A

B

cosABBA

El resultado de multiplicar dos

vectores en producto punto es un

escalar.

El resultado del producto punto puede ser positivo, negativo o cero.

El producto punto es conmutativo.

es el menor ángulo entre A y B.

A

B

Si < 90º A·B > 0

A

B

Si > 90º A·B < 0

Si = 90º A·B = 0

A

B

1º0cos)1)(1(ˆˆ

1º0cos)1)(1(ˆˆ

1º0cos)1)(1(ˆˆ

kk

jj

ii

0º90cos)1)(1(ˆˆ

0º90cos)1)(1(ˆˆ

0º90cos)1)(1(ˆˆ

ik

kj

ji

kBjBiBB

kAjAiAA

zyx

zyx

ˆˆˆ

ˆˆˆ

¿Cuál es el resultado de A·B?

kBjBiBkAjAiABA zyxzyxˆˆˆˆˆˆ

1ˆˆˆˆˆˆ kkjjii

0ˆˆˆˆˆˆ ikkjji

zzyyxx BABABABA

Sean los vectores A = 2i – 3j + k y B = 3i + j + tk, determine el valor

de t para que A y B sean perpendiculares.

0

BA

0))(1()1)(3()3)(2( t

3t

Sean los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j – k, determine la medida

del ángulo entre F y L.

cosFLLF

FL

LF

cos

222222 113132

)1)(1()1)(3()3)(2(cos

º9.49

Sean los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j – k, determine la

proyección del vector F sobre L.

cosFLLF

cos L

F LF F

L

2 2 2

(2)(3) (3)(1) (1)( 1)

3 1 1LF

2.41LF L

F

cosLF F

A

B

CBA

El resultado de multiplicar dos

vectores en producto cruz es otro

vector.

es el menor ángulo entre A y B.

ABsenBAC

C se encuentra en una dirección

perpendicular simultáneamente a A y B.

Su dirección está dada por

la regla de la mano

derecha.

A

B

C

C

CAB

El producto cruz no es conmutativo.

0º0)1)(1(ˆˆ

0º0)1)(1(ˆˆ

0º0)1)(1(ˆˆ

senkk

senjj

senii

jik

ikj

kji

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

kBjBiBB

kAjAiAA

zyx

zyx

ˆˆˆ

ˆˆˆ

¿Cuál es el resultado de AB?

jki

ijk

kij

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ˆˆˆ

i

j

k

+

+

+

kBjBiBkAjAiABA zyxzyxˆˆˆˆˆˆ

kBABAjBABAiBABABA xyyxxzzxyzzyˆˆˆ

Este resultado es más fácil recordarlo en forma de determinante:

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

BA

ˆˆˆ

zyx

zyx

BBB

AAA

kji

BA

ˆˆˆ

kBB

AAj

BB

AAi

BB

AABA

yx

yx

zx

zx

zy

zy ˆˆˆ

Interpretación geométrica del producto cruz

A

B

Bsen

área del paralelogramo = base altura

área del paralelogramo = ABsen

área del paralelogramo =

BA

Dados los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j – k, determine un

vector perpendicular a F y L.

113

132

ˆˆˆ

kji

LFM

kjiM ˆ)]3)(3()1)(2[(ˆ)]3)(1()1)(2[(ˆ)]1)(1()1)(3[(

kjiM ˆ7ˆ5ˆ4

Dados los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j – k, determine el área

del paralelogramo cuyos lados son iguales a las magnitudes de F y L.

kjiM ˆ7ˆ5ˆ4

222 754

Márea

103área

y

z

x

A

B

C

4

3

5

Con referencia al paralelepípedo de la figura, el valor de la fuerza

resultante, esto es F1+ F2 es:

a) 73i + 62,9j - 100.5k (N)

b) 123i + 63.5j - 15.5k (N)

c) 123i + 63.5j - 100.5k (N)

d) 73i + 63.5j - 15.5k (N)

e) 73i - 63.5j - 100.5k (N)

F2 = 2F1 = 100 N