04-Identidades Trigo.pdf

14 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

824

Identidades trigonométricas

Son igualdades en las que intervienen funciones trigonométricas y es válida para cualquier valor angular.

Obtención de las identidades trigonométricas básicas

Para determinar las identidades se hace uso de las defi niciones de las funciones trigonométricas.En el triángulo las funciones del ángulo a se defi nen:

sen =a

ctan =

a

bcsc =

c

a

cos =b

cctg =

b

asec =

c

b

a

a

a

a

a

a

a

b

c

a

b

Al multiplicar una función directa por cada una de sus recíprocas se obtiene:

(sen )(csc ) =a

c

c

a=

a c

c a= 1

(cos )(sec ) =b

c

c

b=

b c

c b= 1

(tan )(ctg ) =a

b

b

a=

a b

b a= 1

a

a a

a a

a

Por tanto, se deducen las identidades recíprocas.

Identidades recíprocas

(sen a)(csc a) = 1 (cos a)(sec a) = 1 (tan a) (ctg a) = 1

Al realizar los respectivos despejes en las identidades anteriores, se obtienen las siguientes relaciones:

sen =1

csctan =

1

ctgcsc =

1

sen

cos =1

secctg =

1

tansec =

1

cos

aa

a

a

a

a

aa

a

a

a

a

Identidades de cocienteSi se realiza el cociente de la función seno (sen a) por la función coseno (cos a), se obtiene la función tan a:

sen

cos=

aa

acbc

=a c

b c=

a

b= tan a

De manera análoga se obtiene la función cotangente (ctg a),

a

a

cos

sen=

bcac

=b c

a c=

b

a= ctg a

Por tanto:

aa

aa

aatan =

sen

cos; ctg =

cos

sen

CAPÍTULO 14 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Identidades y ecuaciones trigonométricas

825

Identidades pitagóricasEn el triángulo se aplica el teorema de Pitágoras:

a a

aaaa

a2 +b 2 = c2 Se divide entre c2 a ambos miembros.

a2

c2 + b 2

c2 = 1 Se aplica la ley de los exponentes.

a

c

2

+ b

c

2

=

= =

1 Los cocientes son equivalentes a las funciones sen y cos

(sen )2 + (cos )2 1, por consiguiente sen2 + cos2 1

En forma semejante se obtienen las demás identidades pitagóricas, entonces:

sen2 a + cos2

a = 1 ; tan2 a + 1 = sec2 a y 1 + ctg2

a = csc2 a

De las identidades anteriores se realizan despejes, con el fi n de obtener otras identidades:

sen2 α + cos2 α = 1 tan2 α + 1 = sec2 α 1 + ctg2 α = csc2 α

sen α = ± 1− cos2 α( ) tan α = ± sec2α − 1( ) ctg α = ± csc2α − 1( )

cos α = ± 1− sen2α( ) sec α = ± tan2α + 1( ) csc α = ± ctg2α + 1( )

Demostración de identidades trigonométricas

Para realizar la demostración de una identidad trigonométrica se aplican procesos algebraicos como la factorización, las operaciones entre fracciones así como su simplifi cación, además de las identidades trigonométricas básicas.

La aplicación de estos procesos depende de la identidad en sí; esto signifi ca que no existe un orden o procedimiento específi co, debido a esta situación sugerimos iniciar con el lado más complejo o elaborado de la igualdad, con el fi n de llegar a demostrar el lado más sencillo, como a continuación se ejemplifi ca.

Demuestra la siguiente identidad: sen x = cos x

ctg xDemostración

Se trabaja del segundo hacia el primer miembro, se sustituye ctg x = cos x

sen x y realiza el cociente correspondiente:

s S Sen x =cosx

ctg xsen x =

cosxcosx

sen x

sen x =sen x cosx

cosx

sen x sen x

Por tanto queda demostrada la identidad.

1

Ejem

plos

EJEMPLOS


826

Demuestra la siguiente identidad: sen b + cos b ctg b = csc b

Demostración

Para esta identidad se trabaja con el primer miembro para obtener el segundo.

sen b + cos b ctg b = csc b se utiliza la identidad del cociente ctg b =cos b

sen b

sen b + cos bcos b

sen b= csc b se efectúa el producto.

sen b +cos2

sen b= csc b se realiza la suma fraccionaria.

sen2 + cos2

sen b = csc b se sustituye la identidad pitagórica sen2 + cos2 = 1

1

sen b= csc b se aplica

1

sen b= csc b

csc b csc b

b

b bb b

Finalmente, queda demostrada la identidad.

Demuestra la siguiente identidad:

csc a

tan a + ctg a= cos a

Demostración

Se utiliza el primer miembro de la igualdad y se realizan los siguientes cambios:

csc a

tan a+ ctg a= cos a

1sen a

sen acos a

+ cos asen a

= cos a

Se realiza la suma del denominador,

Yposteriormente la división,

Se sustituye sen2 + cos2= 1

sen a cos a

sen a 1( )= cos a

Yfinalmente se simplifica la fracción: cos a cos a

1sen a

sen2 + cos2

sen a cos a

= cos aaa

sen a cos a

sen a sen2 + cos2( )= cos a

a a

a a

33

2


827


cos x

1 sen x= 1+ sen x

cos x

Demostración

Se utiliza el segundo miembro como base para la demostración:

cos x

1 sen x= 1+ sen x

cos x

cos x

1 sen x = 1+ sen x

cos x

1 sen x

1 sen xSe multiplica por el conjugado del numerador.

cos x

1 sen x= 1 sen2 x

cos x( ) 1 sen x( )se reemplaza 1 – sen2 x = cos2 x.

cos x

1 sen x= cos2 x

cos x( ) 1 sen x( )se simplifica la fracción.

cos x

1 sen x

cos x

1 sen xse demuestra la identidad.


2cos2 x – 1 = 1 – 2sen2 x

Demostración

En este caso se utiliza el primer miembro para obtener el segundo.

2cos2 x – 1 = 1 – 2sen2 x Se utiliza la identidad 1 = sen2 x + cos2 x.

2cos2 x – (sen2 x + cos2 x) = 1 – 2sen2 x

2cos2 x – sen2 x – cos2 x = 1 – 2sen2 x se simplifi can términos semejantes.

cos2 x – sen2 x = 1 – 2sen2 x se emplea cos2 x = 1 – sen2 x.

1 – sen2 x – sen2 x = 1 – 2sen2 x

1 – 2sen2 x ; 1 – 2sen2 x

Por lo que la identidad queda demostrada.

55

4


828


cos2 sa

a a a

a aen2

1+ 2sen cos=

1 tan

1+ tan

Solución

Se utiliza el lado izquierdo para demostrar la identidad:

a

a

a

a a a a

a

a

a a

a a

aa a

a

a

a a

aaa

a

a

a

a

a

a

a a

aaaaa

a aa a

a acos2 sen2

1+ 2sen cos=

1 tan

1+ tanSe emplea la identidad sen2 + cos2 = 1

cos2 sen2

sen2 + 2sen cos + cos2 =1 tan

1+ tanse factoriza denominador y numerador

cos sen( ) cos + sen( )sen + cos( )2

=1 tan

1+ tanse simplifica la fracción

cos sen

sen + cos=

1 tan

1+ tanse divide entre cos a numerador ydenominador.

cos sencos

sen + coscos

=1 tan

1+ tan

1 tan

1+ tan

1 tan

1+ tan

6

Demuestra las siguientes identidades:

1. sen x (1 + cot x) = sen x + cos x

2. (1 + tan2 x) cos x = sec x

3. sen x

tan x

2

+ 1

csc x

2

= 1

4. (sec x + sen2 x + cos2 x)(sec x – 1) = tan2 x

5. csc u (1 – cos2 u) = sen u

6. ctg a

aa

cos= csc

7. 1 s f

ff

en2

sec2 = cos4

8. ctg2 y – cos2 y = ctg2 y cos2 y

9. sec y =ctg y + tan y

csc y

10. 1+ c v

v v

vos

sen=

sen

1 cos

11. sec b ? sen b ? ctg b = 1

EJERCICIO 42


829

12. ctg x – tan x =2 cos2 x 1

sen x cos x

13. 2csc2 y =1

1 cos y+ 1

1+ cos y

14. 1

csc a aa a

+ ctg= csc – ctg

15. 3sen2 x – 9sen x ? ctg x + 7cos2 x – 4cos x = (4cos x – 1)(cos x – 3)

16. cos2 x +tan2 x

1+ sec x+ sen2 x = sec x

17. cos4 x + sen2 x + sen2 x cos2 x = 1

18. 1 c b

b bb

bos

1+ cos+

1+ cos

1 cos= 2csc

19. cos x (2sec x + tan x)(sec x – 2tan x) = 2cos x – 3tan x

20. 1 +sen x ctg 2 x

1+ sen x= csc x

21. 2(sen6 x + cos6 x) – 3(sen4 x + cos4 x) + 1 = 0

22. sen x (1 + ctg x) = cos3 x (1 + tan x) + sen3 x (1 + ctg x)

23. (csc x – sen x)2 + (sec x – cos x)2 = tan2 x + ctg2 x – 1

24. 2 csc2 x

tan x 1– csc2 x + 1 = ctg x

25. tan x + ctg x

csc x sen x= sec3 x

26. cos x sec x

sen x csc x= sec x (sec2 x – 1) sen x

27. sec3 x =sec3 x sec x tan2 x

1 sen x( ) 1+ sen x( )

28. sen2 x + tan2 x + cos2 x =1

cos2 x

29. sec2 x + csc2 x = (csc x sec x)2

30. sec2 x ; sen x csc x + sen x (sen x sec2 x)

31. 1

csc x + ctg x

1

ctg x csc x= 2

sen x

32. 1 – ctg x = csc2 x 2ctg x( )

Ú Este ejercicio no tiene soluciones al fi nal del libro por ser demostraciones


830

Obtención de las identidades trigonométricas de la suma y la diferencia de ángulos

Considerando que OB BC⊥ , OC DC⊥ , se realiza una proyección de OD con el eje X y OA AD⊥ , DE CE⊥ , donde AE BC= , así como AB CE=

Para obtener sen (α + b)

b

a

a

X A B

C E

D

O

Y

sen (a + b) = AD

OD pero AD AE ED= + ;

entonces,sen (a + b) = AE ED

OD

+ sen (a + b) = AE

OD

ED

OD+

Para obtener las funciones trigonométricas de los ángulos a y b

sen a = BC

OC = AE

OC = CE

CD …(1) sen b = CD

OD…(3)

cos a = OB

OC = ED

CD …(2) cos b = OC

OD…(4)

Si se realiza el producto de (1) y (4); (2) y (3) se tiene:

(sen a)(cos b) = AE

OC?

OC

OD = AE

OD …(5)

(sen b)(cos a) = CD

OD?

ED

CD = ED

OD …(6)

Al sumar (5) y (6):

(sen a)( cos b) + (sen b)( cos a) = AE

OD

ED

OD+ ;

Se obtiene sen (a + b), entonces:

sen (a + b) = (sen a)(cos b) + (sen b)(cos a)

Para obtener cos (a + b)

cos (a + b) = OA

OD; pero OA OB AB= − ;

entonces,

cos (a + b) = OB AB

OD

− cos (a + b) = OB

OD

AB

OD−


831

Si se realiza el producto de (2) y (4); (1) y (3) se tiene:

(cos a)(cos b) = OB

OC?

OC

OD = OB

OD … (7)

(sen a)(sen b) = CE

CD?

CD

OD = CE

OD = AB

OD … (8)

Al restar (8) de (7):

(cos a)(cos b) – (sen a)(sen b) = OB

OD – AB

OD;

Se obtiene cos (a + b)

cos (a + b) = (cos a)(cos b) – (sen a)(sen b)

Para obtener tan (a + b), se emplean identidades básicas:

tan (a + b) =sen

cos

α βα β

+( )+( )

; tan (a + b) = sen cos sen cos

cos cos sen

α β β αα β α

( )( )+ ( )( )( )( ) − ( ))( )sen β

Si se divide entre (cos a)(cos b) ? 0, entonces,

tan (a + b) =

sen cos sen cos

cos coscos

α β β αα β

α

( )( )+ ( )( )( )( )

( ) ccos sen sen

cos cos

β α βα β

( ) − ( )( )( )( )

=

sen cos

cos cos

sen cos

cos

α βα β

β αα

( )( )( )( )

+ ( )( )( ) ccos

cos cos

cos cos

sen senβ

α βα β

α β( )

( )( )( )( )

− ( )( ))( )( )cos cosα β

;

tan (a + b) =

sen

cos

sen

cos

sen

cos

sen

αα

ββ

αα

( )( ) +

( )( )

−( )( ) ⋅1

βββ

( )( )cos

= tan tan

tan tan

α βα β+

− ⋅1

Finalmente se deduce que:

tan ( + ) =tan + tan

1 − tan tan

Para obtener las identidades trigonométricas de la diferencia se emplean las identidades de los ángulos negativos en función de ángulos positivos, es decir:

sen (– x) = – sen (x) cos (– x) = cos (x) tan (– x) = – tan (x)

Por tanto:


Se cambia b por – b y se obtiene: sen (a – b) = (sen a)(cos(–b)) + (sen (–b))(cos a) sen (a – b) = (sen a)(cos b) – (sen b)(cos a)

De una manera semejante se realiza la diferencia para las demás funciones trigonométricas y se obtiene:

cos (a – b) = (cos a)(cos b) + (sen a)(sen b)

tan ( – ) =

tan – tan1 + tan tan


832

Resumen de fórmulas

Identidades trigonométricas de la suma de ángulos:



tan ( + ) =

tan + tan1 − tan tan

Identidades trigonométricas de la diferencia de ángulos:

sen (a – b) = (sen a)(cos b) – (sen b)(cos a)

cos (a – b) = (cos a)(cos b) + (sen a)(sen b)

tan ( – ) =

tan – tan1 + tan tan

Valor de una función trigonométrica para la suma y la diferencia de ángulos Los valores de las funciones trigonométricas de ángulos notables se emplean para obtener el valor de una función cuyo ángulo se pueda descomponer en una suma o diferencia.

Obtén el valor de sen π π4 6

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

SoluciónAl aplicar la identidad para el seno de la suma de ángulos, se determina que:

sen π π4 6

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= sen π4

cos π6

+ cos π4

sen π6

= 2

2

3

2

2

2

1

2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=6

4

2

4+

=6 2

4

+

Calcula el valor exacto de tan (90°– 60°).

Solución

Se aplica la identidad de la tangente de la diferencia de ángulos y se obtiene:

tan (90°– 60°) = tan tan

tan tan

90 60

1 90 60

° − °+ ° °

La tan 90° no está defi nida, por consiguiente, se multiplica la identidad tantan tan

tan tan( )a b a b

a b− = −

+1 por la unidad

expresada como 1 =ctg

ctg

aa

tantan tan

tan tan

ctg

ctg( )a b

a ba b

a− =

−+

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟1 aa

a a b aa a b

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

−+

tan ctg tan ctg

ctg tan tan ctggaPor identidades tan a ctg a = 1, entonces:

tantan ctg

ctg tan

tan ctg

c( )

(a b

b aa b)

b a− =

−+

=−1

1

1

ttg tana b+

Sustituyendo a = 90°, b = 60° y posteriormente los valores de ctg 90° = 0 y tan60 3° = , se obtiene como resultado:

tantan ctg

ctg tan( )90 60

1 60 90

90 60

1° − ° =− ° °

°+ °= − (( )( )3 0

0 3

1 0

3

1

3

1

3

3

3+= − = = =. 3

3

22

1

Ejem

plos

EJEMPLOS


833

Expresa en función de x la identidad cos x3

2π −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Solución

Se aplica la identidad del coseno de la diferencia de ángulos:

cos(a – b) = cos a cos b + sen a sen bSe obtiene:

cos x3

2π −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = cos cos x sen sen x

3

2

3

2π π+ = (0) cos x + (– 1)sen x

= 0 – sen x

= – sen x

Resulta que, cos x3

2π −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = – sen x

3

Aplica las identidades de suma o diferencias de ángulos y determina el valor de las siguientes funciones trigonométricas:

1. senπ π2 6

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

5. sec π π−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4 9. tan

π π4

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2. cos3

4 3π π−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

6. cos(270° – 45°) 10. ctg 2

7

4p p−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3. sen(45° + 60°) 7. ctgπ π2 3

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4. tan(45° + 90°) 8. cscπ π4

3

2+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Expresa en función del ángulo indicado las siguientes expresiones:

11. sen θ π+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

6 15. csc

π α3

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

19. tan(3p – a)

12. cos x3

4π −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

16. ctg

π β4

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

20. sen

3

4π θ−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

13. sen(2p + b)

17. cos x −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

8

3π

14. tan xπ2

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

18. sec(p + 2v)

EJERCICIO 43

Ú Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

Aplicación de las funciones trigonométricas de la suma y la diferencia de ángulos

Para determinar el valor de una función trigonométrica de determinados ángulos, éstos se descomponen como la suma o la diferencia de dos ángulos notables.


834

Determina el cos 75° y expresa 75° como una suma de ángulos notables.

Solución

El ángulo de 75°, como la suma de ángulos notables, es 75° = 30° + 45°Entonces,

cos 75° = cos (30° + 45°)

Se emplea la identidad cos (a + b) = cos a cos b – sen a sen b

cos (75°) = cos (30°+ 45°) = (cos 30°)(cos 45°) – (sen 30°)(sen 45°)

Al sustituir el valor de cada función trigonométrica, se determina que:

cos 75° = 3

2

2

2

1

2

2

2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⋅

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

6

4

2

4− =

6 2

4

−

Por tanto, cos 75° = 6 2

4

−

Determina tan 15° y expresa 15° como una diferencia de ángulos notables.

Solución

El ángulo de 15° se expresa como 60° – 45°, entonces:tan (15°) = tan (60°– 45°)

Se emplea la identidad tan (a – b) = tan

tan tan

α βα β−

+ ⋅tan

1 en la que se sustituyen los valores de los ángulos a = 60° y

b = 45°,tan (15°) = tan (60°– 45°) =

tan tan

tan tan

60 45

1 60 45

° − °+ ° ⋅ °

Se sustituyen los valores de las funciones trigonométricas de los ángulos notables:

tan (15°) = tan (60°– 45°) = 3 1

1 3 1

−+ ( )( )

= 3 1

3 1

−+

Al racionalizar el denominador, se obtiene:tan 15° = 2 – 3

Calcula las funciones trigonométricas básicas de (a + b) si sabes que sen a = 3

5 para

π2

≤ a ≤ p y tan b = 5

12 para

p ≤ b ≤ 3

2

π.

Solución

Se obtienen las funciones de los ángulos a y b, con el teorema de Pitágoras y se respetan los signos de las funciones en los cuadrantes indicados. Para sen a, el segundo cuadrante Para tan b, el tercer cuadrante

3

Y

X

5

– 4

a

Y

X

13

– 12

– 5

b

Funciones del ángulo a: sen a =3

5, cos a = − 4

5 y tan a = − 3

4

Funciones del ángulo b: sen b = − 5

13, cos b = − 12

13 y tan b =

5

12

22

33

1

Ejem

plos

EJEMPLOS


835

Por consiguiente, estos valores se sustituyen en las identidades de sumas de ángulos.

sen (a + b) = (sen a)(cos b) + (sen b)(cos a) = 3

5

12

13

5

13

4

5

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= − + = −36

65

20

65

16

65

cos (a + b) = (cos a)(cos b) – (sen a)(sen b) = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4

5

12

13

3

5

5

13

=48

65

15

65

63

65+ =

tan (a + b) = tan tan

tan tan

α βα β+

− ⋅1 =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

34

512

134

512

=−

= −

4126348

16

63

Por tanto, los resultados son:

sen (a + b) = − 16

65, cos (a + b) =

63

65 y tan (a + b) = − 16

63Demuestra la siguiente identidad:

arc tan 2

1

t

t − – arc ctg t = arc sen

1

1t +Solución

Sean u = arc tan 2

1

t

t − y a = arc ctg t , entonces u – a = arc sen

1

1t + que es la identidad a demostrar donde

tan u = 2

1

t

t − y ctg a = t

Se construyen los triángulos respectivamente,

Para el ángulo u

Para el ángulo a

Por el teorema de Pitágoras

h2 = ( 2 t )2 + (t – 1)2 h = 4t + t 2 − 2t +1 h = t 2 + 2t +1

h = t +1( )2 = t + 1

2 t

t – 1

h = t + 1

u


h2 = ( t )2 + (1)2

h = t +1 1

t

h = t +1

a

Se realiza la demostración aplicando seno a (u – a)sen (u – a) = sen u cos a – sen a cos u

Pero sen u =2

1

t

t +, cos u =

t

t

−+

1

1, cos a =

t

t +1 y sen a =

1

1t +, entonces

sen (u – a) =2

1

t

t +⋅ t

t +1 –

1

1t +⋅ t

t

−+

1

1 =

2 1

1 1

t t

t t

− ++( ) +

= t

t t

+( )+( ) +

1

1 1 =

1

1t +Donde,sen (u – a) =

1

1t + S u – a = arc sen

1

1t +Así queda demostrada la identidad.

44


836

Determina los valores de las siguientes funciones trigonométricas y expresa los ángulos como suma o diferencia:

1. tan 105° 3. csc 15° 5. tan 255° 7. tan 345° 9. csc 255° 2. cot 75° 4. sec 105° 6. cos 285° 8. sec 165° 10. sen 165°

11. Si cos α = − 4

5 con

π α π2

≤ ≤ y tan β = 2

3 con 0

2≤ ≤β π

, halla sen(a + b), cos(a + b) y tan(a + b).

12. Si tan a = 1 con π α π≤ ≤ 3

2 y sec b = 2 con

3

22π β π≤ ≤ , halla sen(a – b), cos(a – b) y tan(a – b).

13. Si sec a = − 3

2 con π α π≤ ≤ 3

2 y ctg b = 2 con 0

2≤ ≤β π

, halla las seis funciones trigonométricas de (a + b)

y (a – b).


14. sen x sen x sen xπ π−( ) + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

−2

1 2 2cos x cos x[ ] ≡ −

15. cos x cos x3

2

π π+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − −( )⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

−2 2

sen x cos xπ π+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

≡ 2 sen x

16. cos x sen x coπ π2

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − +( )⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

− ss x cos x sen xπ π2

3+( ) + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

≡ + ccos x

17. sen

sec

cos

csc

β π

β

π β3

2 2−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

ββ1≡

18. tan sen senπ α α π π α 3

2 −( ) ⋅ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ −( ) 1 2≡ − cos α

19. sen sen cos cos cosα β α β α β2−[ ] − +( ) + +2 [[ ] ≡22

20. sec

csc

sen

cos

π ωπ ω

π ω−( )+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+ +( )

2ππ ω

ω 1+( ) ≡ −tan

21. csc ycos y

tan ysen yπ

ππ

−( ) ++( )+( ) ≡

22. csc x

cos x

tan xπ

ππ2

2

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −(( ) ≡ ⋅ +( )sen x

sec x csc x 1

23. sen x cos x 2 2

2

+( ) + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

+π π 44 2

2

4 cos x

csc x

−( )−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

≡π

π

24. sen sen

cos

α β γ α β γα β γ

+ +( ) + − −( )+ +( ) + cos

tanα β γ

α− −( ) ≡

EJERCICIO 44


837

25. sen sen sen sen senθ ω θ ω θ ω θ+( ) ⋅ −( ) ≡ +( ) − ssen ω( )

26. tan tanπ δ π δ4

4

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≡ –

2

2 2sen cosδ δ−

27. 4 3

2 4 arc tan arc tan−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ + ≡ −π

1

5

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

28. sen sen− −− ≡ −1 11

5 2

2

5

π

29. cos cos se 12

13

33

65 1 1− −− ≡ − nn−1 3

5

30. sect

tctg t t− −+ − ≡ >1

21 1

0, 0

31. arc sent

arc cost

tarc tan

tt

1

1

1

1

1, 0

2

2

2+− −

+≡ − >

32. sent

tsen

tsen t− − −

++

+≡ ( ) >1

2

1

2

1

1

1

11 , 0

33. sent

tsen

tsen

t

tt− − −

+−

+≡ −

+≥1 1 1

1

1

1

1

1, 1

34. arc tan s arc sent

tarc t

12−

+≡ aan

s t

sts t

1, 0 y 0

−+

> >


Funciones trigonométricas del ángulo doble

Estas funciones se obtienen a partir de las identidades de la suma de ángulos, como se muestra a continuación:

Seno del ángulo doble sen (2a)

Para obtener el sen (2a) se emplea la identidad sen (a + b) donde b = aEntonces:


sen (2a) = (sen a)(cos a) + (sen a)(cos a)

sen (2a) = 2 (sen a)(cos a)

Coseno del ángulo doble cos (2a)

Para obtener cos (2a) se emplea la identidad cos (a + b) donde b = aEntonces:


cos (2a) = (cos a)(cos a) – (sen a)(sen a)

cos (2a) = cos2 a – sen2 a (con el empleo de identidades trigonométricas básicas)

cos (2a) = 1 – 2 sen2 a

cos (2a) = 2 cos2 a – 1


838

Tangente del ángulo doble tan (2a)Para obtener tan (2a) se emplea la identidad tan (a + b) donde b = a

Entonces: tan (a + b) =

tan tan

tan tan

α βα β+

− ⋅1

tan (2a) = tan tan

tan tan

α αα α+

− ⋅1

tan (2a) = 2

1 2

tan

tan

αα−

Obtén las funciones trigonométricas de (2v), si se sabe que tan v = 3, para π ≤ v ≤ 3

2

π

SoluciónEn este caso el ángulo v se encuentra en el tercer cuadrante, entonces: tan v =

−−

3

1 Por el teorema de Pitágoras

r2 = (–1)2 + (–3)2

r2 = 1 + 9

r = 10

– 1

– 3

r

Y

X

ω

Se obtienen las funciones trigonométricas de v:

sen v = − = −3

10

3 10

10, cos v = − = −1

10

10

10 y tan v =

−−

=3

13

Por tanto, sen 2v = 2 (sen v)(cos v) = 2 −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⋅ −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

3 10

10

10

10=

6 10

100( )( ) =

3

5

cos 2v = cos2 v – sen2 v = −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ − −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

10

10

3 10

10

2 2

= 10 90

100

− = − 4

5

tan 2v = 2

1 2

tan

tan

ωω−

= 2 3

1 32

⋅ ( )− ( )

= 6

8−= − 3

4Demuestra la siguiente identidad:

sen6 x + cos6 x = 1 –3

4sen2 2x

Demostración(sen2 x + cos2 x)(sen4 x – sen2 x⋅cos2 x + cos4 x) = 1 –

3

4sen2 2x

(1)(sen4 x – sen2 x⋅cos2 x + cos4 x) = 1 –3

4sen2 2x

sen4 x – sen2 x⋅cos2 x + cos4 x + 3sen2 x⋅cos2 x – 3sen2 x⋅cos2 x = 1 –3

4sen2 2x

(sen4 x + 2sen2 x⋅cos2 x + cos4 x) – 3sen2 x⋅cos2 x = 1 –3

4sen2 2x

(sen2 x + cos2 x)2 – 3sen2 x⋅cos2 x = 1 – 3

4sen2 2x

1 – 3sen2 x⋅cos2 x = 1 – 3

4sen2 2x (pero sen 2x = 2 sen x⋅ cos x)

1 – 3

4sen2 2x ; 1 –

3

4sen2 2x

22

1

Ejem

plos

EJEMPLOS


839

Demuestra la siguiente identidad:1 2

2+ =cos x

ctg xsen x

Demostración

Se inicia con la sustitución de las siguientes identidades:

1 2 2= +sen x cos x, cos x cos x sen x2 2 2= − y ctg xcos x

sen x=

Se realizan las operaciones correspondientes y se simplifi ca:

1 2+ cos x

ctg x =

( ) )sen x cos x (cos x sen x

ctg x

2 2 2 2+ + −

=

2 2cos xcos x

sen x

= 2 2cos x sen x

cos x = 2sen x cos x

Pero 2 sen x cos x = sen 2x, por consiguiente se comprueba la igualdad:

1 22

+ ≡cos x

ctg xsen x

3

Funciones trigonométricas de la mitad de un ángulo

Seno de la mitad de un ángulo: sen2

Para obtener el senv

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , se emplea la identidad cos(2a) = 1 – 2 sen2 a, entonces se realiza el cambio α ω=

2

cos 22

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ω= 1 – 2sen2 v

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ S cos v = 1 – 2sen2 v

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Se despeja senv

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , resultando sen

v

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

1 –2

cos v

Coseno de la mitad de un ángulo: cos2

Para obtener cosv

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , se emplea la identidad cos (2a) = 2 cos2 a – 1

Entonces se realiza el cambio α ω=2

cos 22

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ω= 2 cos2 v

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ – 1 S cos v = 2 cos2 v

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ – 1

Se despeja cosv

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , resultando cos

v

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

12

+ cos v

Tangente de la mitad de un ángulo: tan2

Para obtener tanv

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , se emplean identidades trigonométricas básicas:

tan v

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

sen

cos

ω

ω2

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

1

21

2

−

+

cos

cos

ω

ω =

1

21

2

−

+

cos

cos

ω

ω = 1

1

−+

cos

cos

ωω


840

Al racionalizar el denominador:

tan v

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

1 1

1 1

−( ) ⋅ −( )+( ) ⋅ −( )

cos cos

cos cos

ω ωω ω =

1

1

2

2

−( )−

cos

cos

ωω

= 1

2

2

−( )cos

sen

ωω

= 1− cos

sen

ωω

Por tanto:

tan v

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

1 –1

coscos

v

v+ =

1 – cossen

v

v

Obtén las funciones trigonométricas básicas de ω2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

si se sabe que: sen v = − 55

8 para 270° ≤ v ≤ 360°.

Solución

Se ubica el ángulo v en el cuarto cuadrante:

x = 3

8

– 55

Y

X


(8)2 = (x)2 + (– 55 )2

64 = x2 + 55

64 – 55 = x2

x = 9

x = 3

v

Se obtienen las funciones trigonométricas del ángulo v:

sen v = − 55

8 cos v =

3

8 tan v = − 55

3

De acuerdo con el resultado anterior, las funciones trigonométricas del ángulo ω2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

son:

senω2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

1

2

− cos ω =

138

2

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

582

= 5

16 =

5

4

cos v

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

1

2

+ cos ω =

138

2

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

1182

= 11

16 =

11

4

tan v

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

1− cos

sen

ωω

= 1

38

558

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=

58558

− = − 5

55 = − 55

11

1

Ejem

plos

EJEMPLOS


841

Obtén el valor de las funciones trigonométricas básicas del ángulo de 15°, haciendo 15° = 30

2

°

Solución

a) Para hallar el valor de sen 15° se utiliza la siguiente fórmula:

sen v

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

1

2

− cos ω

Entonces,

sen 15° = sen 30

2

°⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

1 30

2

− °cos =

13

22

− =

2 3

4

− =

2 3

2

−

Por tanto:

sen 15° = 2 3

2

−

b) Para hallar el valor de cos 15° se utiliza la siguiente fórmula:

cos v

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

1

2

+ cos ω

Entonces,

cos 15° = cos 30

2

°⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

1 30

2

+ °cos =

13

22

+ =

2 3

4

+=

2 3

2

+

Por tanto,

cos 15° = 2 3

2

+

c) Para hallar el valor de tan 15° se utiliza la siguiente fórmula:

tan v

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

1− cos

sen

ωω

Entonces,

tan 15° = tan 30

2

°⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

1 30

30

− °°

cos

sen =

13

212

− =

2 3212

−

= 2 3

1

−

Por consiguiente,

tan 15° = 2 – 3

2


842


2

2

cos cos

sen sen

sα αα α

−+

≡een

cos

2

2

α

α

Demostración

Se aplican las identidades del doble del ángulo

2

2

cos cos

sen sen

senα αα α

α−+

= 2

ccosα2

S cos cos sen

sen sen cos

sen

cos

α α αα α α

α

α− −( )

+=

2 2

22

22

cos cos sen

sen sen cos

sen

cos

α α αα α α

α

α− +

+=

2 2

22

2

cos cos cos

sen sen cos

sen

cos

α α αα α α

α

α− + −

+=

2 21

22

2

1 2

22

2

2+ −+

=cos cos

sen sen cos

sen

cos

α αα α α

α

α

Se realiza una factorización tanto en el numerador como en el denominador,

1 2

2

1 1 22+ −+

=−( ) +cos cos

sen sen cos

cos cosα αα α α

α α(( )+( ) = −

sen cos

cos

senα αα

α1 2

1

Se aplican identidades básicas con el nuevo resultado,

1 1

1

1

1 12

− = −−

= −+( ) −

cos

sen

cos

cos

cos

cos co

αα

αα

αα ss

cos

cos

cos

cos

cos

ααα

α

α

α

( )=

−+

=

−

+=

−

+1

1

1

21

2

1

21 ccos α

2

Pero sencosα α

2

1

2= −

y coscosα α

2

1

2= +

, entonces se demuestra la igualdad

2

2

cos cos

sen sen

sα αα α

−+

≡een

cos

2

2

α

α

3


843

1. Utiliza las identidades del ángulo mitad para obtener las funciones trigonométricas de los ángulosπ8

, 3

8π ,

5

8π y

7

8π .

2. Obtén las funciones trigonométricas de (2a) y α2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ , si se sabe que csc a = 4 para

π α π2

≤ ≤ .

3. Si se sabe que tan b = 12

5, para π β π≤ ≤ 3

2, halla las funciones trigonométricas de (2b) y

β2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

4. Dada la función trigonométrica cos v = 5

8 donde

3

22π ω π≤ ≤ , encuentra las funciones trigonométricas de

(2v) y ω2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

5. Obtén las funciones trigonométricas de (2a) y α2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ si se sabe que: sec a = − 7

2 para

π α π2

≤ ≤ .

6. Si sen α2

= 3 5

6

+ y

π α π2

≤ ≤ , determina sen a, cos a y tan a.

7. Si cos 2b = 15

17 y π β π≤ ≤ 3

2, encuentra las funciones trigonométricas de b y

β2

.

8. Si sen 1

4α =

10 50 10 5

20

− +, determina las funciones trigonométricas de a si 0

2≤ ≤α π

.

9. Si csc1

4β =

6

3 6− y 0

2≤ ≤β π

, halla las funciones trigonométricas de b y β2

.

10. Si ctg ω2

= – 3 y 3

22π ω π≤ ≤ , halla las funciones trigonométricas de v, 2v y 4v.


11. 2

1

22

+=

cossec

αα

12. cos x sen x sen x 2 2 1 4−[ ] − = −( )2

13. cos 8x + cos 4x = 2cos 2x – 4sen2 3x � cos 2x

14. sen x sen x sen x cos x 4 6 2 5 + = ⋅( )

15. ctgsen

cos

1 2

2

π ω ωω4

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = +

16. cos sen cos cos8 8 1

4 2 3 4β β β β− = ⋅ +( )

17. 21

4

2

sec

sen cosα π α α

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

+( )+ 2sen α

18. cos 12° cos 24° cos 48° cos 96° = –1

16

19. 2

2

2

3 3cos x sen x

cos xcos x

sen x− = −sen x cos x

sen x+( ) +

EJERCICIO 45


844

20. 1

1

1 2

2

2

2+=

+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sen

tan

tanϕ

ϕ

ϕ 1

2 ⋅ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ctg

ϕ 2

21. 22 2 2 2

cosy

seny

seny

cosy

cos x co−⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⋅ +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

= ss x y cos x y+( ) + −( )

22. sen x y sen x sen y cos x y+( ) − = ⋅ +( )2 2

23. 4 2

2

2 2 2csc cos ctg tanβ β β β⋅ = −

24. 3 2

2

2

2

cos sen cos senθ θ θ θ−

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

⋅ +⎡⎣⎢⎢

⎤⎦⎥

= + + 2 1cos senθ θ

25. 13

426 6 2sen x cos x sen x+ = −


Identidades trigonométricas para transformar un producto en suma o resta

De las identidades: sen (x + y) = (sen x) (cos y) + (sen y) (cos x) se realiza la suma con

+ sen (x – y) = (sen x) (cos y) – (sen y) (cos x)

sen (x + y) + sen (x – y) = 2 (sen x)(cos y)Al despejar,

(sen x) (cos y) = 1

2sen x y sen x y+( )+ −( )⎡⎣ ⎤⎦

De forma semejante se obtiene:

(cos x) (sen y) = 1

2sen x y sen x y+( ) − −( )⎡⎣ ⎤⎦

De las identidades:

cos (x + y) = (cos x) (cos y) – (sen x) (sen y) se realiza la suma con

+ cos (x – y) = (cos x) (cos y) + (sen x) (sen y)

cos (x + y) + cos (x – y) = 2 (cos x)(cos y)

Al despejar,

(cos x) (cos y) = 1

2cos x y cos x y+( )+ −( )⎡⎣ ⎤⎦

De la misma manera se obtiene:

(sen x) (sen y) = − +( ) − −( )⎡⎣ ⎤⎦1

2cos x y cos x y


845

Expresa el siguiente producto en forma de suma o resta:

cos (8x) cos (2x)

Solución

Se emplea la identidad (cos x) (cos y) = 1

2cos x y cos x y+( )+ −( )⎡⎣ ⎤⎦ y se obtiene:

cos (8x) cos (2x) = 1

28 2 8 2cos x x cos x x( ) ( )+ + −[ ]

cos (8x) cos (2x) = 1

210 6cos x cos x( )+ ( )⎡⎣ ⎤⎦

Encuentra el valor del siguiente producto:

sen cos3

4 12

π π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Solución

Se emplea la identidad (sen x) (cos y) = 1

2sen x y sen x y+( )+ −( )⎡⎣ ⎤⎦

sen cos

3

4 12

π π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

1

2

3

4 12

3

4 12sen sen

π π π π+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

sen cos

3

4 12

π π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

1

2

9

12

9

12sen sen

π π π π+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ −⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

sen cos

3

4 12

π π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

1

2

5

6

2

3sen sen

π π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

Al sustituir el valor de las funciones trigonométricas de ángulos notables:

sen cos

3

4 12

π π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 1

2

1

2

3

2+

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ = 1

2

1 3

2

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

1 3

4

+

22

1

Ejem

plos

EJEMPLOS

Convierte los siguientes productos en sumas o diferencias de funciones trigonométricas:

1. sen(a + b) cos(a – b)

11. 4 sen(3a) sen(a)

2. cos(45°) sen(60°)

12. 5cos(2a) sen(6a)

3. sen(y + b) sen(y – b)

13. cos(47°) sen(43°)

4. cos cos5

12 4

π π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

14. cos 2

3α⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

cos 5

3β⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

5. sen(82° 309) cos(37° 309)

15. 3sen(9a) cos 1

2α⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

6. sen(37° 309) sen(7° 309)

16. sec secπ π3 6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

7. cos(x + a) sen(x – a)

17. tan 2a ctg a

8. cos cos7

12

5

12

π π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

18. sec 3

4π⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

csc π4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

9. sen(187° 309) cos(217° 309) 19. tan(x + a) tan(x – a)

10. cos cos7

4 12

π π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

20.

sen

sec

2

2

α βα β

+( )−( )

EJERCICIO 46



846

Demostración de identidades

Demuestra la siguiente igualdad: senπ12

cosπ12

= 1

4

Demostración

Se aplica la identidad (sen x) (cos y) = 1

2sen x y sen x y+( ) + −( )⎡⎣ ⎤⎦

sen π12

cosπ12

= 1

2 12 12 12 12sen sen

π π π π+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ = 1

2 60sen sen

π +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

Pero senπ6

= 1

2 y sen0 = 0, entonces:

senπ12

cosπ12

= 1

2

1

20+⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

= 1

4

Por tanto queda demostrada la igualdad.

Demuestra la siguiente expresión:

sen x cos y + sen y cos x = sen(x + y)

Demostración

Se aplica la transformación de productos a sumas y se obtiene:

sen x cos y = 1

2sen x y sen x y+( ) + −( )⎡⎣ ⎤⎦

sen y cos x = cos x sen y = 1

2sen x y sen x y+( ) − −( )⎡⎣ ⎤⎦

Al sumar ambas expresiones:

sen x cos y + sen y cos x = 1

2sen x y sen x y+( ) + −( )⎡⎣ ⎤⎦ +

1

2sen x y sen x y+( ) − −( )⎡⎣ ⎤⎦

sen x cos y + sen y cos x = 1

2

1

2

1

2

1

2sen x y sen x y sen x y sen x y+( ) + −( ) + +( ) − −( )

Se simplifi can términos semejantes, entonces:

sen x cos y + sen y cos x = sen(x + y)

Por tanto, queda demostrada la igualdad.

22

1

Ejem

plos

EJEMPLOS


847

Demuestra las siguientes igualdades:

1.1

sec 30° csc 120 °=

3

4

2.sen 75° cos 45°sen 225° cos 75°

= – 2 – 3

3.cos 35° sen 10° + cos 10° sen 35°cos 20° cos 10° sen 20° sen 10°

=6

3

4.tan

6tan

512

+ tan12

tan512

1 tan6

tan12

= 2 + 3

5. sen x cos x + cos 3x sen x =1

2sen 4x

6. cos x +6

sen x6

=1

2sen 2x

3

2

7.sen2 3

2x cos2 x

2

cos 2 x( )cos2 32

x sen2

2x

= sec x

8. cos x[cos 2x – 2sen2 x] = cos 3x

9. tan x +3

tan3

x =2 cos 2x +1

2 cos 2x 1

10. sen(10° + x) cos (20° – x) + cos(80° – x)sen(70° + x) = sen(2x – 10°)

11. sen2

9+ x cos

1

18+ x – sen

5

18x cos

4

9x =

1

2

12.sen

2x

csc 2x

sen x

csc32

+ 2x= sen 3x

13. cos 2x + 2[sen x cos y + cos x sen y] sen(x – y) = cos 2y

14. sen2

x · sen3

2x · cos x( ) = cos3 x

p p p p

p p

p p

p p

p p p

p p

p p p p

p

p

p p p

EJERCICIO 47



848

Identidades para transformar sumas o restas de funciones trigonométricasen un producto

Dados los ángulos x y y, tales que

x + y = a ; x – y = b

Al resolver el sistema de ecuaciones para x y y se obtienen los siguientes resultados:

x =α β+

2 ; y =

α β−2

Estos valores angulares se sustituyen en la identidad:

(sen x) (cos y) = 1

2sen x y sen x y+( ) + −( )⎡⎣ ⎤⎦

Y el resultado es:

sen cosα β α β+⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 2=

1

2sen senα β+[ ]

Ahora, al despejar la suma de los senos, se determina que:

sen a + sen b = 2 sena + b a − b

2cos

2

De la misma manera se obtiene:

sen a – sen b = 2 cos

a + b a − b

a + b a − b

a + b a − b

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ sen

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cos a + cos b = 2 cos2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ cos

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cos a – cos b = – 22

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ sensen

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Efectúa lo siguiente: senπ2

– senπ6

Solución

Al aplicar la transformación de diferencia de senos a productos, se obtiene:

senπ2

– senπ6

= 2 cos

π π2 6

2

+⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

· sen

π π2 6

2

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

; simplifi cando

senπ2

– senπ6

= 2 cos π3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

· sen π6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

senπ2

– senπ6

= 21

2

1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 1

2

1

Ejem

plos

EJEMPLOS


849

Calcula, sin hacer uso de las tablas trigonométricas:

sen sen7

12

5

12

π π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Solución

Se emplea la identidad, sen a + sen b = 2 sen cosα β α β+⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ −⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

2 2

sen sen

7

12

5

12

π π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 2 sen cos

712

512

2

712

512

2

π π π π+⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

Se simplifi ca,

sen sen

7

12

5

12

π π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 2 sen cos

π π2 12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Dado que π12

no es un ángulo notable, se puede emplear la identidad:

cosx cos x

2

1

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = +

Donde π12

=

π62

, entonces,

cosπ12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = cos

π62

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

= 1

62

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟cos

π

= 1

32

2

+ =

2 3

4

+ =

2 3

2

+

Por tanto,

sen sen7

12

5

12

π π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 2 ( 1 )

2 3

2⋅ +⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

sen sen7

12

5

12

π π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = 2 3+

Simplifi ca la siguiente expresión: cos cosω π ω π+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3 3

Solución

Se emplea la identidad, cos a – cos b = – 2 sen senα β α β+⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ −⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥2 2

cos cosω π ω π+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3 3= – 2 sen sen

ω π ω π ω+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

⋅+

3 32

ππ ω π3 3

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

cos cosω π ω π+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3 3= – 2 sen senω( )⋅ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

p3

cos cosω π ω π+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3 3= – 2 sen ω( )⋅

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟3

2

cos cosω π ω π+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3 3= − ⋅3 sen ω

22

33


850

Simplifi ca la siguiente expresión: senx

senx

2 2 2 2

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π π

Solución

Al utilizar la identidad, sen a – sen b = 2 cos senα β α β+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2 2

, se obtiene:

sen

xsen

x

2 2 2 2+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π π= 2 cos

x x

sen

x

2 2 2 22

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

π π22 2 2 2

2

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛

⎝

⎜⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟⎟

π πx

sen

xsen

x

2 2 2 2+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π π= 2cos

x

2 sen

π2

sen

xsen

x

2 2 2 2+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π π= 2cos

x

2 (1)

sen

xsen

x

2 2 2 2+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π π= 2cos

x

2

4

Convierte en producto las siguientes sumas y restas de funciones trigonométricas:

1. sen 165° + sen 75° 9. cos cos3

4 12

π π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2. cos cos7 2β β( )+ −( ) 10. cos cosβ π β π+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

6 6

3. sen sen240 120°( ) + °( ) 11. sen senπ π4 3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4. cos cos5 3θ θ( ) − ( ) 12. sen senα β α β+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 2

5. cos cos37 52o°( )+ ( )29 31' '

13. cos cosα π α π+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4 4

6. sen sen7

12 12

π π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

14. sen senβ π β π+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

8 8

7. cos cos5

18

2

9

π π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ 15. sen sen

5

8

7

8π α π α+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

8. sen 35° – sen 25° 16. cos cosα β α β+⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟− −⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

2 2

EJERCICIO 48



851

Demostración de identidades

Demuestra la siguiente igualdad: sen sen

cos cos

50 10

50 10

º º

º º

++

= 3

3

Solución

Se aplica la suma de senos y cosenos

sen sen

cos cos

50 10

50 10

º º

º º

++

= 2

12

50 1012

50 10

212

50

sen cos

cos

º º º º+( ) −( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

ºº º º º+( ) −( )⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

1012

50 10cos =

sen cos

cos cos

30 20

30 20

º º

º º = tan 30º

Pero tan 30º =3

3, por lo que la igualdad queda demostrada.

Demuestra la siguiente igualdad:

sen x + sen 3x + sen 5x + sen 7x = 4 sen 4x cos 2x cos x

Solución

Se agrupan dos a dos los sumandos

sen x + sen 3x + sen 5x + sen 7x = (sen x + sen 3x) + (sen 5x + sen 7x)

Se aplica la transformación de suma de senos a productos

sen x + sen 3x = 21

23

1

23sen x x cos x x+( ) −( )⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

= 2 2sen x cos x−( )[ ] = 2 sen 2x cos x

sen 5x + sen 7x = 21

25 7

1

25 7sen x x cos x x+( ) −( )⎡

⎣⎢⎤⎦⎥ = 2 6sen x cos x−( )[ ]= 2 sen 6x cos x

Entonces, sen x + sen 3x + sen 5x + sen 7x = 2sen 2x cos x + 2sen 6x cos x = 2cos x (sen 2x + sen 6x)

En esta nueva expresión se aplica la transformación de sumas a productos,

2 cos x (sen 2x + sen 6x) = 2 cos x · 21

22 6

1

22 6sen x x cos x x+( ) −( )⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

= 4 cos x [sen 4x cos(–2x)]

= 4 cos x sen 4x cos 2xPor tanto, queda demostrada la igualdad.

22

1

Ejem

plos

EJEMPLOS


852

Demuestra las siguientes igualdades:

1. cos cos5

12

11

12p p+ = − 2

2

2. sen sen

sen sen

40 20

40 20

º º

º º

+−

= 3

310ctg º

3. sen sen

sen sen

p p

p p6

518

518 6

+

−=

tan

tan

29

18

p

p

4. cos (x – π) + cos (x + π) = – 2 cos x

5. sen 2x + sen 4x – sen 6x = 4sen x sen 2x sen 3x

6. sen x – sen 2x + sen 3x – sen 4x = – 4sen x

2 cos

5

2

x cos x

7. cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 4cos5

2

x cos x cos

x

2

8. tan x = sen x sen x

cos x cos x

5 3

5 3

−+

9. 1 2

3

2−−

sen x

sen x sen x=

1

2csc x

10. cos x y cos x y

sen x y sen x y

+( ) − −( )+( ) − −( )

= – tan x

11. 1

2 3sen x sen x sen x+ +=

1

4

3

2 2csc

xx sec

xsec

12. 1

4cos a b c cos a b c cos a b c cos a b c+ +( )+ + −( )+ − +( )+ − −(( )⎡⎣ ⎤⎦ = cos a cos b cos c

EJERCICIO 49

Ecuaciones trigonométricas

Una ecuación trigonométrica es una expresión que tiene como incógnita valores angulares bajo los signos de funciones trigonométricas.

Al resolver una ecuación trigonométrica se debe encontrar el o los valores que satisfacen dicha ecuación, esto es, que en una ecuación trigonométrica no siempre existe una solución única, en ocasiones existen varias, las cuales se expresan como conjunto solución.



853

Resuelve la siguiente ecuación para 0 ≤ x ≤ 2p.

sen x +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

p4

= 1

Solución

Se despeja la incógnita x y la función seno se representa como arc sen en el segundo miembro, luego el intervalo indica que se tomarán como solución aquellas entre 0° y 360°

sen x +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

p4

= 1 S x +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

p4

= arc sen (1)

x + p4

= p2

x = p2

–p4

=p4

= 45°

El resultado puede expresarse en grados o en radianes.

Resuelve la siguiente ecuación para u si 0° ≤ u ≤ 360°.3 tan u – 4 = tan u –2

Solución

Se agrupan los términos que tienen a las incógnitas y se reducen:

3 tan u – 4 = tan u –2 S 3 tan u – tan u = –2 + 4 2 tan u = 2 tan u = 1

De esta expresión se despeja el ángulo u

tan u = 1 S u = arc tan (1)

u = p4

= 45°

Luego, la tangente es positiva en el primero y tercer cuadrantes, por consiguiente, el conjunto solución es p4

y 5

4

p.

Resuelve la siguiente ecuación para x si 0 ≤ x ≤ 2p.

2 sen2 x –1 = – sen xSolución

Se agrupan los términos en el primer miembro:

2 sen2 x –1 = –sen x S 2sen2 x + sen x – 1 = 0

La expresión resultante se factoriza, (2sen x –1)(sen x + 1) = 0

Por tanto, 2sen x – 1 = 0 y sen x + 1 = 0, de las cuales se despeja la incógnita x, entonces,

2sen x –1 = 0 sen x + 1 = 0

sen x =1

2 sen x = –1

x = arc sen 1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x = arc sen (– 1)

x = p p6

5

6, x =

3

2

p

Luego, el conjunto solución es p p p6

5

6

3

2, y .

22

33

1

Ejem

plos

EJEMPLOS


854

Resuelve la siguiente ecuación para u, si 0° ≤ u ≤ 360°.4 cos2 u – 3 = 0

Solución

Se despeja cos u de la ecuación:

4 cos2 u – 3 = 0 S 4 cos2 u = 3 S cos2 u = 3

4

cos u = ±3

2Se obtienen dos ecuaciones

cos u = 3

2 y cos u = –

3

2Se despeja el ángulo u

u = arc cos3

2

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = 30°, 330° ; u = arc cos −

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

3

2= 150°, 210°

Al fi nal, el conjunto solución es 30°, 150°, 210° y 330°.

Resuelve la siguiente ecuación para u si 0° ≤ u ≤ 360°.

2 sen2 u = – sen u

Solución

Se resuelve la ecuación:

2sen2 u + sen u = 0 S sen u (2 sen u + 1) = 0

Se obtienen dos ecuaciones: sen u = 0 2 sen u + 1 = 0Se despeja el ángulo u, sen u = 0 2 sen u + 1 = 0

u = arc sen (0) u = arc sen −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

2 u = 0°, 180°, 360° u = 210°, 330°

Por tanto, el conjunto solución es 0°, 180°, 210°, 330° y 360°.

Resuelve la siguiente ecuación para x si 0° ≤ x ≤ 360°.

2 cos2 x = sen x – 1

Solución 2 cos2 x = sen x – 1 S 2(1 – sen2 x) = sen x – 1

2 – 2sen2 x = sen x – 1

2 – 2sen2 x – sen x + 1 = 0

– 2sen2 x – sen x + 3 = 0 (÷ – 1)

2sen2 x + sen x –3 = 0

(2sen x + 3)(sen x – 1) = 0Se despeja el ángulo x de ambas ecuaciones: sen x – 1 = 0 2 sen x + 3 = 0

x = arc sen (1) sen x = –3

2(no existe solución)

x = 90°Cabe mencionar que 2 sen x + 3 = 0 no tiene solución porque –1 ≤ sen x ≤ 1, entonces el conjunto solución es 90°.

55

66

4


855

Resuelve las siguientes ecuaciones, tales que 0° ≤ x ≤ 360°.

1. sen x = sen p2

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟x

16. 2sen x + csc x = 3

2. cos x + 2 sen x = 2 17. sen x ⋅ ctg x – sen x = 0

3. 2 cos p4

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟x = 1 18. 2cos3 x + cos2 x – 2cos x – 1 = 0

4. csc x = sec x 19. 4cos x – 2 = 2 tan x ⋅ ctg x – sec x

5. 2 cos x ⋅ tan x – 1 = 0 20. tan5 x – 9 tan x = 0

6. 4 cos2 x = 3 – 4 cos x 21. 1

3 02ctg x

tan x

+ =

7. 3 cos2 x + sen2 x = 3 22. sen x sec x sen x sec x⋅ + − =2 2

8. 2 sen2 x + sen x = 0 23. 2 3 2 3 2 2−( ) + −( ) =sen x cos x

9. cos x + 9 sen2 x = 1 24. 2 +( ) − +( ) =5 1 2 5 2 2cos x sen x

10. csc2 x = 2 cot2 x 25. sec x(2sen x + 1) – 2(2sen x + 1) = 0

11. sen x ⋅ tan x + 1 = sen x + tan x 26. 3

0tan x

sec xcos x− =

12. 2cos2 x + 3sen x = 0 27. 2 2 3cos x sen x− = −

13. sen x – cos x = 0 28. 5sen2 x + cos2 x = 2

14. 3cos2 x – sen2 x = 0 29. 5

5 3 0csc x

cos x− =

15. cos x – 3 sen x = 0 30. cos2 x + cos x = sen2 x

EJERCICIO 50


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