07 método dos fases y penalidad

Programación Lineal

Método de las Dos Fases

Método de Penalidad

IO1 R.Delgadillo 2

Método Simplex

Idea conceptual:

El simplex inicia cuando se tiene una solución factible. Cuando las restricciones son ≤, una solución factible ocurre en el origen de coordenadas.

¿qué sucede cuando el origen no es solución factible?

IO1 R.Delgadillo 3

Método Simplex

Cuando las restricciones son “≥”, “=“,

y/o bi <0, el origen no es una solución factible. El problema ahora radica en determinar una solución básica inicial

Dos métodos:

Método de las dos fases

Método de penalidad

IO1 R.Delgadillo 4


Iniciar de acuerdo a:

Hacer todas las bi’s ≥ 0 ( si alguna bi≤0, multiplicar a la restricción correspondiente por (-1) )

Agregar (o sustraer) variables de holgura a las restricciones “≤” (“≥”)

A cada restricción “≥” ó “=“, agregar una variable artificial

Crear una función objetivo artificial, según

aiX

IO1 R.Delgadillo 5

Método de las dos fases Si el problema es de min =>

Si el problema es de máx =>

Al nuevo problema se le denomina Problema artificial

Ejemplo:

max z = 6x1 - x2

s.a. 4x1 + x2 < 21

2x1 + 3x2 ≥ 13

x1 – x2 = -1

x1, x2 > 0

aia XZMin

aia XZMax

IO1 R.Delgadillo 6


Luego:

max z = 6x1 - x2 <= Función objetivo original

max zα = - - <= Función objetivo artificial

s.a. 4x1 + x2 + x3 = 21

2x1 + 3x2 -x4 + = 13

- x1 + x2 + = 1

x1, x2, x3, x4, , > 0

aX1

aX2

aX1aX2

aX1aX2

IO1 R.Delgadillo 7


Método

1º fase: En la primera fase se resuelve el problema artificial

Si el problema original tiene solución factible al término de la primera fase, se halla la sol óptima del problema artificial

y , y zα =0 ( las , son VNB)0aiX i 0a

iX

IO1 R.Delgadillo 8


2º fase: Se inicia cuando el término de la primera fase indica viabilidad del problema original (esto es, y zα =0),

=>

Base inicial = Base óptima de la primera fase

resolver el problema original a partir de la solución factible hallada (Base inicial)

Nota: el problema original no tiene solución cuando , para algún i, y por lo tanto zα≠0

0aiX

0aiX

IO1 R.Delgadillo 9


Dado el problema:

max z = 6x1 - x2 <= Función objetivo original

max zα = - - <= Función objetivo artificial

s.a. 4x1 + x2 + x3 = 21

2x1 + 3x2 -x4 + = 13

- x1 + x2 + = 1

x1, x2, x3, x4, , > 0

Coloquemos en el tablero

aX1

aX2

aX1aX2

aX1aX2

IO1 R.Delgadillo 10

Método de las dos fasesx1 x2 x3 x4

x3 4 1 1 0 0 0 21

2 3 0 -1 1 0 13

-1 1 0 0 0 1 1

-z 6 -1 0 0 0 0 0

-zα 0 0 0 0 -1 -1 0

x3 4 1 1 0 0 0 21

2 3 0 -1 1 0 13

-1 1* 0 0 0 1 1

-z 6 -1 0 0 0 0 0

-zα 1 4 0 -1 0 0 14

aX1aX2

aX2

aX1

Las VB, deben tener coeficiente 0,

aX1

aX2

Ahora, iniciamos el pivoteamiento

IO1 R.Delgadillo 11


x3 5 0 1 0 0 -1 20

5* 0 0 -1 1 -3 10

x2 -1 1 0 0 0 1 1

-z 5 0 0 0 0 1 1

-zα 5 0 0 -1 0 -4 10

x3 0 0 1 1 -1 2 10

x1 1 0 0 -1/5 1/5 -3/5 2

x2 0 1 0 -1/5 1/5 -2/5 3

-z 0 0 0 1 -1 4 -9

-zα 0 0 0 0 -1 -1 0

aX1aX2

aX1

Fin de la 1ª fase,Za = 0 y 0a

iX

IO1 R.Delgadillo 12


x3 0 0 1 1 10

x1 1 0 0 -1/5 2

x2 0 1 0 -1/5 3

-z 0 0 0 1 -9

x4 0 0 1 1 10

x1 1 0 1/5 0 4

x2 0 1 1/5 0 5

-z 0 0 -1 0 -19

Inicio de la 2ª fase. Se eliminan Fila

correspondiente Za, y columnas de a

iX

Sol. ÓptimaX4=10X1=4X2=5Z=19

IO1 R.Delgadillo 13


Algoritmo: 1ª Fase: Determine una solución óptima del

problema artificial

Si y zα =0), => pase a la 2ª fase

Caso contrario, el problema original no tiene solución (problema inviable)

2ª Fase: Utilice la solución del problema artificial como solución básica inicial posible para el problema original y resuelva el problema.

0aiX

IO1 R.Delgadillo 14


Ejercicio:

Max z = 3x1 + 2x2 + 4x3

s.a.

2x1 + x2 + 3x3 = 60

3x1 +3x2 + 5x3 > 120

x1, x2, x3> 0

IO1 R.Delgadillo 15


Ejercicio:

Max z = 2x1 + 5x2 + 3x3

s.a.

x1 - 2x2 > 20

2x1 +4x2 + x3 = 50

x1, x2, x3> 0

IO1 R.Delgadillo 16


Análisis:

Al finalizar la 1ª fase se tiene ó

Si => el problema original no tiene solución

Si => puede ocurrir

fuera de la base => Se consiguió una solución básica factible.

cuando menos un esta en la base => Solución básica degenerada, pivotear y que entre algún en la base. (no

hay incremento del valor de la F.O.)

Si todos los coeficientes asociados a , en la fila correspondiente a , son ceros => es redundante, descartar esta restricción.

Continuar con la 2ª fase

0aiX 0a

iX

0aiX

0aiXaiX

aiX

aiX

jX

jXaiX

IO1 R.Delgadillo 17


Ejemplo:Max z = x1 + 2x2 + x3

s.a.

x1 + x2 +x3 =16

2x1 +2x2 + 2x3 = 32

x1, x2, x3> 0

max zα = - -

s.a.

x1 + x2 +x3 + =16

2x1 +2x2 + 2x3 + = 32

x1, x2, x3, , > 0

aX1

aX2

aX2

aX1

aX1

aX2

IO1 R.Delgadillo 18

Método de las dos fasesx1 x2 x3

1 1 1 1 0 16

2 2 2 0 1 32

-z 1 2 1 0 0 0

-zα 0 0 0 -1 -1 0

1* 1 1 1 0 16

2 2 2 0 1 32

-z 1 2 1 0 0 0

-zα 3 3 3 0 0 0

x1 1 1 1 1 0 16

0 0 0 -2 1 0

-z 0 1 0 -1 -1 -16

-zα 0 0 0 -3 0 0

aX1aX2

aX2

aX1

aX1aX2

Se alcanzó la sol. Óptima de la 1ª fase.

Se observa que en la base , pero no puede entrar x2, ni

x3 => restricción redundante (se elimina esta fila)

aX2

aX2

IO1 R.Delgadillo 19

Método de las dos fasesx1 x2 x3

x1 1 1 1 16

-z 0 1 0 -16

x2 1 1 1 16

-z 0 0 0 -32

Sol. Óptimax2 = 16Z= 32

IO1 R.Delgadillo 20


Iniciar de acuerdo a:

Hacer todas las bi’s ≥ 0 ( si alguna bi≤0, multiplicar a la restricción correspondiente por (-1) )

Agregar (o sustraer) variables de holgura a las restricciones “≤” (“≥”)

A cada restricción “≥” ó “=“, agregar una variable artificial a

iX

IO1 R.Delgadillo 21


Asociar a cada variable artificial una Penalidad (M), que corresponde al mayor valor posible que cualquier otro que pueda aparecer en los cálculos

Adicionar:

Si el problema es de min => M

Si el problema es de máx => -M

a la función objetivo original

Resolver el nuevo problema

aiX

aiX

IO1 R.Delgadillo 22


Se encuentra una solución factible del problema, cuando todas las variables artificiales están fuera de la base; esto es

La solución óptima se encuentra por un número cualquiera de iteraciones luego que las variables artificiales dejaron la base.

i 0aiX

IO1 R.Delgadillo 23


Ejemplo:

max z = -8x1 +3x2 - 6x3

s.a. x1 + 3x2 + 5x3 = 4

5x1 + 3x2 - 4x3 ≥ 6

x1, x2, x3 > 0

Agregando variables artificiales

max z = -8x1 +3x2 - 6x3 + 0x4 –M - M

s.a. x1 + 3x2 + 5x3 + = 4

5x1 + 3x2 - 4x3 – x4 + ≥ 6

x1, x2, x3,x4, , > 0

aX1aX2

aX1

aX2

aX1aX2

IO1 R.Delgadillo 24

Método de Penalidadx1 x2 x3 x4

1 3 5 0 1 0 4

5 3 -4 -1 0 1 6

-z -8 3 -6 0 -M -M 0

1 3 5 0 1 0 4

5 3 -4 -1 0 1 6

-z -8+6M 3+6M -6+M -M 0 0 10M

x2 1/3 1 5/3 0 1/3 0 4/3

4 0 -9 -1 -1 1 2

-z -9+4M 0 -11-9M -M -1-2M 0 -4+2M

aX1aX2

aX2

aX1

Las VB, deben tener coeficiente 0,

aX2

Ahora, iniciamos el pivoteamiento

aX1

aX2

IO1 R.Delgadillo 25


x2 1/3 1 5/3 0 1/3 0 4/3

4 0 -9 -1 -1 1 2

-z -9+4M 0 -11-9M -M -1-2M 0 -4+2M

x2 0 1 29/12 1/12 5/12 -1/12 7/6

x1 1 0 -9/4 -1/4 -1/4 1/4 1/2

-z 0 0 -125/4 -9/4 -13/4-M 9/4-M 1/2

aX1aX2

aX2

Sol. ÓptimaX1=1/2X2=7/6Z=-1/2

IO1 R.Delgadillo 26

Ejercicios

Min 6x1 + 3x2+ 4x3

sujeto a:

x1 + 6x2+ x3 = 10

2x1 + 3x2 ≤ 15

x1, x2, x3 ≥ 0

IO1 R.Delgadillo 27

Ejercicio

Min 4x1 + x2

Sujeto a:

3x1 + x2 = 3

4x1 + 3x2 ≥ 6

x1 + 2x2 ≤ 4

x1, x2 ≥ 0

IO1 R.Delgadillo 28


Análisis:

Al resolver el problema modificado P(M) puede ocurrir:

Se alcanza la sol óptima de P(M)

Se concluye que P(M) tiene sol. Óptima no acotada, es decir Z ->∞

IO1 R.Delgadillo 29


Análisis:

¿Qué respecto del problema original, P?

Si se alcanzó sol óptima de P(M)

La Base no tiene variables artificial ( ), => sol óptima de P(M) = sol óptima de P

La Base continua con variables artificiales, => si M es un número negativo (positivo) muy grande => no existe sol factible de P

jX aj ,0

IO1 R.Delgadillo 30


Análisis:

P(M) tiene sol. Óptima no acotada (esto es la columna pivot es ≤0)

Si todas las variables artificial son ceros ( ), => Problema original (P) tiene sol óptima no acotada

Cuando menos una variables artificial es positiva => P no tiene sol factible

jX aj ,0

IO1 R.Delgadillo 31


Ejemplo:Min z = -x1 -x2

s.a.

x1 - x2 - x3 = 1

- x1 + x2 + 2x3 ≥ 1

x1, x2, x3> 0

Min z = -x1 - x2 +M +M

s.a.

x1 - x2 - x3 + =1

-x1 +x2 + 2x3 -x4 + = 1

x1, x2, x3, x4, , > 0

aX1

aX2

aX2

aX1

aX1

aX2

IO1 R.Delgadillo 32


1 -1 -1 0 1 0 1

-1 1 2 -1 0 1 1

-z -1 -1 0 0 M M 0

1 -1 -1 0 1 0 1

-1 1 2* -1 0 1 1

-z -1 -1 -M M 0 0 -2M

1/2* -1/2 0 -1/2 1 1/2 3/2

x3 -1/2 1/2 1 -1/2 0 1/2 1/2

-z -1-M/2 -1+M/2 0 M/2 0 M/2 -3M/2

x1 1 -1 0 -1 2 1 3

x3 0 0 1 -1 1 1 2

-z 0 -2 0 -1 2+M 1+M 3

aX1aX2

aX2

aX1

aX1

aX2

(PM) es no acotado

como , están

fuera de la base=> (P) tiene sol

óptima no acotada

aX2

aX1

aX1

IO1 R.Delgadillo 33


Ejemplo:Min z = -x1 -x2

s.a.

x1 - x2 ≥ 1

- x1 + x2 ≥ 1

x1, x2> 0

Min z = -x1 - x2 +M +M

s.a.

x1 - x2 - x3 + =1

-x1 +x2 -x4 + = 1

x1, x2, x3, x4, , > 0

aX1

aX2

aX2

aX1

aX1

aX2

IO1 R.Delgadillo 34


1 -1 -1 0 1 0 1

-1 1 0 -1 0 1 1

-z -1 -1 0 0 M M 0

1* -1 -1 0 1 0 1

-1 1 0 -1 0 1 1

-z -1 -1 M M 0 0 -2M

x1 1 -1 -1 0 1 0 1

0 0 -1 -1 1 1 2

-z 0 -2 -1+M M 1 0 1-2M

aX1aX2

aX2

aX1

aX1

aX2(PM) es no acotado y

=> (P) no tiene sol factible

022a

X

aX2

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