04_Análisis dominio de la frecuencia_descomposición

Anlisis Estadstico de Variables Hidroclimatolgicas

Recordar:

Anlisis Estadstico de Variables Hidroclimatolgicas- Especializacin en Ingeniera Hidrulica y Ambiental. Universidad Nacional de Colombia sede Manizales

Mejorar el entendimiento del proceso generador de la serie Prediccin de valores futuros Control sobre el presente

Ganancias del anlisis de series temporales:

Modelo mediante el cual se busca representar la serie temporal actual

Clsicos

Autoregresivos (AR)

Autorregresivos de media mvil (ARMA)

Y(t)=T(t)+ E(t)+A(t)

Y(t)=1Y(t-1)+ 2Y(t-2)++(t)

Y(t)=1Y(t-1)+ 2Y(t-2)++1Y(t-1)+ 2Y(t-1)+ +(t)

Considerar la variable aleatoria como una combinacin de varias componentes:

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

Cau

dal

Tiempo

-20.00

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

A(t

)

Tiempo

A(t)=Residuo

0

20

40

60

80

100

120

T(t)

Tiempo

T(t)=Tendencia

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

E(t)

=(Z(

t)+(

t)

Tiempo

E(t)=Componente estacional (ciclo largo + ciclo corto)


Modelo Aditivo: Y(t)=T(t)+E(t)+A(t)

Modelo Multiplicativo: Y(t)=T(t) x E(t) x A(t)

Modelo Mixto: Y(t)=T(t) x E(t) + A(t)

Aditivo: si la periodicidad no vara con la tendencia

Multiplicativo - Mixto: si la periodicidad vara con la tendencia

El modelo multiplicativo puede ser tomado como el aditivo, si se sacan logaritmos

Las posibles combinaciones de estas componentes constituyen los diferentes modelos para series temporales


Identificado el modelo (aditivo, multiplicativo, mixto) se procede a identificar cada una de las componentes:

Tendencia T(t):

A partir de modelos

Suavizado de la serie

A partir de modelos

),....,,;( 21 lt tfy

)()( tftT

A partir de una funcin para la tendencia se puede predecir el valor de la variable


)(tf

btatf )(

brtatf exp)(

Funcin lineal (regresin)

Curva de Gompertz 0

btatf )(


y = 0.1024x + 20.649

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

Cau

dal

Tiempo


Tendencia a partir del Suavizado de la serie (FILTROS)

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

Cau

dal

Filtros que remueven las componentes estacionales y aleatorias

Filtros de media mvil de 3, 6 y 12 meses centrada


Filtros:

Expresin lineal que transforma la serie Y(t) en una serie suavizada Z(t): Z(t) = F(Y(t)), t = 1,...,n

[1]Tomado de: Arellano, M (2001): "Introduccin al Anlisis Clsico de Series de Tiempo", [en lnea] 5campus.com, Estadstica [Febrero-2010] http://www.ciberconta.unizar.es/LECCION/seriest/100.HTM

[1]

Y(t) Z(t) F

de tal modo que F(X(t)) = Z(t).

F se conoce como un filtro lineal

El filtro lineal ms utilizado es la media mvil


Filtros-Media Mvil

Para una ventana de longitud k, que se va desplazando por la serie se va obteniendo el promedio

1/1990 26.69

2/1990 21.21

3/1990 20.52

4/1990 18.40

5/1990 19.28

6/1990 18.77

7/1990 16.96

8/1990 9.34

9/1990 9.94

.

.

.

8/2000 11.65

9/2000 18.33

10/2000 28.14

11/2000 31.25

12/2000 14.51

Serie Promedio mvil de 3 meses centrado:

22.80 20.04

Para una ventana par, p. ej 6 meses, la media mvil centrada, se empezar a obtener desde el dato (1) de la serie hasta el dato (7), pero el (1) y el (7) sern la mitad, el resto de datos se toman enteros. Para una media mvil centrada de 6 meses la ecuacin quedara


62

32...2

2

3

)(

kdatokdatokdato

kdato

kz

Filtros-Media Mvil

Para una ventana anual (aplicable p.ej a una serie mensual con estacionalidad anual (s = 12), la serie suavizada se obtiene desde el dato (1) de la serie hasta el dato (13), empezando en k=7

122

65...5

2

6

)(

kdatokdatokdato

kdato

kz

67 nk

Para intervalos impares, ser simplemente de la mitad del intervalo hacia atrs y hacia delante


Tambin se puede obtener la media movil no centrada, sino desde el inicio n datos hacia adelante. el comando SMA del paquete TTR de R, por defecto calcula esta media movil

Media Mvil

Para Caudales mensuales

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

Cau

dal

0

100

200

300

400

500

600

700

Llu

via

Tiempo

Para lluvias mensuales


btatf )(


y = 0.1024x + 20.649

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

Cau

dal

Tiempo

Remover la tendencia de la serie ser, segn el tipo de modelo:

Modelo Aditivo: Y(t)-T(t) = E(t)+A(t)

La serie que queda ser la componente cclica y el residual

Modelo Multiplicativo: Y(t)/T(t) = E(t) x A(t)

Modelo Mixto: Y(t)/T(t) = E(t) + A(t)/T(t)

-40.00

-20.00

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

Seri

e (E

(t)

+ A

(t))

Tiempo


Serie con la Tendencia removida:

-40.00

-20.00

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00E(

t) +

A(t

)

Tiempo

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

Cau

dal


Cmo determinar si el modelo es aditivo mixto?

Si el modelo es aditivo la serie con la tendencia removida ser:

R(t)= Y(t)- T(t)

Si el Modelo es Mixto la serie con la tendencia removida ser:

W(t)= Y(t)/T(t)


Cmo determinar si el modelo es aditivo mixto?

Se organizan W(t) y R(t) por ciclos (es decir, si los datos son anuales, se organizan por ao), para obtener el Coeficiente de Variacin (C.V) de cada ciclo.

Se selecciona el modelo cuyos coeficientes de variacin por ciclo sean menores en trminos absolutos

Para nuestro ejemplo: Suponiendo un modelo aditivo R(t):

-40.00

-20.00

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

R(t

)

Tiempo

Fecha Caudal T(t) R(t)

1/1990 26.69 20.7514 5.94

2/1990 21.21 20.8538 0.36

3/1990 20.52 20.9562 -0.44

4/1990 18.40 21.0586 -2.66

5/1990 19.28 21.161 -1.88

6/1990 18.77 21.2634 -2.49

7/1990 16.96 21.3658 -4.41

8/1990 9.34 21.4682 -12.13

9/1990 9.94 21.5706 -11.63

. . . .

. . . .

. . . .

8/2000 11.65 33.7562 -22.10

9/2000 18.33 33.8586 -15.53

10/2000 28.14 33.961 -5.82

11/2000 31.25 34.0634 -2.81

12/2000 14.51 34.1658 -19.65

R(t)= Y(t)- T(t)


-5.00

-4.00

-3.00

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

W(t

)

Tiempo

Fecha Caudal T(t) W(t)

1/1990 26.69 20.7514 1.29

2/1990 21.21 20.8538 1.02

3/1990 20.52 20.9562 0.98

4/1990 18.40 21.0586 0.87

5/1990 19.28 21.161 0.91

6/1990 18.77 21.2634 0.88

7/1990 16.96 21.3658 0.79

8/1990 9.34 21.4682 0.44

9/1990 9.94 21.5706 0.46

. . .

. . .

. . .

8/2000 11.65 33.7562 0.35

9/2000 18.33 33.8586 0.54

10/2000 28.14 33.961 0.83

11/2000 31.25 34.0634 0.92

12/2000 14.51 34.1658 0.42

Para nuestro ejemplo: Suponiendo un modelo mixto W(t):

W(t)= Y(t)/T(t)


1.29 0.93 1.12 0.85 1.50 0.62 0.96 0.49 0.52 1.28 1.06 0.96

1.02 0.93 0.70 1.53 1.54 0.70 1.31 0.86 0.97 1.96 1.65 1.20

0.98 1.00 0.72 1.56 1.55 1.56 1.43 0.60 0.70 2.27 1.80 1.29

0.87 1.11 1.27 1.48 1.62 1.59 0.92 0.79 1.09 1.24 1.01 1.18

0.91 0.87 1.66 1.37 1.31 1.47 1.00 0.62 1.06 1.24 1.02 1.14

0.88 0.83 0.94 0.75 0.96 0.93 0.69 0.57 0.43 0.79 0.64 0.76

0.79 0.57 0.51 0.62 0.59 1.15 0.41 0.37 0.64 0.45 0.38 0.59

0.44 0.53 0.60 0.66 0.45 0.92 0.39 0.37 0.67 0.37 0.35 0.52

0.46 0.57 0.78 1.47 0.57 0.59 0.63 0.53 0.90 0.66 0.54 0.70

1.53 0.76 0.71 0.99 0.83 0.92 1.07 0.77 1.61 0.95 0.83 1.00

1.32 0.70 0.85 1.35 1.72 1.42 1.20 0.94 1.35 1.72 0.92 1.23

1.40 1.57 1.24 1.45 1.79 1.04 1.69 0.45 1.19 3.43 0.42 1.42

1991W promedio

por ciclo1990 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

5.94 -1.44 2.81 -3.60 12.82 -10.34 -1.26 -15.08 -14.56 8.94 1.84 -1.27

0.36 -1.60 -6.07 13.04 14.03 -8.22 8.67 -4.22 -1.05 30.49 21.47 6.08

-0.44 0.11 -5.52 13.91 14.27 15.18 12.15 -11.68 -9.38 40.64 26.65 8.72

-2.66 2.36 6.15 11.89 16.22 15.93 -2.19 -6.28 2.74 7.64 0.38 4.74

-1.88 -2.86 14.51 9.29 8.13 12.95 0.05 -11.35 1.91 7.72 0.70 3.56

-2.49 -3.92 -0.63 -6.26 -0.94 -1.85 -8.99 -12.98 -17.85 -6.71 -12.03 -6.79

-4.41 -9.67 -9.85 -9.42 -10.66 4.04 -16.95 -18.77 -11.15 -17.82 -20.88 -11.41

-12.13 -10.76 -7.73 -8.50 -14.53 -2.11 -17.48 -18.81 -10.30 -20.55 -22.10 -13.18

-11.63 -9.69 -3.74 11.85 -11.39 -11.35 -10.62 -14.05 -3.05 -11.25 -15.53 -8.22

11.44 -5.45 -5.33 -0.26 -4.53 -2.13 1.97 -6.82 19.20 -1.76 -5.82 0.05

7.00 -6.94 -2.12 8.95 19.29 11.85 5.90 -1.70 11.19 23.55 -2.81 6.74

8.67 13.08 6.46 11.44 21.09 1.02 20.15 -16.90 5.87 80.15 -19.65 11.94

R promedio

por ciclo1991 1996 1997 1998 1999 20001990 1992 1993 1994 1995

0.33 0.34

0.42 0.35

0.53 0.41

0.29 0.24

0.30 0.26

0.17 0.22

0.22 0.38

0.18 0.34

0.28 0.40

0.30 0.30

0.34 0.28

0.80 0.56

s abs (CV)

9.14 7.22

12.46 2.05

15.99 1.83

7.56 1.59

7.72 2.17

5.63 0.83

7.16 0.63

6.13 0.46

7.65 0.93

8.18 180.25

9.59 1.42

26.14 2.19

s abs (CV)

W (t) organizado por ciclos (aos)

R(t) organizado por ciclos (aos)


1.29 0.93 1.12 0.85 1.50 0.62 0.96 0.49 0.52 1.28 1.06 0.96

1.02 0.93 0.70 1.53 1.54 0.70 1.31 0.86 0.97 1.96 1.65 1.20

0.98 1.00 0.72 1.56 1.55 1.56 1.43 0.60 0.70 2.27 1.80 1.29

0.87 1.11 1.27 1.48 1.62 1.59 0.92 0.79 1.09 1.24 1.01 1.18

0.91 0.87 1.66 1.37 1.31 1.47 1.00 0.62 1.06 1.24 1.02 1.14

0.88 0.83 0.94 0.75 0.96 0.93 0.69 0.57 0.43 0.79 0.64 0.76

0.79 0.57 0.51 0.62 0.59 1.15 0.41 0.37 0.64 0.45 0.38 0.59

0.44 0.53 0.60 0.66 0.45 0.92 0.39 0.37 0.67 0.37 0.35 0.52

0.46 0.57 0.78 1.47 0.57 0.59 0.63 0.53 0.90 0.66 0.54 0.70

1.53 0.76 0.71 0.99 0.83 0.92 1.07 0.77 1.61 0.95 0.83 1.00

1.32 0.70 0.85 1.35 1.72 1.42 1.20 0.94 1.35 1.72 0.92 1.23

1.40 1.57 1.24 1.45 1.79 1.04 1.69 0.45 1.19 3.43 0.42 1.42

1991W promedio

por ciclo1990 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

5.94 -1.44 2.81 -3.60 12.82 -10.34 -1.26 -15.08 -14.56 8.94 1.84 -1.27

0.36 -1.60 -6.07 13.04 14.03 -8.22 8.67 -4.22 -1.05 30.49 21.47 6.08

-0.44 0.11 -5.52 13.91 14.27 15.18 12.15 -11.68 -9.38 40.64 26.65 8.72

-2.66 2.36 6.15 11.89 16.22 15.93 -2.19 -6.28 2.74 7.64 0.38 4.74

-1.88 -2.86 14.51 9.29 8.13 12.95 0.05 -11.35 1.91 7.72 0.70 3.56

-2.49 -3.92 -0.63 -6.26 -0.94 -1.85 -8.99 -12.98 -17.85 -6.71 -12.03 -6.79

-4.41 -9.67 -9.85 -9.42 -10.66 4.04 -16.95 -18.77 -11.15 -17.82 -20.88 -11.41

-12.13 -10.76 -7.73 -8.50 -14.53 -2.11 -17.48 -18.81 -10.30 -20.55 -22.10 -13.18

-11.63 -9.69 -3.74 11.85 -11.39 -11.35 -10.62 -14.05 -3.05 -11.25 -15.53 -8.22

11.44 -5.45 -5.33 -0.26 -4.53 -2.13 1.97 -6.82 19.20 -1.76 -5.82 0.05

7.00 -6.94 -2.12 8.95 19.29 11.85 5.90 -1.70 11.19 23.55 -2.81 6.74

8.67 13.08 6.46 11.44 21.09 1.02 20.15 -16.90 5.87 80.15 -19.65 11.94

R promedio

por ciclo1991 1996 1997 1998 1999 20001990 1992 1993 1994 1995

0.33 0.34

0.42 0.35

0.53 0.41

0.29 0.24

0.30 0.26

0.17 0.22

0.22 0.38

0.18 0.34

0.28 0.40

0.30 0.30

0.34 0.28

0.80 0.56

s abs (CV)

9.14 7.22

12.46 2.05

15.99 1.83

7.56 1.59

7.72 2.17

5.63 0.83

7.16 0.63

6.13 0.46

7.65 0.93

8.18 180.25

9.59 1.42

26.14 2.19

s abs (CV)

Se selecciona el modelo cuyos coeficientes de variacin por ciclo sean menores en trminos absolutos

En nuestro ejemplo ser entonces el modelo Mixto


Despus de removida la tendencia, se espera que estas series con la tendencia removida (residuos) contengan predominantemente fluctuaciones estacionales

Estacionalidad: E(t)

-15.00

-10.00

-5.00

0.00

5.00

10.00

15.00

E(t)

=(Z(

t)+(

t)

Tiempo

Componente cclica La primera componente si se tienen datos mensuales, ser una seal de perodo 12 meses

A parte de esta componente se pueden tener otras componentes cclicas de las cuales sabremos su perodo de un anlisis de la serie en el dominio de la frecuencia

Cmo obtener esta componente cclica: Determinar el perodo del ciclo Determinar el tipo de modelo (aditivo, multiplicativo, mixto) Encontrar E(t) a partir de la serie de residuos la serie con la tendencia removida

En nuestro ejemplo, para la serie multianual de caudales mensuales tendremos perodo = 12 aos


Con el modelo determinado, se obtiene la serie E(t)

Si el modelo es Aditivo:

)...2()()( ptEptEtE

RtRtE )()(

Componente cclica, por lo tanto slo har falta determinar las primeras E(t), con t=1,..,p donde p es el perodo establecido

En nuestro ejemplo, tendremos p=12 y por lo tanto, solo ser necesario estimar los primeros 12 trminos de E(t)

...

)14()2(

)13()1(

EE

EE

Promedio de R para todos los ciclos

Si el modelo es Mixto:

)1()()( WtWtE

Promedio de W para todos los ciclos


Con estos modelos se garantiza que los valores esperados de E(t) para el aditivo sea de 0 y para el mixto de 1

Para nuestro ejemplo, asumiendo un modelo mixto la componente E(t) ser:

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

E(t)

=(Z

(t)+

(t)

Tiempo

Fecha Caudal T(t) E(t)

1/1990 26.69 20.649 0.96498826

2/1990 21.21 20.649 1.19535763

3/1990 20.52 20.649 1.28941093

4/1990 18.40 20.649 1.18114082

5/1990 19.28 20.649 1.14067153

6/1990 18.77 20.649 0.76446599

7/1990 16.96 20.649 0.59056093

8/1990 9.34 20.649 0.52306971

9/1990 9.94 20.649 0.70176787

. . .

. . .

. . .

8/2000 11.65 20.649 0.52306971

9/2000 18.33 20.649 0.70176787

10/2000 28.14 20.649 0.99724854

11/2000 31.25 20.649 1.22809848

12/2000 14.51 20.649 1.42321933

)1()()( WtWtE


Componente de residuo, o ruido A(t) :

Si el modelo es aditivo A(t) ser:

A(t)= R(t)-E(t)

Si el Modelo es mixto A(t) ser:

A(t) = [W(t)-E(t)] x T(t)

A(t)/T(t) = [W(t)-E(t)]


Para nuestro ejemplo A(t)

-20.00

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

A(t

)

Tiempo

Fecha Caudal T(t) E(t) A(t)

1/1990 26.69 20.649 0.96498826 6.668690906

2/1990 21.21 20.649 1.19535763 -3.713463144

3/1990 20.52 20.649 1.28941093 -6.504486569

4/1990 18.40 20.649 1.18114082 -6.469838745

5/1990 19.28 20.649 1.14067153 -4.857750212

6/1990 18.77 20.649 0.76446599 2.518187281

7/1990 16.96 20.649 0.59056093 4.340257888

8/1990 9.34 20.649 0.52306971 -1.887429736

9/1990 9.94 20.649 0.70176787 -5.194220597

. . .

. . .

. . .

8/2000 11.65 20.649 0.52306971 -6.003405564

9/2000 18.33 20.649 0.70176787 -5.429943663

10/2000 28.14 20.649 0.99724854 -5.725779656

11/2000 31.25 20.649 1.22809848 -10.58238157

12/2000 14.51 20.649 1.42321933 -34.11293267

A(t) = [W(t)-E(t)] x T(t)


0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

Cau

dal

Tiempo

-20.00

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

A(t

)

Tiempo

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

E(t)

=(Z(

t)+(

t)

Tiempo

0

20

40

60

80

100

120

T(t)

Tiempo

Finalmente:

Se obtienen las componentes de la serie y es posible establecer el modelo Y(t) que servir para predecir


Prediccin: Estimar el futuro a partir del pasado o el presente

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

0 50 100 150 200

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

0 50 100 150 200

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

0 50 100 150 200


Y(n+k)=T(n+k)*E(n+k)+A(n+k)

Modelo para predecir

Y(n+k)=T(n+k)+ E(n+k)+A(n+k)

T(n+k) es la tendencia para un tiempo k (despus del fin de la serie conocida).

En nuestro ejemplo: T(n+k)= 0.1024(n+k) +20.649

E(n+k): E(n+1)=E(1) E(n+2)=E(2) . E(n+P)=E(p) P: perodo de la serie

En nuestro ejemplo: p=12

A(n+k): (residuo, que se puede modelar mediante un ruido blanco p.ej)

Si se supuso un modelo mixto

Si se supuso un modelo aditivo


Fecha T(t) E(t) A(t) Caudal

1/2001 34.2682 0.96498826 13.6743093 46.74

2/2001 34.3706 1.19535763 34.253703 75.34

3/2001 34.473 1.28941093 20.4686113 64.92

4/2001 34.5754 1.18114082 0.4647207 41.30

5/2001 34.6778 1.14067153 18.8683631 58.42

6/2001 34.7802 0.76446599 2.32298918 28.91

7/2001 34.8826 0.59056093 28.9449368 49.55

8/2001 34.985 0.52306971 8.83445034 27.13

9/2001 35.0874 0.70176787 13.1548517 37.78

10/2001 35.1898 0.99724854 25.7266728 60.82

11/2001 35.2922 1.22809848 6.59043821 49.93

12/2001 35.3946 1.42321933 1.33597937 51.71

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Q(t)=T(t)*E(t)+A(t)

Ruido Blanco

E(133)=E(1)

T(t)=0.1024(t) +20.649


Mientras mejor se descomponga la parte cclica mejor ser la capacidad predictiva del modelo. Es posible modelar la tendencia, a partir de la serie suavizada, con un ajuste de regresin. Si la tendencia no es estadsticamente significante, se puede considerar como la media de la serie Es posible seguir descomponiendo el residuo (W(T) R(t)) en ms componentes cclicas Estos modelos de prediccin son los ms clsicos y sencillosexisten otros modelos como los autorregresivos que identifican la dependencia de la serie.

Conocer los ciclos o las frecuencias importantes en la serie


Los mtodos descritos aqui, son de naturaleza descriptiva, por lo que el conocimiento del fenmeno juega un papel importante en la seleccin del modelo. Los mtodos clsicos, tienes la desventaja que se adaptan a travs del tiempo, lo que implica que el proceso de estimacin debe volver a iniciarse frente al conocimiento de nuevos datos.

Arellano, M (2001): "Introduccin al Anlisis Clsico de Series de Tiempo", [en lnea] 5campus.com, Estadstica [Febrero-2010] http://www.ciberconta.unizar.es/LECCION/seriest/100.HTM

Time Series Analysis| Examples with SAS. Version 2006.Sep.01. Editors Michael Falk, Frank Marohn, Rene Michel, Daniel Hofmann, Maria Macke. Universidad de Wrbuz. Paginas 1 a 35

Anlisis Estadstico de Variables Hidroclimatolgicas

Relacin con fenmenos climticos

QBO (aprox 2 aos) ENSO (aprox 4 aos) Manchas (aprox 11 aos)


Importancia de relacionar la serie con periodos de fenmenos climticos

Ayuda a entender el fenmeno en si y la fsica del mismo

Mejora la componente cclica de nuestra serie y por lo tanto mejora las posibilidades de prediccin

Los fenmenos climticos se registran constantemente e incluso se tienen previsiones de los mismos, por lo tanto se pueden utilizar dichos pronsticos para predecir nuestra variables con mas precisin


El tema estudiado hasta ahora, es un anlisis de la serie de acuerdo al tiempo.

En la descomposicin de series, se buscaba describir la seal por medio de un modelo

El anlisis en el dominio de la frecuencia, significa describir la serie (o la parte cclica de la serie) como una suma de componentes peridicas sencillas.

Descomposicin de la serie en componentes cclicas

Tomado de: http://www.dspdimension.com/admin/dft-a-pied/


Las componentes cclicas se resumen en trminos de sus perodos y frecuencias

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Perodo=19

Frecuencia==1/19

Frecuencia= Nmero de ciclos en un intervalo de tiempo

Perodo= Intervalo de tiempo requerido para completar un ciclo

El anlisis en el dominio de la frecuencia implica la deteccin de los ciclos y el clculo de las frecuencias de esos ciclos


Que frecuencias gobiernan la serie?

En una serie de tiempo se pueden encontrar varias frecuencias:

1, 2, 3,, r

0

100

200

300

400

500

600

700

0 20 40 60 80 100 120 140

lluvi

a

Tiempo (# meses)

Cmo detectar las frecuencias que gobiernan una serie?

A partir de la intensidad (amplitud) de cada frecuencia dentro de la serie I()

Para detectar la intensidad de estas frecuencias Uso de transformaciones entre el tiempo y la frecuencia Anlisis espectral


Transformada Discreta de Fourier (DTF)

Una de las transformaciones ms utilizadas entre el tiempo y la frecuencia

Para una secuencia de nmeros reales la Transformada discreta de Fourier ser:

zt

ti

teaf

2

R

Por la ecuacin de Euler: )()cos( zisenzeiz

)2()2cos()( tisenatafZt

t

Zt

ta

Si es la funcin de auto covarianza de la serie entonces la transformada de esta funcin da como resultado el PERIODOGRAMA


PERIODOGRMA:

)2(1

)2cos(1

))(()(

1

1

22

tsenyyn

S

tyyn

C

SCnI

n

t

t

n

t

t

[1] Michael Falk et al 2006

El resultado de la DFT (trasnformada discreta de Fourier ) de la funcin de autocovarianza

[1]

Intensidad=Potencia entendida como la cantidad de energa por unidad de tiempo emitida por una fuente determinada en forma de ondas.


El periodograma es el espectro de potencias emprico

Componentes de frecuencia que forman la serie y su contribucin (mientras ms potencia, ms contribuyen)

El espectro de potencias mide el aporte a la varianza de una cierta frecuencia

Para la serie multianual de caudal mensual

Frecuencia de 0.0833 Perodo = 1/0.0833=12




Estableciendo mediante un anlisis en el dominio de la frecuencia, cuales son las componentes cclicas que gobiernan la serie, es posible mejorar E(t), y por lo tanto mejorar el modelo de serie temporal y la prediccin de la misma


The DFT Pied: Mastering The Fourier Transform in One Day. http://www.dspdimension.com/admin/dft-a-pied/


Time Series Analysis| Examples with SAS. Version 2006.Sep.01. Editors Michael Falk, Frank Marohn, Rene Michel, Daniel Hofmann, Maria Macke. Universidad de Wrbuz. Paginas 152

04_Análisis dominio de la frecuencia_descomposición

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