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0.3. La ley de Gauss

1. En la figura 1 aparecen varias superficies con geometría bien definida. Trace vectores perpen-diculares a dichas superficies.

Figura 1

2. La superficie cuadrada que se muestra en la figura 2, mide 3.2 mm por lado. Se encuentrainmersa en un campo eléctrico uniforme E = 1800 N/C. El campo eléctrico forma un ángulo de65° con la normal que apunta como se muestra en la figura. Calcule el flujo a través de estasuperficie. Repita el ejercicio cuando el ángulo sea de 20°, 30°, 40° y 90°.

Figura 2

3. Un cubo con aristas de longitud a =1.4 m, está orientado como se muestra en la figura 3, dentrode un campo eléctrico dado por (a) 6 î N/C, (b) −2 j N/C y (c) (−3 î + 4 k) N/C. (d) Calcule el flujototal a través de cada una de las caras del cubo en cada caso.

Para resolver este ejercicio hay que tomar en cuenta lo siguiente: el cubo tiene seis caras planas,cada una dirigida en una dirección específica y única, por lo que el producto escalar E ·dA estábien definido en cada punto de cada cara del cubo.

x

y

z

a

Figura 3

4. El flujo neto a través de cada una de las caras de un dado tiene una magnitud, en unidades de103 N/C, igual al número N de marcas en la cara plana (de 1 a 6). El flujo apunta hacia adentrodel cubo en las caras en las que N es impar y apunta hacia afuera en las caras en las que N es

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par. (a) ¿Cuál es la carga neta encerrada dentro del dado? (b) ¿Cuál es la carga neta cuando seinvierte el sentido del flujo en cada cara?

5. Experimentalmente se ha encontrado que en cierta región de la atmósfera terrestre, el campoeléctrico está dirigido verticalmente hacia abajo. A una altitud de 300 m el campo es de 58 N/Cy a una altitud de 200 m es de 110 N/C. Encuentre la carga neta contenida en un cubo conarista de 100 m localizado a una altitud entre 200 y 300 m. Omita el efecto de la curvatura dela Tierra.

6. Una placa de metal de 8.0 cm cada lado, porta una carga total de 6.0 µC. (a) Usando la aproxi-mación de la placa infinita, calcule el campo eléctrico a 0.50 mm encima de la superficie de laplaca y cerca de su centro. (b) Estime el campo a una distancia de 30 m.

7. Una línea infinita de carga produce un campo eléctrico de 4.52×104 N/C a una distancia de1.96 m. Calcule la densidad lineal de carga.

8. Una pequeña esfera de masa m=1.12 mg, porta una carga q=19.7 nC. Dentro del campo gra-vitacional de la Tierra, cuelga de un hilo de seda que forma un ángulo θ=27° con una hojagrande, no conductora y uniformemente cargada, como en la figura 4. Calcule la densidad decarga uniforme, σ sobre la hoja.

m, q

q

s

Figura 4

9. Dos cilindros largos y coaxiales tienen radios de 3.22 y 6.18 cm. La densidad de carga superficialen el cilindro interno es de 24.7 µC/m2 y la del externo es −18.0 µC/m2. Encuentre el campoeléctrico en (a) r =4.10 cm y (b) r=8.20 cm.

10. Una superficie plana y grande, no conductora, porta una densidad de carga superficial uniformeσ. En el centro de la superficie se ha hecho una perforación circular de radio R, como se muestraen la figura 5. Ignore los efectos de borde y calcule el campo eléctrico en el putno P, a unadistancia z del centro del agujero y a lo largo de su eje.

R

P

z

Figura 5

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0.4.1. Ejercicios adicionales

1. Se tienen dos cargas puntuales q1 = 1.0 µC y q2 = 2.0 µC, localizadas en (5.0, 0.0) cm y en (7.0,0.0) cm, respectivamente. (a) Calcule la energía potencial eléctrica del sistema. (b) Calcule laenergía potencial eléctrica cuando q2 tenga los valores siguientes: (2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6,2.7, 2.8, 2.9, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0, 9.0) µC.

2. Se tienen dos cargas puntuales q1 = 1.0 µC y q2 = 2.0 µC, localizadas en (5, 0) cm y en (7, 0)cm, respectivamente. (a) Trace ∆U(x) (la diferencia de energía potencial) como función de x,cuando cambia la posición, x, de la carga q2, donde x =(0.9, 1.2, 1.5, 1.8, ..., 8.1, 8.4, 8.7, 9.0)cm. (b) Cambie el signo de q2 y proceda como en el inciso anterior.

3. Calcule la energía potencial eléctrica de los sistemas siguientes: (a) q1 =1.0 µC, q2 = −2.0 µCy q3 = 3.0 µC, localizadas en (1.0, 0.0) cm, (2.0, 0.0) cm y (3.0, 0.0) cm, respectivamente. (b)q1 =1.0 µC, q2 =−2.0 µC, q3 =3.0 µC y q4 =−4.0 µC, localizadas en (1.0, 0.0) cm, (2.0, 0.0) cm,(3.0, 0.0) cm y (4.0, 0.0) cm, respectivamente. (c) q1 =1.0 µC, q2−=2.0 µC, q3 =3.0 µC, q4 =−4.0µC y q5 =5.0 µC, localizadas en (1.0, 0.0) cm, (2.0, 0.0) cm, (3.0, 0.0) cm, (4.0, 0.0) cm y (5.0,0.0) cm, respectivamente. (d) q1 =1.0 µC, q2 =−2.0 µC, q3 =3.0 µC, q4 =−4.0 µC, q5 =5.0 µC yq6 =−6.0 µC, localizadas en (1.0, 0.0) cm, (2.0, 0.0) cm, (3.0, 0.0) cm, (4.0, 0.0) cm, (5.0, 0.0) cmy (6.0, 0.0) cm, respectivamente.

4. Calcule la energía potencial eléctrica de un sistema de tres cargas puntuales: q1 =1.0 µC,q2 =−2.0 µC y q3 =3.0 µC, localizadas en (1.0, 0.0) cm, (2.0, 1.0) cm y (3.0, 0.0) cm inicialmente.Calcule la energía potencial eléctrica del sistema si la posición de q2 cambia a (2.0, 2.0) cm, (2.0,3.0) cm, (2.0, 4.0) cm, (2.0, 5.0) cm, (2.0, 6.0 cm), (2.0, 7.0) cm y (2.0, 8.0) cm.

5. Use la expresión para el potencial eléctrico alrededor de una carga puntual es

V (x, y)= 14πε0

q√x2 + y2

Si q = 19 nC y se localiza en (0, 0) m, trace la gráfica de V (r) vs. r considerando los puntos

siguientes: y=0 m en todos los casos y x=(−2.9, −2.7, −2.5, −2.3, ... , 2.3, 2.5, 2.7, 2.9) m.

6. Se tiene una carga puntual q = 19 nC localizada en (1, 2) m. Calcule el potencial eléctrico en los

puntos x = r cos(θ) y y= rsinθ considerando θ = (0, π10 , 2π

10 , 3π10 , ...19π

10 ) y (a) r =1.0 m, (b) r = 2.0 my (c) r =3.0 m.

7. Se tienen dos cargas puntuales q1 = 19 nC y q2 = −1

9 nC, localizadas en (0, 0.125) m y (0, −0.125)m, respectivamente. Si x = (0.05, 0.10, 0.15, 0.20) m y y = (−0.20, −0.15, −0.10, −0.05, 0, 0.05,0.10, 0.15, 0.20) m, calcule el potencial eléctrico considerando todas las combinaciones posiblesde parejas (x, y).

8. Calcule la rapidez de escape de un electrón desde la superficie de una esfera de radio 1.22 m ycarga total de 1.76×10−15 C. Omita los efectos de la fuerza gravitacional.

9. Suponga que el potencial eléctrico varía en el eje x como se indica en la gráfica de la figura 8. Delos intervalos mostrados en ella (no tenga en cuenta el comportamiento en los puntos finales delos intervalos), determine aquellos en que Ex tiene a) su máximo valor absoluto y b) su mínimovalor, c) Grafique Ex en función de x.

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a

b c

d

e f

gx, metros

V, volts

0 55

12

6

-6

-12

Figura 8

10. El potencial eléctrico V en el espacio entre las placas de un tubo particular al vacío (actual-mente obsoleto) está dado por V = 1530x2, donde V está dao en volots y x, la distancia entreuna de las placas, en metros. Calcule la magnitud y dirección del campo en x = 1.28 cm.

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