Ley de Hooke generalizada y recipientes de paredes delgadas

Determinación si un recipiente es de pared delgada ó gruesa: cuando la relación entre el radio medio del

recipiente y el espesor de la pared es 10 ó mayor que 10, se puede suponer que se trata de Recipiente de

pared delgada. Su cálculo se realiza por el método de la membrana.

Fórmula de Laplace 𝜍𝑚

𝜌𝑚+

𝜍𝑡

𝜌𝑡=

𝑝

𝑒

m tensión meridional: tiene la misma dirección del meridiano que engendra la cáscara.

t tensión transversal: tiene la dirección perpendicular al meridiano que engendra la cáscara. No

necesariamente es normal al elemento

m radio meridional: es el radio de curvatura de la curva meridiana generatriz.

t radio transversal: es el segmento de recta medido sobre la perpendicular trazada al elemento y cuyos

extremos son el elemento y el eje de revolución.

Para cada elemento diferencial de cáscara, existe un vector N que es perpendicular a su superficie y se

dirige hacia afuera del cuerpo, vector normal externo. Decimos hacia afuera del cuerpo cuando sigue la

dirección y sentido que va del eje de revolución hacia el elemento considerado.

Los radios se consideran positivos cuando sus sentidos coinciden con el sentido del vector externo N.

Los radios deben introducirse con sus signos en la fórmula de Laplace.

pi es la presión interna

p = pi pe + q pe es la presión externa

q es el peso propio de la cascara

e = espesor de la pared de la cascara

Referencias: Ortiz Berrocal – pag. 148

Popov pag. 184

Eje de revolución

N

t m

N

m = N

Eje de revolución t N

N t = R

CILINDRO ESFERA

N

m = t = R

m

t

m

Preguntas y ejercicios conceptuales

a) En un reservorio esférico sometido a una presión interna p, determinar el aumento del

radio del mismo.

Como se trata de un reservorio esférico, los radios y las tensiones transversales y meridionales son iguales.

Por la ecuación de Laplace toma la forma: ςT

RT+

ςT

RT=

p

e ; ςT = ςM =

p R0

2 e

T es la tensión transversal y produce deformación unitaria de la circunferencia, así

εT = ςT

E

μ

EςM =

ςT

E 1 μ =

p R0

2 E e 1 μ =

C ircunf (final ) C ircunf (inicial )

C ircunf (inicial )=

2 π Rf 2 π R0

2 π R0=

∆R0T

R0 (1)

De 1 : ∆R0T = p R0

2

2 E e 1 μ ; ∆𝑅0 = ∆𝑅0𝑇 =

p R02

2 E e 1 μ

b) Para un conducto de pared delgada de radio “r”, espesor “e”, modulo de elasticidad “E”,

abierto en sus extremos y sometido a la presión uniforme “p”, determinar la formula que

indique el aumento de su radio.

La tensión longitudinal es nula y la transversal: 𝑇 = 𝑝 𝑟

𝑒

Como = E ; 𝑇 = 𝑝𝑟

𝑒= 𝐸 ; =

𝑝 𝑟

𝐸 𝑒

Como es la deformación unitaria, la deformación de la circunferencia transversal es:

Circunf = 2 r = 2 p r2

E e

La longitud final de la circunferencia transversal es: 2 r + 2 p r2

E e= 2 r +

p r2

E e

El aumento del radio es: p r2

E e

DATOS

p : presión interna

Ro: radio del reservorio

E: Módulo de Elasticidad

e: espesor

: coeficiente de Poisson

c) Para un depósito cilíndrico cerrado, de pared delgada, de radio “r” y espesor “e”,

sometido a una presión interior uniforme “p”, indicar como se producirá la falla del

material en la pared lateral y fundamentar el motivo de la falla.

Por la ecuación de Laplace, 𝜍𝑚

𝜌𝑚+

𝜍𝑡

𝜌𝑡=

𝑝

𝑒 y para un depósito cilíndrico cerrado ρm = ; ρt = r

𝜍𝑡 =𝑝 𝑟

𝑒 𝑦 𝜍𝑚 =

𝑝 𝑟

2𝑒

La tensión transversal es mayor que la meridional, por lo tanto resistirá menos a esfuerzos transversales.

La falla del material se producirá longitudinalmente.

d) El corte de un neumático indicado en la figura está sometido a una presión “p”, siendo su

espesor “e”. Establecer la ecuación de Laplace, para calcular las tensiones de la

membrana en los puntos A; B y C del mismo (en función de los datos del problema).

A

B C

D

La ecuación de Laplace correspondiente a recipientes de paredes delgadas es: σm

ρm

+σt

ρt

=p

e

Para el punto A: m

= R ; t

= ; σm

R+

σt

=

p

e ;

σm

R=

p

e

Para el punto B: m

= R ; t

= D + R ; σm

R+

σt

D+ R=

p

e

Para el punto C: m

= R ; t

= (D − R) ; σm

R+

σt

−(D R)=

p

e

e) Indicar como mínimo 4 limitaciones en la teoría de la membrana (paredes delgadas)

aplicadas a recipientes sometidos a presión interna.

a- No es aplicable a envolventes sometidos a flexión

b- La presión no necesariamente debe ser constante

c- El recipiente debe presentar simetría respecto a un eje de revolución

d- El espesor de la pared se considera despreciable respecto a las otras longitudes

e- El apoyo de la estructura debe ser tal que la sección recta de la misma debe ser perpendicular al

sistema de apoyo, a fin de evitar que se produzcan momentos flectores.

f- No es compatible con la teoría de la membrana, las cargas concentradas que actúen

perpendicularmente a la superficie media.

R

f) Un cascarón cónico de pared delgada está lleno hasta la parte superior con un líquido cuyo

peso específico es . Demuestre que:

𝛔𝐦 =𝛄.𝐲. 𝟑𝐚−𝟐𝐲 .𝐬𝐞𝐧𝛂

𝟔.𝐞.𝐜𝐨𝐬𝟐𝛂 y 𝛔𝐓 =

𝛄.𝐲. 𝐚−𝐲 .𝐬𝐞𝐧𝛂

𝐞.𝐜𝐨𝐬𝟐𝛂

Por la ecuación de Laplace: σt

ρt

+σm

ρm

=p

e ; m = ; t = r ;

σt

r=

p

e ; σt =

p.r

e (1)

Por otro lado: r =y.tgα

cos α ; p = (a – y) reemplazando en (1): 𝜍𝑡 =

𝛾 𝑎−𝑦 .𝑦 .𝑡𝑔𝛼

𝑒 .𝑐𝑜𝑠𝛼=

𝛾 .𝑦 . 𝑎−𝑦 .𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑒 .𝑐𝑜𝑠2𝛼

La proyección vertical de las fuerzas de tracción engendradas por las tensiones meridianas m sobre la

sección de corte es: 2 tg .e.m.cos

Que se equilibria con el peso del volumen del líquido = [y2(a−y)tg

2 + 1/3 y

2.y.tg

2] =

y2tg

2(a−2/3y)

Igualando las expresiones: 2 tg .e.m.cos = y2tg

2(a−2/3y) ;

σm =γ.tgα

2.e.cos αy a −

2

3y =

γ.y. 3a−2y .sen α

6.e.cos 2α

Ortiz Berrocal 2da. ed. Pag. 151

a

e

Ejercicios resueltos

1- Un tambor cilíndrico de acero construido de placa soldada de 10 mm tiene un diámetro interior

d = 1,20 m. Calcular el aumento del diámetro si en su interior actúa una presión p =1,5 M Pa.

Tomar = 0,3 y E = 200 G Pa. Datos:

p = 1,5 M Pa

d = 1,2 m

e = 0,01 m

= 0,3

E = 200 G Pa

Por la ecuación de Laplace: 𝜍𝑇 = 𝑝 𝑑

2 𝑒 ; 𝜍𝑀 =

𝑝 𝑑

4 𝑒

εT = ςT

E

μ

E ςM =

p d

2 e E

μ

E p d

4 e=

p d

2 e E 1

μ

2 (T es la deformación unitaria circunferencial)

T = π d π d0

π d0=

∆d

d0 ;

p d

2 e E 1

μ

2 =

∆d

d0

1,5 x 106 x 1,2

2 x 0,01 x 200 x 109 1 0,3

2 =

∆d

1,2 ; ∆d = 0,459 mm

2- Se desea construir un depósito cilíndrico vertical de agua de 8 m de diámetro y 12 m de altura.

Determinar el espesor que debe tener la pared si el depósito se llena hasta el borde y la tensión

admisible del material de la pared es adm = 40 M Pa.

Cuando el depósito esté lleno la mayor presión se producirá en el borde inferior de la pared y su valor es:

p = g h = 1000 x 9,81 x 12 = 117 720 N/m2

ςT = p D

2 e ; e =

p D

2 ςT=

117 720 x 8

2 x 40 x 106 = 0,0118 m = 11,8 mm

3- Un pilar cilíndrico macizo de concreto está envuelto por un

tubo de acero de 0,5 cm de espesor. Si el límite elástico de

la deformación unitaria longitudinal es lim = 10 3

Calcular:

a) La máxima carga P aplicable a la pieza sin pasar lim,

cuando el tubo de acero disminuye su temperatura

30ºC

b) La tensión transversal en el acero para el caso a) Datos:

Acero Concreto

Ea = 2 x 106 kg/cm

2 Ec = 2 x 10

5 kg/cm

2

a = 0,30 c = 0,40

= 2 x 10 5

1/ºC D = 50 cm

e = 0,5 cm

Como la deformación unitaria longitudinal es lim = y = 10 3

, en

el concreto se verifica:

εy = ςy

Ec

μc

Ec ςx + ςz ; 10

3 . 2 x 10

5 = p 0,40( q q)

200 = p + 0,8 q (1)

εx = ςx

Ec

μc

Ec ςy + ςz ; 휀𝑥 =

𝑞

𝐸𝑐

𝜇𝑐

𝐸𝑐 𝑝 𝑞

휀𝑥 = 𝑞 1 𝜇𝑐

𝐸𝑐+

𝜇𝑐

𝐸𝑐 𝑝 (2)

La acción sobre el acero es:

𝜍𝑇

𝑟𝑇+

𝜍𝑀

𝑟𝑀=

𝑝

𝑒 ; 𝜍𝑇 =

𝑞

𝑒 𝐷

2 (3) 휀𝑐𝑖𝑟𝑐 =

2 𝜋 𝑟𝑓 2 𝜋 𝑟𝑜

2 𝜋 𝑟𝑜=

𝑟𝑓 𝑟𝑜

𝑟𝑜=

∆𝑟

𝑟𝑜= 휀𝑟

휀𝑥 = 𝜍𝑇

𝐸𝑎

𝜇𝑎

𝐸𝑎 𝜍𝑀 + 𝛼 ∆𝑡 (4)

De (3) y (4) 휀𝑥 = 𝑞 𝐷

2 𝑒 𝐸𝑎+ 𝛼 ∆𝑡 (5)

De (5) y (2) 𝜇𝑐 𝑝

𝐸𝑐

𝑞 1 𝜇𝑐

𝐸𝑐=

𝑞 𝐷

2 𝑒 𝐸𝑎+ 𝛼 ∆𝑡 ; 4 p 6 q = 50 q 1200

p 14 q = 300 (6)

De (1) y (6)

200 = p + 0,8 q

300 = p 14 q 500 = 13,2 q q = 37,88 kg/cm2

p = 230,30 kg/cm2

T = 1894 kg/cm2

p

y

x

z

e D e

q

5- Un cilindro macizo (1) recibe una fuerza de

compresión P y está envuelto por otro cilindro

hueco (2) del mismo material con una holgura

entre ambos. Entre el ala del cilindro (1) y el

cilindro (2) hay una separación . Determinar el

valor de P que produzca contacto entre el ala del

cilindro (1) y la parte superior del cilindro (2). Datos

Cilindro (1) Cilindro (2)

E1 = 400 000 kg/cm2 E2 = 5 E1

D = 50 cm L = 3 D

= 0,05 cm = 50

e = 1 cm = 0,25

En el capítulo anterior se determinó que para ςy = 64 kg

cm2 el contacto se produce entre las

caras laterales de ambos cilindros.

Ahora bien, ςy = 64 kg

cm2 produce una disminución 1 de la longitud del cilindro (1) que está

dado por: εy = 1

L+ =

ςy

E1

μ

E1 ςx + ςz ; pero x = z = 0

1 = L+ .ςy

E1=

150,05 64

400 000= 0,024 cm por lo tanto, luego de aplicar la tensión de 64 kg/cm

2,

entre los cilindros queda una holgura 2 = 1 = 0,05 0,024 = 0,026 cm y a partir de ésta

tensión aparece una presión de contacto q en las caras laterales de los cilindros.

εy = 2

L+ 2=

ςy 2

E1

μ

E1 ςx + ςz ; pero x = z = q ;

0,026

150,026=

ςy 2

E1

0,5

E1q

Para determinar y2 debemos encontrar el valor de q

Por la ecuación de Laplace ςt

rt+

ςM

rM=

p

e ; rM = ; p = q ; 𝜍𝑡 =

𝑞

𝑒

𝐷+2 +𝑒

2

P

(2) (2)

L

e D e

y

(1)

x

6- El tanque cónico de la figura tiene en su interior

un gas a presión pi = 0,3 kg/cm2. El tanque está

sumergido en agua. Determinar:

a) El esfuerzo en el cabo

b) Dimensionar el cabo sabiendo que se tensión

admisible es de 1000 kg/cm2 y que su

deformación total debe ser menos que 0,02 cm

c) Las tensiones en el punto A

Datos:

e = 0,2 cm Cabo

recipiente = 9,3 g/cm3 E = 2,1 x 10

6 kg/cm

2

pi = 0,3 kg/cm2 adm = 1000 kg/cm

2

agua = 10 3

kg/cm3 adm = 0,02 cm

a) Cálculo del esfuerzo en el cabo:

Fy = 0 ; 1

3Abase . h. γagua Vrec . γrec = T

1

3π . 302 .140 . 10 3 π . 302 + 30 .π . 302 + 1402 0,2 .9,3 . 10 3 = T

T = 131,95 30,36 = 101,59 kg

b) Dimensionamiento del cabo:

ς = N

A ≤ 1000 ;

101,59

π d 2

4

≤ 1000 ; d ≥ 0,36 cm

d = 0,78

𝛿 = 𝑁 𝐿

𝐴 𝐸 ≤ 0,02 ;

101,59 . 200

2,1 . 106 𝜋 𝑑2

4

≤ 0,02 ; 𝑑 ≥ 0,78

c) Cálculo de las tensiones en el punto A:

En el punto A se tiene una presión externa pe = agua . 160 = 0,16 kg/cm2

La presión interna es pi = 0,30 kg/cm2 ; Diferencia pA = 0,14 kg/cm

2

ςM

ρM+

ςT

ρT=

p

e ; 𝜌𝑇 =

𝑅

𝑐𝑜𝑠𝛼=

10,71

cos 12,09= 10,96 ;

𝜍𝑇

10,96=

0,14

0,2 ; 𝑇 = 7,67 kg/cm

2

2𝜋 𝑅 𝑒 cos𝛼 𝜍𝑀 = 𝐹𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝐹𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + 𝑃𝑒𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑠𝛼

Finterior = R2 pi = . 10,71

2 . 0,3 = 108,11 kg

Fexterior = 1

3πR250 + πR2160 γagua = π10,712 .176,67 . 10 3 = 63,66 kg

Peso = πR 10,712 + 502 e γrec = π 10,71 .51,13 .0,2 .9,3 . 10 3 = 3,20 kg

M = 3,54 kg/cm2

Nivel del agua

60 cm 70 cm

Agua

90 cm

A

Agua

50 cm

Agua

200 cm

pi

M T M

R = 10,71 A

50

12,09º