04. 1RA_MOD_COL2012

1INVESTIGACIN DEOPERACIONES

TEORIA DE COLASROSMERI MAYTA H.

2012

28/11/2012 ROSMERI MAYTA H.INVESTIGACION DE OPERACIONES

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TEORIA DE COLAS

La teora de colas es un conjunto demodelos matemticos que describensistemas de lneas de esperaparticularesEl objetivo es encontrar el estado

estable del sistema y determinar unacapacidad de servicio apropiada


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MODELO BASICO

Un sistema de colas puede dividirseen dos componentes principales:La colaLa instalacin del servicio

Los clientes o llegadas vienen enforma individual para recibir elservicio


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SISTEMAS DE COLAS


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TEORIA DE COLAS

Las LINEAS DE ESPERA, O COLAS, son realidadescotidianas: Ejemplos

Personas esperando para realizar sustransacciones ante una caja en un banco,Estudiantes esperando por obtener copias en la

fotocopiadora,Vehculos esperando pagar ante una estacin de

peaje o continuar su camino, ante un semforo enrojo,Mquinas daadas a la espera de ser

rehabilitadas.


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TEORIA DE COLAS Los Modelos de Lneas de Espera son de gran

utilidad tanto en las reas de Manufactura como enlas de Servicio.

EL Anlisis de Colas se relacionan:

La longitud de la lnea de espera,El promedio de tiempo de esperay otros factores como: La conducta de los usuarios a la llegada y enla cola.


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TEORIA DE COLASEJEMPLOS DE COLAS MAS

COMUNESSITIO ARRIBOS EN

COLASERVICIO

Supermercado Compradores Pago en cajasPeaje Vehculos Pago de peajeConsultorio Pacientes ConsultaSistema de Cmputo Programas a ser

corridosProceso de datos

Compaa detelfonos

Llamadas Efectuarcomunicacin

Banco Clientes Depsitos y CobrosMantenimiento Mquinas daadas ReparacinMuelle Barcos Carga y descarga


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CARACTERISTICAS DE UNA LINEA DEESPERA Una cola de espera est compuesta de tres

elementos:1. Disciplina en la cola2. Servicio3. Arribos o ingresos al sistema

Estos tres componentes tienen ciertascaractersticas que deben ser examinadas antesde desarrollar el aspecto matemtico de losmodelos de cola.


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CARACTERISTICAS DE UNA LINEA DEESPERA 1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO:

La fuente de ingreso que genera los arribos o clientes para elservicio tiene tres caractersticas principales:

a. Tamao de la poblacin que arribab. Patrn de llegada a la colac. Comportamiento de las llegadas.

1. Tamao de la Poblacin:El tamao de la poblacin puede ser:

infinito (ilimitado) olimitado (finito).


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1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO:

1.a. Tamao de la Poblacin:Infinito (ilimitado): Cuando el nmero de clientes o arribosen un momento dado es una pequea parte de los arribos

potenciales. Para propsitos prcticos poblacionesilimitadas pueden considerarse a los vehculos que seacercan a un caseta de peaje, los aficionados a un partidodel mundial de Ftbol, clientes en un supermercado.

LA MAYORA DE LOS MODELOS ASUME ARRIBO INFINITO.Poblacin de arribo limitada o finita: Cuando se tienen muypocos servidores y el servicio es restringido. Ej.: los pacientesen un consutorio mdico


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1.b. Patrn de arribo al sistema:Los clientes arriban a ser atendidos de una manera

programada (un paciente cada 15 minutos) o de unamanera aleatoria.

Se consideran que los arribos son aleatorios cuandostos son independientes de otros y su ocurrencia nopuede ser predecida exactamente.

Frecuentemente en problemas de colas, el nmerode arribos por unidad de tiempo pueden serestimados por medio de la Distribucin de Poissonque es una distribucin discreta de probabilidad.


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DISTRIBUCION DE POISSON:

P( X= x) = Probabilidad de x arribos .x= nmero de arribos por unidad de tiempo = tiempo promedio de arribo

.e = 2.71828

( ) ,...4,3,2,1,0_!

==

xparax

exP

x


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TEORIA DE COLASDISTRIBUCION DE POISSON

DISTRIBUCION DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO = 2

0,0000

0,0500

0,1000

0,1500

0,2000

0,2500

0,3000

ARRIBOS/UNIDAD DE TIEMPO

PR

OB

AB

ILID

AD

DISTRIBUCION

DISTRIBUCION 0,1353 0,2707 0,2707 0,1804 0,0902 0,0361 0,0120 0,0034 0,0009 0,0002

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


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TEORIA DE COLASDISTRIBUCIN DE POISSON

DISTRIBUCION DE POISSON PARA TIEMPOS DE ARRIBO =4

0,0000

0,0500

0,1000

0,1500

0,2000

0,2500

ARRIBOS/UNIDAD DE TIEMPO

PR

OB

AB

ILID

AD

DISTRIBUCION

DISTRIBUCION 0,0183 0,0733 0,1465 0,1954 0,1954 0,1563 0,1042 0,0595 0,0298 0,0132

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


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1. CARACTERISTICAS DE ARRIBO:1.c. Comportamiento de los arribos:

La mayora de los modelos de colas asume que losclientes son pacientes o sea que esperan en la colahasta ser servidos y no se pasan entre colas.Desafortunadamente, la vida es complicada y la gentese reniega. Aquellos que se impacientan por la espera,se retiran de la cola sin completar su transaccin.

Esta situacin sirve para acentuar el estudio de lateora de colas y el anlisis de las lneas de espera, yaque un cliente no servido es un cliente perdido y hacemala propaganda de ese negocio.


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CARACTERISTICAS DE LA LINEA DEESPERA: La LINEA DE ESPERA es el segundo componente de

un sistema de colas. La longitud de la cola puede sertambin LIMITADA o ILIMITADA. Cola LIMITADA es aquella que por aspectos fsicos no puede

incrementarse a tamaos infinitos. Puede ser el caso de unapeluquera que tiene pocos barberos y sillas para atender.

Estudiaremos los modelos de colas asumiendo colas delongitud infinita. Una cola es ILIMITADA cuando su tamao notiene restriccin como es el caso de una caseta de peaje quesirve a los vehculos que arriban.


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2. CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA:

2.- Una segunda caracterstica de las lneasde espera ;

Es la DISCIPLINA EN LA COLA mediante lacual los clientes reciben el servicio. La mayorade los sistemas usan la regla Primero En EntrarPrimero En Salir (First In First Out) [PEPS(FIFO)]. Se denomina tambin FIFS (First InFirst Served).


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Primero en entrar, primero en salir (PEPS)Los clientes son atendidos en el orden en quevan llegando a la fila.

Ejemplo: Clientes de un banco, supermercados.

Ultimo en entrar, primero en salir (UEPS)El primero en ser atendido es el que ha llegadorecientemente.

Ejemplo: Proceso de produccin que llega auna estacin de trabajo.


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SIROServicio de orden aleatorio.

GDDisciplina general: Es decir cualquier tipo de

disciplina.


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En las reas de emergencia de hospitalessin embargo se omite esta regladependiendo de la gravedad de laslesiones de las personas que arriban porauxilio mdico.

En supermercados, personas con menosde 10 artculos tienen la caja express queatiende a este tipo de clientes. Pero en lacola se les atiende con la poltica PEPS.


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CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA3. Caractersticas del Servicio

El tercer elemento de un sistema de colas es elSERVICIO. En l son importantes dos propiedadesbsicas:1. La configuracin del sistema de servicio.2. El patrn de tiempos de servicio

3.1. CONFIGURACIONES BASICAS PARA EL SERVICIO:Los sistemas para el servicio son clasificados en funcin delnumero de canales (servidores) y el nmero de fases (nmero deparadas que deben hacerse durante el servicio).

Sistema de cola de un solo canal: tiene un solo servidor.Ejemplos de ello son los cajeros para automovilistas o losestablecimientos de comida rpida.


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CARACTERISTICAS DE LA LINEA DE ESPERA3.1. Configuraciones bsicas para elServicio

Sistema de cola multi-canal: Son principalmente los cajerosde un banco en los cuales hay una sola cola y varias personasatendiendo a los clientes en diversas cajas.

Sistema de una sola fase: es aquel en el cual el cliente recibeel servicio de una sola estacin y luego abandona el sistema.Un restaurant de comida rpida en el cual la persona que tomala orden tambin le entrega el alimento y cobra, es un sistemade una sola fase

Sistema multifase: cuando se pone la orden en una estacin,se paga en una segunda y se retira lo adquirido en una tercera


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MODELO BSICO

Llegadas

Sistema de colas

ColaInstalacin

delservicio

Disciplinade la cola

Salidas


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Estructuras tpicas de sistemas decolas: Una lnea y un servidor

Llegadas

Sistema de colas

Cola ServidorSalidas


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Estructuras tpicas de sistemas de colas: unalnea, mltiples servidores(multicanal)

Llegadas

Sistema de colas

Cola

Servidor Salidas

Servidor

Servidor

Salidas

Salidas


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Estructuras tpicas de colas: variaslneas, mltiples servidores

Llegadas

Sistema de colas

Cola ServidorSalidas

Servidor

Servidor

Salidas

Salidas

Cola

Cola


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Estructuras tpicas de colas: Un solo canal y multifase.(servidores secuenciales)

LlegadasSistema de colas

Cola

Servidor

Salidas

Cola

Servidor28/11/2012 ROSMERI MAYTA H.

INVESTIGACION DE OPERACIONES28

SISTEMA MULTICANAL MULTIFASE

ARRIBOS

COLA FASE 2CANAL 1

FASE 1CANAL 2

FASE 2CANAL 2

SALIDAS

FASE 1CANAL 1

TEORIA DE COLASConfiguraciones Bsicas de Sistemas de Colas

3.1. Configuraciones bsicas para el Servicio


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TEORIA DE COLASConfiguraciones Bsicas de Sistemas de Colas3.2. Distribucin del Tiempo de Servicio

Los patrones de servicio son similares a los patrones de llegada.Pueden ser constantes o aleatorios.

Si el tiempo de servicio es constante, toma la misma cantidad detiempo atender a cada cliente. Es comn con servicios dadospor medio de mquinas (Lavadora automtica de carros).

Si el tiempo de servicio es distribudo aleatoriamente que esel caso ms comn se lo representa por la DISTRIBUCION DEPROBABILIDAD EXPONENCIAL NEGATIVA de la forma e-xpara x 0. Esta es una hiptesis matemtica muy conveniente,cuando los arribos siguen la distribucin de Poisson.


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Notacin de Modelo de colas

Reconociendo la diversidad de los sistemas decolas, Kendall (1953) propuso un sistema denotacin para sistemas de servidores paralelosque ha sido adoptado universalmente.

Una versin resumida de esta convencin estbasada en el formato A/B/c/N/K. Estas letrasrepresentan las siguientes caractersticas delsistema:A = Distribucin de tiempo entre arribos.B = Distribucin del tiempo de servicio.Los siguientes son smbolos comunes para A y

B:M = exponencial o Markov (1)D = constante o determinstica


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Notacin de los modelos de colas

Ek = Erlang de orden kP H = Tipo faseH = HiperexponencialG = Arbitrario o generalGI = General independiente

.c = nmero de servidores paralelosN = Capacidad del sistemaK = Tamao de la poblacin.Nota(1): A causa de las suposiciones de distribucin

exponencial en los procesos de arribo, estos modelosson llamados MARKOVIANOS


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Por ejemplo: M/M/1// significa un soloservidor, capacidad de cola ilimitada ypoblacin infinita de arribos potenciales.Los tiempos entre arribos y los tiempos deservicio son distribudosexponencialmente.

Cuando N y K son infinitos, pueden serdescartados de la notacin. M/M/1// esreducido a M/M/1.


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Notacin de los modelos de colas

Las caractersticas de un sistema de colas sedeterminan en base a la poblacin declientes, los procesos de llegada, etc.

(a / b / c) : (d / e / f)a, b, c, d, e, f: Representa los elementos

bsicos del modelo.a = Distribucin de llegadas.b = Distribucin del tiempo de servicio.c = numero de servidores en paralelo.d = Disciplina de servicio.e = Numero mximo admitido en el sistema.f = Tamao de la fuente de llamadas.


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Lneas de espera con llegadas y salidascombinadas

(a/b/c): (d/e/f)

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