxe

nx (6)

Integrales notables.

cea

xde xaxa 1

(7)

cea

xaxdex xaxa

2

1 (8)

cbxnn

nambx

n

mxd

bxn

axm

)(ln

2 (9)

cubab

uduba

u

)(ln

2

1 222

2222 10)

Ejercicios propuestos

1. Flujo de una película descendente.

Consideremos una superficie plana inclinada. Estas películas se han estudiado en relación

con torres de pared mojada, experiencias de evaporación y absorción de gases y aplicación

de capas de pintura a rollos de papel. Se supone que la viscosidad y densidad del fluido son

constantes y se considera una región de longitud L , suficientemente alejada de los

extremos de la pared, de forma que las perturbaciones de la entrada y la salida no están

incluidas en L ; es decir, que en esta región el componente zv de velocidad es

independiente de z .



Determinar:

a) Distribución de esfuerzo cortante.

b) El perfil de velocidades.

c) Velocidad máxima.

d) Velocidad media.

e) Velocidad volumétrica de flujo (Caudal).

f) Espesor de la película.

g) Componente de la fuerza F del fluido sobre la superficie.

Respuesta: a) xgxz cos ; b)

22

12

cos

xgv z ; c)

2

cos2

,

gv máxz ; d)

3

cos2gv z ; e)

3

cos3WgQ ;

f) 3

cos

3

cos

3

Wg

Q

g

vz

: g) cos)( WLgFz .

2. Una delgada capa de aceite fluye en estado estacionario sobre un plano inclinado (ver

figura). El perfil de velocidades está dado por la ecuación

2

sen 2yyh

gvx

.

Encuentre una expresión para el flujo másico por unidad de espesor (W).



Respuesta:

3

sen 32 hg

W

m

.

3. Película descendente con viscosidad variable. Variación lineal.

Resolver el problema 1 para el caso de que la viscosidad dependa de la posición en la forma

siguiente:

x10 , en la que 0 es la viscosidad en la superficie de la película, y

una constante que expresa la rapidez con que disminuye al aumentar x . Demostrar

como el resultado de este problema se transforma en el obtenido anteriormente para el caso

límite de que 0 (película de viscosidad constante).


)1(ln1ln1

cos2

0

2

xxgvz ; c)

)]1(ln[cos2

2

,

gv máxz ; d)

)]1(ln22[2

cos 2

3

0

2

gvz ; e)

)]1(ln22[2

cos 2

3

0

3

WgQ .

4. Película descendente con viscosidad variable. Variación cuadrática.




siguiente:

2

22

0 1

x, en la que 0 es la viscosidad en la superficie de la película, y

una constante que expresa la rapidez con que disminuye al aumentar x . Demostrar

como el resultado de este problema se transforma en el obtenido anteriormente para el caso

límite de que 0 (película de viscosidad constante).

5. Película descendente con viscosidad variable. Variación exponencial.


siguiente: )/(

0

xe , en la que 0 es la viscosidad en la superficie de la película, y

una constante que expresa la rapidez con que disminuye al aumentar x . Una variación

de este tipo tiene lugar en el flujo descendente del condensado en una pared, con un

gradiente lineal de temperatura a través de la película. Demostrar como el resultado de este

problema se transforma en el obtenido anteriormente para el caso límite de que 0

(película de viscosidad constante).


1)1(

cos /

2

0

2

xee

gv x

z ; c)

]1)1([cos2

2

,

eg

v máxz ; d) ]2)22([cos 2

3

0

2

eg

vz ; e)

]2)22([cos 2

3

0

3

eWg

Q .

6. Flujo de una película polimérica.

Trabajar el problema 1 para el fluido que obedece la ley de potencias. Demostrar que el

resultado se simplifica de manera idónea al resultado newtoniano.



Respuesta: a) xgxz cos ; b) )(cos

1

11

1

n

n

n

nn

xm

g

n

nvz

; c)

n

nn

m

g

n

nv z

1

1

cos

1

; d) n

nn

m

g

n

nvz

1

1

cos

21

; e)

Wm

g

n

nQ n

nn 21

1

cos

21

.

7. Procedimiento alternativo para resolver problemas de flujo.

En el problema 1 hemos utilizado el siguiente procedimiento: i) obtener una ecuación para

la densidad de flujo de cantidad de movimiento, ii) integrar esta ecuación, iii) insertar la ley

de Newton para obtener una ecuación diferencial de primer orden para la velocidad, iv)

integrar esta última ecuación para obtener la distribución de velocidad. Otro método es el

siguiente: i) obtener una ecuación para la densidad de flujo de cantidad de movimiento, ii)

insertar la ley de Newton para obtener una ecuación diferencial de segundo orden para el

perfil de velocidad, iii) integrar esta última para obtener la distribución de velocidad.

Aplicar este segundo método al problema de la película descendente sustituyendo la

ecuación xd

vd zzx en la ecuación

cosg

xd

d zx y prosiguiendo como se indica

hasta obtener la distribución de velocidad y evaluar las constantes de integración.

8. Cálculo de la velocidad de una película.

Un aceite tiene una viscosidad cinemática de /scm 102 24 y una densidad de

33 kg/m 108.0 . ¿Cuál tiene que ser la velocidad de flujo de masa de una película que

desciende por una pared vertical para que el espesor de la misma sea de 2.5 mm?

Respuesta: kg/m.s 204.0m ; 1.5Re .

9. Espesor de una película descendente.

Por una pared vertical fluye agua a 20ºC de manera descendente con 10Re . Calcular a)

El caudal, en galones por hora por pie de ancho de la pared, y b) es espesor de la película en

pulgadas.

Respuesta: a) gal/h.ft 727.0 ; b) ft 00361.0 .



10. Una película de fluido con un espesor de 0.005 pies fluye hacia abajo por una superficie

vertical fija con una velocidad superficial de 2 pies/s. Determine la viscosidad del fluido.

3

f /pielb 55 .

Respuesta: .s/ftlb104375.3 2

f

4 .

11. A través de un ducto de sección cuadrada (5 cm 5 cm) fluyen 100 L/h de agua

( 3kg/m 1000 , mPa.s 1 ). El ducto está abierto a la atmósfera en su parte superior de

forma tal que el agua rebosa y cae formando una película sobre las paredes exteriores del

ducto. Determine el espesor de dicha película y el perfil de velocidades. Suponga que la

interfase agua – aire es recta, despreciando así lo que sucede en la zona de formación de la

película. Desprecie las variaciones de espesor de película y velocidad que ocurren cerca de

las esquinas del ducto.

Respuesta: mm 35.0 ;

21

xxgvz .

12. Un fluido viscoso se mueve entre 2 placas horizontales debido a un gradiente de presión

constante. La placa inferior está en reposo y la superior se mueve con velocidad 0v en

sentido opuesto al flujo. Calcular:

a) Distribución del perfil de velocidad.

b) ¿A qué distancia de la placa inferior 0xv ?

c) Velocidad media.

d) Punto donde la velocidad es máxima.

e) El caudal de circulación.

f) ¿Cuánto debe valer 0v , para que el caudal neto sea 0?

g) Fuerza que se ejerce en la pared.



Respuesta: a)

yvyy

L

PPv L

x 0

20 )(2

)(

; b)

)(

2

0

0

LPP

Lvy

; c)

L

v

L

PPv L

212

)( 0

2

3

0

; d)

)(2 0

0

LPP

Lvy

; e)

212

)( 0

3

0 Wv

L

WPPQ L

; f)

L

PPv L

6

)( 2

0

0

.

13. Dedúzcase una expresión para a) el perfil de velocidades y b) el flujo que pasa por una

sección transversal fija de la figura para flujo laminar entre dos placas en movimiento.

Respuesta: a) 000

20 )()(2

)(u

yvuyy

L

PPv L

x

; b)

2

)(

12

)( 00

3

0 Wuv

L

WPPQ L

.

14. Una suspensión de partículas sólidas en un líquido se encuentra entre dos placas planas

paralelas de área A separadas por una distancia . La placa superior se mueve con una

velocidad constante 0v en la dirección x tal como se muestra en la figura. La suspensión se

encontraba inicialmente en reposo pero, debido al movimiento de la placa superior, se

desarrolla en ella un perfil de velocidades.

La suspensión puede ser considerada un fluido newtoniano pero, debido a que las

partículas sólidas tienden a acumularse sobre la placa inferior, su viscosidad será función

lineal de la posición vertical. Si dicha viscosidad puede expresarse como una función lineal

de y en la forma

y10 , determine el perfil de velocidades. Halle además una

expresión para calcular la fuerza que debe ejercerse sobre la placa superior para mantener

su movimiento.



0v

y

x

Respuesta: 0)1(ln

1ln

v

y

vx

; )1(ln

)( 00

AvFx .

15. Resolver el problema 14 para el caso de que la viscosidad dependa de la posición en la

forma siguiente: )/(

0

ye , en la que 0 es la viscosidad en la superficie de la

película, y una constante que expresa la rapidez con que disminuye al aumentar x .

Respuesta: 0

)/(

1

1v

e

ev

y

x

;

)1()( 00

e

AvFx

.

16. Resolver el problema 14 para el caso de que la viscosidad sea constante ( 0 ).

Demostrar cómo se puede llegar a los resultados de este problema a partir del caso límite de

que 0 en los problemas 14 y 15.

Respuesta: 0vy

vx

;

AvFx

00)( .

17. Flujo de una película descendente. Otras deducciones.

Deducir el perfil de velocidad y la velocidad media, situando el origen de coordenadas de la

forma que x se mida a partir de la pared (es decir, 0x corresponde a la pared y x

a la superficie libre de la película). Demostrar que la distribución de velocidad viene dada

por

22

2

1cos

xxgvz (2.D-1)

y que la velocidad media es la que se expresa en la Ec.

3

cos2gv z .



Demostrar cómo se puede llegar a la distribución de velocidad de la Ec. 2.D-1 a partir de la

Ec.

22

12

cos

xgv z . Sugerencia: xx .

18. Flujo laminar en una rendija estrecha.

Un fluido viscoso circula con flujo laminar por una rendija formada por dos paredes planas

separadas una distancia B2 . Efectuar un balance diferencial de cantidad de movimiento y

obtener las expresiones para las distribuciones de densidad de flujo de cantidad de

movimiento y de velocidad (Figura).

xL

PP Lzx

0

22

0 12

)(

B

x

L

BPPv L

z

en las que zgPLgpP . ¿Cuál es la relación de la velocidad media a la

máxima en la rendija?. Obtener la ecuación análoga a la de Hagen – Poiseuille para la

rendija.



Respuesta: 3

2

,

máxz

z

v

v;

L

WBPPQ L

3

)( 3

0 .

19. Flujo laminar en una rendija con una pared móvil (“Flujo de Couette plano”).

Extienda el problema 18 permitiendo que la pared en Bx se mueva en la dirección z

positiva a una velocidad estable 0v . Obtenga a) la distribución de esfuerzo cortante, y b) la

distribución de velocidad. Elabore dibujos cuidadosamente identificados de estas funciones.

Respuesta: B

vx

L

PP Lyx

2

00

;

B

xv

B

x

L

BPPv L

z 12

12

)( 0

22

0

20. Flujo en una rendija estrecha de un fluido que obedece a la ley de potencias.

En el problema 18 se resolvió el flujo de un fluido newtoniano en una rendija estrecha.

Encontrar la distribución de velocidad y la velocidad de flujo másico para un fluido que

obedece a la ley de potencias y circula en la rendija.

Respuesta:

1)/1(/1

0 11)/1(

)(nn

Lz

B

x

n

B

Lm

BPPv , Bx 0 ;

n

L

Lm

BPP

n

BWw

/1

0

2 )(

2)/1(

2

.

21. Determínese la fuerza tangencial por unidad de área ejercida sobre la placa superior y

su dirección. Que velocidad 0v ser requiere para que no haya descarga?



Respuesta: h

vhgyx

0

2

sen ;

6

sen 0

hgv .

22. Flujo no – newtoniano de una película.

Deducir una fórmula para el espesor de una película de un fluido de Bingham descendiendo

por una pared plana vertical con una velocidad ( 1g.s por unidad de anchura de pared).

Respuesta: 0cos623

cos22

3

02032

g

g.

23. Determine el máximo valor del ángulo de inclinación (ver figura) para que un fluido

tipo Bingham no fluya sobre el plano inclinado. Exprese su resultado en términos del

espesor de la película ( h ) y propiedades del fluido.

Respuesta:

g

0arccos .

24. La banda transportadora (figura) lleva fluido a un depósito de tal profundidad que la

velocidad en la superficie libre del fluido sobre la banda es cero. ¿Cuál es la distribución de

velocidad del fluido en la banda y la tasa volumétrica del fluido que se transporta?



Respuesta: )()(2

sen 0

x

vxx

gv y ,

212

sen 0

3 WvWgQ

.

25. Una correa vertical continua, que pasa en forma ascendente a través de un producto

químico a una velocidad 0v , levanta una película de líquido de espesor h , densidad y

viscosidad ; no hay rozamiento con la atmósfera.

a) Establezca las ecuaciones que describen el sistema, con las hipótesis realizadas y las

condiciones de borde correspondientes.

b) Obtenga una expresión para el perfil de velocidad.

c) ¿En qué punto la velocidad local igualará a la velocidad media?

d) Obtenga el valor de 0v para el cual se cumplirá que la velocidad media en y es igual a

cero.

e) Calcule el esfuerzo en la pared y dibuje el perfil xy .

f) ¿Habrá algún valor de 0v tal que el caudal neto sea cero? De ser así, obtenga su

expresión.

Respuesta: b) 0

2

2vx

h

xhgvy

; c) hx

3

31 ; d)

3

2

0

hgv ; e)

hgxy )0( ; f) Si, el mismo de la parte (d).

26. Un fluido que sigue el modelo de la potencia se escurre a lo largo de una pared vertical

formando una película de espesor h , la cual está en todo momento en contacto con la



atmósfera. Determine el perfil de velocidades del fluido y el flujo volumétrico por unidad

de ancho. Recuerde que el esfuerzo cortante según el modelo de la potencia viene dado por

n

y

yxxd

vdm

donde m y n son constantes, x es la coordenada perpendicular a la pared e y es la

coordenada vertical paralela a la pared.

Respuesta: )(1

11

1

n

n

n

nn

xhm

g

n

nv y

; n

nn

hWm

g

n

nQ

21

1

21

.

27. Un fluido que sigue la ley de la potencia se coloca entre dos placas paralelas

horizontales separadas una distancia H como se muestra en la figura. La placa inferior está

fija mientras que la superior se mueve con velocidad constante 0v y entre ellas hay una

diferencia de presión 0P ( LPPP 0 ) para una longitud L .

Modelo de la ley de potencia:

n

zxz

xd

vdm

.

Para este sistema:

a) Obtenga una expresión que permita determinar el perfil de velocidades. No evalúe las

constantes de integración pero establezca las condiciones y ecuaciones que permitan

calcularlas.

b) Obtenga una expresión para calcular el caudal volumétrico por unidad de ancho a partir

del perfil de velocidades obtenido en (a).

c) Simplifique las expresiones obtenidas en (a) y (b) para un fluido newtoniano ( 1n ).



Respuesta: 2

0

1

10

11

1

C

Lm

PP

n

m

Cx

Lm

PP

vL

L

z

n

; Para 0x , 0vvx , Para Hx , 0xv ;

W H

LL

L

ydxdLm

PP

nC

m

Cx

Lm

PP

Lm

PP

n

Q

n

0 0

02

1

10

0

11

11

11

.

28. Un fabricante de pinturas ha diseñado un compuesto que se comporta como un plástico

de Bingham con un esfuerzo cortante de cedencia de 2.77 N/m2. Si la densidad de la pintura

es de 1393 kg/m3, determine cuál es el máximo espesor del film que dejará el compuesto al

ser aplicado sobre una superficie vertical sin chorrear por efecto de la gravedad.

Respuesta: mm 2027.0 .

29. Flujo en una rendija de un fluido de Bingham.

Para suspensiones y pastas espesas en encuentra que no ocurre flujo hasta que se alcanza

cierto esfuerzo crítico, el esfuerzo cedente (límite elástico), y luego el fluido circula de tal

forma que parte de la corriente está en “flujo de tapón”. El modelo más simple de un fluido

con un valor de cedencia es el modelo de Bingham:

xd

vd zxz 00

donde 0 es el esfuerzo cedente, el esfuerzo por abajo del cual no ocurre flujo y 0 es un

parámetro con unidades de viscosidad.

a) Demostrar que la distribución de velocidad para el fluido en una rendija estrecha

(Problema 18) es

B

xB

B

x

L

BPPv L

z 112

)(

0

0

2

0

2

0

.

b) Demostrar que la velocidad de flujo másico está dada por

3

0

0

0

0

0

3

0

)(2

1

)(2

31

3

)(2

BPP

L

BPP

L

L

BWPPw

LL

L



30. Para unir dos vidrios cuadrados de lado L (en forma de sándwich) se emplea una

sustancia que se comporta de acuerdo al modelo de Bingham ( 0 , ). Si los vidrios están

colocados verticalmente responda:

a) ¿Cuál es el máximo espesor ( ) de sustancia permitido para que ésta no se derrame?

b) Un operador inexperto colocó un 100% más ancha la capa de material plástico lo que

provocó un deslizamiento de producto. ¿Qué caudal se deslizó?

Respuesta: a) g

0

0 ; b) 22

3

0

6

5

g

WQ

.

31. Flujo adyacente de dos fluidos inmiscibles.

Dos fluidos inmiscibles e incompresibles circulan, debido a un gradiente de presión, en la

dirección z de una estrecha rendija horizontal de longitud L y anchura W . Las

velocidades de los dos fluidos están ajustadas de tal forma que una mitad de la rendija está

llena del fluido I (la fase más densa), y la otra mitad está ocupada por el fluido II (la fase

menos densa). Se desea analizar la distribución de velocidad y de densidad de flujo de

cantidad de movimiento en este sistema.

Respuesta:

III

III

Lzx

b

x

L

bpp

2

1)( 0 ;

22

0 2

2

)(

b

x

b

x

L

bppv

III

III

III

I

I

LI

z

22

0 2

2

)(

b

x

b

x

L

bppv

III

III

III

II

II

LII

z

.

32. Plate glass casting.

High-quality plate glass is cast with extremely flat surfaces by floating it on molten tin and

letting it cool as the glass and tin flor down a gentil inclined plane.

Data:

- Liquid glass entering the process: 3g/cm 2.3 , 2N.s/m 0.1 , layer thickness = 1 mm.

- Liquid tin: 3g/cm 0.7 , 23 N.s/m 103 , layer thickness = 1 mm.



Inclined plane angle: 2º.

a) Write the general solution to the equation for momentum conservation down the inclined

plane in the flow direction.

b) What is the interfase boundary condition at the glass – tin interfase?

c) Calculate the velocity distribution in both the glass and the thin (Hint: measure distance

in the tin from the bottom, and distance in the glass from the top surface).

d) What are the maximum and avergage velocities in the glass and tin?

e) Comment on the Reynolds numbers in the glass and tin. Do you think flow will remain

laminar in both layers?

Respuesta: a) 2sensen gxg IIII

xz ; 2sensen gxg IIIIII

xz ; b)

Interfase boundary condition at the glass – tin interfase: 0x , II

Z

I

Z vv ;

c) I

II

I

I

I

II

I

II

z

ggx

gx

gv

21

2

122 sen

2

sensen

2

sen ;

I

II

I

I

II

II

II

IIII

z

ggx

gx

gv

21

2

122 sen

2

sensen

2

sen ;

d) I

II

I

II

z

ggv

21

2

1max,

sen

2

sen

I

II

I

I

II

IIII

z

gggv

21

2

1

2

2max,

sen

2

sen

2

sen ;

I

II

I

II

z

ggv

2

sen

3

sen 12

2

1

I

II

I

I

II

IIII

z

gggv

21

2

1

2

2 sen

2

sen

3

sen

e) I

II

zI v

14

Re ; II

IIII

zII v

24

Re .

33. En la figura se muestra una placa plana de área muy grande, la cual se separa de un

plano inclinado por un aceite (fluido 1: Pa.s 45.01 , 3

1 kg/m 881 ), en tanto que sobre

ella se extiende otro aceite (fluido 2: Pa.s 09.02 , 3

2 kg/m 900 ). La placa se mueve



en la dirección indicada con una velocidad m/s 10 v tal que el flujo neto de ambos fluidos

en la dirección paralela al plano inclinado es nulo. Si el espesor de la película del fluido 1

es mm 81 , determine el espesor de la película del fluido 2, 2 . El ángulo de inclinación

del plano es º20 .

Respuesta: mm 24.8 .

34. Se tiene un plano inclinado con un ángulo Φ. Sobre el plano inclinado hay una capa de

espesor 1 de un fluido Bingham, como se muestra en la figura. Sobre este primer fluido

hay uno no newtoniano que sigue la ley de la potencia:

n

zxz

xd

vdm

a) Calcule el perfil de velocidades del fluido no newtoniano suponiendo que el fluido

Bingham no se mueve. Plantee el sistema de ecuaciones que le permita calcular las

constantes desconocidas.

b) Calcule el ángulo máximo Φ para que el fluido Bingham no fluya. Desprecie los

gradientes de presión en ambos fluidos.



RESUMEN DE FIGURAS Y TABLAS.

Tabla 2.1. Condiciones de borde para diversos sistemas.

Flujo libre de una película descendente en una superficie inclinada o vertical.

Para 0x , 0yx Para x , 0yv

Para 0x , 0yv Para x , 0yx

Flujo libre de una película descendente en una superficie inclinada o vertical, en la cual la

superficie está en movimiento.

Para 0x , 0yx Para x ,

0vv y

Para 0x , 0vv y Para x ,

0yx

Flujo libre de una película descendente en una superficie inclinada o vertical, en la cual la

superficie está en movimiento y la superficie libre permanece estacionaria.



Para 0x , 0yv Para x , 0vv y Para 0x , 0vv y Para x , 0yv

Dos placas paralelas (horizontales o verticales), una de las cuales está en movimiento y la

otra estacionaria.

Para 0x , 0yv

Para x , 0vv y

Dos placas paralelas moviéndose ambas en el mismo sentido.

Para 0x ,

0uv y

Para x ,

0vv y

Dos placas paralelas moviéndose ambas en sentidos opuestos.

Para 0x ,

0uv y

Para x ,

0vv y

Dos placas paralelas verticales moviéndose ambas en el mismo sentido y con la misma

rapidez.



Para 0x , 0yx Para 21x , 0vv y

Cuando no se conoce una condición de borde para yx , se debe establecer una ecuación

diferencial de segundo orden en la velocidad, y aplicar dos condiciones de borde a la

velocidad.



BIBLIOGRAFÍA.

BIRD, R. B, Fenómenos de Transporte. Editorial Reverté., Barcelona, 1996.

ÇENGEL, Y y CIMBALA, J. Mecánica de Fluidos. Fundamentos y Aplicaciones, Segunda

Edición., McGraw-Hill / Interamericana Editores S.A de C.V., México, 2012.

GILES, R, EVETT, J y LIU, C, Mecánica de los Fluidos e Hidráulica, Tercera Edición.,

Mc-Graw Hill / Interamericana de España, S.A.U., Madrid, 1994.

MOTT, R, Mecánica de Fluidos Aplicada, Cuarta Edición., Editorial Prentice Hall.,

México, 1996.

STREETER, V y WILYE, E, Mecánica de los Fluidos, Octava Edición., Editorial Mc-

Graw Hill., México, 1988.

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