02 polinomios de taylor

MÉTODOS NUMÉRICOS

CAPÍTULO 3: INTERPOLACIÓN Y

APROXIMACIÓN POLINÓMICA.

LOS POLINOMIOS DE TAYLOR.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 3. Interpolación y aproximación polinómica. Los polinomios de Taylor.

Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 11

3.2.- LOS POLINOMIOS DE TAYLOR.

En esta sección consideraremos el problema de encontrar un polinomio de grado

específico que esté “cerca” de una función dada, alrededor de un punto. Un polinomio P

coincidirá con una función f en el punto 0x precisamente cuando )()( 00 xfxP . El

polinomio tendrá también la misma “dirección” que la función f en ))(,( 00 xfx si

)()( 00 xfxP . De manera similar, el polinomio de enésimo grado que mejor aproxima a

la función f cerca de 0x tendrá tantas derivadas en 0x como sea posible que coincidan con

las de f. Esta es precisamente la condición que satisface el polinomio de Taylor de enésimo

grado para la función f en 0x :

!

)()(

!3

)()(

!2

)()()()()()( 00

)(3

00

2

00

000n

xxxfxxxfxxxfxxxfxfxP

nn

n

El cual tiene un residuo o término de error,

!)1(

)())(()()()(

1

0

)1(

n

xxxfxRxfxP

nn

nn

(3.3)

Para algún número )(x entre x y 0x .

La serie de McLaurin.

En el caso de que 00 x , el polinomio de Taylor se conoce frecuentemente como

polinomio de McLaurin y la serie de Taylor se denomina serie de McLaurin.

!

)0(

!3

)0(

!2

)0()0()0()(

)(32

n

xfxfxfxffxP

nn

n

Ejemplo 3.1.

Calcular el polinomio de Taylor de orden cero a tres alrededor de 00 x para xexf )( .

Solución.

Polinomio de Taylor.

!

)()(

!3

)()(

!2

)()()()()()( 00

)(3

00

2

00

000n


nn

n

En torno a 00 x :



!

)0(

!3

)0(

!2

)0()0()0()(

)(32

n

xfxfxfxffxP

nn

n

Orden cero: )0()(0 fxP

Orden 1: xffxP )0()0()(1

Orden 2: !2

)0()0()0()(

2

2

xfxffxP

Orden 3: !3

)0(

!2

)0()0()0()(

32

3

xfxfxffxP

Realizando la diferenciación necesaria tenemos

xexf )( , así que 1)0( f




Los polinomios de aproximación son:

Orden cero: 1)(0 xP

Orden 1: xxP 1)(1

Orden 2: 2

1)(2

2

xxxP

Orden 3: 62

1)(32

3

xxxxP

Estos resultados concuerdan con lo indicado en el ejemplo ilustrativo 3.1.

En general, la expansión de la serie de Taylor de n-ésimo orden será exacta para un

polinomio de n-ésimo orden. Para otras funciones continuas y diferenciables, como las

exponenciales y senoidales, no se obtiene una estimación exacta con un número finito de

términos. Cada uno de los términos adicionales contribuye, aunque sea con poco, al

mejoramiento de la aproximación. Esto se muestra en el ejemplo 1, donde se obtendría un

resultado exacto únicamente si se le agrega un número infinito de términos.



Aunque lo anterior es cierto, el valor práctico de las expansiones de la serie de

Taylor estriba, en la mayoría de los casos, en el uso de pocos términos que darán una

aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos.

La determinación de cuántos términos se requieren para obtener una “aproximación

razonable” se basa en el término residual de la expansión. Recuerde que el término residual

es de la forma general de la ecuación (3.3). Dicha fórmula tiene dos grandes

inconvenientes. Primero, no se conoce con exactitud, sino que sólo se sabe que está entre

0x y x. Segundo, para la evaluación de la ecuación (3.3) se requiere determinar la ( 1n )-

ésima derivada de )(xf . Para hacerlo, se necesita conocer )(xf . Pero si ya se conoce

)(xf , entonces no hay razón para realizar la expansión de la serie de Taylor.

Ejemplo 3.2.

a) Calcular el polinomio de Taylor de tercer grado alrededor de 10 x para x

xf1

)( .

b) Usar el polinomio de tercer grado de la parte (a) para aproximar 2.1

1 y encontrar una

cota para el error cometido.

c) Usar el polinomio de tercer grado de la parte (a) para aproximar 2.1

1

1xd

x, y encontrar

una cota para el error de esta aproximación.

Solución.

a) Polinomio de Taylor.

!

)()(

!3

)()(

!2

)()()()()()( 00

)(3

00

2

00

000n


nn

n

En tercer grado en torno a 10 x :

!3

)1()1(

!2

)1()1()1()1()1()(

32

3

xfxfxffxP

Realizando la diferenciación necesaria tenemos

1)( xxf , así que 1)1( f






El polinomios de aproximación es:

!3

)1(6

!2

)1(2)1()1(1)(

32

3

xxxxP

32

3 )1()1()1(1)( xxxxP

b) Utilizando el polinomio de aproximación 32

3 )1()1()1(1)( xxxxP ,

sustituimos 2.1x y obtenemos:

32

3 )12.1()12.1()12.1(1)2.1( P

832.0)2.1(3 P

Error de aproximación.

El valor verdadero de la función x

xf1

)( en 2.1x es

2.1

1)2.1( f

8333333.0)2.1( f

)()( xPxf

)2.1()2.1( Pf

832.08333333.0

0013333.0

La cota de error, de acuerdo con la ecuación (3.3) es:

!)1(

)())(()()()(

1

0

)1(

n

xxxfxRxfxP

nn

nn

Para lo cual es necesario determinar 5)4( 24)( xxf , así que 24)1()4( f y

!4

)1())(()()(

4)4(

xxfxfxPn



!4

)1(24)()(

4

xxfxPn

4)1()()( xxfxPn

4)12.1()2.1()2.1( fPn

4)12.1()2.1()2.1( fPn

0016.0)2.1()2.1( fPn

El error de aproximación (0.0013333) es menor que esta cota de error (0.0016).

c) 2.1

1

322.1

13 ])1()1()1(1[)( xdxxxxdxP

2.1

1

4

413

312

21 )1()1()1( xxxx

1])12.1()12.1()12.1(2.1[ 4

413

312

21

1)2.0()2.0()2.0(2.1 4

413

312

21

10004.00026666.002.02.1

1822666.0

Error de aproximación.

El valor verdadero de la integral xdx

2.1

1

1 es

2.1

1

2.1

1ln

1xxd

x

)1(ln)2.1(ln

1823216.0

xdxPxdxfb

a

b

a )()(

xdxPxdx

2.1

13

2.1

1)(

1

1822666.01823216.0

0000550.0



Ejercicios propuestos.

1. [BF] Encuentre el polinomio de Taylor de grado 2 para 3)( 2 xxf expandido

alrededor de a) 10 x , b) 00 x .

2. [CC] Emplee la expansión de la serie de Taylor de cero hasta tercer orden para predecir

)2(f si 887625)( 23 xxxxf utilizando como punto base 10 x . Calcule el error

relativo porcentual verdadero t para cada aproximación.

3. [CC] Use la expansión de la serie de Taylor de cero al cuarto orden para estimar )3(f si

xxf ln)( utilizando 10 x como punto base. Calcule el error relativo porcentual t para

cada aproximación. Analice los resultados.

4. [BF] Obtenga el polinomio de Taylor de tercer grado para 2)1()( xxf alrededor de

00 x y use este polinomio para aproximar )05.0(f . Encuentre una cota para el error en

esta aproximación y compare su resultado con el valor exacto de )05.0(f .

5. [BF] Use el polinomio del ejercicio 4 para aproximar

05.0

0

2)1( xdx . Encuentre una

cota para el error en esta aproximación y compare su resultado con el valor real de esta

integral.

6. Sea )1(ln)( xxf . Encuentre el polinomio de Taylor de cuarto grado para f ,

expandido alrededor de 00 x y úselo para aproximar )1.1(ln . Encuentre una cota para el

error de esta aproximación.

7. Sea

x

tdtxF0

1)1()( . Usando el polinomio de Taylor de tercer grado para

1)1()( xxf , expandido alrededor de 00 x , aproxime )1.0(F . Compare sus resultados

con los obtenidos en el ejercicio 6.

8. [CC] La expansión en serie de McLaurin para xcos es

!8!6!4!2

1cos8642 xxxx

x



Iniciando con el primer término 1cos x , agregue los términos uno a uno para estimar

)4/(cos . Después de que agregue cada uno de los términos, calcule los errores relativos

porcentuales exactos y aproximados. Use una calculadora para determinar el valor exacto.

Agregue términos hasta que el valor absoluto del error aproximado se encuentre dentro de

cierto criterio de error, considerando dos cifras significativas.

9. [CC] Repita los cálculos del problema 8, pero ahora usando la expansión de la serie de

McLaurin para xsen

!9!7!5!3

sen 9753 xxxx

xx

Para evaluar el )4/(sen .

10. a) Encontrar el menor entero n necesario para aproximar x

xf1

)( en 25.1x con una

precisión de 810 , usando el polinomio de Taylor de grado n alrededor de 10 x .

b) Encontrar el menor entero n necesario para aproximar 1)1()( xxf en 1.0x con

una precisión de 810 , usando el polinomio de Taylor de grado n alrededor de 00 x .

Sugerencia: La serie de Taylor se obtuvo en el problema 7.

11. a) Use el término de error de un polinomio de Taylor para estimar el error involucrado

en usar xx sen para aproximar º1sen .

a) Use el término de error de un polinomio de Taylor para estimar el error involucrado en

usar xx )1(ln para aproximar )1.1(ln .



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

1. 2

2 )1()1(22)( xxxP , 2

2 3)( xxP

2.

Polinomio de Taylor Aproximación Error (%)

62)(0 xP 62)2(0 P 160.78%

)1(7062)(1 xxP 8)2(1 P 92.16% 2

2 )1(69)1(7062)( xxxP 77)2(2 P 24.51% 32

3 )1(25)1(69)1(7062)( xxxxP 102)2(3 P 0%

3.

Polinomio de Taylor Aproximación Error (%)

0)(0 xP 0)3(0 P 100.00%

1)(1 xxP 2)3(1 P 109.86% 2

21

2 )1(1)( xxxP 0)3(2 P 100.00% 3

312

21

3 )1()1(1)( xxxxP 6666667.2)3(3 P 142.73% 4

413

312

21

4 )1()1()1(1)( xxxxxP

3333333.1)3(4 P 221.37%

4. Polinomio de Taylor: 32

3 4321)( xxxxP , 9070000.0)05.0(3 P . Valor exacto:

9070204785.0)05.0( f

Cota de error. 0000294785.0)()(3 xfxP .

5. Valor aproximado: 0000.04761875)4321(05.0

0

32 xdxxx . Valor exacto:

7620.04761904)1(05.0

0

2 xdx . Cota del error:

0000003125.0)1()4321(05.0

0

205.0

0

32 xdxxdxxx


413

312

21

4 )( xxxxxP . Valor aproximado:

3330.09530833)1.0()1.0()1.1(ln 4 Pf . Cota de error. 000002.0)()(4 xfxP .


3 1)( xxxxP , 30953083333.0)1.0( F .

8. %5.0s . 1)4/(0 P , 6916.0)4/(2 P , 7074.0)4/(4 P .

9. %5.0s . 7854.0)4/(1 P , 7047.0)4/(3 P .



10. a) 13min n ; b) 8min n .

11. a) 710860961557.8 s ; b) 3105 s

02 polinomios de taylor

Education

Transcript of 02 polinomios de taylor