04-Triangulos

4 MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

662

Defi nición

Porción del plano limitada por 3 rectas que se intersecan una a una en puntos llamados vértices.

A B

C

1l

2l3l

A, B y C: vértices

AB, BC y AC : lados

Clasifi cación de los triángulos

Los triángulos se clasifi can por la longitud de sus lados o la magnitud de sus ángulos.

Por sus lados

Triángulo equiláteroSus lados son iguales

A C

B

AB = AC = BC

Triángulo isósceles Tiene 2 lados iguales

A C

B

AB = BC ≠ AC

Triángulo escaleno Sus lados son diferentes

AC

B

AB ≠ BC ≠ AC

Por sus ángulos

Triángulo rectánguloTiene un ángulo recto

Triángulo acutánguloSus 3 ángulos son agudos

Triángulo obtusángulo Es el que tiene un ángulo obtuso

∠ A = 90° ∠ A < 90°, ∠ B < 90° y ∠ C < 90° ∠ A > 90°

A CA C

B

BC

BA

4 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA • Triángulos

663

Rectas y puntos notables

Son rectas y puntos con características especiales dentro de un triángulo y son:

Altura. Es el segmento perpendicular trazado desde un vérticeal lado opuesto.

Ortocentro. Se defi ne así al punto donde se intersecan las alturas.

Mediana. Así se denomina al segmento que une un vérticecon el punto medio del lado opuesto.

Baricentro. Es el punto donde se intersecan las medianas.

Bisectriz. Recta que divide en 2 ángulos iguales a un ángulointerior de un triángulo.

Incentro. Es el punto donde se intersecan las bisectrices.

Mediatriz. Recta perpendicular al lado de un triángulo yque pasa por el punto medio de este mismo lado.

Circuncentro. Es el punto donde se intersecanlas mediatrices.

A B

C

O

h

hh

O: Ortocentro

A B

Pm BCPm AC

O: Baricentro

O•

Pm AB

C

A B

C

O

1

5 3

O: Incentro

2

46

A B

C

Pm AB

Pm BC

Pm AC

O O: Circuncentro


664

Teoremas

A continuación se mencionan y demuestran algunos teoremas importantes sobre triángulos.

Ú Teorema 1. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

A1 2

B C

– A + – B + – C = 180°

Demostración: Por ángulos suplementarios,

/ 1 + / A + / 2 = 180°

La recta que pasa por el vértice A es paralela a BC y por ángulos alternos internos entre paralelas:

/ 1 = / B; / 2 = / C

Al sustituir en / 1 + / A + / 2 = 180°, se obtiene:

/ B +/ A +/ C = 180°

Ú Teorema 2. Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los 2 interiores no adyacentes a él.

A B

C

M N

P – M = – B + – C– P = – A + – B

= – A + – C– N

Demostración: En un triángulo la suma de los ángulos interiores es 180°.

/ B + / A + / C = 180°

Los ángulos A y M son suplementarios:

/ A + / M = 180ºAl igualar:

/ B + / A + / C = / A + / M

/ B + / C = / A – / A + / M

/ B + / C = / M

Para / N y / P se realiza el mismo procedimiento.


665

Ú Teorema 3. La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es igual a 360º.

B

P

A

C

M

N

∠ M + ∠ N + ∠ P = 360°

Demostración: Los ángulos M, P y N son ángulos exteriores, entonces al aplicar el teorema 2.

/ M = / B + / C

+ / P = / A + / B

/ N = / A + / C

/ M + / N + / P = 2/ A + 2/ B + 2/ C

/ M + / N + / P = 2(/ A + / B + / C)

/ M + / N + / P = 2(180°) = 360°

Por tanto, / M + / N + / P = 360°

Ú Teorema 4. En todo triángulo la longitud del segmento que une los puntos medios de dos lados es paralela e igual a un medio de la longitud del lado restante.

Ú Teorema 5. La suma de dos lados cualesquiera de un triánguloes mayor que el lado restante, mientras que su diferencia es menor.

Ú Teorema 6. Si 2 lados de un triángulo son distintos, al mayor lado se opone mayor ángulo.

Ú Teorema 7. Para 2 ángulos distintos de un triángulo, a mayorángulo se opone mayor lado.

A B

C

D EABDE y

DE = AB2

1

i

AB < AC + BC

A B

C

Si BC > AC

entonces

∠ A > ∠ BA B

C

Si ∠ A > ∠ B

entonces

BC > AC

A B

C


666

Calcula el valor de los ángulos del siguiente triángulo:

AB

C

x3x

2x

Solución

Por defi nición, los ángulos interiores de un triángulo suman 180°

x + 2x + 3x = 180° donde 6x = 180°

x = 180

630

°°=

Si x = 30°, entonces:

/ A = x = 30°, / C = 2x = 2(30°) = 60° y / B = 3x = 3(30°) = 90°

Por consiguiente: / A = 30°, / C = 60° y / B = 90°

Calcula el valor de los ángulos del siguiente triángulo:

135°B53°A

D

C

Solución

Por ángulos exteriores:

/ C + 53° = 135° donde / C = 135° – 53° = 82°

Por ángulos suplementarios,

/ B + 135° = 180° S / B = 180° – 135° = 45°

/ A + 53° = 180° S / A = 180° – 53º = 127°

/ C + / D = 180° S / D = 180° – / C = 180° – 82° = 98°

Por tanto, / A = 127°, / B = 45°, / C = 82° y / D = 98°

22

1Ej

empl

osEJEMPLOS


667

Determina el valor de los ángulos del siguiente triángulo:

2x – 5° x

2x

C

A B

Solución

La suma de los ángulos interiores es 180°

2x + x + (2x – 5°) = 180° 5x – 5° = 180°

x = 185

537

°°=

Por ser ángulos suplementarios:

/ A + x = 180° S / A = 180° – x = 180° – 37° = 143°

/ B + 2x – 5° = 180° S / B = 180° – 2x + 5° = 180° – 74° + 5° = 111°

/ C + 2x = 180° S / C = 180° – 2x = 180° – 74° = 106°

Por consiguiente:

/ A = 143° / B = 111° / C = 106°

/ x = 37° / 2x – 5° = 69° / 2x = 74°

La medida de los ángulos interiores de un triángulo es equivalente a 3 números pares consecutivos, ¿cuál es la medida de cada ángulo?

Solución

Sean los ángulos 2x, 2x + 2°, 2x + 4°, si aplicas el teorema 1 de los triángulos:

2x + 2x + 2° + 2x + 4° = 180°

6x + 6° = 180°

6x = 174°

x = 29°

Por tanto, el valor de cada uno de los ángulos es:58°, 60° y 62°

2x

2x + 2°

2x + 4°

44

3


668

Resuelve los siguientes problemas:

1. Calcula el valor de los ángulos exteriores del siguiente triángulo:

145°

x – 5°

x

2. Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 8 veces el otro. ¿Cuánto vale cada ángulo?

x

8x

3. En un triángulo isósceles, un ángulo de la base es el cuádruplo del ángulo diferente. ¿Cuánto mide cada ángulo?

4x

x

4. Uno de los ángulos interiores de un triángulo mide 84° y la diferencia de los otros 2 es de 14°. ¿Cuánto miden los ángulos restantes?

84ºB

A

5. Encuentra los ángulos interiores de los siguientes trián-gulos:

62°

112°

24°

+ 7°g

g

b2a

u

6. Determina los valores de b y u. Si AC biseca al ángulo

DCB y DC AB

108°b

qCD

A B

7. Determina el valor de los ángulos interiores del trián-gulo ABC.

2x – 5°

4x + 15°

110° + x

BC

A

y

8. En la siguiente fi gura el lado AC es bisectriz del ángulo

/ BAD. Determina los ángulos interiores de los Δ ABC y

ACD sabiendo que / BAC = y + 8°, / CAD = x + 13°,

/ ABC= 3x – 6° y / ACD = 10

3y + 7°

A

B C D E

145°

EJERCICIO 8

Ú Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente


669

Triángulos congruentes

Son aquellos que tienen la misma forma y tamaño.Si 2 triángulos son congruentes entonces:

a) Sus lados homólogos son iguales.b) Sus ángulos homólogos son iguales.

5 5

11

22

yy

x x

A

C B

A’

C’ B’

Los triángulos ABC y A’B’C’ son congruentes, porque tienen iguales tanto sus lados como sus ángulos, es decir, existe igualdad entre los 3 pares de lados y los 3 pares de ángulos.

Esto se representa D ABC ≅ D A’B’C’ y se lee: “El triángulo ABC es congruente con el triángulo A’B’C’ ”.

Teoremas de congruencia

Ú Teorema I (lado, lado, lado). Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados iguales.

E F E’ F’

D’D

DE = D ' E ' , 'F'EEF = 'F'DDF =y

Ú Teorema II (ángulo, lado, ángulo). Dos triángulos son congruentes si tienen 2 ángulos y el lado adyacente a ellos respec tivamente iguales.

H J

G

H’ J’

G’

' ,HH ∠=∠ HJ = H ' J ' 'JJ ∠=∠y

Ú Teorema III (lado, ángulo, lado). Dos triángulos son congruentes si 2 lados y el ángulo comprendido entre ellos son res pec tivamente iguales a sus homólogos del otro.

L M L’ M’

K K’

' ,L'KKL = 'LL ∠=∠ 'M'LLM =y


670

En la siguiente fi gura MO PNi . Determina si los siguientes triángulos son congruentes y encuentra los valores de x y y.

M

N

O

8

8

76°

x

55°y P

76°

SoluciónSe construye una tabla en la que se dan las afi rmaciones y las razones que nos lleven a la demostración que se pide.

Afirmaciones Razones

1. MO = PN 1. Datos 2. MON = PNO 2. Datos

3. ON = NO 3. Por ser lado común a los triángulos MON y PNO 4. MON PNO 4. Por el teorema: lado, ángulo, lado 5. y = 55° 5. Los ángulos homólogos de triángulos congruentes son

iguales

6. x = 49° 6. En el triángulo OMN: MON + ONM + NMO = 180°

76° + x + 55° = 180° x = 180° – 76° – 55° = 49°

1Ej

empl

osEJEMPLOS

En cada uno de los siguientes casos indica por qué son congruentes los triángulos y determina los valores de x y y.

EJERCICIO 9

1.

A 18 D

35°35°

18

1285°

B

C

y

x

2. E

J

x y

41° F

G H 41° 15

15

19.8 13

3. Si NR QO=

362°

R

MP

53

5

N

32°

x

y

O

Q



671

Aplicación de los teoremas de congruenciaDados dos triángulos, establece los criterios por los que son congruentes.

Si AB DFi , AC EFi y CB DE≅ , demostrar que Δ ABC ≅ Δ FDE

AB

CD

E

F

Solución

Demostración:

Afirmaciones Razones1. C E 1. Los lados AC y EF son paralelos y CE es la recta

secante, por tanto, los ángulos C y E son alternosinternos

2. CB DE 2. Datos

3. B D 3. Los lados AB y DF son paralelos y CE es la recta secante,en consecuencia, los ángulos B y D son alternos internos

4. ABC FDE 4. Por el teorema: ángulo, lado, ángulo

Si AB es bisectriz de / CAD y AC ≅ AD . Demuestra que BE es bisectriz de / CBD.

DC

E

A

B

Solución


1. AC AD 1. Datos

2. CAB DAB 2. Definición de bisectriz

3. AB AB 3. Por ser lado común a los triángulos CAB y DAB

4. CAB DAB 4. Por el teorema: lado, ángulo, lado5. CBA DBA 5. Los ángulos homólogos en triángulos congruentes son

iguales6. CBE DBE 6. EBA = ABE CBA + CBE = DBA + DBE,

pero CBA = DBA,entonces CBE = DBE7. BE es bisectriz del

CBD7. Definición de bisectriz:

CBE = DBEángulo

22

1

Ejem

plos

EJEMPLOS


672

Si / DCB = 111° y DB AC⊥ , demuestra que los triángulos DBC y ACB son congruentes y determina los valores de x y y.

A

BC

D

E

45°

x

24°y

12

SoluciónAfirmaciones Razones

1. CEB = 90° 1. Datos2. DBC = 45° 2. Datos3. DCB = 111° 3. Datos4. ECB = 45° 4. En el triángulo EBC:

CEB + EBC + ECB =180°,90° + 45° + ECB = 180°

ECB = 180° – 135°ECB = 45°

5. AEC = 180° 5. Por ser ángulo llano

6. AEB = 90° 6. AEC = CEB + AEB180° = 90° + AEB

90° = AEB7. ABE = 66° 7. En el triángulo ABE:

AEB + EAB + ABE = 180°90° + 24° + ABE = 180°

ABE = 180° – 114°ABE = 66°

8. CBA = 111° 8. CBA = CBE + ABECBA = 45° + 66°CBA = 111°

9. DBC ACB 9. Por las afirmaciones 2 y 4, si ACB = ECB

10. CB BC 10. Por ser lado común a los triángulos DBC y ACB

11. DCB ABC 11. Por las afirmaciones 3 y 8, si ABC = CBA

12. DBC ACB 12. Por el teorema: lado, ángulo, lado13. x = 12, y = 24° 13. Los lados y ángulos homólogos de triángulos congruentes

son iguales

En la fi gura, OQ PQ≅ , QS QR≅ , U es el punto medio de QS , T es el punto medio de QR , / OQR ≅ / PQS. Demuestra que .OU PT≅

U

O

S

P

RT

Q

44

3


673

Solución

Para comprobar que OU PT≅ , es necesario demostrar que los triángulos TQP y UQO son congruentes, entonces:


1. QS QR 1. Datos

2. QT QU 2. Los puntos U y T dividen en 2 segmentos

3. OQR PQS 3. Datos

4. OQR OQS + SQR 4. Ángulos contiguos

5. PQS PQR + RQS 5. Ángulos contiguos

6. OQS PQR 6. De 3 se tiene que: OQR PQS, entonces:OQS + SQR PQR + RQS,SQR RQS, por tanto: OQS PQR

7. OQ PQ 7. Datos

8. TQP UQO 8. Por el teorema: lado, ángulo, lado

9. OU PT 9. Los lados homólogos en triángulos congruentesson iguales

iguales a los lados QS y QR

pero

Demuestra cada uno de los siguientes ejercicios:

1. En la figura, los puntos P, Q y R son colineales, S, Q y T son colineales y U, Q y V son colineales. Si

SQ QT UQ QV≅ ≅ y , demuestra que D PUQ ≅ D RVQ

V

P U T

Q

S R

2. En la fi gura DAED, con AE DE≅ y AB CD≅ . Demuestra que / CBE ≅ / BCE

E

DCBA

3. En la fi gura, / CDH ≅ / CEH, FH GH≅ , DH EH≅ , AC BC≅ y DC EC≅ . Demuestra que D ADG ≅ D BEF

A B

C

D E

H

F G

EJERCICIO 10


674

4. En la fi gura, / ABC ≅ / ACB; BF CF≅ y / BFD ≅ / CFE. Demuestra que BE CD≅

A

B CF

ED

G

5. En la fi gura, AD BC≅ , AC BD≅ , AE BF≅ y AG BH≅ . Demuestra que EG FH≅

A B

CD

E F

HG

I

6. En la fi gura, PS QT≅ , RS RT≅ . Demuestra que PT QS≅

Q

R

S T

P

7. En la fi gura se tiene el D ABC con DF AC⊥ , EF BC⊥ , AD BE≅ y DF EF≅ . Demuestra que D ABC es isósceles.

B

C

D E

FA

8. De esta fi gura realiza lo que se indica.

R

S 256

79

P Q8

3

T

1

4

a) En el D PQR, PR QR≅ y ∠ ≅ ∠ 7 3 , demuestra que RS RT ≅

b) En el D PQR, / RPQ ≅ / RQP y / 6 ≅ / 4, comprueba que PS QT ≅

Ú Este ejercicio no tiene soluciones al fi nal del libro, por ser demostraciones.


675

Relación entre ángulos y lados homólogos de dos triángulos congruentesSean los triángulos congruentes ABC y A’B’C’:

A

B C

A’

B’ C’

Entonces se verifi ca que sus lados y ángulos homólogos son iguales:

/ A = / A’, / B = / B’, / C = / C’, AB = A B' ' , BC = B C' ' y AC = A C' '

Determina los valores de las incógnitas en los siguientes triángulos congruentes:

x + 4

2

x + 6

3y + 15°48°

Solución

Dado que los triángulos son congruentes, sólo basta con igualar los ángulos y lados homólogos para determinar los valores tanto de x como de y, entonces:

3y + 15° es homólogo a 48° y “x + 4” es homólogo a “x

2 + 6”

Para y

3y + 15° = 48° S 3y = 48° – 15° S 3y = 33°

y = 11°Para x

x

2 + 6 = x + 4 S 6 – 4 = x –

x

2 S 2 =

x

2

x = 4En consecuencia, los valores de x y y son: 4 y 11°

1

Ejem

plos

EJEMPLOS


676

En las siguientes fi guras los triángulos I y II son congruentes. Determina el valor de las incógnitas.

B

3b

24°72°

A

C

D

B

A D E C

IIIII

I

Si AB = 2y – 5, BC = 5x + 10

AD = x + 30, EC = 3x

1. 2.

3.

5.

4.

A

C

B

D3x5x + 5°

2y + 5° 4y

I

II

I

II

A

B

D

x + 3

2y3y + 58

4x

C

B

A D

57°

2b + 7°

34°

3a – 2°I

II

C

2a

EJERCICIO 11


ProporcionesLa razón es la comparación de dos cantidades.

ra

b=

Una proporción es una igualdad de 2 razones.a

b

c

d= o a : b = c : d

Y se lee: a es a b como c es a d.


677

Teoremas de proporciones

Ú Teorema 1. En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

Si a:b = c:d, entonces ad = bc

Ú Teorema 2. En una proporción pueden intercambiarse el segundo y tercer términos, y se obtiene una proporción cierta.

Si a:b = c:d, entonces a:c = b:d

Ú Teorema 3. En una proporción pueden invertirse las razones.

Si a:b = c:d, entonces b:a = d:c

Encuentra el valor de x en la proporción x

20

3

5=

Solución

Se despeja la incógnita x,x

20

3

5= donde x =

3 20

5

( ) =

60

5 = 12

Por consiguiente, x = 12

Determina el valor de x en la proporción 3 2

5x=

Solución

Se despeja la incógnita:3 2

5x= donde x =

3 5

2

( ) =

15

2

Finalmente: x = 15

2

Determina el valor de x en la proporción x x: :2 3 3 5− =

Solución

Se establece en forma de cociente la proporción:x

x2 3

3

5−=

Ahora de la igualdad se realiza un producto cruzado y se resuelve para x:

5x = 3(2x – 3) S 5x = 6x – 9 5x – 6x = – 9 – x = – 9 x = 9De acuerdo con lo anterior, x = 9

Determina el valor de x en la siguiente proporción 32

2x

x=

Solución

Se realiza un producto cruzado y se resuelve para x,32

2x

x= donde x(x) = (2) (32)

x2 = 64

x = ± 64 x = ± 8

22

33

44

1

Ejem

plos

EJEMPLOS


678

Precisa el valor de x en las siguientes proporciones:

1. x : 4 = 6 : 8 6. (2x + 8) : (x + 2) = (2x + 5) : (x + 1) 2. 3 : 5 = x : 12 7. x : 2y = 18y : x 3. 3 : x = x : 27 8. (x + 4) : 3 = 3 : (x – 4) 4. x : 5 = 2x : (x + 3) 9. (x – 1) : 3 = 5 : (x +1) 5. (x – 2) : 4 = 7 : (x + 2) 10. 2x : (x + 7) = 3 : 5

EJERCICIO 12


Semejanza

Los triángulos ABC y A’B’C’ son semejantes si tienen la misma forma, pero no el mismo tamaño.

Lados homólogos. Son aquellos cuyos ángulos adyacentes son iguales.

a con a’, b con b’, c con c’B

ca

C Ab

B’

a’

C’ A’b’

c’

Para indicar que 2 triángulos son semejantes se escribe Δ ABC , Δ A’B’C’, donde el símbolo ( , ) se lee: es semejante.

Propiedades fundamentales

1. Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales.

/ A = / A’, / B =/ B’ y / C =/ C’

2. Dos triángulos son semejantes si la razón de cada par de lados homólogos es constante, es decir, si sus lados son respectivamente proporcionales.

a

a

b

b

c

c' ' '= =

Si D ABC , D A’B’C’, encuentra el valor de b y c.B

AC

9 c

b

B’

C’ A’

3 5

4

Solución

La proporcionalidad entre los lados se establece como 9

3 4 5= =b c

, de la cual se obtiene:

c

5

9

3= S c =

9 5

3

( ) = 15

b

4

9

3= S b =

4 9

3

( ) = 12

1

Ejem

plos

EJEMPLOS


679

Teoremas de semejanza

Ú Teorema 1. Dos triángulos son semejantes si tienen 2 ángulos homólogos.

B

C A

B’

C’ A’

Si / C =/ C’ y / A = / A’ entonces, Δ ABC , Δ A’B’C’

Ú Teorema 2. Dos triángulos son semejantes si sus 3 lados son proporcionales.

B

C A

ca

b

B’

C’ A’

c’a’

b’

Si ' ' '

a b ca b c

= = entonces, D ABC , D A’B’C’

Ú Teorema 3. Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los lados que los forman son proporcionales.H

G Kh

gH’

G’ K’ h’

g’k’k

Si / K = / K’ y ' '

g hg h

= , entonces D GHK , D G’H’K’

Los siguientes triángulos son semejantes, determina la longitud del lado a en el triángulo D ABC

A

B

C

40°

a

c = 24

C’

A’

B’

c’ = 6

a’ = 4

40°

SoluciónSe establece la proporción entre los lados homólogos:

a

a

c

c' '=

Se sustituyen los valores respectivos y se despeja para a,

a

4

24

6= donde a =

4 24

6

( ) = 16

Por tanto, el valor de a = 16

1

Ejem

plos

EJEMPLOS


680

Encuentra la longitud de los lados b’ y c:

AB

C

60°

40°c

b = 24a = 12C’

A’B’40°

60°a’ = 4 b’

c’= 6

Solución

En los triángulos / A = / A’, / C = / C’ entonces, D ABC , D A’B’C’ por lo que se establece la proporcionalidad entre los lados homólogos.

12

4

24

6= =

b

c

'De esta relación se obtiene:

12

4

24=b’

S b’ = 4 24

12

( )( ) = 8

12

4 6= c S c = 12 6

4

( )( ) = 18

Entonces se deduce que, b’ = 8 y c = 18

2

En cada uno de los siguientes ejercicios se dan triángulos semejantes y las medidas de alguno de sus lados. Encuentra las medidas de los lados restantes y los valores de las incógnitas.

a

15

20

24

12

b’

24 2x

20 10

113

y

10

t – 2 4 12

15

u + 3

8

2y + 4

12

67.5

2x – 1

8

12

x + 1y – 1 4

6

10 8

6 a’

c’4

1. 4.

2. 5.

3. 6.

EJERCICIO 13



681

Teorema de Tales

Cuando en un triángulo se traza una recta paralela a uno de los lados, el triángulo que se forma es semejante al pri-mero.

Si A’B’

___ }AB

__, entonces

A’ B’

BA

C

D ABC | D A’B’C’

En el siguiente triángulo determina el valor de x, si DE } BC

SoluciónPor semejanza de triángulos, la proporcionalidad se establece como:

12

12

14

42x +=

Se realiza un producto cruzado y se resuelve la ecuación para x:

12 14( )( ) ( ) +( )42 12= x

504 = 14x + 168 504 – 168 = 14x

Por tanto x = 24

A

12 14

D E

x28

BC

1

Ejem

plos

EJEMPLOS


682

Calcula el valor de x en las siguientes fi guras:

1. Si RT QSi 2. Si QR SPi

7

4

6

x

Q

P

R

S

T

S

Q

P12 15

2x

x + 26 R

T

3. 4.

BA

CD

E

8

20

15

x

B C

A D

F5

x

25

12

E

5. Si TP RSi 6. Si TW URi

R

T

U V

15

20

12 W x

Q

R S

PT50

3x30

60

7. Si DE CBi 8. Si OT RQi

R O

T

P

Q

2

3x6 −

x9

7

BA E

D

15

15

x

3

2x +

C

9. Si RS OPi 10. Si EG DHi

R

T

O P

S

2x + 2

3x15

11

E G

D H60 + x

45

x

15F

EJERCICIO 14



683

PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Para encontrar la longitud de la base de un cerro, se construyó una pareja de triángulos rectángulos semejantes como se muestra en la fi gura, en la cual PA = 180 m, CD = 150 m y PC = 50 m. ¿Cuánto mide la longitud del cerro?

Solución

Por semejanza de triángulos:

AB

CD

PA

PC=

Se sustituyen los valores dados,AB

150

180

50=

Donde,

AB =( )150 180

50 =

27000

50 = 540

Por tanto, AB = 540 m

¿Qué altura tiene un poste que proyecta una sombra de 16 m, al mismo tiempo que un observador de 1.80 m de estatura proyecta una sombra de 1.20 m?

H

C SB

h

C’

A’

B’

A

s

Solución

De acuerdo con el problema, la relación entre los ángulos es la siguiente:

/ CAB = / C’A’B’ y / ABC = / A’B’C’

Por tanto, D ABC | D A’B’C’ y la proporcionalidad se establece como:

H

h

S

s=

Donde h = 1.80 m, S = 16 m y s = 1.20 m

Los cuales, al sustituirlos en la proporción, determinan que:

H

1 80

16

1 20. .=

Entonces, se resuelve para H:

H =( )( )16 1 80

1 20

.

. =

28 8

1 20

.

. = 24 m

Finalmente, resulta que la altura del poste es de 24 m.

22

1

P

DC

A B


684

A cierta hora del día un edifi cio de 60 ft de altura proyecta una sombra de 42 ft. ¿Cuál es la longitud de la sombra que proyecta un semáforo de 10 ft de altura a la misma hora?

C

10 ft

42 ft

60 ft

A

D

E B

Solución

De la fi gura,

/ CAB = / EDB, por ser ángulos correspondientes.

/ ABC = / DBE, por ser ángulo común.

Por tanto, los triángulos son semejantes:

D ABC | D DBE

Y la proporcionalidad se establece como:

AC

DE

CB

EB=

Donde,

AC = 60 ft, DE = 10 ft y CB = 42 ft

Los cuales, al sustituirlos en la proporción, determinan que:

60

10

42=EB

Y al despejar EB ,

EB = 42 10

60

( ) = 7 ft

Por consiguiente, la sombra que proyecta el semáforo es de 7 ft.

3


685

EJERCICIO 15



1. Para encontrar la anchura AB de un río se construyeron 2 triángulos semejantes, como se muestra en la fi gura. Y al medir se encontró que: AC m CD m DE= = =17 5 20, , . m ¿Cuál es la anchura del río?

A

C

D E

B

2. Para medir lo largo de un lago se construyeron los siguientes

triángulos semejantes, en los cuales se tiene que: AC = 215 m,

A C' = 50 m, A B' ' = 112 m. ¿Cuál es la longitud del lago?

A B

A’ B’

C

3. Para medir la anchura de un río se forman los siguientes trián-gulos, en los que: AO = 32 m, CD = 30 m, OD = 6 m. Encuentra AB .

A B

O

C D

4. Un árbol proyecta una sombra de 5 m a la misma hora en que un poste de 2 m de altura, muy próximo al árbol, proyecta una

sombra de 2

3 m. Determina la altura h del árbol, si tanto éste como el poste son perpendiculares al terreno.

A

B C 5 m

h

2 m

C’ B’

A’

m23

5. Un árbol de 14 m de altura próximo a una torre, proyecta una sombra de 24 m a la misma hora. Determina:

a) La altura de la torre, si su sombra es de 48 m.b) La sombra que refl eja la torre, si su altura es de 70 m.

14m

24m


686

Teorema de Pitágoras

En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

A C

B

b

a c

c: hipotenusa a, b: catetos c2 = a2 + b2

Demostración: Se traza la altura sobre la hipotenusa:

A C

B

b

a c

D

Los triángulos D ABC ∼ D CBD por ser / ABC = / CBD y /CAB = / DCB entonces,

c

a

a

BD= donde c BD a? = 2

Los triángulos D ABC ∼ D ACD por ser / CAB = / DAC y / ABC = / ACD entonces,

c

b

b

AD= donde c AD b⋅ = 2

Al sumar c BD a⋅ = 2 y c AD b⋅ = 2 , se obtiene,

c BD c AD a b⋅ + ⋅ = +2 2

c BD AD a b +( ) = +2 2

Pero BD AD+ = c, por tanto:

c a b2 2 2= +


687

EjemploDetermina el valor de la hipotenusa del triángulo que se muestra, según los datos proporcionados en cada uno de los siguientes incisos:

a) b = 12, a = 9 b) a = 3, b = 6 c) a = 3, b = 7

a c

b

Soluciones

a) a = 12, b = 9

c2 = a2 + b2

c2 = (9)2 + (12)2

c2 = 81 + 144

c2 = 225

c = 225 = 15

b) a = 3, b = 6

c2 = a2 + b2

c2 = (3)2 + (6)2

c2 = 9 + 36

c2 = 45

c = 45 = 3 5

c) a = 3, b = 7

c2 = a2 + b2

c2 = (3)2 + (7)2

c2 = 9 + 49

c2 = 58

c = 58

Obtención de los catetos. En todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual a la diferencia de los cuadrados de la hipotenusa y del otro cateto.

a2 = c2 – b2; b2 = c2 – a2

EjemploUtiliza la fi gura para determinar el cateto que se pide en cada inciso:

a) a = 24, c = 25 b) b = 6, c = 8 c) a = 4 3 , c = 8

ab

c

Soluciones

a) a = 24, c = 25

b2 = c2 – a2

b2 = (25)2 – (24)2

b2 = 625 – 576

b2 = 49

b = 49 = 7

b) b = 6, c = 8

a2 = c2 – b2

a2 = (8)2 – (6)2

a2 = 64 – 36

a2 = 28

a = 28 = 2 7

c) a = 4 3 , c = 8

b2 = c2 – a2

b2 = (8)2 – 4 32( )

b2 = 64 – 48

b2 = 16

b = 16 = 4


688

Naturaleza del triángulo a partir del teorema de Pitágoras

Sea el triángulo ABC, cuyo lado mayor es el lado c, éste será un triángulo: rectángulo, acutángulo u obtusángulo, si al aplicar el teorema de Pitágoras se cumple que:

1. Si c2 = a2 + b2, el triángulo es rectángulo

2. Si c2 ≠ a2 + b2, entonces c2 < a2 + b2, el triángulo es acutángulo

c2 > a2 + b2, el triángulo es obtusángulo

Sea un triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 unidades. Comprueba si es un triángulo rectángulo.

Solución

Se toma el valor mayor como la hipotenusa:

(5)2 = (3)2 + (4)2

25 = 9 + 16

25 = 25

Por tanto, el triángulo es rectángulo.

Sea el triángulo cuyos lados miden 7, 9 y 12 unidades. Determina qué tipo de triángulo es:

Solución

Se toma el mayor de los lados como c, entonces:

c2 = a2 + b2 S (12)2 = (9)2 + (7)2 S 144 = 81 + 49

144 ≠ 130

Dado que 144 > 130, el triángulo es obtusángulo.

Determina la naturaleza de un triángulo cuyos lados miden 6, 4 y 5 unidades.

Solución

Al aplicar el teorema de Pitágoras, se tiene:

(6)2 = (4)2 + (5)2 S 36 = 16 + 25 S 36 ≠ 41

Puesto que 36 < 41, el triángulo es acutángulo.

22

33

1

Ejem

plos

EJEMPLOS


689

Teoremas de semejanza en triángulos rectángulos

Ú Teorema 1. La altura trazada sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, forma dos triángulos rectángulos que son semejantes al triángulo dado, y a su vez semejantes entre ellos.

A B

C

D

Δ ACD ∼

∼

∼

Δ BAD

Δ CAB Δ CDA

Δ CAB Δ ADB

Ú Teorema 2. La altura trazada sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es la media proporcional entre la me-dida de los segmentos de la hipotenusa.

h

A B

C

D

h2 = DBCD ⋅

Ú Teorema 3. Cualquiera de los catetos de un triángulo rectángulo es la media proporcional de la hipotenusa y la medida del segmento de la hipotenusa interceptado por la altura, y el lado que es adyacente a ese cateto.

A B

C

D

AC 2 = CD CB

AB2

= CB DB


690

Si a y b son los catetos de un triángulo y c su hipotenusa, determina el lado que falta:

1. a = 15, b = 20 5. a = 12, c = 20 9. a = 6 m y b = 3

2. a = 5, b = 4 6. b = 6, c = 8 10. a = 12 m y c = 13 m

3. a = 8, b = 4 7. b = 15, c = 17 11. a = 14 cm y b = 15 cm

4. a = 7, b = 7 8. a = 5 2 , c =10 12. b = 15 dm y c = 20 dm

Determina la naturaleza de los siguientes triángulos, cuyos lados miden:

13. 4, 5 y 7 cm 16. 7, 24 y 25 cm 19. 1

2,

3

2 y 1 cm

14. 5, 12 y 13 cm 17. 6, 8 y 10 mm 20. 0.5, 0.7 y 0.8 m

15. 7, 9 y 11 cm 18. 1, 2 y 2 cm 21. x, x – 1 y 2 2 12x x− +

22. En el triángulo rectángulo PQR, con Q el ángulo recto y QS como altura trazada hacia la hipotenusa:

Q

R

P

S

a) Determina QS si PS = 12 y SR = 5

b) Encuentra QR si PR = 25 y RS = 13

c) Halla QR si PS = 6, PQ = 2 15 y RS = 4

d) Encuentra PQ si PS = 21 y RS = 15

e) Determina PQ si RS = 6 , RQ = 10 y QS = 8

f ) Determina QS si PQ = 13 y QR = 7

g) Encuentra RS si PQ = 17 y QS = 13

EJERCICIO 16



691

PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Determina la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado x cm.

Solución

Al trazar la diagonal en un cuadrado, se forman 2 triángulos rectángulos, entonces:

(hip)2 = (cat)2 + (cat)2 y2 = x2 + x2

y2 = 2x2

y = 2 2x = x 2

Por tanto, la diagonal es x 2

x cm

x cm y

Al abrir una escalera de pintor, se forma un triángulo isósceles, la distancia entre las bases es de 1 m y los lados iguales miden 1.40 m. Determina la altura de la escalera.

Solución

La altura de un triángulo isósceles divide a la base en 2 partes iguales, formándose 2 triángulos rectángulos:

h2 = (1.4)2 – (0.5)2 S h2 = 1.96 – 0.25

h2 = 1.71

h = 1.71

h = 1.3 m

Por consiguiente, la altura de la escalera es de 1.3 m.

0.5 m

1.40 m h

Un automóvil viaja a una velocidad constante de 2.5 m/s y pasa por debajo de un puente peatonal. Determina a los 12 s, la distancia entre el automóvil y el punto ubicado exactamente arriba del paso del mismo, si la altura del puente es de 6 m.

Solución

La altura del puente es de 6 m y a los 12 s el automóvil recorre 12(2.5) = 30 m, entonces:

d2 = (6)2 + (30)2 S d2 = 36 + 900

d2 = 936

d = 936

d = 30.5 m

d 6 m

30 m

P

En consecuencia, la distancia es de 30.5 m.

22

33

1


692


1. Se tiene un terreno en forma de triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 300 y 800 m. ¿Qué cantidad de maya se necesita para cercarlo?

800 m 300 m

d

2. Con una escalera de 6 m se desea subir al extremo de una barda de 4 m de altura. ¿A qué distancia se necesita colocar la base de la escalera para que el otro extremo coincida con la punta de la torre?

3. Calcula la altura de un triángulo isósceles si su base mide 60 cm y cada uno de sus lados mide 50 cm. 4. Calcula la altura de un triángulo equilátero que de lado mide 10 cm. 5. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado, cuya diagonal mide 8 m? 6. ¿A qué altura llega una escalera de 10 m de largo en un muro vertical, si su

pie está a 3 m del muro?

7. ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado si su diagonal mide 5 2 cm? 8. Si el lado de un hexágono regular mide 16 cm, ¿cuánto mide su apotema? 9. Una persona camina 7 kilómetros hacia el sur, 3 hacia el oeste, 2 hacia el sur y 6 más hacia el oeste. ¿Cuál es la

distancia entre el punto de partida y su destino?

N

S

E O

10. La hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles mide 10 cm. Encuentra la longitud de los catetos.11. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es igual a m y la mediana de uno de los ángulos agudos es igual a

m 3

3. Determina la magnitud de los catetos.

12. En un triángulo rectángulo, m y n representan la longitud de las medianas trazadas a los catetos. Obtén la longitud de éstos y la hipotenusa en función de m y n.

EJERCICIO 17

4 m 6 m

d

d 10 m

3 m


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