05 metodo de la secante

MÉTODOS NUMÉRICOS

CAPÍTULO 1: SOLUCIÓN DE

ECUACIONES DE UNA VARIABLE.

MÉTODO DE LA SECANTE.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 1. Solución de ecuaciones de una variable. Método de la secante.

Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 95

1.10.- MÉTODO DE LA SECANTE.

Este método se basa en la fórmula de Newton – Raphson, pero evita el cálculo de la

derivada usando la siguiente aproximación:

12

121

)()()(

ii

iii

xx

xfxfxf (1.27)

Sustituyendo en la fórmula iterativa del método de Newton – Raphson, obtenemos:

)(

)(

1

11

i

iii

xf

xfxx (1.24)

12

12

11 )()(

)(

ii

ii

iii

xx

xfxf

xfxx

)()(

)()(

12

1211

ii

iiiii

xfxf

xxxfxx , ni ...,,3,2,1 (1.28)

Que es la fórmula del método de la secante. Nótese que para poder calcular el valor de ix ,

necesitamos los dos valores anteriores 2ix y 1ix .

Otra manera de deducir la fórmula iterativa del método de la secante es calculando la

ecuación de la línea recta que une los puntos ))(,( 11 xfx y ))(,( 00 xfx .

Figura 1.37. Aplicación del método de la secante.

Sabemos que la pendiente de esta recta está dada por:

01

01 )()(

xx

xfxfm



Por lo tanto la ecuación de la recta que pasa por ))(,( 00 xfx es:

)()()(

)( 0

01

010 xx

xx

xfxfxfy

Para obtener el corte con el eje x, hacemos 0y :

)()()(

)( 0

01

010 xx

xx

xfxfxf

Multiplicando por 01 xx nos da:

)()]()([)()( 001010 xxxfxfxxxf

Finalmente, de aquí despejamos x:

)()(

)()(

01

0100

xfxf

xxxfxx

La fórmula iterativa del método de la secante es:

)()(

)()(

12

1211

ii

iiiii

xfxf

xxxfxx , ni ...,,3,2,1 (1.28)

La ecuación (1.28) es la fórmula para el método de la secante. Observe que el método

requiere de dos valores iniciales de x. Sin embargo, debido a que no se necesita que )(xf

cambie de signo entre los valores dados, éste método no se clasifica como un método

cerrado.

La ecuación (1.28) puede escribirse en la forma siguiente:

)()(

)()(

12

1221

ii

iiiii

xfxf

xfxxfxx , ni ...,,3,2,1 (1.29)

la cual es eventualmente más sencilla de memorizar e involucra menor cantidad de

operaciones comparada con la ecuación (1.28).

Requisitos para la aplicación del método de la secante.

Para la aplicación del método de la secante, debe disponerse de:

a) La ecuación a resolver, la cual conduce a la función 0)( xf .

b) Dos estimaciones iniciales 1x y 0x del valor de la raíz.

c) Un mecanismo de paro, que puede ser el número de iteraciones o la cota de error.



El método de la secante se realiza con los siguientes pasos:

i) Definir )(xf . Debe tenerse en cuenta que la función a la cual se le determinarán las

raíces debe ser continua.

ii) Evaluar la función en los dos valores 2ix y 1ix .

iii) La fórmula iterativa del método es: )()(

)()(

12

1221

ii

iiiii

xfxf

xfxxfxx .

Algoritmo del método de la secante.

Para encontrar una solución de 0)( xf , dadas las aproximaciones iniciales 1x y 0x :

ENTRADA: Aproximaciones iniciales 1x , 0x ; Tolerancia TOL; máximo número de

iteraciones N.

SALIDA: Solución aproximada ix o mensaje de fracaso.

Paso 1. Tomar 1i .

Paso 2. Mientras que Ni , seguir Pasos 3 – 5.

Paso 3. Tomar )()(

)()(

12

1221

ii

iiiii

xfxf

xfxxfxx . (Calcular

ix )

Paso 4. Determinar )( ixf . Si 0)( ixf ó TOLx

xx

i

ii 1001 entonces

SALIDA (ix ); (Procedimiento completado satisfactoriamente).

PARAR

Paso 5. Tomar 1 ii .

Paso 6. SALIDA (“El método fracasó después de N iteraciones”). (Procedimiento

completado sin éxito).

PARAR

Ejemplo 1.16.

Determine la raíz de 02 xex usando el método de la secante con 11 x y 20 x .

Realice tres iteraciones. Determine el error relativo porcentual de aproximación en la

última iteración.



Solución.

- Ecuación a resolver: 02 xex .

- Las estimaciones iniciales 1x y 0x del valor de la raíz son 11 x y 20 x .

- Se ejecutarán 3 iteraciones.

Desarrollo del método.

i) Definimos xexxf 2)( .

ii) Determinamos la primera aproximación de la raíz.

Primera iteración ( 1i ).

)()(

)()(

01

01101

xfxf

xfxxfxx

11 x

67182818284.11)1()1()( )1(2

1

eefxf

20 x

68646647167.34)2()2()( 2)2(2

0 eefxf

68646647167.367182818284.1

)68646647167.3()1()67182818284.1()2(1

x

40766801287.01 x

En la figura 1.38 se observa el principio del método. Se ha trazado la recta secante que une

los puntos ))1(,1( f y ))2(,2( f . El punto donde esta recta corta al eje x es el valor de

la estimación de la raíz. El valor indicado es 40766801287.01 x .



Figura 1.38. Primera iteración del método de la

secante para xexxf 2)( con 11 x y

20 x .

Segunda iteración ( 2i ).

)()(

)()(

10

10012

xfxf

xfxxfxx

20 x

68646647167.34)2()2()( 2)2(2

0 eefxf

40766801287.01 x

5081.07381681)40766801287.0()40766801287.0()( )40766801287.0(2

1 efxf

)5081.07381681(68646647167.3

)5081.07381681()2()68646647167.3()40766801287.0(2

x

9220.374870412 x

Gráficamente:

Figura 1.39. Segunda iteración del método de la


20 x .



Tercera iteración ( 3i ).

)()(

)()(

21

21123

xfxf

xfxxfxx

40766801287.01 x

5081.07381681)40766801287.0()40766801287.0()( )40766801287.0(2

1 efxf

9220.374870412 x

2840.54685051)9220.37487041()9220.37487041()( )9220.37487041(2

2 efxf

)2840.54685051(5081.07381681

)2840.54685051()40766801287.0(508)1.07381681()9220.37487041(3

x

7770.843459483 x

Gráficamente:

Figura 1.40. Tercera iteración del método de la


20 x .

Obsérvese que las estimaciones sucesivas de la raíz de la ecuación cada vez más se

aproximan al verdadero valor de la raíz.

Error relativo porcentual de aproximación.

100actualón Aproximaci

anteriorón Aproximaciactualón Aproximaci

a

1007770.84345948

9220.374870417770.84345948

a

%56.55a



Los resultados que se obtienen de la aplicación del método se resumen en la siguiente

tabla:

i 2ix 1ix )( 2ixf )( 1ixf ix

1 –1 2 –1.71828182846 3.86466471676 –0.07668012874

2 2 –0.07668012874 3.86466471676 –1.07381681508 0.37487041922

3 -0.07668012874 0.37487041922 –1.07381681508 –0.54685051284 0.84345948777

La solución de la ecuación 02 xex es 78434594877.03 x , obtenida aplicando el

método de la secante con las estimaciones iniciales 11 x y 20 x y tres iteraciones. El

error relativo porcentual de aproximación es 55.56%.

Diferencia entre los métodos de la secante y de la falsa posición.

Observe la similitud entre los métodos de la secante y de la falsa posición. Por ejemplo, las

ecuaciones )()(

)()(

12

1211

ii

iiiii

xfxf

xxxfxx y

)()(

)()(

bfaf

babfbxi

son idénticas en todos los

términos. Ambas usan dos valores iniciales para calcular una aproximación de la pendiente

de la función que se utiliza para proyectar hacia el eje x una nueva aproximación de la raíz.

Sin embargo, existe una diferencia crítica entre ambos métodos. Tal diferencia estriba en la

forma en que uno de los valores iniciales se reemplaza por la nueva aproximación.

Recuerde que en el método de la falsa posición, la última aproximación de la raíz

reemplaza cualquiera de los valores iniciales que dé un valor de la función con el mismo

signo que )( ixf . En consecuencia, las dos aproximaciones siempre encierran a la raíz. Por

lo tanto, para todos los casos, el método siempre converge, pues la raíz se encuentra dentro

del intervalo. En contraste, el método de la secante reemplaza los valores en secuencia

estricta: con el nuevo valor ix se reemplaza a 1ix y 1ix reemplaza a 2ix . En consecuencia,

algunas veces los dos valores están en el mismo lado de la raíz. En ciertos casos esto puede

llevar a divergencia.

Aunque el método de la secante sea divergente, cuando converge lo hace más rápido

que el método de la falsa posición. La inferioridad del método de la falsa posición se debe a

que un extremo permanece fijo, para mantener la raíz dentro del intervalo. Esta propiedad,



que es una ventaja porque previene la divergencia, tiene una desventaja en relación con la

velocidad de convergencia.

Ejercicios propuestos.

61. [BF] Encontrar una aproximación de 3 correcta a 10–4

, usando el algoritmo de la

secante, y compare sus resultados con los obtenidos en los ejercicios 22 y 45.

62. [BF] Use el método de la secante para aproximar las soluciones de las ecuaciones

siguientes con precisión de 10–5

.

a) 3

2 2xex

x 10 x b) 03 2 xex 10 x

c) 06cos22 xe xx 21 x d) 0cos102 xx (Ver ejercicio 26).

63. [BF] Resolver xex cos4 con una exactitud de 10–4

, usando el método de la secante

con con 41x , 20

x .

64. [BF] Encuentre una raíz aproximada de 013 xx en ]2,1[ con precisión de 10–5

,

por el método de la secante.

65. [CC] Determine la menor raíz real de 32 5.2172211)( xxxxf :

a) Gráficamente y

b) usando el método de la secante para un valor de a con tres cifras significativas.

66. [BF] Aproxime con 10–4

de precisión las raíces de las siguientes ecuaciones en los

intervalos dados usando el método de la secante.

a) 052 23 xx , ]4,1[ b) 013 23 xx , ]0,4[

c) 0cos xx , ],0[ 21 d) 0sen2.08.0 xx , ],0[ 2

1

67. [CC] Determine la mayor raíz real de 1.6116)( 23 xxxxf :

a) Gráficamente.

b) Utilizando el método de la secante (tres iteraciones, 5.21 x y 5.30 x ).

68. [CC] Determine la menor raíz positiva de 1sen 7)( xexf x:

a) Gráficamente



b) Utilizando el método de la secante (tres iteraciones, 5.01 x y 4.00 x ).

69. [CC] Localice la primera raíz positiva de 1)1(cossen )( 2 xxxf , donde x está en

radianes. Use cuatro iteraciones con el método de la secante con los valores iniciales de a)

0.11 x y 0.30 x y b) 5.11 x y 5.20 x , para localizar la raíz. c) Use el método

gráfico para verificar los resultados.

70. [BF] ¿Para cuáles valores de 1x y 0x el método de la secante puede ser usado para

resolver la ecuación siguiente?

2

74)(

x

xxf

Método de la secante modificado.

En lugar de utilizar dos valores arbitrarios para aproximar la derivada, un método

alternativo considera un cambio fraccionario de la variable independiente para estimar

)(xf .

i

iiii

x

xfxxfxf

)()()(

(1.30)

donde es un pequeño cambio fraccionario. Esta aproximación se sustituye en la ecuación

(1.14) que da la siguiente ecuación iterativa:

)()(

)(

111

111

iii

iiii

xfxxf

xfxxx

(1.31)

Ejemplo 1.17.

Determine la raíz de 02 xex usando el método de la secante modificado con 20 x .

Use un valor de 0.01 para . Realice tres iteraciones. Determine el error relativo

porcentual de aproximación en la última iteración.

Solución.

- Ecuación a resolver: 02 xex .

- Una estimación inicial 0x del valor de la raíz es 20 x .

- Cambio fraccionario: 01.0 .

- Se ejecutarán 3 iteraciones.



Desarrollo del método.

i) Definimos xexxf 2)( .

ii) Determinamos la primera aproximación de la raíz.

Primera iteración ( 1i ).

)()(

)(

000

0001

xfxxf

xfxxx

20 x

68646647167.34)2()2()( 2)2(2

0 eefxf

02.2201.0200 xx

29477445349.3)02.2()02.2()( )02.2(2

00 efxxf

68646647167.329477445349.3

)68646647167.3()2(01.021

x

10696501744.11 x

Segunda iteración ( 2i ).

)()(

)(

111

1112

xfxxf

xfxxx

10696501744.11 x

3950.80102296)10696501744.1()10696501744.1()( )10696501744.1(2

1 efxf

6111.0803466710696501744.101.010696501744.111 xx

4200.82767112)6111.08034667()6111.08034667()( )6111.08034667(2

11 efxxf

3950.801022964200.82767112

)3950.80102296()10696501744.1(01.010696501744.12

x

27481216542.02 x

Tercera iteración ( 3i ).

)()(

)(

222

2223

xfxxf

xfxxx

27481216542.02 x



5120.08643135)27481216542.0()27481216542.0()( )27481216542.0(2

2 efxf

0710.7556028727481216542.001.027481216542.022 xx

3730.10120835)0710.75560287()0710.75560287()( )0710.75560287(2

22 efxxf

5120.086431353730.10120835

)5120.08643135()27481216542.0(01.027481216542.03

x

9130.704363663 x

Obsérvese que las estimaciones sucesivas de la raíz de la ecuación cada vez más se

aproximan al verdadero valor de la raíz.

Error relativo porcentual de aproximación.

100actualón Aproximaci

anteriorón Aproximaciactualón Aproximaci

a

1009130.70436366

27481216542.09130.70436366

a

%21.6a

Los resultados que se obtienen de la aplicación del método se resumen en la siguiente

tabla:

i 1ix 11 ii xx )( 1ixf )( 11 ii xxf ix

1 2.00000000000 2.02000000000 3.86466471676 3.94774453492 1.06965017437

2 1.06965017437 1.08034667611 0.80102296395 0.82767112420 0.74812165417

3 0.74812165417 0.75560287071 0.08643135512 0.10120835373 0.70436366913

La solución de la ecuación 02 xex es 37043636691.03 x , obtenida aplicando el

método de la secante modificado con una estimación inicial 20 x y tres iteraciones. El

error relativo porcentual de aproximación es 6.21%.

Resumen del método de secante.

a) El método de la secante es una variación del método de Newton. Desde el punto de vista

computacional, es más eficiente que el método de Newton.

Ejercicios propuestos.

71. [WM] Use el método de la secante modificado con 01.0h para aproximar las

soluciones de las ecuaciones siguientes con precisión de 10–5

.



a) 3

2 2xex

x 10 x b) 03 2 xex 10 x

c) 06cos22 xe xx 21 x d) 0cos102 xx (Ver ejercicio 26).

72. [WM] Aproxime con 10–4

de precisión las raíces de las siguientes ecuaciones en los

intervalos dados usando el método de la secante modificado con 05.0h ..

a) 052 23 xx , ]4,1[ b) 013 23 xx , ]0,4[

c) 0cos xx , ],0[ 21 d) 0sen2.08.0 xx , ],0[ 2

1



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

1.10.- MÉTODO DE LA SECANTE.

61. 5.11 x , 0.20 x , 0431.732050684 x .

62. a) 01 x , 10 x , 5450.257530284 x ; b) 01 x , 10 x , 1540.910007575 x ; c)

11 x , 0.20 x , 1941.829383606 x ; d) 11 x , 0.20 x , 7851.968872934 x .

63. 09047880040.04 x

64. 11 x , 20 x , 43247179572.17 x

65. a)

b) 11 x , 00 x , 0840.379277813 x

66. a) 11 x , 40 x , 7882.6906474410 x ; b) 11 x , 00 x , 4400.652703646 x ;

c) 01 x , 20x , 3030.739085135 x ; d) 01 x , 20

x , 4550.964333884 x .

67. 9443.221923443 x

68. 3420.178988883 x .

69. a) 3730.396365774 x ; b) 1632.532106934 x . Ni a) ni b) conducen a la respuesta

correcta. La primera raíz positiva es un valor cercano a 2.



70. Para cualquier intervalo ],[ 10 xx a la izquierda de 2x .

Método de la secante modificado.

71. a) 10 x , 5440.257530284 x ; b) 10 x , 3530.910007574 x ; c) 20 x ,

4881.829383605 x ; d) 20 x , 9111.968872934 x

72. a) 5.20 x , 2972.690647655 x ; b) 10 x , 0480.652703684 x ; c) 7854.00 x ,

6660.739085183 x ; d) 7854.00 x , 7900.964333884 x .

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