05ecuacion Generalizada Circulo de Mohr

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Iniciación a la Resistencia de losM ateriales TEN SIO NES Y DEFO RM AC IO NES EN M ATERIALES ELÁSTICO S de J.A .G . Taboada Texto de referencia: PA RTE 1 :Resistencia Objeto: COM PEN D IO D E LO S CO N O CIM IEN TO S BA SICO S D E ELA STICID A D Y DE RESISTEN CIA D E M ATERIALES. CA PITU LO II: TR A C C IÓ N –CO M PR ESIÓ N Y CORTADURA Lecciones 4 y 5: 2011

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Page 1: 05ecuacion Generalizada Circulo de Mohr

Iniciación a la Resistencia de los Materiales

•TENSIONES Y DEFORMACIONES EN MATERIALES ELÁSTICOS•de J.A.G. Taboada

Texto de referencia:

PARTE 1 : Resistencia

Objeto:

COMPENDIO DE LOS CONOCIMIENTOS BASICOS

DE ELASTICIDAD Y DE RESISTENCIA DE

MATERIALES.

CAPITULO II:

TRACCIÓN – COMPRESIÓNY

CORTADURA

Lecciones 4 y 5:

2011

Page 2: 05ecuacion Generalizada Circulo de Mohr

Lección 4 :

• 4.1.- Estado de tensiones en un punto. Matriz de tensiones.

• 4.2 .- Círculos de Mohr.

• 4.3 .- Planos y tensiones principales.

• 4.4.- Deformación trasversal. Coeficiente de Poisson.

• 4.5 .- Deformación por esfuerzos triaxiales.

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4.1.- Estado tensional de un punto

x

y

z

nxnx

xy

xz

xz

xy

yxny

yz

nz

zyzx

Page 4: 05ecuacion Generalizada Circulo de Mohr

4.1.- Tensiones principales de un punto

nx

xz

xy x

y

z N

2

3

1

= 1+ 2 + 3

1 2 3

dSx = d dSy = d dSz = d

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4.1.- Matriz de Tensionesx d = nx d + yx d + zx d

y d = xy d + ny d + zy d

z d = xz d + yz d+ nz d

x

y

z

nx

nynz

xy

yxzx zy

yz

xz

cosenos directores[ [ [ u

Page 6: 05ecuacion Generalizada Circulo de Mohr

4.3.- Tensiones y direcciones principales

1

2

3

1 2 3

2

3

1

Direcciones principales

1

2

3

x

y

z

=

=>

x = 1

y = 2

z = 3

=>

12 2

2 32

x2 y2 z2+ + = 1

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4.2.- Círculo de Mohr

13 2

C1

O1

C2

O2

C3

O3

n

n

p

’p

Page 8: 05ecuacion Generalizada Circulo de Mohr

4.2.- Circulo de Mohr de las tensiones en un punto

nx

ny

nz

xy

yx

zx zy

yz

xz x

y

z

x

cos

cos(90-0

F/S

x

F

n = u = (F/S . cos ) . 1 . cos = F/S . cos2

N

n

2

= (F/S . sen ) . 1 . cos = F/S . (sen 2)

2

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4.2.- Circulo de Mohr de las tensiones en un punto

nx

ny

nz

xy

yx

zx zy

yz

xz 1

2

3

x

cos

cos(90-0

nx

ny

x

Fx

n = nx. cos2 + ny. cos2 (90 – ) =

N

n

2

Fy

1

2

nx+ ny 2

+nx- ny

2cos 2 n =

nx- ny

2sen 2 =

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4.2.- Circulo de Mohr de las tensiones en un punto

Fx

N

n

2

Fy

1

2

nx- ny

tan 2=

nx+ ny 2

+ nx- ny 2

1 = )2(nx+ ny 2

- nx- ny 2

2 = )2(

Page 11: 05ecuacion Generalizada Circulo de Mohr

4.3.- Tensiones y direcciones principales

0 = (nx - )* + yx * + zx *

0 = xy * + (ny - )* + zy *

0 = xz * + yz * + (nz -)*

[ [ [ u

Existe un plano cuya tensión es perpendicular a él:

Su determinante es :

(nx - ) yx zx

xy (ny - ) zy

xz yz (nz -)

= 0 que desarrollado es

- + I1 - I2+ I3 = 0

Page 12: 05ecuacion Generalizada Circulo de Mohr

4.3.- Tensiones y direcciones principales

[ [ [ u

Tensiones principales : son las raíces de la ecuación

Ecuación característica o secular

- + I1 - I2+ I3 = 0

donde :

I1 = nx + ny+ nz

I2 = nxny+nynz+nznx-yz-

zx-xy

I3 = |

Page 13: 05ecuacion Generalizada Circulo de Mohr

Deformación Trasversal

y = - x

coeficiente de deformación trasversal o de Poisson

y

x

Page 14: 05ecuacion Generalizada Circulo de Mohr

Ley de Hooke generalizada (esfuerzos triaxiales)

x = x

E+ -

y

E -

z

E + T

y = y

E+ -

x

E -

z

E + T

z = z

E+ -

x

E -

y

E + T

Invariante lineal de deformaciones

Invariante lineal de tensiones

e = x + y + z

= x + y+ z

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Ley de Hooke generalizada (esfuerzos triaxiales)

Invariante lineal de deformaciones

Invariante lineal de tensiones

e = x + y + z

= x + y+ z

x = x

E+ -

y

E -

z

E + T

0

E+

y = y

E+ -

x

E -

z

E + T

0

E+

z = z

E+ -

x

E -

y

E + T

0

E+

Page 16: 05ecuacion Generalizada Circulo de Mohr

Calculo matricial

[ T ] =Matriz de tensionesEcuación de equilibrio

x = nx + yx + zx x nx yx zx

y = xy + ny + zy y = xy ny zy * z = xz + yz + nz z xz yz nz

= [ T ] * [u]

=nx + yx + zx

= xy + ny + zy => = 0 = xz + tyz + nz -

Invariante lineal = nx + ny + nz

Invariante cuadrático = nx ny ny nz + nx nz - 2

yx - zx -

yz

= T

> >

- 3 + I1 2 - I2 + I 3

Ecuación característica : Direcciones Principales y Tensiones Principales