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5 CAPÍTULO MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

332

Ejem

plos

EJEMPLOS

Máximo común divisor (MCD)

El máximo común divisor de dos o más expresiones algebraicas es el término o polinomio que divide exactamente a todas y cada una de las expresiones dadas.

Regla para obtener el MCD:

⁄ Se obtiene el máximo común divisor de los coefi cientes.⁄ Se toman los factores (monomio o polinomio) de menor exponente que tengan en común y se multiplican por

el máximo común divisor de los coefi cientes.

1 Encuentra el máximo común divisor de: 15x2y2z, 24xy2z, 36y4z2.

Solución

Se obtiene el MCD de 15, 24 y 36

15 24 36 3

5 8 12

MCD = 3

Se toman los factores que tengan en común y se escogen los de menor exponente, en este caso: y2, zFinalmente, el máximo común divisor: 3y2z

2 Obtén el MCD de los siguientes polinomios:

4m2 + 8m − 12, 2m2 − 6m + 4, 6m2 + 18m − 24;

Solución

Se factorizan los polinomios:

4(m2 + 2m − 3) = 4(m + 3)(m − 1)

2(m2 − 3m + 2) = 2(m − 2)(m − 1)

6(m2 + 3m − 4) = 6(m + 4)(m − 1)

Se obtiene el MCD de 4, 2 y 6

4 2 6 2

2 1 3

El MCD de los coefi cientes 2, 4 y 6 es 2.El MCD de los factores es m − 1Por tanto, el MCD de los polinomios es: 2(m − 1)

Mínimo común múltiplo (mcm)

El mínimo común múltiplo de dos o más expresiones algebraicas es el término algebraico que se divide por todas y cada una de las expresiones dadas.

Regla para obtener el mínimo común múltiplo:

⁄ Se obtiene el mcm de los coefi cientes.⁄ Se toman los factores que no se repiten y, de los que se repiten, el de mayor exponente, y se multiplican por el

mínimo común múltiplo de los coefi cientes.

CAPÍTULO 5 ÁLGEBRA • Fracciones algebraicas

333

Ejem

plos

EJEMPLOS

1 Determina el mcm de las siguientes expresiones 15x2y2z; 24xy2z, 36y4z2.

Solución

Se encuentra el mcm de 15, 24, 36

15 24 36 215 12 18 2

15 6 9 2

15 3 9 3

5 1 3 3

5 1 1 5

1 1 1

El mcm de los coefi ciente 15, 24 y 36 es 360Se toman todos los factores y se escogen los de mayor exponente en el caso de aquellos que sean comunes y, los

que no, se escriben igual.

x2y4z2

Finalmente, el mcm es 360 x2y4z2

2 Encuentra el mcm de 4m2 + 8m − 12; 2m2 − 6m + 4; 6m2 + 18m − 24.

Solución

Se factorizan los polinomios y se escogen los factores:

4m2 + 8m − 12 = 4(m2 + 2m − 3) = 4(m + 3)(m − 1)

2m2 − 6m + 4 = 2(m2 − 3m + 2) = 2(m − 2)(m − 1)

6m2 + 18m − 24 = 6(m2 + 3m − 4) = 6(m + 4)(m − 1)

Se obtiene el mcm de los coefi cientes de 4, 2 y 6

4 2 6 22 1 3 2

1 1 3 3

1 1 1

El mcm de 4, 2 y 6 es 12El mcm de los factores es: (m + 3)(m − 2)(m + 4)(m − 1)Por consiguiente, el mcm es: 12(m + 3)(m − 1)(m − 2)(m + 4)

EJERCICIO 52Determina el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de las siguientes expresiones:

1. 35x2y3z4; 42x2y4z4; 70x2y5z2

2. 72m3y4; 96m2y2; 120m4y5

3. 4x2y; 8x3y2, 2x2yz; 10xy3z2

4. 39a2bc; 52ab2c; 78abc2

mcm = 23 × 32 × 5 = 360

mcm = 22 × 3 = 12


334

Ejem

plos

EJEMPLOS

5. 60m2nx; 75m4nx + 2; 105mnx +1

6. 22xayb; 33xa + 2yb + 1; 44xa + 1yb + 2

7. 18a2(x − 1)3; 24a4(x − 1)2; 30a5(x − 1)4

8. 27(a − b)(x + y)2; 45(a − b)2(x + y)

9. 24(2x + 1)2(x − 7); 30(x + 8)(x − 7); 36(2x + 1)(x + 8)2

10. 38(a3 + a3b); 57a(1 + b)2; 76a4(1 + b)3

11. xy + y; x2 + x

12. m3 − 1; m2 − 1

13. m2 +mn; mn + n2; m3 + m2n

14. x2 − y2; x2 − 2xy + y2

15. 3x2 − 6x; x3 − 4x; x2y − 2xy; x2 − x − 2

16. 3a2 − a; 27a3 − 1; 9a2 − 6a + 1

17. m2 − 2m − 8; m2 − m − 12; m3 − 9m2 + 20m

18. 2a3 − 2a2; 3a2 − 3a; 4a3 − 4a2

19. 12b2 + 8b + 1; 2b2 − 5b − 3

20. y3 − 2y2 − 5y + 6; 2y3 − 5y2 − 6y + 9; 2y2 − 5y − 3

⁄ Verifi ca tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

Simplifi cación de fracciones algebraicas

Una fracción algebraica contiene literales y se simplifi ca al factorizar al numerador y al denominador y al dividir aquellos factores que se encuentren en ambas posiciones, como a continuación se ejemplifi ca.

1 Simplifi ca la siguiente expresión:

8 12

8

2

2

a ab

a

+.

Solución

Se factorizan tanto el numerador como el denominador.

8 12

8

2

2

a ab

a

+ =

4 2 3

2 4

a a b

a a

( ) +( )( )( )

Una vez factorizados los elementos de la fracción, se observa que en ambos se encuentra la expresión (4a) la cual se procede al simplifi car

4 2 3

2 4

a a b

a a

( ) +( )( )( ) =

2 3

2

a b

a

+


3

15 12 2

m

m m−.

Solución

Se factorizan el numerador y el denominador, simplifi cando el término que se repite en ambos (3m)

3

15 12 2

m

m m− =

1 3

3 5 4

m

m m

( )( ) −( ) =

1

5 4− m


335


6 12

4

2 2

2 2

x y xy

x y

−−

.

Solución

Se factorizan tanto el numerador como el denominador.

6 12

4

2 2

2 2

x y xy

x y

−−

= 6 2

2 2

xy x y

x y x y

( )−+( ) −( )

Una vez factorizados los elementos de la fracción, se observa que en ambos se encuentra la expresión (x − 2y) la cual se procede a simplifi car

6 2

2 2

xy x y

x y x y

( )−+( ) −( ) =

6

2

xy

x y+

4 Simplifi ca

x x

x ax x a

2

2

6 9

3 3

− ++ − −

.

Solución

Se factorizan tanto numerador como denominador

x x

x ax x a

2

2

6 9

3 3

− ++ − −

= x

x x a x a

−( )+( ) − +( )

3

3

2

= ( )x

x x a

−−( ) +( )

3

3

2

En esta fracción el elemento que se repite en el numerador y denominador es (x − 3), entonces se realiza la sim-plifi cación

( )x

x x a

−−( ) +( )

3

3

2

= x

x a

−+

3


9

6

3

4 3 2

x x

x x x

−− −

.

Solución


9

6

3

4 3 2

x x

x x x

−− −

= x x

x x x

9

6

2

2 2

−( )− −( ) =

x x x

x x x

3 3

3 22

+( ) −( )−( ) +( )

Los factores que se repiten son (x) y (x − 3)

x x x

x x x

3 3

3 22

+( ) −( )−( ) +( ) =

3 1

2

+( ) −( )+( )

x

x x = − +

+( )x

x x

3

2


12 37 2 3

20 51 26 3

2 3

2 3

+ + −+ − +

x x x

x x x.

Solución


12 37 2 3

20 51 26 3

2 3

2 3

+ + −+ − +

x x x

x x x =

−( ) +( ) +( ) −( )−( ) +( ) −( )

1 3 1 3 4

5 3 1 4

x x x

x x x

Los factores que se repiten en el numerador y denominador (3x + 1) y (x − 4), se dividen, obteniéndose la simpli-fi cación de la fracción

12 37 2 3

20 51 26 3

2 3

2 3

+ + −+ − +

x x x

x x x =

−( ) +( )−( )

1 3

5

x

x = − +

−x

x

3

5


336

Ejem

plos

EJEMPLOS

EJERCICIO 53Simplifi ca las siguientes fracciones algebraicas:

1.2 2

3

2

2

a ab

a b

+16.

y x

y xy x

3 3

2 2

27

6

−− −

2.6

3 6

3 2

2 2

a b

a b ab−17.

x

x x x

3

3 2

1

2

−− − −

3.4 12

8

2

2

a a

a

+18.

x x y xy y

x xy y

3 2 2 3

3 2 3

3 3

3 2

− + −− +

4.6 18 24

15 9

3 2

2

m m m

m m

− −−

19.3 3

3 32 2 2 2

ax bx ay by

by bx ay ax

− − +− − +

5.m n m n

n m

3 2 2

2 2

−−

20.a ab ad bd

a b ab

2

2 22 2

+ − −+

6.4 12

2 2 12

2

3 2

x x

x x x

−− −

21.y y y

ay ay y y

3 2

2 2

6

3 9 2 6

+ −+ + +

7.x xy y

y xy x

2 2

2 2

3 10

5 4

− −+ −

22.3 32x xy

yz xz yw xw

−− − +

8.x x

x

2

2

7 78

36

+ −−

23.w w

x wx y wy

2 2+ −− − +

9.n n

n n

2

2

5 6

2 3

− +− −

24.p p p

p p p

+ − −− − +

1

2 2

3 2

3 2

10.2 6

3 5 2

2 2

2 2

x xy y

x xy y

− −− −

25.2 2

2 2

3 2 2 2

2 2 3 2

a ab a b

ab b a a

− + −+ − −

11.− + −

− −x x y x y

x x y xy

4 3 2 2

3 2 2

3 2

5 426.

x x x

x x x

3 2

3 2

2 2

4 6

+ − −+ + −

12.3 10 8

6

2 2

2 2

x xy y

x xy y

+ +− −

27.x x x

x x x

3 2

3 2

4 6

14 24

+ + −+ − −

13.ab m ab mn ab n

abm abn

2 2 2 2 2

2 2

2− +−

28.y y y

y y y

3 2

3 2

9 26 24

5 2 24

− + −− − +

14.8

2 8

3

2

−+ −

x

x x29.

y y y

y y y

−( ) − +( )−( ) −( )

1 8 16

4 1

2

2 2

15.x y

x y

3 3

2 2

+−

30.a a a

a a

−( ) + −( )− −( )

2 12

2 3

2 2

2( )


Suma y resta de fracciones con denominador común

1 Determina el resultado de

2 3 42

2

2

2

a a b

a b

a a b

a b

− + +.

Solución

Se simplifi ca cada fracción, si es posible.

2 2 22

2 2

a a b

a b

a ab

a b

ab

ab

− =−( )

= − ;

3 4 3 4 3 42

2 2

a a b

a b

a ab

a b

ab

ab

+ =+( )

= +


337

Ejem

plos

EJEMPLOS

Se suman las nuevas expresiones.

2 3 4− + +ab

ab

ab

ab

Como los denominadores son comunes, en la fracción resultante sólo se reducen los numeradores y el denominador permanece igual.

2 3 4− + +ab

ab

ab

ab =

2 3 4− + +ab ab

ab =

5 3+ ab

ab

2 Encuentra el resultado de

2

2

5 5

2 2

m n

m n

m n

m n

n m

m n

+−

+ −−

+ −−

.

Solución

En este caso ningún sumando se puede simplifi car, entonces el común denominador es 2m − n, y sólo se reducen los numeradores.

2

2

5 5

2 2

m n

m n

m n

m n

n m

m n

+−

+ −−

+ −−

= 2 5 5

2

m n m n n m

m n

+ + − + −−

= 6 3

2

m n

m n

−−

= 3 2

2

m n

m n

−( )−

= 3

EJERCICIO 54Simplifi ca las siguientes fracciones algebraicas:

1.2 7

8

6

8

2

2

2

2

x x

x

x x

x

− + +4.

7 6

4

12 3

4

2 2m m

mn

m m

mn

− + −7.

12 5

22

6

22

2 2x x

x

x x

x

− + + + −

2.1 7 22 2− − −a

a

a

a5.

35 7

5

15 3

52 2

n

n n

n

n n

−−

− −−

8.13

3 2

5 3

3 2

3 6

3 2

x y

x y

x y

x y

x y

x y

−−

+ −−

− +−

3.7 1

10

8 4

10

n

n

n

n

− + −6.

11 14

6

2

6

2

2

2

2

y y

y

y y

y

− − +9.

6 5

8 2

6

8 2

3

8 2

a b

a b

a b

a b

a b

a b

+−

− +−

+ −−


Suma y resta de fracciones con denominadores diferentes

1 Efectúa la siguiente operación:

3

2

5

42 2

x

y

y

x+ .

Solución

Se obtiene el mínimo común múltiplo de los denominadores y se realizan las operaciones correspondientes.

3

2

5

42 2

x

y

y

x+ =

3 2 5

4

2 2

2 2

x x y y

x y

( ) + ( )= 6 5

4

3 3

2 2

x y

x y

+

2 Realiza la siguiente operación y simplifi car al máximo:

1 1

x h x+− .

Solución

Se obtiene el común denominador de los denominadores “x + h” y “x”, posteriormente se procede a realizar la dife-rencia de fracciones

1 1

x h x+− =

x x h

x x h

− +( )+( ) =

x x h

x x h

− −+( ) =

−+( )h

x x h


338

3 Efectúa

3

6 9

4

32

x

x x x− ++

−.

Solución

Se obtiene el mínimo común múltiplo de los denominadores y se efectúan las operaciones:

3

3

4

32

x

x x−( )+

− =

3 1 4 3

32

x x

x

( ) + −( )−( )

= 3 4 12

32

x x

x

+ −−( )

= 7 12

32

x

x

−−( )

4 Realiza la siguiente operación:

1

1

1

12 2x h x+( ) −−

−.

Solución

Se determina el común denominador, éste se divide por cada uno de los denominadores y el resultado se multiplica por su numerador, los productos se reducen al máximo.

1

1

1

12 2x h x+( ) −

−−

= 1

2 1

1

12 2 2x xh h x+ + −−

− =

1 1 1 2 1

2 1 1

2 2 2

2 2 2

x x xh h

x xh h x

−( ) − + + −( )+ + −( ) −( )

= x x xh h

x xh h x

2 2 2

2 2 2

1 2 1

2 1 1

− − − − ++ + −( ) −( ) =

− −+ + −( ) −( )

2

2 1 1

2

2 2 2

xh h

x xh h x

5 Simplifi ca la siguiente operación:

x

xx

2

212

212

11

+( )+ +( ) .

Solución

A los enteros se les coloca la unidad como denominador:

x

x

x2

21

2

21

2

11

+( )+ +( ) =

x

x

x2

21

2

21

2

1

1

1+( )+

+( )

Luego, el común denominador es x21

21+( ) , por tanto

x

x

x2

21

2

21

2

11

+( )+ +( ) =

x

x

x2

21

2

21

2

1

1

1+( )+

+( ) =

x x x

x

2 21

2 21

2

21

2

1 1 1

1

( ) + +( ) +( )+( )

se aplica la propiedad a m · a n = a m + n y se simplifi ca al máximo el numerador, entonces:

x x

x

2 21

2

1

2

21

2

1 1

1

( ) + +( )+( )

+

= x x

x

2 2

21

2

1

1

+ +( )+( )

= 2 1

1

2

21

2

x

x

+

+( )


x

xx

3

323

313

11

−( )− −( ) .

Solución

El común denominador de esta diferencia de fracciones es x32

31−( ) , entonces:

x

x

x3

32

3

31

3

11

−( )− −( ) =

x x

x

3 32

3

1

3

32

3

1

1

− −( )−( )

+

= x x

x

3 3

32

3

1

1

− −( )−( )

= x x

x

3 3

32

3

1

1

− +

−( ) =

1

132

3x −( )


339

Por tanto, la simplifi cación es:

x

x

x3

32

3

31

3

11

−( )− −( ) =

1

132

3x −( )

7 Efectúa y simplifi ca la siguiente expresión:

x x

x

x x

x

212

212

212

212

1

1

1

1

+( )−( )

−−( )

+( ).

Solución

El común denominador es el producto de los denominadores:

x x21

2 21

21 1−( ) +( )Se realiza la operación:

x x

x

x x

x

21

2

21

2

21

2

21

2

1

1

1

1

+( )−( )

−−( )

+( ) =

x x x x

x x

21

2

1

2 21

2

1

2

21

2 21

2

1 1

1 1

+( ) − −( )−( ) +( )

+ +

= x x x x

x x

2 2

21

2 21

2

1 1

1 1

+( ) − −( )−( ) +( )

= x x x x

x x

3 3

21

2 21

21 1

+ − +

−( ) +( ) =

2

1 121

2 21

2

x

x x−( ) +( )En el denominador los factores están elevados al mismo exponente, se pueden multiplicar las bases, las cuales dan

como resultado una diferencia de cuadrados, por tanto:

x x

x

x x

x

21

2

21

2

21

2

21

2

1

1

1

1

+( )−( )

−−( )

+( ) =

2

141

2

x

x −( )


x

x

x

x

−( )+( )

−+( )−( )

2

3 1

2 1

3 2

23

23

13

13

.

Solución

Se obtiene el común denominador y se procede a realizar la diferencia:

x

x

x

x

−( )+( )

−+( )−( )

2

3 1

2 1

3 2

2

3

2

3

1

3

1

3

= x x

x x

−( ) − +( )+( ) −( )

+ +2 2 1

3 1 2

2

3

1

3

1

3

2

3

2

3

1

3

= x x

x x

−( ) − +( )+( ) −( )2 2 1

3 1 22

3

1

3

= x x

x x

− − −

+( ) −( )2 2 2

3 1 22

3

1

3

Por último se simplifi ca el numerador, entonces:

x

x

x

x

−( )+( )

−+( )−( )

2

3 1

2 1

3 2

2

3

2

3

1

3

1

3

= − −

+( ) −( )x

x x

4

3 1 22

3

1

3

= − +

+( ) −( )x

x x

4

3 1 22

3

1

3


340

9 Realiza y simplifi ca la operación

a b

a ab b

a b

a ab b

a b

a ab b

+− −

− +− −

+ ++ +2 2 2 2 2 220

4

4 5

5

5 4..

Solución

Se factorizan los denominadores:

a2 − ab − 20b2 = (a − 5b)(a + 4b)

a2 − 4ab − 5b2 = (a − 5b)(a + b)

a2 + 5ab + 4b2 = (a + 4b)(a + b)

La expresión con los denominadores factorizados es:

a b

a b a b

a b

a b a b

a b

a b a

+−( ) +( ) − +

−( ) +( ) + ++( )5 4

4

5

5

4 ++( )b

Se obtiene el mínimo común múltiplo de los denominadores: (a − 5b)(a + 4b)(a + b)Se resuelve la fracción:

= a b a b a b a b a b a b

a b a

+( ) +( ) − +( ) +( ) + −( ) +( )−( )

4 4 5 5

5 ++( ) +( )4b a b

= a ab b a ab b a b

a b a b a

2 2 2 2 2 22 8 16 25

5 4

+ + − − − + −−( ) +( ) + bb( )

= a ab b

a b a b a b

2 26 40

5 4

− −−( ) +( ) +( )

El numerador se factoriza, si es posible, para simplifi car al máximo, entonces

= a b a b

a b a b a b

−( ) +( )−( ) +( ) +( )

10 4

5 4

= a b

a b a b

−−( ) +( )

10

5

EJERCICIO 55Efectúa y simplifi ca las siguientes operaciones algebraicas:

1. x

x

x

x

− + +2

4

5

10 7.

2

3

2

32 2x h x+( ) −

−−

2. x

x

x

x

+ + +1

2

2 3

3 8.

x h

x h

x

x

+( )+( ) +

−+

2

2

2

21 1

3. x

x

x

x

− + −4

9

3

62 9.

6

9 32

x

x

x

x−+

+

4. 2 5

6

6

4 2

x

x

x

x

+ − + 10.

2

1

2

12x

x

x++ +

−

5. 1

2

1

2x h x+ +−

+ 11.

4

4 22

x

x

x

x−+

+

6. x h

x h

x

x

+ ++ −

− +−

1

1

1

1 12.

3

2 1

2

12 2x x x− ++

−


341

Ejem

plos

EJEMPLOS

13. 7

6 9

1

92 2

x

x x x+ ++

− 20.

2 8

2 2 12

5 6

2 8

2

2

2

2

x

x x

x x

x x

++ −

− − −+ −

14. 2 23 2

1

3

2

2

3

x xx

x−( ) −

−( ) 21.

4 5

12

9

18 3

2

10 242 2 2

x

x x x x x x

−+ −

+− −

++ +

15. 12 13

1

3 21

2

5

21

2

x xx

x

+( ) −+( )

22. 1

2 11 15

6 7

3 7 6

19

6 11 102 2 2x x

x

x x x x+ ++ +

+ −−

+ −

16. 3 4

3 2

3 2

4

21

2

21

2

21

2

21

2

x x

x

x x

x

−( )+( )

−+( )

−( ) 23.

m n

m mn n m n

m

m n

+− +

−+

++2 2

2

3 3

1 3

17. − +( )

−( )−

−( )+( )

2 2

3 5

4 5

3 2

22

3

22

3

21

3

21

3

x x

x

x x

x

24. 3 2

3 10

5

4 5

4

32 2 2 2 2

x y

x xy y

x y

x xy y

x y

x xy

++ −

− ++ −

+ −− + 22 2y

18. 8 3 4 3

3 4 3

8 3 4 321

3

22

3

21

x x x

x x

x x x−( ) +( )−( )

−+( ) −( )33

22

33 4 3x x+( ) 25.

a b

a b

a b

a b

a ab b

a b

−+

− −−

+ + −−3 3

2

6 6

2 6

9 9

2 2

2 2

19. x

x x x x

++ −

−+ −

1

12

12

5 242 2 26. r s

s r

s

s r

r

s r

++

−−

+−

3 3 2

2 2


Multiplicación de fracciones algebraicas

Regla para multiplicar fracciones:

⁄ Descomponer en factores los elementos de las fracciones que se van a multiplicar.⁄ Se simplifi can aquellos términos que sean comunes en el numerador y denominador de las fracciones que se

van a multiplicar.⁄ Multiplicar todos los términos restantes.

1 Multiplica

2

3

6

4

5

2

2 2x

y

y

x

xy

y⋅ ⋅ .

Solución

Se realiza la multiplicación de fracciones y se simplifi ca el resultado

2

3

6

4

5

2

60

24

2 2 3 3

2

x

y

y

x

xy

y

x y

xy⋅ ⋅ = = 5

2

2x y

2 Simplifi ca:

m m

m

m

m

2 9 18

5

5 25

5 15

+ +−

⋅ −+

.

Solución

Se factoriza cada uno de los elementos

m m

m

m

m

2 9 18

5

5 25

5 15

+ +−

⋅ −+

=m m

m

m

m

+( ) +( )−

⋅−( )+( )

6 3

5

5 5

5 3(continúa)


342

(continuación)se procede a realizar la multiplicación y la simplifi cación

m m

m

m

m

+( ) +( )−

⋅−( )+( )

6 3

5

5 5

5 3 =

5 6 3 5

5 5 3

m m m

m m

+( ) +( ) −( )−( ) +( ) = m + 6

3 Efectúa y simplifi ca:

a a

a

a

a a

a

a

2

2

25 6

3 15

6

30

25

2 4

− +−

⋅− −

⋅ −−

.

Solución

a a

a

a

a a

a a−( ) −( )−( ) ⋅ ⋅

−( ) +( ) ⋅+( ) −( )3 2

3 5

2 3

6 5

5 5

2(( )a

a a a a a

a a a−=

−( ) −( ) ⋅ +( ) −( )−( ) −( )2

3 2 2 3 5 5

3 5 6 ++( ) −( )5 2 2a

=6 3 2 5 5

6 5 6 5 2

a a a a a

a a a a

−( ) −( ) +( ) −( )−( ) −( ) +( ) −( ) = a a

a

( )−−

3

6

Finalmente, el resultado de la multiplicación es a a

a

( )−−

3

6= a a

a

2 3

6

−−

EJERCICIO 56Efectúa la multiplicación de las fracciones algebraicas y simplifi ca:

1. 4

7

14

5

5

7

2

3 4

2

3

a

x

x

b

b

a⋅ ⋅ 11.

7 42

3 6

15 30

14 84

2

2 2

x x

x x

x

x x

+−

⋅ −+

2. 5 2 3

102x

x

y

y⋅ ⋅ 12. x x

x x

x x

x x

2

2

2

2

6

5 6

2 3

4 5

+ −− +

⋅ − −− −

3. 3

10

5

14

7

62

4

2

x

y

y

ab

a

x⋅ ⋅ 13.

x x

x x

x x

x x

2

2

2

2

10 24

30

2 48

12 32

− ++ −

⋅ − −− +

4. 16

5

10

4

2

3

2

2

3

3

2ab

a x

x

b

a

bx⋅ ⋅ 14.

8 10 3

4 4 1

6 1

9 9 4

2

2

2

2

x x

x x

x x

x x

+ ++ +

⋅ + −+ −

5. 3

4 2

2

3

2 2

2 3

x

b

b

y

y

x⋅ ⋅ 15.

x x

x x

x x

x x

2

2

2

2

3 4

7 12

5 6

3 18

− −− +

⋅ + +− −

6. 5 25

14

7 7

10 50

m m

m

+ ⋅ ++

16. x x

x x

x x

x x

2

2

2

2

9 18

2 9 9

2 7 6

4 9 2

+ ++ +

⋅ + ++ +

7. b b

b

b

b

b

b b

2 2

2

5 6

3 15

25

2 4

6

30

− +−

⋅ −−

⋅− −

17. x x x

x x

x x

x x

3 2

2

2

2

2 3

4 8 3

2 3+ −+ +

⋅ +−

8. 2 2

2 2 1

3 2

2

3

2 2

m mn

mx mx

x

x

x x

m x n x

+−

⋅+

⋅ −+

18. x

a

a a

x x

3

3

2

2

27

1

1

3 9

−−

⋅ + ++ +

9. 14 21

24 16

12 8

42 63

2x x

x

x

x

−−

⋅ −−

19. x x

x x

x

x

x x

x

2

2 2

25 6

4 4

8 8

9

5

2

+ ++

⋅ +−

⋅ −+

10. 30 18

6 5

42 35

60 36

3 2

3 2

x x

x x

x

x

−+

⋅ +−

20. 2 5 3

2 8

4 4

6 5 1

3 11 42

2

2

2

2

2

n n

n n

n n

n n

n n

n

+ −− −

⋅ + +− +

⋅ + −++ +5 6n



343

Ejem

plos

EJEMPLOS

División de fracciones algebraicas

Regla para dividir fracciones:

⁄ Primero se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, de lo que re-sulta el numerador de la fracción solución; el denominador de la fracción solución se obtiene al multiplicar el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda. De preferencia los productos se dejan indicados.

⁄ Se simplifi can los términos o factores que sean comunes, en el numerador y denominador, de las fracciones que se van a multiplicar.

⁄ Se multiplican todos los términos restantes.

1 Realiza la siguiente división:

m

n

m

n

2

2 33

2÷ .

Solución

Se efectúan los productos cruzados y se simplifi ca la expresión

m

n

m

n

2

2 33

2÷ = m n

n m

2 3

23 2

( )( )( ) =

m n

mn

2 3

26 =

mn

6

2 Simplifi ca la siguiente división:

3

1

1

2

2 2

2

x

x

x

x

+( )

+( ).

Solución

Se realiza el producto de medios por medios y extremos por extremos, para después simplifi car al máximo.

3

1

1

2

2 2

2

x

x

x

x

+( )

+( ) =

3 1

1

2 2

2 2

x x

x x

+( )+( )

= 3

12

x

x +

3 Realiza el siguiente cociente y simplifi ca:

a a

a a

a a

a

3

2

2

2 6

5 5

2 6

−+

÷ −+

.

Solución

Se factorizan todos los elementos y se procede a efectuar la simplifi cación.

a a

a a

a a

a

3

2

2

2 6

5 5

2 6

−+

÷ −+

= a a a

a a

a a

a

( )− +( )+( ) ÷

−( )+( )

1 1

2 3

5 1

2 3 =

a a a a

a a a a

−( ) +( )( ) +( )( )( ) −( ) +( )

1 1 2 3

2 5 1 3 =

a

a

+1

5


1

1

1

21

2

2

x

x

+( )+( )

(continúa)


344

(continuación)Solución

En este caso se tiene una fracción sobre un entero, al que se le agrega la unidad como denominador, para después realizar el producto de medios y extremos, entonces:

1

1

1

21

2

2

x

x

+( )+( ) =

1

1

1

1

21

2

2

x

x

+( )+( ) =

1

121

21

x +( ) + =

1

123

2x +( )

5 Resuelve la siguiente división:

4

2

6 7 2

3 5 2

2 2

2 2

2 2

2 2

x y

x xy y

x xy y

x xy y

−+ −

÷ + ++ +

.

Solución

Se factoriza cada uno de los factores y se procede a realizar la división

4

2

6 7 2

3 5 2

2 2

2 2

2 2

2 2

x y

x xy y

x xy y

x xy y

−+ −

÷ + ++ +

= 2 2

2

3 2 2

3 2

x y x y

x y x y

x y x y

x y

+( ) −( )−( ) +( ) ÷

+( ) +( )+( )) +( )x y

= 2 2 3 2

2 3 2 2

x y x y x y x y

x y x y x y

+( ) −( ) +( ) +( )−( ) +( ) +( ) xx y+( ) = 1

6 Efectúa y simplifi ca la siguiente operación: x

xx

x+ +

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ÷ − −

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟4

2

11

9

1.

Solución

Se resuelven las operaciones dentro de los paréntesis:

x

xx

x+ +

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ÷ − −

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟4

2

11

9

1 =

x x

x

x x

x

2 25 4 2

1

2 1 9

1

+ + ++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

÷ − + −−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= x x

x

x x

x

2 25 6

1

2 8

1

+ ++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

÷ − −−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Se factorizan los polinomios resultantes y se resuelve la división:

x x

x

x x

x

+( ) +( )+

÷−( ) +( )

−3 2

1

4 2

1 =

x x x

x x x

+( ) +( ) −( )+( ) −( ) +( )

3 2 1

1 4 2 =

x x

x x

+( ) −( )+( ) −( )

3 1

1 4 =

x x

x x

2

2

2 3

3 4

+ −− −

EJERCICIO 57Realiza las siguientes operaciones y simplifi ca al máximo:

1.2 8

3

3

2

5

3

x

y

x

y÷ 3.

6

2 3

2

2 3

2

3

4

x

x

x

x

+( )

+( )

2.12

15

4

5

4 5

6 3

2

2 3

a b

x y

a b

x y÷ 4.

12

2 1

2

2 1

5

31

3

2

32

3

x

x

x

x

+( )

+( )


345

Ejem

plos

EJEMPLOS

5.

4

3 3

3

2

2

2 2

x

x xyx

x y

−

−

14.

x x

x xx x

x

3

3

2

121

4911

7

−−−+

6.x x

x x

x x

x x

3

2

3 2

2 2 1

+−

÷ −− +

15.

x

xx x x

x x

3

2

3 2

2

125

645 25

56

+−

− ++ −

7.x

x x

x x

x x

2

2

2

2

9

2 3

6 27

10 9

−+ −

÷ + −− +

16.

a a

a aa a

a a

2

3 2

2

2

6

33 54

9

−+

+ −+

8.x x

x x

x x

x x

2

2

2

2

7 10

6 5

5 14

8 7

− +− +

÷ + −+ +

17.15 7 2

25

6 13 6

25 10 1

2

3

2

2

x x

x x

x x

x x

+ −−

÷ + ++ +

9.x x

x x

x x

x x

2

2

2

2

4 3

6 9

12 32

3 40

− +− +

÷ + ++ −

18. 1 12+

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ÷ +⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

a

a b

a

b

10.4 23 6

3 14 8

4 25 6

30

2

2

2

2

x x

x x

x x

x x

− −− +

÷ + ++ −

19. xx

xx

++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ÷ +

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

3

3

4

11.6 5 1

12 1

4 8 5

8 6 1

2

2

2

2

x x

x x

x x

x x

− +− −

÷ − −+ +

20. nn

nn

n

n− −

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ÷ + − −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

2 1

21

12

2

12.x

x x x

x x

x

2

3 2

2

3

16

3 9

12

27

−− +

÷ − −+

21. a bb

a b

b

a b+ +

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

÷ −+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

1

13.8 2 3

16 9

4 1

4 3

2

3

2

2

x x

x x

x

x x

− −−

÷ −+

22. 11

2

1

13−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ÷ +

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟x

xx


Combinación de operaciones con fracciones

La simplifi cación de este tipo de operaciones, en las que se combinan operaciones básicas, se basa en la jerarquización de operaciones de izquierda a derecha, como sigue:

⁄ Divisiones y productos ⁄ Sumas y restas

1 Efectúa y simplifi ca la siguiente fracción algebraica

x x

x x

x x

x x

x x

x x

2

2

2

2

2

2

2

4 3

2 3

2 1

2 8

2 7 4

++ +

⋅ + −− −

÷ − −− −

Solución

Se factoriza cada uno de los polinomios de la expresión

x x

x x

x x

x x

x x

x x

2

2

2

2

2

2

2

4 3

2 3

2 1

2 8

2 7 4

++ +

⋅ + −− −

÷ − −− −

= x x

x x

x x

x x

x+( )+( ) +( ) ⋅

+( ) −( )+( ) −( ) ÷

−(2

3 1

3 1

2 1 1

4)) +( )+( ) −( )

x

x x

2

2 1 4(continúa)


346

(continuación)Se realiza el producto

x x

x x

x x

x x

+( )+( ) +( ) ⋅

+( ) −( )+( ) −( )

2

3 1

3 1

2 1 1=

x x x x

x x x x

+( ) +( ) −( )+( ) +( ) +( ) −( )

2 3 1

3 1 2 1 1=

x x

x x

+( )+( ) +( )

2

1 2 1

Por último, se realiza la división y se simplifi ca al máximo:

x x

x x

x x

x x

+( )+( ) +( ) ÷

−( ) +( )+( ) −( )

2

1 2 1

4 2

2 1 4=

x x x x

x x x x

+( ) +( ) −( )+( ) +( ) −( ) +( )

2 2 1 4

1 2 1 4 2= x

x +1

2 Realiza y simplifi ca la siguiente fracción:

x x

x x

x x

x x

x

x

2

2

2

2

6 5

5 6

3 10

4 5 1

+ ++ +

⋅ − −− −

−+

Solución

Se factorizan las expresiones y se aplica la jerarquía de las operaciones

x x

x x

x x

x x

x+( ) +( )+( ) +( ) ⋅

−( ) +( )−( ) +( ) −

5 1

3 2

5 2

5 1 xx +1 =

x x x x

x x x x

x

x

+( ) +( ) −( ) +( )+( ) +( ) −( ) +( ) −

5 1 5 2

3 2 5 1 ++1

= x

x

x

x

++

−+

5

3 1 =

x x x x

x x

+( ) +( ) − +( )+( ) +( )

5 1 3

3 1

= x x x x

x x

2 26 5 3

3 1

+ + − −+( ) +( )

= 3 5

3 1

x

x x

++( ) +( )

EJERCICIO 58Efectúa y simplifi ca las siguientes expresiones:

1. x x

x

x x

x x

x x

x

2

2

2

2

212

49

56

20

5 24

5

− −−

⋅ − −+ −

÷ − −+

2. a a

a a

a

a

a a

a a

2

2

2

3

2

2

8 7

11 30

36

1

42

4 5

− +− +

⋅ −−

÷ − −− −

3. 6 7 3

1

4 12 9

1

2 3

3 2 1

2

2

2

2

2

2

a a

a

a a

a

a a

a a

− −−

÷ − +−

⋅ − −− −

4. 2 5 2

4 16

2

64

2 9 4

1

2

2 3

3 2t t

t t

t

t

t t t

t

+ +− +

÷ ++

÷ + ++

5. 2

3

3 3

2 8

2

12

2

2x

x

x x

x x

x+÷ +

− −÷ + −

−

6. 3 3

3 8 4

2 8

5 4

2

2 1

2

2

2

2

x x

x x

x x

x x

x

x

+− +

⋅ + −+ +

−−

7. 6 12

2 3 9

2 5 2

2 5 3

3

1

2

2

2

2

x x

x x

x x

x x x

−+ −

÷ − ++ −

−+


347

Ejem

plos

EJEMPLOS

8. x x

x x

x x

x x x

x

x

4

2

2

3 2

227

7 30

20 100

3 9

100−+ −

⋅ + ++ +

÷ −− 33

9. 8 10 3

6 13 6

4 9

3 2

8 14 3

9

2

2

2

2

2

2

x x

x x

x

x x

x x

x

− −+ +

⋅ −+

÷ + +++ +12 4x

10. x x

x x

x x

x x

x x

x x

2

2

2

2

2

2

12

2

6 8

3 10

3 2

2

− −+ −

÷ − +− −

÷ − +− −115

11. x x

x x

x x

x

x x

x x

2

2

2

2

2

2

2

5 6

3

1

2 4

6

+ −+ +

⋅ +−

+ −+ −

12. x x

x x

x x

x x

x x

x x

x3 2

3

2

2

2

2

25

25

3

5 6

3 4

6 8

−−

÷ ++ +

+ + −+ +

⋅ −− −− +

x

x x

6

6 52


Fracciones complejas

En una fracción compleja el numerador y el denominador se conforman por operaciones algebraicas.

1 Simplifi ca la expresión m

m

nn

n+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ ÷ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1.

Solución

Se realizan las operaciones dentro de los paréntesis,

mm

nn

n+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ ÷ −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

1 =

mn m

n

n

n

+ ÷ −2 1

se resuelve la división y se simplifi ca al máximo:

n mn m

n n

+( )−( )2 1

= nm n

n n n

+( )+( ) −( )

1

1 1 =

m

n −1

2 Realiza y simplifi ca la fracción

yy

yy

− −+

+ −+

15

3

535

3

.

Solución

Se resuelve tanto el numerador como el denominador y se factorizan los polinomios resultantes, si es posible

y

y

yy

− −+

+ −+

15

3

535

3

=

y y

yy y

y

−( ) +( ) −+

+( ) +( ) −+

1 3 5

35 3 35

3

=

y y

yy y

y

2

2

2 3 5

38 15 35

3

+ − −+

+ + −+

=

y y

yy y

y

2

2

2 8

38 20

3

+ −+

+ −+

=

y y

yy y

y

+( ) −( )+

+( ) −( )+

4 2

310 2

3

(continúa)


348

(continuación)Se dividen las fracciones y se simplifi ca al máximo

= y y y

y y y

+( ) +( ) −( )+( ) +( ) −( )

3 4 2

3 10 2 =

y

y

++

4

10

3 Efectúa y simplifi ca:

b

bb

bb

b

−

+ − +

− −+

1

2221

2 .

Solución

Se eligen las operaciones secundarias y se reducen hasta simplifi car la fracción al máximo:

b

bb

bb

b

−

+ − +

− −+

1

222

1

2 = b

bb

b b b

b

−

+ − ++( ) − −( )

+

1

22

1 2

1

2 = b

bb

b b b

b

−

+ − ++ − +

+

1

22

2

1

2

2

= b

bb

b

b

−

+ − +++

1

22

2

1

2

2

= b

bb b

b

−

+ −+( ) +( )

+

1

21 2

2

2

2

= b

b b

−+ − +

1

2 1( ) =

b −1

1 = b − 1


x

x

x

x

x

−( )+( )

− +( )−( )

−

2

2 2

2

2 2

2

12

12

12

12

Solución

Se resuelve la parte superior de la fracción principal

x

x

x

x

−( )+( )

−+( )−( )

2

2 2

2

2 2

1

2

1

2

1

2

1

2

= x x

x x

−( ) − +( )+( ) −( )

+ +2 2

2 2 2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

= x x

x x

−( ) − +( )+( ) −( )

2 2

2 2 21

2

1

2

= −

+( ) −( )4

2 2 21

2

1

2x x

= −

+( ) −( )2

2 21

2

1

2x x

Luego, la fracción original se escribe como:

x

x

x

x

x

−( )+( )

−+( )−( )

−

2

2 2

2

2 2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

=

−

+( ) −( )−

2

2 2

2

1

2

1

2x x

x =

−

+( ) −( )−

2

2 22

1

1

2

1

2x xx

Se realiza la división de fracciones y la simplifi cación es:

−

+( ) −( )2

2 21

2

3

2x x


349

EJERCICIO 59 Simplifi ca las siguientes fracciones complejas:

1. 1

11+x

9. a b

b

a b

a bb

a b

− −+

− −+

35

24

2

2

2. 1

11

11

+−

n

10.

1 12

2 2

x y

x

yy

x

x

y

+ +

−

3. 11

21

31

−+

−y

11.

a bb

a ba b

b

a ba

b

− ++

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

24

32

2

1

2 2

4. m

m

mm

+ +

− −

43

45

12. 11

1

1

2

3

4

7

42 3

2

++

+

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

− −+

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠b

a b

a bb

a b

⎟⎟⎟⎟

5. y

y

y

2 1

11

−

− 13.

2 3

2 1

1

2 2 3

2 3

1

2

1

2

1

2

1

2

x

x

x

x

x

+( )+( )

−+( )

+( )+

6.

1 1

1 1a b

a b

+

− 14.

2 55

5

21

2

3

21

2

2

x xx

x

x

−( ) −−( )

−

7.

x

y

x y

x yx y

y

y

x

2 2 2

− −+

− + 15.

3 1

3 1

3 1

3 1

3 1

1

3

2

3

1

3

2

3

2

3

x

x

x

x

x

−( )+( )

−+( )−( )

−( )

8. 1

7 12

16

2− +

−

n n

nn

16.

5 1

3

10

3 5 1

5 1

21

3

2

3

4

3

22

3

22

3

x

x

x

x

x

+( )−

+( )+( )


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