04. Unidad II Cadenas de Markov
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Unidad II: Procesos Estocásticos
Investigación de
Operaciones II
Ing. Paulina González Martínez
Contacto: [email protected]
Unidad II: Procesos Estocásticos
Procesos Estocásticos.
Cadenas de Markov. Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov.
Clasificación de estados de una cadena de Markov.
Tiempos de primera pasada.
Propiedades de lago plazo de las cadenas de Markov.
Cadenas de Markov en tiempo continuo.
Una Cadena de Markov es una serie de eventos, en la cual la
probabilidad de que ocurra un evento depende del evento inmediato
anterior. En efecto, las cadenas de este tipo tienen memoria. “
Recuerdan” el último evento y esto condiciona las posibilidades de
los eventos futuros. Esta dependencia del evento anterior distingue a
las cadenas de Markov de las series de eventos independientes, como
tirar una moneda al aire o un dado.
Por ejemplo: consideremos la propagación de una enfermedad
contagiosa. La transmisión de la enfermedad se produce desde un
individuo infectado a uno susceptible de contagio. Teniendo presente
periodos semanales.
Sea p la probabilidad de que durante una semana cualquiera un
individuo infectado le transmita la enfermedad a uno susceptible de
contagio. Se considera que cuando una persona ha sido infectada,
ésta queda inmune una vez que ha sido tratada.
CADENAS DE MARKOV
Sea Xn el número de individuos susceptibles de contagio en la
población al final de la semana n=1,2,...
Se define , como la probabilidad de que haya j
individuos susceptibles al final de la semana n+1 dado que hay
exactamente i individuos susceptibles de contagio al final de la
semana n (i j ).
Entonces:
)iX/jX(IPp n1nij
jjiij )p1(p
j
ip
Cadenas de Markov en tiempo discreto
Para mayor claridad, veamos un ejemplo:
Estamos interesados en cómo la distribución de una población entre estados puede cambiar durante un
período de tiempo.
La tendencia de una población a moverse entre n estados se puede describir a veces mediante una matriz
de n x n.
Consideremos una población distribuida entre n = 3 estados, que llamaremos estado 1,estado 2 y estado 3.
Se supone que conocemos la proporción pij de la población del estado j, que se mueve al estado i en
determinado período de tiempo fijo.
Supongamos que la población de un país, está clasificada de acuerdo con los ingresos en
Estado 1: pobre
Estado 2: ingresos medios
Estado 3: rico
Además en cada período de 20 años tenemos los siguientes datos para la población y su descendencia:
De la gente pobre, el 19% pasó a ingresos medios, y el 1% a rica; de la gente con ingresos medios, el 15%
pasó a pobre, y el 10% a rica; de la gente rica, el 5% paso a pobre, y el 30%, a ingresos medios.
Construcción elementos pij matriz de transición
Considerando que la matriz de transición es una matriz de probabilidades, se tiene:
MATRIZ DE TRANSICION
OBSERVACIONES:
•Las entradas de la diagonal de la matriz representa la proporción de la población que no
cambia de estado en un período de 20 años.
•La suma de los registros de cada columna de la matriz T es 1, pues la suma refleja el
movimiento de toda la población para el estado relacionado en la parte superior de la
columna.
Estado 1 Estado 2 Estado 3
Estado 1 0.80 0.19 0.01
Estado 2 0.15 0.75 0.10
Estado 3 0.05 0.30 0.65
MMMM
MMMM
M
M
MjMiij
ppp
ppp
ppp
ppp
pP
21
)1(2)1(1)1(
22221
11211
...1...1)(
Matriz P de Probabilidades de Transición en una Etapa
MATRIZ DE TRANSICION
CADENAS DE MARKOV EN ETAPA INICIAL
)(
)2(
)1(
0
0
0
0
MXIP
XIP
XIP
f f n = PT f n-1 = (PT)n f 0
Adicionalmente, se supone conocida la distribución de probabilidad de la
Cadena de Markov en la etapa inicial, que denotamos según f 0, donde :
El conocimiento del proceso estocástico {Xn}n=0,1,2,..., consiste en
poder determinar la distribución de probabilidad en cada etapa,
es decir calcular IP (Xn = j) para cada n 1 y estado j=
1,2,.....,M.
Se debe tener presente que para cada j:
i
nij
n
i
nnn
iXIPp
iXIPiXjXIPjXIP
)(
)()/()(
1
11
MATRIZ DE TRANSICION
Sea {Xn}n=0,1,2 una cadena de Markov irreducible con estados recurrentes positivos
aperiódicos, entonces existe una distribución estacionaria , tal que > 0 y que
se obtiene como la solución única del sistema:
TP
PROPOSICION
Matricialmente esto equivale a tener:
De manera recursiva se tiene entonces:
f n = PT f n-1 = (PT)n f 0
)(
)2(
)1(
)(
)2(
)1(
1
1
1
21
22212
12111
MXIP
XIP
XIP
ppp
ppp
ppp
MXIP
XIP
XIP
f
n
n
n
MMMM
M
M
n
n
n
n
MATRIZ DE TRANSICION
También es posible obtener las probabilidades de transición de un estado a otro al cabo de k etapas, que denotamos por : Que resumidas en una matriz (para el caso de un número finito de estados). Estas satisfacen las ecuaciones de: Chapman- Kolmogorov que implican: P(k) = Pk
)/()/( 0
)( iXjXIPiXjXIPp knkn
k
ij
)( )()( k
ij
k pP
Cadenas de Markov en tiempo discreto
EJERCICIO Nº1
Dada la matriz de transición de un sistema determine:
a. ¿Podría confeccionar un diagrama de transición?
b. ¿Podría determinar los estados a largo plazo de la matriz?
0.080 0.184 0.368 0.368
0.632 0.000 0.000 0.368
0.264 0.368 0.368 0.000
0.080 0.184 0.368 0.368
P=
a. Debemos verificar las propiedades de matriz de transición:
Diagrama de transición para n=4:
1
3
2
4 ↺
b. Estados a largo plazo:
0.080 0.184 0.368 0.368
0.632 0.000 0.000 0.368
0.264 0.368 0.368 0.000
0.080 0.184 0.368 0.368
π1 π2
π3
π4
= π1 π2 π3 π4
1= π1 + π2 +π3 +π4
π1 = 0.2451
π2 = 0.2011
π3 =.02940
π4 = 0.2598
EJERCICIO Nº2
Suponga que toda la industria de gaseosas produce solo 2 colas: Coca-Cola y Pepsi. Cuando una persona ha comprado CC hay una posibilidad de 90% de que siga comprándola la vez siguiente; si una persona compró Pepsi, hay 80% de que repita la vez siguiente.
a) Si una persona actualmente es comprador de Pepsi ¿cuál es la probabilidad de que compre CC pasadas 2 compras a partir de hoy?
b) Si en la actualidad una persona es comprador de CC ¿cuál es la probabilidad de que compre CC pasadas 3 compras a partir de hoy?
c) Supongamos que el 60% de toda la gente toma hoy CC y el 40% Pepsi, a 3 compras a partir de ahora, ¿qué fracción de los compradores estará tomando CC?
d) Determine el estado estable del mercado.
EJERCICIO Nº3
Un fabricante de grabadoras está tan seguro de su calidad que está
ofreciendo garantía de reposición total si el aparato falla en dos años.
Basándose en datos compilados la compañía ha notado que solo el 1 % de
las grabadoras falla durante el primer año y 5 % durante el segundo. La
garantía no cubre grabadoras ya reemplazadas.
Modele el sistema como una cadena de Markov.
Solución:
1º) Definir cuantos estados existen
2º) Escribir claramente los estados
3º) Construir el sistema
Estados:
E1: Grabadoras funcionando durante el 1º
año
E2: Grabadoras funcionando durante el 2º
año
E3: Grabadoras reemplazadas por garantía
E4: Finaliza la garantía
0 0.99 0.01 0
0 0 0.05 0.95
0 0 1 0
0 0 0 1
Nota:
•Como solo falla el 1% de las grabadoras el 1º año, el 99% restante
corresponde a las grabadoras funcionando el 2º año y además es la cantidad
de grabadoras reemplazadas por derecho de garantía.
EJERCICIO Nº4
Un taxi efectúa sus servicios en las ciudades R y S. si el taxi está en
R, la probabilidad de que un pasajero quiera ir a S es de 0.8. si está en
S, la probabilidad de ir a R es de 0.3.
Se sabe además que el beneficio esperado por carrera es:
Dentro de R: $1000
Dentro de S: $1200
Entre R y S: $2000
a) Obtener la probabilidad, a largo plazo de estar en R
b) Suponiendo que realiza 10 viajes, calcular, a largo plazo, el
beneficio esperado por carrera.
EJERCICIO Nº5
La producción de uvas en una empresa del Valle del Limarí se
clasifican según la cantidad y calidad de sol recibida durante el año y
estas pueden ser A, B ó C. la uva de tipo A, se destina a la producción
de licores añejados, la de tipo B para vinos de selección y la tipo C
para producir licores económicos. Por los antecedentes del año
anterior se determinó que si la cosecha de uvas fue de tipo A, las
probabilidades de tener durante la cosecha siguiente, una cosecha de
uvas igual es de 0,4, y se espera una cosecha de uvas de tipo C de
0,3. Si la cosecha de uvas fue del tipo B, entonces se espera contar
con uva del tipo A en una probabilidad de 0,6 y B de 0,4. Si durante el
año la cosecha de uva es de tipo C, entonces para el año siguiente, se
espera que la producción sea de tipo C con una probabilidad de 0,4 y
de tipo B de 0,6.
En promedio se producen anualmente 125000 kgs. De uva, y el ultimo
año se produjo solo uva del tipo B.
Se le solicita que apoye al ingeniero a cargo del programa de
producción en la elaboración del programa de producción para los
próximos 5 años y establezca la producción que se espera para 10
años más.
EJERCICIO Nº6
Ante la problemática actual de la crisis energética, el gobierno ha decidido analizar el
uso de las energías disponibles para generar energía eléctrica, con el fin de destinar
recursos para investigar aquellas que son alternativas sustentables (Eólica). El
Ministerio de Transporte y Energía le solicita a Ud. determinar cuales serán las
proporciones de uso de dicha energía en un horizonte de 10 años. Las energías
actualmente en uso son: Petróleo, Carbón, Hidráulica y Eólica. Por estudios
realizados, se ha establecido que en la actualidad se utiliza el 60% en energía
Hidráulica, 15% en Petróleo y 20% en Carbón. Por otra parte se analizó que: de la
energía Hidráulica el 95% se mantiene usando la misma energía y el 5% cambia a
Eólica; del uso del Carbón, el 25% se cambia a Hidráulica, un 45% continúa usando
Carbón y un 5% cambia a Petróleo; del uso de Petróleo, un 40% se mantiene usando
Petróleo, un 15% se cambia a Carbón y un 30% se cambia a Hidráulica; también se
sabe que quienes usan energía Eólica lo siguen haciendo. Se le solicita a Ud.:
a) Matriz inicial del caso
b) Matriz de Transición para resolver la situación planteada
c) Diagrama de Transición
d) Proporción de uso para los próximos 3 años
e) ¿Es conveniente de acuerdo a la tendencia del uso de los medios de generar
energía eléctrica que se realice investigación en energía alternativa (Eólica) o
buscar mejores mecanismos para obtener petróleo, Carbón o Hidráulica a mas
bajos costos?