Taller de Simulacin

Unidad III: Modelos Markovianos

Teora de Colas

M. Sc. Felipe Ulloa Fierro felipe.ullloaf@docente.uss.cl

UNIDAD III

Fechas y consideraciones importantes:

Taller Unidad III: 22/06

PRUEBA SOLEMNE N3: 26/06

Contenidos

Definicin de cadena de MARKOV.

Diagrama estado.

Estado estable.

Teora de Cola.

Sistemas de servidores.

Teora de Colas

Introduccin

La teora de colas es una coleccin de modelos matemticos que describen sistemas de lneas de espera particulares o de sistemas de colas.

Bsicamente los objetivos de la teora de colas permiten identificar el nivel ptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste global del mismo, sin dejar de lado la atencin al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola.

Antecedentes

Esta teora aparece a principios del siglo XX para estudiar los problemas de congestin de trfico que se presentaban en las comunicaciones telefnicas. Erlang, destacado matemtico dans, fue el primero en tratar el trfico telefnico de forma cientfica (entre los aos 1903 y 1905), y estableci la unidad de trfico telefnico, que recibe su nombre.

Introduccin

Comnmente el problema en las colas surge al querer establecer una determinada capacidad o tasa de servicio que sea balanceada, puesto que un mal clculo de las colas puede llevar a un costo operacional excesivo, y en contraposicin puede causar costos sociales los que se ven reflejados en una prdida de clientes, como tambin al mantener empleados ociosos.

MODELO DE LINEAS DE ESPERA

Cuando se habla de lneas de espera se refiere a las creadas por clientes o por las estaciones de servicio.

Un factor por lo que los clientes tengan que esperar en cola puede ser porque los medios existentes son los inadecuados para satisfacer la demanda de servicio, lo que puede provocar que, ha medida que pase el tiempo la cola ir en aumento.

Los modelos de lnea de espera consisten en frmulas y relaciones matemticas que pueden usarse para determinar las caractersticas operativas o medidas de desempeo para una cola.

Si se tiene, dicha informacin, se puede ser capaz de tomar decisiones que equilibren los niveles de servicio deseables con el costo de proporcionar dicho servicio.

Elementos bsicos del modelo de Lneas de espera

1. Fuente de entrada o poblacin potencial:

Conjunto de individuos (entidades) posibles usuarios del servicio. Esta puede ser finita o infinita, aunque esta ltima no es realista, nos ayuda a resolver de forma ms sencilla muchas situaciones en las que la poblacin es finita pero de gran tamao. Ejemplos seran: personas, automviles, mquinas que puedan requerir reparacin, documentos y diversos artculos.

Elementos bsicos del modelo de Lneas de espera

2. Cliente:

Todo individuo, entidad o elemento de la poblacin potencial que solicita el servicio, en ocasiones formar una cola.

3. Capacidad de la cola:

Mximo nmero de clientes que pueden estar haciendo cola antes de recibir el servicio. Puede ser finito o infinito.

Elementos bsicos del modelo de Lneas de espera

4. Disciplina de la cola: Orden en el que se seleccionan los miembros de una cola para recibir el servicio. Las disciplinas ms habituales son: -FIFO (First In First Out): Se atiende al cliente que primero haya llegado. -LIFO (Last In First Out): Se atiende primero al cliente que ha llegado ltimo. -SIRO (random selection of service): Selecciona a los clientes de forma aleatoria.

Elementos bsicos del modelo de Lneas de espera

5. Instalacin o mecanismo de servicio: Procedimiento por el cual se entrega el servicio al cliente. Consiste en una o ms instalaciones de servicio, donde cada una de ellas consta con uno o ms servidores. Conocido el nmero de servidores es necesario conocer el tiempo que transcurre desde el inicio del servicio hasta su terminacin en una instalacin, segn el cliente, el cual es llamado tiempo o duracin de servicio. Un modelo de un sistema de colas debe especificar la distribucin de la probabilidad de los tiempos de servicio para cada servidor.

Elementos bsicos del modelo de Lneas de espera

6. Cola Nmero de clientes que esperan ser atendidos por el servicio que han solicitado, no incluye a quien est recibiendo el servicio. 7. Sistema de la cola Conjunto formado por la cola y el mecanismo de servicio, la fuente son los clientes que tienen la alternativa de iniciar el servicio o esperar en la cola su turno.

Elementos bsicos del modelo de Lneas de espera

Los elementos bsicos de un modelo de espera dependen de los siguientes factores:

Distribucin de llegada.

Distribucin de tiempo de servicio.

Diseo de instalaciones de servicios.

Disciplina de servicio.

Tamao de cola.

Consideraciones

Otro factor que podra considerarse en las lneas de espera es la conducta humana, ya que un cliente puede cambiarse de una lnea de espera a otra pensando en reducir su tiempo de espera. Algunas personas tambin pueden eludir la lnea cuando se percatan que la demora ser de mucho tiempo, o bien, pueden renunciar despus de estar un momento en la fila ya que su espera haya sido demasiado larga.

Costos

Como complemento definiremos los costos posibles:

Costos de espera: Es lo que significa al cliente tener que esperar en la cola, es decir el costo oportunidad del tiempo que ha de demorarse en ser atendido.

Costo de servicio: Es el costo de operacin del servicio entregado. Uno de los objetivos de un sistema de colas es encontrar el sistema del costo total mnimo.

En general

Desde el punto de vista de un modelo de espera, una situacin de lneas de espera se genera de la siguiente manera: Cuando un cliente llega a una instalacin se forma una lnea de espera, el servidor atiende al cliente correspondiente de la cola para comenzar y prestar el servicio, al terminar el servicio con el cliente, se repite el servicio con el siguiente en espera. Se supone que no se pierde tiempo entre el momento que un cliente ya atendido sale de la instalacin y la admisin de un nuevo cliente en espera.

En general

Desde el punto de vista del anlisis de colas, la llegada de clientes se representa por medio del "tiempo entre llegadas" y el servicio se describe por el "tiempo de servicio" por cliente. En general los tiempos entre llegada y servicios pueden ser probabilsticos.

Estructura bsica

Permitiendo que varen el nmero de colas y el nmero de servidores, pueden hacerse los diagramas de, los cuatro, tpicos tipos de sistemas como se observa en las siguientes figuras:

Tipos de Sistemas

a) Una lnea un servidor:

Se utiliza para describir sistemas de una sola cola, como lavados de auto o sistemas de descarga.

Tipos de Sistemas

b) Una lnea, mltiples servidores:

Es utilizado tpicamente en sistemas en los que se avanza mediante varios servidores, como en una carnicera o farmacia, en la que cuando se llega al local se debe sacar un nmero y se espera el turno correspondiente.

Tipos de Sistemas

c. Varias lneas, mltiples servidores: Es aquel en donde cada servicio tiene su propia cola, esto queda claro en el caso de los bancos ya que estos tienen colas para clientes, empresas y pblico general.

Tipos de Sistemas

d. Una lnea, servidores secuenciales.

Es un sistema de cola de servicios, esto generalmente ocurre en una fbrica.

FUNCIONES DE LA DISTRIBUCION DE POISSON Y EXPONENCIAL

En la mayor parte de las situaciones de colas, el arribo de los clientes ocurre en forma totalmente aleatoria: este carcter aleatorio significa que la ocurrencia de un evento (por ejemplo la llegada de un cliente o el trmino de un servicio) no est influido por el tiempo que trascurre desde la ocurrencia del ltimo evento. Es habitual tambin admitir que el ritmo de atencin de cliente cuando el servidor est ocupado tiene una distribucin de Poisson y la duracin de la atencin al cliente una distribucin exponencial.

FUNCIONES DE LA DISTRIBUCION DE POISSON Y EXPONENCIAL

Adoptar la distribucin de Poisson implica que la probabilidad de que lleguen n clientes en un intervalo de tiempo t es:

De este modo, la probabilidad de que no llegue ningn cliente:

Siendo por tanto una distribucin exponencial.

FUNCIONES DE LA DISTRIBUCION DE POISSON Y EXPONENCIAL

El proceso de poisson es un proceso completamente aleatorio porque tiene la propiedad de que el intervalo de tiempo que permanece hasta la ocurrencia del prximo evento, es totalmente independiente del intervalo tiempo que ha trascurrido desde la ocurrencia del ltimo evento. Esta propiedad equivale a demostrar el siguiente enunciado de probabilidad:

Donde s es el intervalo de tiempo desde la ocurrencia del ltimo evento.

> + > } = > + > }

{ > }

={ > + }

{ > }

=(+)

()

= ()

= { > }

Esta propiedad suele denominarse olvido o falta de memoria de la distribucin exponencial, y es la base para demostrar que la distribucin de poisson es totalmente aleatoria. Otra caracterstica que distingue a la de poisson es que es la nica distribucin cuya media es igual a la varianza. En ocasiones se usa esta propiedad como un indicador inicial para conocer si los datos de muestra se tomaron de una distribucin de poisson.

Existe una notacin estndar para modelar un sistema de colas (propuesta por Kendall en 1953 y mejorada por Lee en 1966).

(a/b/c):(d/e/f)

Donde:

a: descripcin de la distribucin de llagadas.

b: descripcin de la distribucin del tiempo de servicio (o de salidas).

c: numero de servidores en paralelo.

d: disciplina general de servicio o de la cola.

e: nmero mximo (finito o infinito) admitido en el sistema (en la cola y adems en el servicio).

f: tamao de la fuente de llegada (finito o infinito).

La notacin estndar para representar las distribuciones de llagada y salida (smbolos a y b) son:

M: distribucin de llegadas o salidas Markovianas (o de poisson) o como de forma equivalente, distribucin de llegadas o de tiempo de servicio exponencial. D: distribucin degenerada (tiempos constantes) Ek: distribucin Erlang o Gamma del tiempo (suma de distribuciones exponenciales independientes) GI: distribucin general (permite cualquier distribucin arbitraria) del tiempo de llegadas. G: distribucin general (permite cualquier distribucin arbitraria) del tiempo de servicio.

La notacin de la disciplina de colas (smbolo d) incluye:

FIFO: Primero en llegar, primero en ser atendido.

LIFO: ltimo en llegar, primero en ser atendido.

SIRO: Atenciones aleatorias.

GD: disciplina general, es decir, cualquier tipo de disciplina.

Por ejemplo:

(M/D/10): (FIFO/20/ infinito)

Medidas de desempeo

Nmero esperado de clientes en el sistema, notado L.

Tiempo esperado de permanencia en el sistema de los clientes, W.

Nmero esperado de clientes en la cola, Lq.

Tiempo esperado de permanencia en cola de los clientes, Wq.

Modelo (M/M/1):(FIFO/inf/inf)

Modelo (M/M/1):(FIFO/inf/inf)

Modelo (M/M/1):(FIFO/inf/inf)

Modelo (M/M/1):(FIFO/inf/inf)

Modelo (M/M/1):(FIFO/inf/inf)

Modelo (M/M/1):(FIFO/inf/inf)

Modelo (M/M/1):(FIFO/inf/inf)

Modelo (M/M/1):(FIFO/inf/inf) Ejemplo

Modelo (M/M/1):(FIFO/inf/inf) Ejemplo

Modelo (M/M/1):(FIFO/inf/inf) Ejemplo

Modelo (M/M/1):(FIFO/inf/inf)

Modelo (M/M/1):(FIFO/inf/inf)

Modelo (M/M/1):(FIFO/inf/inf)

Modelo (M/M/1):(FIFO/inf/inf)

Modelo (M/M/1):(FIFO/inf/inf)

Modelo (M/M/1):(FIFO/inf/inf)

Modelo (M/M/1) con poblacin finita

Modelo (M/M/1) con poblacin finita

Caractersticas del Sistema (M/M/1) con poblacin finita

Modelo Multicanal (M/M/k):(FIFO/inf/inf)

Modelo Multicanal (M/M/k):(FIFO/inf/inf)

Modelo Multicanal (M/M/k):(FIFO/inf/inf)

Modelo Multicanal (M/M/k):(FIFO/inf/inf)

Modelo Multicanal (M/M/k):(FIFO/inf/inf)

Modelo Multicanal (M/M/k):(FIFO/inf/inf)

Modelo Multicanal

(M/M/k):(FIFO/inf/inf) Ejemplo

Modelo Multicanal

(M/M/k):(FIFO/inf/inf) Ejemplo