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TEMAS SELECTOS DE FISICA I:VECTORES EN R3

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Miercoles, 29 de septiembre de 2010

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TEMAS SELECTOS DE FISICA I: VECTORES EN R3

VECTORES EN R3

Objetivo:

Las presentes notas surgen de la motivacion de proporcionar alestudiante el material indispensable de vectores en tres

dimensiones. Se busca por este medio cubrir la mayor cantidad deconceptos en un menor tiempo. La presentacion se esmero por ser

autocontenida y precisa.Ciertamente, un porcentaje pequeno de las ecuaciones y

representaciones no fueron demostradas en todo su esplendor yesto fue en gran medida para no hacer el camino de la lectura

interminable. El tiempo estimado en el que el alumno debeapropiarse del material es de 2 horas. La memorizacion es un fin

secundario pero sin dejar de ser parte util para el alumno que buscadefender su aprendizaje en un examen.



VECTORES EN R3 :Contenido:

Contenido:

I.- Ley del paralelogramo en R2,

II.- Notacion vectorial cartesiana en R2,

III.- Vectores cartesianos,

1 Sistema coordenado derecho,2 Componentes rectangulares de un vector,3 Vector unitario,4 Vectores unitarios cartesianos,5 Representacion de un vector cartesiano,6 Magnitud de un vector cartesiano,7 Direccion de un vector cartesiano.

IV.- Suma y resta de vectores cartesianos,



I.- Ley del paralelogramo R2





Consideremos las fuerzas que ejercen los tractores que tiran de lacamioneta atascada en el lodo.

Cuando dos vectores forman un angulo se puede recurrir a unatecnica geometrica para encontrar la magnitud y direccion de la

fuerza resultante.Mat. Carlos Lupian Para iniciar la presentacion presiona Ctrl+L



Se dibujan los vectores que han de sumarse de manera que suspartes posteriores coincidan. Despues, se traza una proyeccion de

cada vector (lıneas azules) desde la punta del otro vector. La figurade cuatro lados que resulta es un paralelogramo. La resultante de

las fuerzas es la diagonal del paralelogramo (lınea roja), que va delpunto en que coinciden los extremos posteriores de los vectores al

punto en que coinciden los extremos de las lıneas punteadas.




Podemos ver que la camioneta no se movera en la direccion deninguna de las fuerzas que ejercen los tractores, sino mas bien en

la direccion de su resultante.Es importante que cuando los angulos de un paralelogramo son de

90o , este se convierte en un rectangulo; si los cuatro lados delrectangulo son de la misma longitud, entonces se tiene un

cuadrado cuya resultante esta a 45o .



II.- Notacion vectorial cartesiana en R2

II.- Notacion vectorialcartesiana en R2




Introduccion:

Cuando tiene que obtenerse la resultante de mas de dos fuerzas, esmas facil encontrar las componentes de cada fuerza a lo largo de

los ejes especificados, sumar esas componentes algebraicamente, yluego formar la resultante, en vez de formar la resultante defuerzas por aplicacion sucesiva de la ley del paralelogramo.

Es importante recalcar que usted ya ha se apropiado del procesopara adquirir las componentes Fx y Fy de un vector fuerza ~F dado;

es decir ya esta familiarizado con el proceso analıtico portrigonometrıa de descomposicion de fuerzas tambien llamado

por algunos autores sencillamente como notacion escalar.




EJEMPLO 1:

PROBLEMA 1: Determine las componentes x y y de ~F1 y ~F2 queactuan sobre la barra mostrada utilizando notacion escalar.




EJEMPLO 1:

SOLUCION: (notacion escalar)

~F1 :

F1x = -100 NF1y = 173 N

~F2 :

F2x = 240 NF2y = - 100 N

Nota: Las cuentas se hicieron por separado.




Tema central de esta seccion:

Tambien es posible representar las componentes de una fuerza enterminos de vectores unitarios cartesianos. Cuando hacemos esto,

los metodos del algebra vectorial son mas faciles de aplicar, yveremos que esto resulta particularmente conveniente en la

resolucion de problemas tridimensionales.En dos dimensiones, los los vectores unitarios cartesianos i y j se

usan para designar las direcciones de los ejes x y y ,respectivamente. Esos vectores tienen una magnitud adimensional

de la unidad y sus sentidos (o cabeza de flecha) seran descritosanalıticamente por un signo mas o uno menos, dependiendo de si

senalan a lo largo de los ejes x y y positivos o negativos.

o





Por tanto, una vez establecida una notacion para representar lamagnitud y la direccion de cada componente vectorial, podemos

expresar ~F como el vector cartesiano:

~F = Fx i + Fy jo bien

~F = {Fx i + Fy j} unidades del vector

A continuacion ejemplificaremos...





PROBLEMA 2: Determine las componentes x y y de ~F1 y ~F2 queactuan sobre la barra mostrada en el PROBLEMA 1 utilizando

ahora notacion vectorial.

SOLUCION: Utilizando los resultados del problema anterior

~F1 = {-100i + 173j} N

~F2 = {240i - 100j} N



III.- Vectores cartesianos en R3

III.- Vectores cartesianos R3



III.- Vectores cartesianos en R3

Introduccion:

Las operaciones del algebra vectorial, al aplicarse a la resolucion deproblemas en tres dimensiones, se simplifican considerablemente

cuando los vectores se representan primero en forma vectorialcartesiana. A continuacion se presentara un metodo general para

hacer esto; luego, aplicaremos este metodo a la resolucion deproblemas que impliquen la suma de fuerzas.



III.- Vectores cartesianos en R3.1) Sistema coordenado derecho:

Se dice que un sistema rectangular, o sistema coordenadocartesiano, es derecho si el pulgar de la mano derecha senala en ladireccion del eje z positivo cuando los dedos de la mano derecha seenrollan alrededor de este y estan dirigidos del eje x positivo hacia

el eje y positivo.



III.- Vectores cartesianos en R3.1) Sistema coordenado derecho:



III.- Vectores cartesianos en R3.2) Componentes rectangulares de un vector:

Un vector ~A puede tener una, dos o tres componentesrectangulares a lo largo de los ejes coordenados x , y , z ,

dependiendo de como este orientado con respecto a los ejes.




En general, cuando ~A esta dirigido dentro de un octante del marcox , y , z , entonces, mediante dos aplicaciones sucesivas de la ley delparalelogramo, podemos resolver el vector en componentes como

~A = ~A′ + ~Az y luego ~A′ = ~Ax + ~Ay .

Vease la siguiente figura...




Combinando estas ecuaciones, ~A es representado por la sumavectorial de sus tres componentes rectangulares:

~A = ~Ax + ~Ay + ~Az



III.- Vectores cartesianos en R3.3) Vector unitario:

La direccion de ~A puede ser especificada usando un vector unitario.Este vector se llama ası porque tiene una magnitud de 1. Si ~A esun vector con una magnitud |A| 6= 0, entonces el vector unitario

que tenga la misma direccion que ~A se representa mediante

~uA =~A|A|

Como ~A es de un cierto tipo, por ejemplo, un vector fuerza, seacostumbra usar el conjunto apropiado de unidades para su

descripcion. La magnitud |A| tambien tiene este mismo conjuntode unidades; por tanto, el vector unitario no tendra dimensiones ya

que las unidades se cancelaran.



III.- Vectores cartesianos en R3.3) Vector unitario:

Por otro lado observemos que

~A = |A|~uA

indica, por tanto, que el vector ~A puede ser expresado en terminosde su magnitud y su direccion separadamente; esto es,

|A| (un escalar positivo) define la magnitud de ~A

~uA (un vector sin dimensiones) define direccion y elsentido de ~A.



III.- Vectores cartesianos en R3.4) Vectores unitarios cartesianos:

En tres dimensiones, el conjunto de vectores unitarios cartesianos,i, j, k, se usa para designar las direcciones de los ejes x , y , z ,

respectivamente.



III.- Vectores cartesianos en R3.5) Representacion de un vector cartesiano:

Podemos escribir ~A en forma vectorial cartesiana como

~A = Ax i + Ay j + Azk

Existe una clara ventaja en escribir los vectores de esta manera.Advierta que la magnitud y la direccion de cada componente

vectorial estan separadas, y como resultado esto simplificara lasoperaciones del algebra vectorial, particularmente en tres

dimensiones.



III.- Vectores cartesianos en R3.6) Magnitud de un vector cartesiano:

Siempre es posible obtener la magnitud de ~A si esta expresado enforma vectorial cartesiana.

|A| =√

(Ax )2 + (Ay )2 + (Az )2

Por consiguiente, la magnitud de ~A es igual a la raız cuadradapositiva de la suma de los cuadrados de sus componentes.



III.- Vectores cartesianos en R3.7) Direccion de un vector cartesiano:

La orientacion de ~A es definida por los angulos coordenados dedireccion α, β y γ, medidos entre la cola de ~A y los ejes x , y , z

positivos localizados en la cola de ~A.

Advierta que independientemente de hacia donde este dirigido ~A,cada uno de esos angulos estara entre 0o y 180o .

A continuacion un esquema representativo...




Para determinar α, β y γ, considere la proyeccion de ~A sobre losejes x , y , z




Con referencia a los triangulos rectos coloreados en azul,mostrados en cada figura de la diapositiva anterior, tenemos

cosα =Ax

|A|cosβ =

Ay

|A|cosγ =

Ax

|A|

Estos numeros se conocen como cosenos directores de ~A.Una vez obtenidos, los angulos directores coordenados α, β y γ,pueden ser determinados entres mediante los cosenos inversos.




Una manera facil de obtener los cosenos directores de ~A es formarun vector unitario en la direccion de ~A como sigue:

~uA =~A

|A|=

Ax

|A|i +

Ay

|A|j +

Az

|A|k

Por comparacion, se aprecia que las componentes i, j, k de ~uA

representan los cosenos directores de ~A, esto es,

~uA = cosα i + cosβ j + cos γ k




Una importante relacion entre los cosenos directores es:

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1

Si el vector ~A se encuentra en un octante conocido, esta ecuacionpuede usarse para determinar uno de los angulos coordenados de

direccion si los otros dos son conocidos.




Finalmente, si la magnitud y los angulos coordenados de direccionde ~A son dados, entonces ~A puede ser expresado en la forma

vectorial cartesiana como:

~A = |A|~uA~A = |A|cosα i + |A|cosβ j + |A|cos γ k~A = Ax i + Ay j + Azk



IV.- Suma y resta de vectores cartesianos

IV.- Suma y resta de vectorescartesianos



IV.- Suma y resta de vectores cartesianosOperaciones

Las operaciones vectoriales de suma y resta de dos o mas vectoresse simplifican considerablemente si los vectores son expresados en

terminos de sus componentes cartesianas. Sean

~A = Ax i + Ay j + Azk

~B = Bx i + By j + Bzk

entonces el vector resultante es

~R = ~A + ~B = (Ax + Bx )i + (Ay + By )j + (Az + Bz )k

del mismo modo, la resta de dos vectores es la resta respectiva desus componentes

~R ′ = ~A− ~B = (Ax − Bx )i + (Ay − By )j + (Az − Bz )k



IV.- Suma y resta de vectores cartesianosSistema de fuerzas concurrentes

Para encontrar la fuerza resultante de un sistema concurrente defuerzas, exprese cada fuerza como un vector cartesiano y sume las

componentes i, j, k de todas las fuerzas del sistema.



IV.- Suma y resta de vectores cartesianosEjemplo:

Exprese la fuerza ~F mostrada en la figura 2-29 como un vectorcartesiano.



Comentario final:

El lunes resolveremosproblemas adicionales. Saludos.



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