[04] variaci¢n de funciones [ER]

7/25/2019 [04] variaci¢n de funciones [ER]

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VV AA R R II AA CC II ÓÓ NN

DDEE

FF UU NN CC II OO NN EE SS

EE JJ EE R R CC II CC II OO SS

R R EESSUUEELLTTOOSS



CUADERNO DE EJERCICIOS DE CÁLCULO I

VARIACIÓN DE FUNCIONES

IV.1 Investigar si el Teorema de Rolle es aplicable a la función

42

)(2

+−= x x

x f

en el intervalo [ , en caso afirmativo determinar el valor de]20 , x en donde

se verifica.

SOLUCIÓN:

a) La función es continua en el intervalo [ ]20 , por ser entera.

b) La función es derivable ( por ser entera)20 ,

c) ,( ) ( 0 ) 4 f a f = = 4422

2)2()(

2

=+−== f b f ,. Luego

. )()( b f a f =

El Teorema sí es aplicable.

1)( −= x x' f

10)( 11 =⇒= x x' f

El Teorema se verifica en )20(11 , x ∈=

IV.2 Dada la función 225)( x x f −=

]44 ,−

investigar si es aplicable el Teorema de

Rolle en el intervalo [ . En caso afirmativo determinar el valor de en

donde se verifica el Teorema.

SOLUCIÓN:

a) La función es continua en el intervalo [ ]44 ,− por ser irracional con

dominio [ ] .55 ,−

181





b) La función es derivable en el intervalo , ya que)44( ,−

225

)(

x

x x' f

−

=

c) 391625)4()( −==−−=−= f a f

391625)4()( −==−−== f b f

)()( b f a f =

se cumplen las condiciones de la hipótesis del Teorema, luego es aplicable.

)44(0

25

0)( 12

, x

x

x x' f −∈==

−

⇒=

El Teorema se verifica en 01 = x

IV.3 Investigar si se satisfacen las condiciones del Teorema de Rolle en el intervalo

para la función[ 21 ,− ]

22)( 23 +−−= x x x x f

En caso afirmativo, obtener el valor o los valores de donde se cumple el

Teorema.

SOLUCIÓN:

Como la función es polinómica, es continua y derivable para todo valor de ,

luego se satisfacen las dos primeras condiciones del Teorema de Rolle.

Específicamente, la función es continua en el intervalo [ ]21 ,− para la tercera

condición

02121)1()( =++−−=−= f a f

( ) ( 2 ) 8 8 2 2 0 f b f = = − − + =

)2()1( f f =−

)()( b f a f =

, por lo cual se cumple la tercera condición del Teorema,

.

182





Derivando, 143)( 2 −−= x x x' f

Haciendo 01430)( 2 =−−⇒= x x x' f

Al resolver esta ecuación se obtiene,

3

72

6

284

6

12164 ±=

±=

+±= x

3

721

+= x ,

3

722

−= x

Ambos valores están en el intervalo abierto ( )21 ,− , en los dos se cumple el

Teorema de Rolle.

IV.4 Investigar si se cumplen las condiciones del Teorema de Rolle para la función

≥−

<−=

132

12

)(

2

x si x

x si x

x f

en el intervalo

−2

52 , . Si es así determinar el valor o los valores de x para

los cuales se verifica el Teorema.

SOLUCIÓN:

a) Condición de continuidad. La única posibilidad de discontinuidad se

presenta en 11 = x 132)1( −=−= f

121)2 −=−=−

132)3

,

;(1

−→lím

x

(1

)( 2

1

=−

→ x x f lím

x

2)(1

−=−=−=+

→ x x f lím

x

()(1

+→lím

x

1

;

1) −==−

→ x f lím

x +

→ f lím

x

x , luego existe 1)(1

−=→

x f lím x

,

entonces1 x

lím→

( ) f x ( 1 ) f = y la función es continua en 11 = x y es

continua en el intervalo

−2

52 ,

.

183





b) Condición de derivabilidad. También para 11 = x

(

se tiene la única

posibilidad de que la función no sea derivable 212)1 1 == = x x

2

−' f

)1(

;

;2)1( =+' f 2)1()1( =⇒== +− f ' f ' f

1=

' . La función es

derivable en y el intervalo1 x

−

2

52 ,

.

c) Condición f ;)()( b f a = 2( ) ( 2 ) ( 2 ) 2 2 f a f = − = − − = ;

2)( =b f 352

5=−=

f ;

=−2

5)2( f f , se cumple

también la tercera condición del Teorema.

Ahora, para x x' f 2)( = 12 <<−

si2)( = x' f 2

51 <≤ x

solamente en 12 <<− x se puede tener 0)( 1 = x' f , para esto 02 = x ,

,01 = x

−∈2

52 ,1 x .

El Teorema se verifica en 01 = x .

IV.5 Si el Teorema de Rolle es aplicable a la siguiente función en el intervalo

, aplicarlo y determinar el o los puntos en que se verifica. Si no es

aplicable, explicar las causas de esto.

[ 40 , ]

2

4)(

2

+

−=

x

x x x f

SOLUCIÓN:

2 4( )

2

x f x

x

−=

+ es discontinua para 21 −≠ x , luego es continua en el

intervalo [ , se satisface la primera condición del Teorema de Rolle]40 ,

184





Derivando se obtiene2

2

)2(

84)(

+

−+=

x

x x x' f

21

, se ve que la función es

derivable también para todo valor −≠ x por lo cual es derivable en el

intervalo y se cumple la segunda condición del Teorema.)40( ,

Finalmente, 02

0)0()( === f a f ; 0

6

0)4()( === f b f

)4()0( f f = , se cumple la tercera condición del Teorema, por lo cual si

es aplicable.

0840)( 2

=−+⇒= x x x' f

Resolviendo esta ecuación se obtienen, 3221 +−= x y

3222 −−= x .

El Teorema se verifica para 1323221 −=+−= x ,

( ) )40(132 ,∈−

)40(3222 , x ∉−−=

IV.6 Investigar si es aplicable el Teorema de Rolle para la función

( )2

3( ) 3 2 f x x= − −

en el intervalo [ . En caso afirmativo determinar el o los valores de]106 ,−

donde se verifica, en caso negativo decir porqué no es aplicable.

SOLUCIÓN:

La función es continua para todo valor de , luego es continua en el intervalo

.[ ]106 ,−

185





La derivada es ( )3

3

1

23

22

3

2)(

−−=−−=

−

x x x' f

Se observa que para 21 = x la derivada no existe y el valor pertenece al

intervalo , entonces la función no es derivable en este intervalo porlo cual el Teorema de Rolle no es aplicable.

2

)106( ,−

Observando la gráfica de la función se nota que en el punto , no

tiene tangente y que en ningún punto de ella la recta tangente es paralela al eje

de las abscisas.

)32( , A

IV.7 La función tiene valores iguales para y xtan x f =)( 01 = x π2 = x

π ,

.

¿Es aplicable el Teorema de Rolle para esta función en el intervalo [ ] ?0

SOLUCIÓN:

En efecto, 00)( == tan x f y 0π)π( == tan f , esto implica que se

cumple la tercera condición de la hipótesis del Teorema de Rolle, sin embargo

para2π

3= x la función es discontinua, dado que

2π f no existe, y como

[ ]π0 ,π

2∈ , no es continua en el intervalo considerado, por

lo cual no es aplicable el Teorema de Rolle.

xtan x f =)(

186





IV.8 Investigar si el Teorema del Valor Medio de Cálculo Diferencial es aplicable a la

función

76102)( 23 +−−= x x x x f

en el intervalo[

, en caso afirmativo determinar el o los valores de]

31 , en

donde se verifica.

SOLUCIÓN:

La función es continua en el intervalo [ ]31 , y es derivable en el intervalo

por ser entera, por lo cual el Teorema si es aplicable.)31( ,

6206)( 2

−−= x x x' f

776102)1( −=+−−= f

477)3(6)9(10)27(2)3( −=+−−= f

202

40

13

747)()(−=

−=

−

+−=

−

−

ab

a f b f

206206)()()( 2 −=−−⇒=

−

− x x x' f

ab

a f b f

07103

014206

2

2

=+−

=+−

x x

x x

6

410

6

1610

6

8410010

)3(2

7)3(410010 ±=

±=

−±=

−±= x

3

7

6

141 == x ; 31 1 << x

)31(16

62 , x ∉==

El teorema se verifica en3

71 = x

187





IV.9 Verificar que para la función 2)( += x x f

1 x

en el intervalo [ ] se

satisfacen las condiciones de la hipótesis del Teorema del Valor Medio del

Cálculo Diferencial y determinar el valor donde se cumple la tesis del

teorema.

22 ,−

SOLUCIÓN:

El dominio de esta función irracional es

{ }2−≥= x x D f

luego es continua en el intervalo ]22 ,− y es derivable en el intervalo

ya que)22( ,−

22

1)(

+=

x x' f

El Teorema es aplicable.

Se tiene 022)2()( =+−=−= f a f

222)2()( =+== f b f

( ) ( ) 2 0 1

2 ( 2 ) 2

f b f a

b a

− −= =

− − −

1

( ) ( ) 1 1

( ) 2 2 2'

f b f a

f xb a x

−= ⇒ =

− +⇒

121 =+ x , 121 =+ x , )22(11 , x −∈−=

El Teorema se cumple en 11 −= x

188





IV.10 Sabiendo que f es continua y derivable para todo valor

de

343)( 2

−+= x x x

x y considerando que el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial se

cumple para , determinar el valor de si21 = x b 1=a

SOLUCIÓN:

Se tiene, 4343)1()( =−+== f a f

343)( 2

−+= bbb f .......... )1(

164)2(646)( 11 =+=+= x x' f

Según la tesis del Teorema,

ab

a f b f x' f

−

−=

)()()( 1 , b xa << 1

Luego , )()()()( 1 x' f aba f b f −+=

16164)16()1(4)( −+=−+= bbb f

1216)( −= bb f .................. )2(

De y de ( ,)1( )2 1216343 2

−=−+ bbb

⇒=+− 09123 2

bb

0342

=+− bb

130)1()3( 21 ==⇒=−− b ybbb

Evidentemente el valor pedido es 31 =b

189





IV.11 Empleando el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial, calcular en

forma aproximada 665

SOLUCIÓN:

Sea 6)( x x f = , 6

65)65( = f , como 2 , conviene tomar

y b .

646

=

64=a 65=

Por el Teorema, )()()()( 1 x' f aba f b f −+=

Derivando la función propuesta, 6

1

)( x x f = ;

( )

5

5

6

6

1 1( )

66

f x x

x

−

= ='

Tomando resulta641 = x

( ) 51

6

1 1( )

6 ( 32 ) 1926 64

' f x = = 1

=

Considerando este valor en , queda,)1(

00522192

12

192

16465)65(

66. f =+=+≅=

El resultado es: 00522656

.≅

190





IV.12

En un cuerpo prismático de 1 de altura se hizo una perforación cilíndrica

de 10 de diámetro. Empleando un taladro se agranda la perforación hasta

tener un diámetro de 10 . Determinar la cantidad de material extraído.

m.00

m

mc

c.4

a) Empleando el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial.

b) Por medio de incrementos

SOLUCIÓN:

Sea cm x 52

101 == el radio inicial de la perforación y cm.

. x 25

2

4102 == el

radio final de la misma.

a) El volumen de la perforación es el del cilindro, V , para

que es una función continua y

derivable para todo valor de

h x x f 2

π)( ==

mcm.h 100001 == 2

π100)( x x f =

.

Según el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial

)()()()( 1 x' f aba f b f −=− ................................................... )1(

La cantidad de material extraído es )()( a f b f V −=∆ como

, tomando x x' f π200)( = cm x 51 = se obtiene por ,)1(

( 5 2 5 ) 2.V ∆ = − 00 π ( 5 ) 200= π

3

32628 mc.V ≅∆

b) Como 12 V V V −=∆ 21π100 xV =∆

[ ] π2045)25(π100 22

=−=∆ .V ∆ 3

88640 cm.V ≅

191





IV.13 Aplicando el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial, obtener una cota

superior del error que se comete al considerar que 2345 ≅

SOLUCIÓN:

Sea 5

1

5)( x x x f == entonces,

( ) 455

1)(

x

x' f =

0>

, es

una función continua y derivable para todo

)( x f y =

x ; aplicando el teorema

indicado a esta función en el intervalo [ ]3432 , .

⇒−=− )()()()( 1 x' f aba f b f

( ) 45

1

55

5

1)3234(3234

x

−=− ....................................... )1(

Si se toma ,321

= x

( ) ( ) 80)2(5325

445

45

1 === x

Sustituyendo este valor en ( queda,)1

5 134 2 2 0.025

80− = =

Esto implica que el error que se comete es menor que 0.025, ya que el valor

exacto de es mayor que , lo cual hace que en realidad sea

menor que

1 x 32 )( 1 x' f

80

1, será menor que))( 1' f ab − ( x 0250 .

40

1=

192





IV.14 Obtener los valores máximos y mínimos relativos de la función

x x x f

14)( +=

SOLUCIÓN:

La primera derivada de la función es:2

14)( x' f −=

01

40)(2

=−⇒= x

x' f ;4

12= x

2

11 −= x ,

2

12 = x , que son los valores críticos.

La segunda derivada es:

34

22)(

x

x x' ' f ==

Para2

11 −= x ;

016

2

1

2

2

1

3<−=

−

=

−' ' f

por lo cual 4

2

1

1

2

14

2

1−=

−+

−=

− f es un máximo relativo.

Para2

12 = x ,

016

2

1

2

2

1

3>=

=

' ' f

Por lo cual 4

2

1

1

2

14

2

1=+

=

f es un mínimo relativo

193





IV.15 Determinar los máximos y mínimos relativos de la función

5)3(3 2

−−= x y

SOLUCIÓN:

Derivando,3

3

1

33

2)3(

3

2

−=−=

−

x x

xd

yd

No hay valores de que anulen a la derivada, pero la hace

discontinua.

31

= x

0033

0033

3

3

>⇒<−⇒>

<⇒<−⇒<

xd

yd x x

xd

yd x x

Como la derivada cambia de signo de )( − a )( + al pasar x creciendo por

, se tiene un mínimo relativo para31

= x 31

= x cuyo valor es,

3( 3 ) 0 5 5 f = − = −

IV.16 Para la función , obtener3( ) 3 2 f x x x= − +

a) Los intervalos donde es creciente o decreciente.

b) Sus valores máximos y mínimos relativos.

c) La orientación de la concavidad y los puntos de inflexión de su gráfica.

d) Trazar su gráfica.

194





SOLUCIÓN:

2 2' ( ) 3 3 3 ( 1 ) 3 ( 1 ) ( 1 ) f x x x x x= − = − = + −

Valores críticos, 10)( 1 −=⇒= x x' f , 12 = x

x x" f 6)( = ; 00)( 3 =⇒= x x" f

1+ 1− )( x' f )( x" f )( x" f y = Gráfica

1−< x − − + − creciente ∩

11

−= x 0 0 − 4= R

M ∩

01 <<− + − − − decreciente ∩

03 = x + − − 0 decreciente )20(I ,

10 << x + − − + decreciente ∪

12

= x + 0 0 + 0= R

m ∪

1> x + + + + creciente ∪

Máximo relativo 4)1( =−= f M R

Mínimo relativo, ( 1 ) 0 R

m f = =

Punto de inflexión, )20(I ,

195





IV.17 Dada la función 3( ) 2 4 3

4 f x x= + − x , determinar:


b) Sus valores máximos y mínimos relativos

c) Los puntos de inflexión y la orientación de la concavidad de su gráfica.

e) Trazar su gráfica.

SOLUCIÓN:

2 3 2

' ( ) 12 12 12 ( 1 ) f x x x x= − = − x

Valores críticos, 00)( 1 =⇒= x x' f , 12 = x

)32(123624)( 2

x x x x x" f −=−= ;

00)( 1 =⇒= x x" f ,3

23 = x

)( x' f x32 − )( x" f

)( f y = Gráfica

0< + − + − creciente ∩

01

= x 0 0 0 )20(I ,

3

20 << x + + + + creciente ∪

3

2= x + + 0 0 creciente

27

70

3

22I ,

13

2<< x + + − − creciente ∩

12

= x 0 + − − 3= R

M ∩

1> − + − − decreciente ∩

196





2)0( = f

=

−

+=

43

3

2

3

242

3

2 f

=−+=2716

27322

702 5926

27.= −=

3342)1( =−+= f

Máximo relativo, 3= R

M

IV.18 Analizar la función

11812103)( 234

−+−−= x x x x x f

determinando:


b) Sus valores máximos y mínimos relativos

c) De su gráfica, la orientación de la concavidad y los puntos de inflexión.

f) Trazar su gráfica.

197





SOLUCIÓN:

3 2' ( ) 12 30 24 18 6 ( 1 ) ( 2 1 ) ( 3 ) f x x x x x x x= − − + = + − −

)2()13(12)4106(6)( 2

−+=−−= x x x x x" f

1' ( ) 0 1 f x x= ⇒ = − ;2

13 = x ; 35 = x

3

1)( 2 −=⇒= x x" f ; 24 = x

)(' f

)( x" f

)( x f Gráfica

1−< − + decreciente ∪

11

−= x 0 + 18)1( −=− f .in ∪

3

11 −<<− x + + creciente ∪

3

12

−= x + 0 creciente

−−

27

214

3

12I

2

1

3

1<<−

x + −

creciente ∩

2

13

= x 0 − 16

63

2

1=

f . Max ∩

2

13

= x − − decreciente ∩

24

= x − 0 decreciente )452(2I − ,

32 << x − + decreciente ∪

35 = x 0 + 82)3( −= f .in ∪

3> + + creciente ∪

4 3 23 10 12 18 y x x x x= − − + 1−

198





IV.19 Determinar los valores máximos y mínimos absolutos y relativos de la función

2 5

3 3( ) 5 3 f x x x= − − , [ ]41 , x −∈

SOLUCIÓN:

221 333

1 113 33

10 5 10 5 10 5 5 ( 2 )' ( )

3 3 3

3 3

x x f x x x

x x x

− − −= − = − = =

valores críticos

020)( =−⇒= x x' f , 21 = x

donde ' f no está definida 02 = x

199





0)(01 <⇒<<− x' f x , )( x f y = es decreciente

0)(20 >⇒<< x' f x , )( x f y = es creciente

0)(42 <⇒<< x' f x , )( x f y = es decreciente

33)1()1(5)1( =−−−+=− f

3)0( −= f

5 2 2

3 3 3( 2 ) 5 ( 2 ) 2 3 3 2 1 f

= − − = −

;

76220.1)1587401(3)2( =−= . f

343)45(434)4(5)4( 3

2

3

2

3

5

3

2

−=−−=−−= f

48016.03519842)4( −=−= . f

se deduce que

El máximo absoluto es3)1( =−= f M A

El mínimo absoluto es( 0 ) 3 Am f = = −

R M . f == 762201)2( es máximo relativo.

200





IV.20 La suma de un número positivo " más el doble de otro número positivo" z

" x" debe ser 16 , determinar dichos números de tal forma que su producto

sea el mayor posible.

SOLUCIÓN:

162 =+ z , luego z 216 −=

Producto: x z P =

El producto en términos de es

x x x P )216()( −=

2216)( x x x P −=

x x' P 416)( −=

04160)( =−⇒= x x' P , 41 = x

0)(4 >⇒< x' P x

0)(4 <⇒> x' P x

Luego es máximo para)( x P 41 = x 8)4(2161 =−= z

Los números pedidos son: 81 =

z , 41 =

x

IV.21 La suma de tres números positivos es 30 y la suma del primero más el doble

del segundo más el triple del tercero es , determinar estos números de

modo que su producto de los tres sea el mayor posible.

60

SOLUCIÓN:

sean: , , y los números

Se debe tener 30=++ z y x .................................. )1(

Por otra parte 6032 =++ z y x .............................. )2(

El producto de los tres números es, z y x P = .............. )3(

201





SOLUCIÓN:

Sea " y" el área del terreno y = pero 2200 −= entonces

;)2 x x y −= 200( 2

2 x x −200 y =

El dominio de esta función es )1000( , D y = x xd

yd 4200 −= ;

50042000 1 =⇒=−⇒= x x xd

yd es el valor crítico.

050 <⇒<

xd

yd

x

050 >⇒> xd

yd x

Para , el área es máxima501 = x 1 y m x z 1002200 11 =−= ;

2

1 500050 m y = )100( =

Respuesta: m x 50= m z 100=

Área máxima, 5000 y = 2m

203





IV.23 A partir de una lámina cuadrada de por lado se va a fabricar una caja

en forma de prisma recto sin tapa cortando cuadrados de lado

mc60

" x" en las

esquinas y doblando las cejas resultantes hacia arriba. Determinar la capacidad

máxima de la caja y el valor correspondiente de " " .

SOLUCIÓN:

Capacidad, x yV 2

=

De la figura, x y 260 −= , luego x x xV 2

)260()( −=

cuyo dominio es )300( , D v =

( ) 12 ( 10 ) ( 30 )' V x x x= − −

Haciendo se tienen los valores críticos0)( = x' V v D x ∈= 101

v D x ∉= 302

)402(12)( −= x x' ' V 0)20(12)10()( 1 <−== ' ' V x' ' V luego

es el valor máximo de la capacidad.)10()( 1 V xV =

[ ] 2 2 2( 10 ) 60 2 ( 10 ) 10 60 20 10 40 10 16000V c= − = − = =( ) ( ) ( ) 3m

m

Respuesta: 316maxV d = mc10=

204





IV.25

Determinar las dimensiones del rectángulo de máxima área que puede

inscribirse en un círculo de radio 1 .m.00

SOLUCIÓN: El diámetro del círculo es igual a la diagonal del rectángulo y mide

m.002

El área del rectángulo es:

y z =

Pero

222 44 x y y x −=⇒=+

entonces:

24 x x z −=

2

2

2

222

2

4

24

4

44

42

2

x

x

x

x x x

x

x x

xd

z d

−

−=

−

−+−=−+

−

−=

2

2

4

24

x

x

xd

z d

−

−=

Si 0240 2 =−⇒= x xd

z d , ,2

2= x 21 = x

Si 021 >⇒=< xd

z d x x , si 021 <⇒=>

xd

z d x x ,

para 21 = x , es máxima.1 z

2241 =−= y

Se trata de un cuadrado de lado1 2 1.4142 m=

206





IV.26

Un tanque en forma de prisma de base cuadrada con tapa se va a construir con

placa metálica. La placa para el fondo y la tapa cuesta por m y para

las paredes laterales cuesta $ por . La capacidad del tanque debe

ser de 1 litros, dimensionarlo para que su costo sea mínimo.

0030 .$ 2

0020 . 2

m

000 ,

SOLUCIÓN:

Costo: )20(4)30(2 2

h x x y +=

h x x y 8060 2

+=

Capacidad: , luego32

1 mh xV ==2

1

xh = sustituyendo en el costo,

2

80

x

x260 x y +=

x x x f y

8060)(

2+==

2

3

2

8012080120)(

x

x

x x x' f

−=−=

0801200)( 3

=−⇒= x x' f , ,23 3

= x3

23= x , 3

13

2= x

Si 0)(1 <⇒< x' f x x si 0)(1 >⇒> x' f x x

para 3

1 3

2= x , es mínimo.)(

1

x f 33

3

21

2524

9

3

2

1.h ==

=

Dimensiones pedidas: m. x 873303

231 == m..h 31121252

3

1 ==

207





IV.27

Un anuncio luminoso de forma rectangular debe tener de área. En los

cuatro lados tendrá franjas no iluminadas de 50 de ancho en los lados

horizontales y de 60 de ancho en los verticales. Proponer las dimensiones

para que el rectángulo iluminado resulte de la mayor área posible.

236 m

mc

mc

SOLUCIÓN:

El área total es

x z z x

3636 =⇒= ; 0>

El área del rectángulo iluminado es

36( ) ( 1.20 ) 1 f x x

x

= − −

Derivando se obtiene

13636

)201()(2

−+

−−=

x x. x x' f

2

36 1.2 ( 36 ) 361

100 x x x= − + + −

12043

)(2

−= x

. x' f

12043

0)(2

=⇒= x

. x' f , ,2043

2. x = 20431 . x =

La segunda derivada de la función es :

0040862)2043(

)(34

>∀<−=−= x x

.

x

x. x" f

Luego para el valor critico 20431 . x = el área es máxima.)( x f

Para 20431 . x = ,2043

361

. z =

Las dimensiones pedidas son , aproximado el valor de la raíz cuadrada.

6 57 x . m= , m. z 485=

208





IV.28 Se construirá un tanque de forma prismática de base cuadrada con tapa,

soldando placas de acero que deben totalizar . Dimensionar el tanque de

tal manera que el cordón de soldadura necesario, sea de la menor longitud

posible.

220 m

SOLUCIÓN:

Longitud de soldadura:

h x y 48 +=

Área de las placas:

222042 mh x x =+

Despejando :h

x

xh

2

10 2

−= ; luego:

x

x x

x

x x x f y

2222208

2

1048)(

−+=

−+==

x

x x f

206)(

2+

= ; el dominio de esta función es, ( )0 , 20 f D =

2

2

2

22

2

220620612)206()12(

)( x

x

x

x x

x

x x x x' f

−=

−−=

+−=

0206)( 2

=−⇒ x x' f ; ;103 2

= x3

102= x ; f D x ∈=

3

101

f D x ∉−=3

102

Sí 0)(3

101 <⇒=< x' f x x ; si 0)(

3

101 >⇒=> x' f x x ;

Entonces es un mínimo)( x' f 113

10

10)3(2

320

3

102

31010

xh ===−

=

El tanque debe tener la forma de un cubo cuya arista es: m. x 825713

101 ==

209





IV.29

Tres lados de un trapecio miden 10 cada uno. ¿De qué longitud debe ser el

cuarto lado para que el área del trapecio sea máxima?

mc

SOLUCIÓN:

Área h x A2

10+=

2

10−=

xa

2222

2

10100)10(

−−=−=

xah

4

20300 2

2 x xh

−+=

2

203002

1

x xh −+=

Sustituyendo este valor en el área

2220300)10(

4

120300

2

1

2

10 x x x x x

x A −++=−+

+=

2

2

203004

1

203002

220)10(

4

1 x x

x x

x x

xd

Ad −++

−+

−+=

2

22

2

2

203004

20300100

203004

20300)10()10(

x x

x x x

x x

x x x x

xd

Ad

−+

−++−=

−+

−++−+=

2 2

2 2

2 400 20 200 10

4 300 20 2 300 20

d A x x x x

d x x x x x

− + + − + += =

+ − + −

0200100 2

=−−⇒= x x

xd

Ad ; 0201 <⇒=>

xd

Ad x x , luego

es máxima para mc x 201 =

Si 2300 20 0 x x+ − =

Para esta ecuación 102 −= x y x 3 30= , para los cuales " " no

puede ser máxima.

210





IV.30 En la construcción de un tanque cilíndrico sin tapa con lámina de acero, se deben

emplear de cordón de soldadura. Determinar el radio y la altura del

tanque que hagan que su capacidad sea máxima.

mc600

SOLUCIÓN:

Capacidad: ;hr V 2

π=

soldadura: 600π2 =+ hr ; r h π2600 −=

Luego: )π2600(π2

r r V −= ⇒ [ ]' 6 π 200 πV r = − r

Si 0 200 π 0d v r d r

= ⇒ − = ; mc.r 66263π

2001 ==

01 >⇒<r d

vd r r ; 01 <⇒>

r d

vd r r , luego

π

2001 =r hace

que sea máxima.V

mch 200π

200π26001 =−=

Respuesta: mc.r 66263π

2001 == , mch 2001 =

211





IV.31

En una esfera de de radio está inscrito un cono de radio y altura variables.

Determinar las dimensiones del cono de modo que su volumen sea el mayor

posible.

m1

SOLUCIÓN:

Volumen del cono: hr V 2

π

3

1=

En el triángulo OCA

2222)1(1 hhhr −=−−=

Sustituyendo en

2

r V

( )3222

3

π2

3

π

hhhhhV −=

−=

El dominio de V es )20( , D v =

( )234

3

π

hhhd

V d −=

0340 2

=−⇒= hhhd

V d ; 0)34( =− hh ,

3

41 =h ; v Dh ∉= 02

)32(3

π2)64(

3

π

2

2

hhhd

V d −=−= ; para

3

41 =h , 0

3

π4

2

2

<−=hd

vd

Luego es máximo paraV 3

41 =h

38

91624

916

38

34

3422

22

111 =−=−=

−=−= hhr

Las dimensiones del cono de volumen máximo son:

m.r 942803

221 == , m.h 33331

3

41 ==

212





IV.32 Se va a instalar una línea telefónica siguiendo la trayectoria de la figura.

Los puntos y están sobre un camino recto, el tramo

DC A

C , B D AC es a campo

traviesa. El costo de la línea en el tramo CD es de $ y en el tramo000009 . , Km

AC es de por . Determinar la distancia del punto al punto

para que el costo total de la línea sea el menor posible.

00.00015 ,$ Km C D

SOLUCIÓN:

92

+= xC A , xCD −= 4

Costo total: )4(9000915000 2

x xC −++= ; )40( , D c =

9

99000150009000

9

15000

2

2

2+

+−=−

+

=

x

x x

x

x

xd

C d

99000150000 2

+=⇒= x x xd

C d

99

15 2+= x x ; 9

3

5 222

+=

x x ; 9

9

25 22=− x x

99

925 2=

− x 8116

2= x ;

16

812= x ; mk . x 252

4

91 == ; c D x ∉−=

4

92

Si ,2521 . x x =< 0< xd

C d si 2521 . x x => , 0>

xd

C d

El costo C es mínimo cuando m K . x 2521 = ; mk ..CD 7512524 =−=

El Resultado: km.CD 751=

213





IV.33 Se va a fabricar un tanque prismático de base cuadrada sin tapa, soldando placas

de acero cuya área total será de . Obtener las dimensiones del tanque

para que su capacidad sea máxima.

210 m

SOLUCIÓN:

Capacidad: ;h xV 2

=

Área de la placa: 104 2

=+ xh x

Despejando :h

x

xh

4

10 2

−=

Luego x

x xV

4

10 2

2 −= ; ( )2

104

x x

V −=

( )222

1024

1

4

10)2(

4 x x

x x

x

xd

V d −+−=

−+−= ; ( )103

4

1 2+−= x

xd

V d

1030 2

=⇒= x xd

V d , m. x 82571

3

101 ==

x x xd

V d

2

3)2(

4

32

2

−=−=

Para3

101 = x , 0

2

2

< xd

V d , entonces la capacidad " V " es máxima

para3

101 = x

912906

5

3

104

3

1010

1 .h ==−

=

Dimensiones pedidas: m. x 825713

101 == ; m.h 91290

6

51 ==

214





IV.34

En un terreno en forma de elipse con eje mayor de 60 y eje menor de ,

se va a trazar una cancha rectangular que tenga la mayor área posible, obtener

las dimensiones de la cancha.

m m40

SOLUCIÓN:

12

2

2

2

=+b

y

a

x

22 xa

a

b y −=

Área de la cancha: y z 4=

224 xa x

a

b z −=

si

−

−=

−+

−

−=

22

2222

22

24

2

24

xa

xa

a

b xa

xa

x x

a

b

xd

z d

2020

2222 a

x xa xd

z d =⇒=−⇒= ;

21

a x =

si 02

>⇒< xd

z d a x

si 02

<⇒> xd

z d a x

Luego hay un máximo de para" z " 2

1

a x =

m. x 21212

301 == ; m. y 141445032

2900900

30201 ==−=

Las dimensiones de la cancha son:

Largo: m. x 43422 1 =

Ancho: m. y 28282 1 =

215





IV.35

Se va a construir un tanque prismático de base cuadrada sin tapa de litros

de capacidad, soldando placas de acero rectangulares y cuadradas. Determinar

las dimensiones del tanque para que la longitud del cordón de soldadura sea la

menor posible.

500

SOLUCIÓN:

Capacidad:

32500 m.h xV ==

Despejando la altura:

2

500

x

.

h =

Longitud de la soldadura:

h x y 44 +=

Sustituyendo h

22

24

50044

x

x.

x y +=+=

3

3

34

444)2(24

x

x

x

xd

yd −==−=

Si

0440 3

=−⇒= x xd

yd , ,1

3= x

3

1 1= x , 11 = x

011

<⇒=< xd

yd x x , 01

1 >⇒=>

xd

yd x x

11

, así que se

tiene un valor mínimo de para" y" = x

m..

h 5001

5001 ==

Dimensiones pedidas:m x 11 = , m.h 5001 =

216





IV.36

Se va a fabricar un bote cilíndrico sin tapa de litros de capacidad, a base de

lámina de fierro unida con soldadura autógena. Dimensionar el bote de modo que

el cordón de soldadura necesario sea de la menor longitud posible.

8

SOLUCIÓN:

La capacidad es:32

8π md hr V ==

Despejando la altura:

2π

8

r h =

La longitud de la soldadura es:

hr y += 2π Sustituyendo el valor de :h

2π

8π2

r r y +=

3

32

342π

16π2

π

16π2

π

)π2(8π2

r

r

r r

r

r d

yd −=−=−=

462

2

2

2

π

48

π

π316

0 r r

r

r d

yd

=+=

Si

016π20 32

=−⇒= r r d

yd ;

2

3

π

8=r ;

3 2

3

2π

2

π

8==r

mc.md .r 3249932401 ==

y Dr ∈∀ , 02

2

>

r d

yd luego para hay un mínimo de1r " y"

mc.md .r

h 2922992922π2

π2π

8

π

83

1

3

42

21 ===

==

−

Las dimensiones pedidas son: mc.r 32491 = ; mc.h 292291 =

217





IV.37

En dos carreteras rectas perpendiculares entre sí, circula un camión en una y unautomóvil en la otra. las horas el camión se encuentra en la intersección

de las carreteras y el automóvil a 65 de la intersección. La velocidad del

camión es de y el automóvil circula a acercándose a la

intersección. ¿Cuándo será mínima la distancia entre los dos vehículos?

0

mk

hm /k 40 hmk /65

SOLUCIÓN:

Las ubicaciones del camión y el automóvil a las 0 horas son respectivamente, y , a las1C 1 A 2C 2 A t horas.

En un tiempo t el camión ha recorrido t 40 kilómetros y el automóvilt 6065 − kilómetros.

La distancia y entre los dos vehículos esta dada por

22)6065()40( t t y −+=

derivando2

2 2

( 40 ) ( 65 60 ) ( 60 )

( 40 ) ( 65 60 )

d y t t

d t t t

+ − −=

+ −

2222)6065()40(

39005200

)6065()40(

360039001600

t t

t

t t

t t

−+

−=

−+

+−=

390052000 =⇒= t t d

yd , 750520039001 .t == , 0750 <⇒< t d

yd .t

0750 >⇒>t d

yd .t luego para 7501 .t = horas es mínima.1 y

Respuesta: minutos451 =t

218





IV.38

De una cartulina circular de radio r hay que hacer un vaso cónico recortando

de la cartulina un sector circular y uniendo los bordes y .

Determinar el ángulo para que la capacidad del vaso sea máxima.

AOB OA OB

=α AOB

SOLUCIÓN:

De la figura, sean a AC = , hOC =

Capacidad del vaso haV 2

3

π

=

En el triángulo ,AOB 222222

hr ahar −=+= ∴

Luego: ( ) hhr V 22

3

π−= ; ( )32

3

πhhr V −=

( 22

33

π

hr hd

V d −=

) ; si 3030 1

22 r

hhr hd

V d =⇒=−⇒=

r ar

r a3

2

3

222

=⇒−=

La longitud del borde del vaso es . El ángulo subtendido por el arco de radioaπ2

r y longitud 2 , esaπ απ2 − , o bien 360 α−°

α360

π2

360

π2

−°=

°

ar ; °==−° 360

π2

π2α360

r

aa

y como r a32= , queda °=−° 360

32α360

0666)360(18350360)816501(3603

21α 1 ... ==°−=°

−=

" ' 360366α1

°=

219





IV.39

La resistencia a la flexión de una viga de sección rectangular es proporcional al

producto de la base de la sección por el cuadrado de su altura. Determinar las

dimensiones de la sección de la viga de madera de máxima resistencia a la

flexión que puede obtenerse de un tronco cilíndrico de de diámetro.mc50

SOLUCIÓN:

Sea la resistencia a la flexión y

la constante de proporcionalidad:

R

k

2 y xk R = ..................................... )1(

De la figura:

222)50(=+ y x ;

222500 x y −=

sustituyendo este valor en )1(

( )22500 x xk R −= ; ( )3

2500 x xk R −= ; )500( , D r =

( )22500 3d R

k xd x

= −

Si

0325000 2

=−⇒= x xd

Rd , 25003

2= x

3

25002= x ,

3

2500= x

Valor crítico:3

501 = x , 2

50

3 R D= − ∉

)6(2

2

xk xd

Rd −= , para 0

3

501 >= x , 0

2

2

< xd

Rd , para el valor

crítico , la resistencia máxima1 x R

503

22500

3

2

3

250025002500

3

50 2

111 ==−=−=⇒= x y x

Respuesta: ,mc. x 868281 = mc. y 825401 =

220





IV.40 Una empresa que fabrica relojes, los vende a $ por pieza y puede producir

a lo más 30 piezas mensualmente. El costo total de producción de

200

000 ,

piezas está dado por:

2003080000500)( x. x , xC ++=

Calcular la cantidad de piezas que deben venderse al mes para que las

utilidades sean máximas.

SOLUCIÓN:

El importe total de la venta de x piezas es x x F 200)( = .

Las utilidades al vender piezas serán:

)003080500000(200)()()( 2

x. x x xC x F xU ++−=−=

Dado que la capacidad de producción es cuando más de 30 piezas

mensualmente, el dominio de la función U es el intervalo .

000 ,

0,30000)( x ( ]

x. xU xd

d 0060120)( −=

Si

12000600)( =⇒= x. xU xd

d

Luego el valor crítico es ( ]1

12020 ,000 0 ,30000

0.006 x = = ∈

Si 00020 , x < , 0)( > xU xd

d

Si 00020 , x > , 0)( < xU xd

d

Por lo cual U es máxima para)( x 000201 , x =

Para que las utilidades sean máximas, la empresa debe producir y vender

l t i00020

[04] variaci¢n de funciones [ER]

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