05 Funciones y Graficos

7/23/2019 05 Funciones y Graficos

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x3

x2

x1

t=1 t=2 t=3 t=4

v0

a = cte.x0

origen

x

1 2 3 4 50

1

x0

x2

x3

x4

2

0 0

a tx x v t

2= + +

1

FUNCIONES Y GRÁFICASLas funciones son relaciones entre dos o más

variables expresadas en una ecuación algebraica.

Por ejemplo, la expresión y = 2x relaciona la variable

y con la variable x mediante una regla de

correspondencia que dice que a la variable y le

corresponde un valor igual al doble del valor de la

variable x .

En las funciones se acostumbra expresar el valor de

una sola variable, llamada variable dependiente, en

función de todas las demás, llamadas variables independientes. En el ejemplo

anterior y es la variable dependiente y x es la variable independiente.

Las variables independientes pueden tomar valores arbitrarios, mientras que la

variable dependiente toma valores que dependen de los valores que tomaron lasvariables independientes, de acuerdo a la regla de correspondencia.

En nuestros estudios de física, tambin necesitamos relacionar las magnitudes de

un fenómeno físico, así que podemos usar el concepto matemático de función y

decir que las magnitudes de un fenómeno físico se relacionan como funciones.

! manera de ejemplo podemos "ablar del movimiento acelerado de un auto sobre

una pista recta. Las magnitudes físicas o variables del movimiento en este caso son

la velocidad del ve"ículo, su aceleración, su posición, y el tiempo transcurrido

durante el movimiento.

Movimiento rectilíneo acelerado de un auto Gráfica de la o!ici"n del auto

#ntuitivamente podemos darnos cuenta que la posición está relacionada con el

tiempo transcurrido, Esta relación puede expresarse matemáticamente como$

%e esta forma se dice que la posición x es una función del tiempo t , o en forma másabreviada, )t ( f x = . En este ejemplo x 0 , v 0 , y a, son constantes.



θm=a

3

X

m>0

X

m=0

X

m<0

&i dos rectas son paralelas, entonces tienen la misma pendiente, y si son

perpendiculares, entonces el producto de sus pendientes es )*

+ectas paralelas y perpendiculares

na función lineal representa en

física, entre otras cosas, un

ejemplo de función lineal es la

relación entre la posición y el

tiempo de un cuerpo que se

mueve a velocidad constante, tal

como se muestra en la -igura

'ráfica de la posición vs tiempo en +

/tro ejemplo, es la relación entre la

velocidad y el tiempo de un cuerpo

que se mueve con aceleración

constante, tal como se muestra

en la -igura

'ráfica de la velocidad vs tiempo en +0

t

θm=v

X

1 2 m =m1 2

X

! !1 2 m x m =#11 2



4

Función Cuadrática

Esta función se expresa mediante la siguiente ecuación$2 xc xba y ++= la cual se

puede expresar convenientemente como$

2 )h x( C )k y( −=−

%onde 1h, k 2 representa las

coordenada del vrtice de la

parábola y C es una constante

que controla la mayor o menor

abertura de las ramas 1a mayor

valor absoluto de C las ramas

de la parábola están más

cerradas2.

&i C > 0 la parábola se abre

"acia arriba y si C < 0 laparábola se abre "acia abajo.

Parábola típica

Las figuras muestran varias parábolas en función de 3.

%iferentes tipos de parábolas en función de 3

v$rticex=%

y=&

X

'e

P(x, y)

0

X

0

c1 c2 c3

(%, &)y=&

x=%

c>c>c1 2 3

X

0

c2

(% , & )1 1 1

y=&2

x=%2

c > * c <1 2

x=%1

y=&1

(% , & )2 2 2



5

Inter!eccione! de #ráfica!

En muc"os casos estamos interesados en determinar las coordenadas de los puntos

de intersección de las gráficas de dos funciones. Por ejemplo, podemos estar

interesados en determinar el punto de intersección de la recta y la parábola definidas

por$

y = x

y = ( x - 2) 2

&ea P el punto de intersección buscado,

con coordenadas 1 x 0 , y 0 2. Este punto es

tal, que sus coordenadas satisfacen las

reglas de correspondencia de ambas

funciones, por lo que podemos escribir$

y 0 = x 0 4444444. 1*2

y 0 = ( x 0 - 2) 2 ................. 152

#ntersección de dos gráficas

Luego, se puede resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas formado

por las ecuaciones 1*2 y 152, y determinar los valores de x 0 e y 0 . En nuestro caso,

debido a que la ecuación 152 es cuadrática, encontraremos dos soluciones$

1 x 0 , y 0 2 = (1, 1) y 1 x 0 , y 0 2 = (4, 4). Estos resultados indican que existen dos puntos de

intersección, tal como se ve en la figura -igura.

E$EM%&OS

%ro'lema ()* /btener la ecuación de la recta

que corta a la parábola de vrtice 016, 752, tal

como se muestra en el gráfico.

a2 y 8 5x ) 59:

b2 y 8 5x ) *;

c2 y 8 x < *;

d2 y 8 7x ) ;,=

e2 y 8 x ) >

&olución$

La ecuación de la parábola es$ 2 )h x( C )k y( −=− . Para resolver el

problema tenemos que encontrar primero los valores de ?, ", y 3.

%el gráfico$ " 8 6 y ? 8 7 5

sando estos valores y recordando que las coordenadas del punto + satisfacen la

ecuación de la parábola$

X

P(x , y )0 0

X

#2

4Q P

+

0



6

@> 7 1 7 52A 8 3 1; ) 62 5 → 3 8 < *95

%e donde la ecuación de la parábola es$ 2 )4 x( 2 / 1 )2 y( −=+

!"ora calcularemos las coordenadas del punto P que pertenece a la parábola$

1; < 52 8 *95 1x ) 62 5 → x 8 7 5 < 6 8 5 1punto B2

x 8 ±5 < 6 → x 8 < 5 < 6 8 > 1punto P2

La ecuación de la recta pedida es$ y 8 m x < b, donde debemos encontrar m y b.

3alculamos m usando los puntos 0 y P que pertenecen a la recta$

14-6

(-2)-0

x x

y y

x

y m

V P

V P ==

−

−=

∆

∆=

La ecuación de la recta queda entonces como$ y 8 x < b

Cambin, como el punto P pertenece a la recta, sus coordenadas deben satisfacer

su ecuación$ ; 8 > < b → b 8 7 >

-inalmente, la ecuación de la recta pedida es$ y 8 x 7 >

%ro'lema +)* &i se sabe que el área del

triangulo !/D es de m5, determine la

ecuación de la recta que pasa por los

puntos ! y D.

a2 y < x 8 6 b2 y 8 5x ) *

c2 y 8 x ) * d2 y 7 x 8 5

e2 y 7 x 8 6

Solución

%e los datos tenemos que$5

/!x6

5

/!x/D mEárea 5

=== → /! 8 6m

La ecuación de la recta es$ y 8 m x < b donde la pendiente es m 8 ∆y 9 ∆x

En nuestro caso$ -10-4

4-0

x x

y y

x

y m

A B

A B==

−

−=

∆

∆=

Por otro lado, puesto que /! 8 6, entonces b 8 6

Po! lo "u# la #cuación #$ y = - x % 4

%ro'lema ,)* Las rectas L* y L5, de pendientes m* y m5, cortan al eje de ordenadas

en los puntos 1;,F2 y 1;,*2 respectivamente. &i ambas rectas se interceptan en el

punto 1*, F952 Gcuál es la relación de m59m*H

a2 *9F b2 )*9F c2 F d2 7 59F e2 )F96

X(m)40-

.



7

&olución$

3alculamos las pendientes$

3/2-0-1

3-3/2

x x

y y

x

y m

R P

R P 1 ==

−

−=

∆

∆=

1/20-1

1-3/2 x x

y y x

y m

Q P

Q P

2 ==−

−

=∆

∆

=

luego$ 1/3-3/2-

1/2

m

m

1

2==

%ro'lema -)* El movimiento de una

partícula sigue las trayectorias parabólicas

mostradas. &i la ordenada del vrtice de lasegunda parábola es la mitad de la

ordenada del vrtice de la primera y el de

sta es 6, Iallar la ecuación de la segunda

parábola sabiendo que % no es vrtice de

la primera parábola y tiene coordenadas

1F, *2. La distancia !3 8 = m.

a2 y < 5 8 7 59J 1x 7 :2 5 b2 y ) > 8 *95 1x 7 2 5 c2 y ) 5 8 7 *9 1x 7 >2 5

d2 y ) 5 8 759J 1x 7 :2 5 e2 y ) 5 8 7*9F 1x < :2 5

&olución$

&abiendo que las ordenadas de los vrtices de las parábolas son en realidad los

valores de las constantes ?* y ?5 en su ecuación general, y que las coordenadas de

los puntos D y % satisfacen la ecuación de la primera parábola$

X30 21

1

2

3

4

P(1, " )3 2

!2

!1

/

-

/( % , & ). 3

x- x=%2

3

4( % , & )1 1

x

X(m)

(m)

(% , & )2 2 2

D 3 !



8

En la primera parábola $ En la segunda parábola $

y 7 6 8 3 x 5 → y ! 8 F y x ! 8 * ?5 8 ?* 9 5 8 6 9 5 8 5

y 8 6 ) x 5 → xD 8 5 x3 8 x ! < !3 8 x ! < = 8

entonces D3 8 > y "5 8 xD < D3 9 5 8 5 < > 9 5 8 :

Por consiguiente, usando estos datos y sabiendo que el punto D pertenece a laparábola 5$

2

222 )h x( C )k y( −=− → 2

2 )52( C )20( −=− → 35 8 7 5 9 J

-inalmente, la ecuación de la parábola 5 es$2

)5 x( 9 / 2 )2 y( −−=−

%ro'lema .)* %ados los puntos P1*,52, B15,62, y +16,62, "alle la ecuación de la recta

que pasa por P y por el punto medio del segmento B+.

a2 Fy 8 x < * b2 Fy 8 5x < * c2 5y 8 Fx < * d2 Fy 8 x < 5 e2 5y 8 Fx < 5

&olución$

Para encontrar la ecuación de la recta$

y 8 m x < b necesitamos la pendiente y la

intersección b.

La pendiente m se determina conociendo los

puntos P y &, y de la figura$ P1*, 52 y &1F,:2

Luego$

3/21-32-5

x x y y

x y m

P

P ==−

−=

∆

∆=

+eempla(ando en la ecuación de la recta las coordenadas del punto P$

y 8 F95 x < b → 5 8 F95 1*2 < b → b 8 * 9 5

-inalmente$ y 8 F95 x < *95

2 3 4 5

1

2

3

4

5

P

Q +

X

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