06 algebraboole c

[ Sistemas Operativos ]

Präsentation

Universidad de MagallanesFacultad de Ingeniería

Departamento de Ingeniería en Computación

MIC3181Algebra de Boole… continuación

Eduardo Peña J.

Edopena 1 Microprocesadores

[ Algebra de Boole ]

PräsentationEdopena 2

Microprocesadores

Indice

Temario:

Métodos de minimizaciónMétodo mapas de KarnaughMétodo tabular Quine McCluskey

Información extraída de:http://www.cic.unb.br/docentes/jacobi/ensino/circuitos/DoisNiveis/sld001.htm

Suma de productos es una forma de representación de funciones booleanas

constituida por operaciones lógicas o sobre un conjunto de términos formados por la operación.



Suma de Productos

SUMA DE PRODUCTOS

El producto de sumas es otra forma de representación de funciones booleanas

caracterizadas por la aplicación de operación sobre un conjunto de operaciones o sobre las

entradas



Producto de Suma

PRODUCTO DE SUMA

•Un minterm es un término producto que vale 1 en al menos un punto del dominio de una función booleana.

•Es definido por un producto (AND) donde cada variable aparece al menos una vez directa o complementada.



Minterms

MINTERMS

•Un maxterm es un término suma que vale 0 en al menos un punto del dominio de la función.

•Es determinado por una adición (OR) donde cada variable aparece al menos una vez, directa o complementada.



Maxterms

MAXTERMS

•Una tabla de verdad es una firma que identifica inequívocamente una función booleanas.

•Expresiones booleanas diferentes pueden representar una misma función booleana.



Formas canónicas

FORMAS CANÓNICAS

•Las formas canónicas son representaciones únicas de funciones booleanas.

Ej. Una suma de productos es una forma canónica.



Formas canónicas

FORMAS CANÓNICAS DE DOS NIVELES

•Las formas canónicas son representaciones únicas de funciones booleanas.

Ej. Un producto de sumas es otra forma canónica.



Formas canónicas

•Notación para suma de minterms.

•Notación para producto de maxterms.



Formas canónicas



SIMPLIFICACION DE SUMAS DE MINTERMS

Formas canónicas

•Es posible obtener un producto de maxterms a partir de una suma de minterms o viceversa aplicando De Morgan sobre el complemento de la función.



MINTERMS X MAXTERMS

Formas canónicas

•Estas son las funciones para las cuales algunas combinaciones de valores de entrada nunca ocurren.

Ej. Decodificador de display de 7 segmentos para dígitos BCD.



FUNCIONES INCOMPLETAS

Funciones Incompletas

•Las funciones incompletas mapean puntos del dominio de una función en tres valores posibles.

•Los dominios de puntos donde F vale {0 , 1 X} son denominados, respectivamente, de:

•F puede ser descrita definiendo dos de sus tres conjuntos.



Funciones Incompletas

Manipulación Algebraica:

•Difícil de determinar un orden y qué transformaciones aplicar.

•Cómo sabes si se localizó una mejor solución.

Herramientas de auxilio:

•No consiguen tratar problemas de forma exacta.

•Se basan en heurísticas y criterios de costo.

Métodos manuales, al menos para fines didácticos y funciones muy simples



Minimización lógica de dos niveles

MINIMIZACIÓN LÓGICA DE DOS NIVELES

•Idea base: Aplicación de distribución y complemento.



Minimización lógica de dos niveles

•Un espacio booleano n-dimensional puede ser visualizado espacialmente.

•Los productos de literales son llamados cubos.



Cubos

CUBOS

•Puntos adjacentes difieren en un bit.

•Todos los puntos de la función están en una cara.

•Y y Z varían mientras que X permanece inalterable: Y y Z pueden ser eliminados de la expresión.



Cubos

VISUALIZACIÓN DE CUBOS

•Visualización del dominio de una función en forma matricial.

•Puntos del dominio están dispuestos siguiendo el código Gray, pares adjacentes difieren en un bit.



Mapas de Karnaugh

MAPAS DE KARNAUGH

•Los elementos extremos de las columnas y filas son adjacentes.



Mapas de Karnaugh

ADJACENCIA DEL MAPA DE KARNAUGH

•El cubo obtenido es definido por las variables que no cambian de cara en todos sus minterms.



Mapas de Karnaugh

•La agrupación obtenida es definida por las variables que no cambian de cara en todos sus minterms.



Mapas de Karnaugh



Mapas de Karnaugh



Mapas de Karnaugh

COMPLEMENTO DE UNA FUNCIÓN



Mapas de Karnaugh



Mapas de Karnaugh

KARNAUGH DE CUATRO VARIABLES



Mapas de Karnaugh

•Los puntos irrelevantes pueden ser considerados como un 1 o un 0 en el mapa de Karnaugh.

•Son utilizados para formar agrupaciones mayores, simplificando una función.



Mapas de Karnaugh

MINIMIZACIÓN CON IRRELEVANTES



Mapas de Karnaugh

EJEMPLO COMPARADOR DE DOS BITS



Mapas de Karnaugh


•La minimización de dos niveles busca obtener las sumas del producto con un número mínimo de productos y literales.

• Minimizándose el número de productos se está reducido la altura de la implementación y, por consiguiente, su área.

• Estando reducido el número de literales, se reduce el número de transistores de la implementación digital, lo que minimiza la potencia disipada.

Ej Sumador de 1 bit



Mapas de Karnaugh

MINIMIZACIÓN LÓGICA EN DOS NIVELES

Conceptos Básicos

• Implicante: una agrupación c es un implicante de una función f si para todo vector x donde c(x) = 1, tenemos que f(x) = 1. O sea c f

•En álgebra Booleana “²” es una relación de orden parcial, análoga a relación "está contenido en" entre conjuntos. Puede ser definida como “un conjunto de minterms de c está contenido en f”.



Mapas de Karnaugh

Conceptos Básicos•Implicante primo: es una agrupación que no está contenida en ninguna otra agrupación de la función (o, no puede ser mas expandido)

•Implicante primo esencial: es un implicante primo que contiene al menos un minterm que no está contenido en ningún otro implicante de la función.



Mapas de Karnaugh

•Una cobertura de una función f y una suma de productos que contienen todos los minterms de f (cobre f) Una cobertura prima es aquella compuesta apenas por implicantes primos

• Una cobertura irredundante es aquella en que ninguno de las dos agrupaciones puede ser removida sin alterar la función.



Mapas de Karnaugh

Ejemplos



Mapas de Karnaugh

1. Seleccione un minterm mi de la función.

2. Expanda mi en todas las direcciones posibles, generando así todos los implicantes primos que cubren mi .

3. Repita los pasos anteriores para todos los minterms de la función, generando todos los implicantes primos posibles.

4. Identifique y separe los implicantes esenciales. Los minterms cubiertos por ellos pueden ser considerados como puntos irrelevantes.

5. Seleccione un conjunto mínimo de implicantes que cubra los minterms restantes.



Mapas de Karnaugh

COBERTURA MÍNIMA CON MAPA DE KARNAUGH

Ejemplo



Mapas de Karnaugh

Continuación Ejemplo



Mapas de Karnaugh

•Tome los minterms de la función y expanda sucesivamente los minterms en todas direcciones posibles (variables en espacio Booleano).

• Obtener así todos los implicantes primos de la función.

• Seleccione un subconjunto que cubra la función que tenga un costo mínimo.

• Detección y remoción de primos esenciales.

• Dominancia de línea y de columna.

• Branch and bound cuando no hay dominancia.



Quine McClusky

MÉTODO DE QUINE McCLUSKY

McCluskey:

•Representar los implicantes en notación binaria :

X= {x1, x2, x3}

•Tabular los implicantes en grupos de mismo peso (1's) para reducir el número de comparaciones .

x1·x3' -> 1-0

x3 -> --1

x1'·x2'·x3 -> 001



Quine McClusky

Expansión de minterms

Ejemplo: F =

Expansión de los minterms de los implicantes.



Quine McClusky

Implicantes Primos:

p1 = x1·x0 p3 = x2'·x1 p5 = x3·x1'·x0'

p7 = x3·x2·x1'

p2 = x2·x0 p4 = x3'·x0 p6 = x3·x2'·x0'



Quine McClusky

Cobertura de función



Quine McClusky

Cobertura de función

•Dominancia de Línea: si todos los minterms de una línea lx están contenidos en una línea ly, entonces ly domina a lx y lx puede ser removida de la tabla esto indica que el implicante py cubre al implicante px



Quine McClusky

Cobertura de función•Dominancia de columna: si todos los minterms de una columna cx están contenidos en una columna cy, entonces cy domina a cx y cy puede ser removida de la tabla cubriendo el minterm mx automáticamente se cubre my



Quine McClusky

Problemas con el método de Quine:

• Computacionalmente es ineficiente

• Genera todos los implicantes primos

Complejidad de: (3 ^ n)/n

• Parte de los minterms de la función

Complejidad de: 2n-1



Quine McClusky

CAD PARA MINIMIZACIÓN

•Punto de partida: una suma de productos (no mintermos)

• Respete iterativamente la secuencia de operaciones:

Expand: Expande los implicantes hasta su tamaño máximo

Extraer esenciale primos

Cobertura Irredundante: generar una cobertura irredundante

Reducir: reduzca los implicantes hasta su tamaño mínimo

Respete los pasos anteriores hasta no obtener ganancias

Last gasp: la inserción de un primo cualquiera no puede llevar a eliminación de dos primos de la cobertura



Resumen

RESUMEN



Resumen

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