08 01 estimacion de parametros para una sola muestra. media

ESTADÍSTICA. PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,

CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y

CIENCIAS DE LA SALUD.

CAPÍTULO 8: ESTIMACIÓN DE

PARÁMETROS E INTERVALOS DE

CONFIANZA.

MEDIA POBLACIONAL (µ).

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 8. Estimación de parámetros e intervalos de confianza. Media poblacional (µ).

Estadística. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1

PRESENTACIÓN.

La presente es una Guía de Ejercicios de Estadística para estudiantes de Ingeniería,

Ciencias, Tecnología, Ciencias Administrativas y Ciencias de la Salud dictada en las

carreras de Ingeniería Ambiental, Civil, de Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial,

Mecánica, de Petróleo, de Sistemas y Química, así como Contaduría Pública y

Administración de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las

respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido

programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y

exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Estadística en los núcleos de

Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía

especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y

responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma

integrada de información existente en la literatura.

Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con

fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es

libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Estadística, así como las sugerencias que

tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través

de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN: 2736CCF1 ó 7A264BE3,

correo electrónico: [email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó

personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,

Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se

desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y

Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.

En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela

(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de

Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual

comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el

Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.

Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,

Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción

y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte

del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento

químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta

finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de

Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo

de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas

tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),

Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos

Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es

autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,

Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,

Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería

Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



PRELIMINARES.

Introducción.

La inferencia estadística está casi siempre concentrada en obtener algún tipo de

conclusión acerca de uno o más parámetros (características poblacionales). Para hacerlo, se

requiere que un investigador obtenga datos muestrales de cada una de las poblaciones en

estudio. Entonces, las conclusiones pueden estar basadas en los valores calculados de varias

cantidades muestrales. Por ejemplo, representamos con (parámetro) el verdadero tiempo

promedio (meses) de duración de los estudiantes de la Universidad de Oriente, Núcleo

Monagas, desde el momento en que ingresan a la Universidad, hasta el momento de la

graduación. Podría tomarse una muestra aleatoria de 100 estudiantes para determinar el

tiempo de cada uno, y la media muestral del tiempo de duración en el núcleo )(X se podría

emplear para sacar una conclusión acerca del valor de . De forma similar, si 2 es la

varianza de la distribución del tiempo de duración, el valor de la varianza muestral 2s se

podría utilizar para inferir algo acerca de 2 .

Estimaciones.

El objetivo principal de la estadística inferencial es la estimación, esto es, que

mediante el estudio de una muestra de una población se quiere generalizar las conclusiones

al total de la misma. Los parámetros de la población a partir de los estadísticos de una

muestra se suelen estimar debido al coste, al tiempo y a la viabilidad.

Mientras menor sea el error estándar de un estadístico, más cercano será éste al

valor al parámetro correspondiente.

Existen dos tipos de estimaciones para parámetros: puntuales y por intervalo. Una

estimación puntual es un único valor estadístico que se usa para estimar un parámetro. El

estadístico de una muestra que se utiliza para estimar el parámetro de una población se

denomina estimador, y un determinado valor observado se denomina una estimación. Una

estimación por intervalo es un rango, generalmente de ancho finito, que se espera que

contenga el parámetro.



Un estimador de un parámetro poblacional es una variable aleatoria que depende de

la información de la muestra y cuyas realizaciones proporcionan aproximaciones al valor

desconocido del parámetro.

Estimación Puntual

Un estimador puntual de un parámetro poblacional es una función de la muestra que

da como resultado un único valor (estadístico), que representa el valor más razonable del

parámetro. Por ejemplo, la media muestral )(X es un estimador puntual de la media

poblacional )( .

Formulas.

Media muestral.

n

XX

i (1)

Varianza muestral.

11

)(222

2

n

XnX

n

XXS

ii

x (2)

Desviación estándar o típica muestral.

2

xx SS (3)

Proporción muestral.

n

Xpx (4)

donde: X = Número de éxitos en la muestra.

n = Número de elementos de la muestra.

Se dice que un estimador puntual es un estimador insesgado de un parámetro

poblacional si su valor esperado es igual a ese parámetro. Por ejemplo, la media muestral,

la varianza muestral y la proporción muestral son estimadores insesgado de sus

correspondientes parámetros poblacionales:

La media muestral )(X es un estimador insesgado de la media poblacional ( ):

])([ XE .



La varianza muestral )( 2s es un estimador insesgado de la varianza poblacional (2 ):

])([ 22 sE .

La proporción muestral )( p es un estimador insesgado de la proporción poblacional ( ):

])([ pE .

En otras palabras, un estimador insesgado es aquel para el cual la media de la

distribución muestral es el parámetro estimado.

Un estimador que no es insesgado es sesgado. El grado de sesgo es la diferencia

entre la media del estimador y el verdadero parámetro. Se deduce que el sesgo de un

estimador insesgado es cero (0).

Se dice que un estimador puntual es un estimador consistente del parámetro si la

diferencia entre el valor esperado del estimador y el parámetro disminuye a medida que

aumenta el tamaño de la muestra, es decir, que el sesgo disminuye conforme aumenta el

tamaño de la muestra.

Estimación con intervalos de confianza.

Un estimador puntual, por ser un solo número, no proporciona por sí mismo

información alguna sobre la precisión y confiabilidad de la estimación. El estimador

puntual nada dice sobre lo cercano que está del parámetro. Una alternativa para reportar un

solo valor del parámetro que se esté estimando es calcular e informar todo un intervalo de

valores factibles, un estimado de intervalo o intervalo de confianza (IC).

Un intervalo de confianza (estimación por intervalo) denota un rango dentro del

cual puede encontrarse el parámetro, y el nivel de confianza que el intervalo contiene del

parámetro.

Un intervalo de confianza tiene un límite inferior de confianza (LIC) y un límite

superior de confianza (LSC). Estos límites se determinan calculando primero el estimador

puntual ( X , 21 XX , p , 21 pp ), luego se suma una cierta cantidad a dicho estimador

para obtener el límite superior de confianza (LSC), y la misma cantidad se resta del

estimador puntual para obtener el límite inferior de confianza (LIC).

Nivel de confianza.



Un intervalo de confianza se calcula siempre seleccionando primero un nivel de

confianza, que es una medida del grado de fiabilidad en el intervalo. Un intervalo de

confianza con un nivel de confianza de 95% de la proporción de mujeres que estudian en la

actualidad en el Núcleo de Monagas de la Universidad de Oriente podría tener un límite

inferior de 0.52 y uno superior de 0.58. Entonces, en un nivel de confianza de 95%, es

posible tener cualquier valor de entre 0.52 y 0.58. Un nivel de confianza de 95% implica

que 95% de todas las muestras con un tamaño preestablecido daría lugar a un intervalo que

incluye o cualquier otro parámetro que se esté estimando, y sólo 5% de las muestras

producirá un intervalo erróneo. Cuanto mayor sea el nivel de confianza podremos creer que

el valor del parámetro que se estima se encuentra dentro del intervalo.

El nivel de confianza se denota por %100)1( , donde es la proporción de las

colas de la distribución que queda fuera del intervalo de confianza. La proporción en la cola

superior de la distribución es 2/ y la proporción en la cola inferior que queda fuera del

intervalo de confianza también es 2/ .

En la figura siguiente se muestra el caso de la distribución normal y distribución t de

Student.

En contraste, un valor ampliamente utilizado es el nivel de significancia, el cual se

denota por .

En resumen:

Nivel de confianza: 1 .

Nivel de significancia: .



Nomenclatura.

Medida En la población (Parámetro) En la muestra (Estadístico)

Media aritmética X Desviación estándar s

Varianza 2 2s

Proporción p

Diferencia pareada d

Tamaño N n

Palabras clave en el planteamiento de los ejercicios.

Problema referido a:

Media Media, medio, promedio

Proporción Proporción, porcentaje, fracción

Varianza Varianza, variación, variabilidad.

Diferencia de medias Diferencia de medias

Diferencia de proporciones Diferencia de proporciones

8.1.- INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA DE UNA POBLACIÓN.

VARIANZA CONOCIDA.

Consideremos una muestra aleatoria de n observaciones extraídas de una población que

sigue una distribución normal de media y varianza 2 . Si la media muestral es X ,

entonces el intervalo de confianza al %)1( de la media poblacional, cuando la varianza

(o desviación estándar) poblacional es conocida, viene dado por

: n

zX

2/ (5a)

nzX

nzX

2/2/ (5b)

Los límites de confianza son:

nzXLIC

2/ (6a)

nzXLSC

2/ (6b)



Intervalos de confianza de una cola para la media.

Es posible encontrar intervalos de confianza de una cola para aproximar

mediante una modificación simple de la ecuación (5b)

Un intervalo de confianza inferior aproximado del %100)1( es

n

zX (7a)

nzX

(7b)

El intervalo de confianza es:

n

zX .

Un intervalo de confianza superior aproximado del %100)1( es

nzX

(8)

El intervalo de confianza es: n

zX

.

En la práctica, cuando se habla de un intervalo de confianza inferior, se está refiriendo al

límite inferior del intervalo de confianza, pero la porción de la gama de valores en la recta

real que le corresponde a

realmente es la superior. De la misma manera, cuando se habla

de un intervalo de confianza superior, se está refiriendo al límite superior del intervalo de

confianza, pero la gama de valores de

realmente es la inferior.

Ejemplo 8.1. Intervalo de confianza para la media de una población normal de

varianza conocida.

Se encuentra que la concentración promedio de zinc de una muestra de 36 cereales es de

2.6 miligramos/gramo. Encuentre los intervalos de confianza de a) 95% y b) 99% para la

concentración media de zinc en el cereal. Suponga que la desviación estándar de la

población es 0.3.

Solución.

Tamaño de la muestra: 36n



Media muestral: 6.2X

a) Nivel de confianza: 95.01

b) Nivel de confianza: 99.01

Desviación estándar poblacional: 3.0

Intervalo de confianza para la media poblacional, conocida.

: n

zX

2/ (5a)


Valor 2/z .

La forma práctica de determinar 2/z utilizando la tabla de la distribución normal (Tabla 1)

en este caso es:

- Calcular 2

1 con cuatro dígitos decimales.

4750.02

95.0

2

1

- Leer en la tabla 1 el valor correspondiente de 2/z .

96.12/ z

Intervalo de confianza para la media.

:36

3.096.16.2

: 098.06.2



:

502.2

698.2

698.2502.2

Con un nivel de confianza de 95% se puede afirmar que la concentración media de zinc en

la población de cereales se encuentra entre 2.502 mg/g y 2.698 mg/g.

Una forma opcional de expresar el intervalo de confianza para la media es

nzX

nzX

2/2/

y efectuar los cálculos en dicha forma. En este ejemplo

escribiremos:

nzX

nzX

2/2/

36

3.096.16.2

36

3.096.16.2

098.06.2098.06.2

Resultando:

698.2502.2

Finalmente, una tercera forma de expresar el intervalo de confianza para la media es

Xzp 2/ , para lo cual es necesario determinar el error estándar de la media:

nX

36

3.0X

05.0X


: 05.096.16.2

: 098.06.2

:

502.2

698.2



698.2502.2

El profesor indicará la forma más conveniente de trabajo, o el estudiante lo decidirá

siempre y cuando tenga la libertad de elección.

b) Nivel de confianza: 99.01

4950.02

99.0

2

1

Puesto que 0.4950 no se encuentra en el cuerpo de la tabla de distribución normal, entonces

se aplica interpolación con los valores encontrados entre los que se encuentra 0.4950.

Valor encontrado Z

0.4949 2.57

0.4951 2.58

El valor de 2/z es el promedio entre los valores obtenidos de z.

2

58.257.22/

z

575.22/ z


:36

3.0575.26.2

: 1288.06.2

:

4712.2

7288.2

7288.24712.2

Con un nivel de confianza de 99% se puede afirmar que la concentración media de zinc en

la población de cereales se encuentra entre 2.4712 mg/g y 2.7288 mg/g.

Comentario: A mayor nivel de confianza, el intervalo de confianza es más amplio.

Ejercicios propuestos.

1. Los vuelos de una empresa tienen una duración bimestral aproximadamente distribuida

de forma normal con una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de 30 vuelos



tiene una duración promedio de 780 horas, encuentre un intervalo de confianza de 96%

para la media de la población de todos los vuelos de esta empresa.

Respuesta: 795765 .

2. [SW] Si una muestra aleatoria de tamaño 20n tomada de una población normal con la

varianza 2252 tiene la media 3.64x , construya un intervalo de confianza de 95% de

la media de la población .

Respuesta: 87.7073.57 .

3. Calcule el intervalo de confianza del 95% para la media de 250 puntuaciones de

coeficiente intelectual (CI), si una muestra de 35 de esas puntuaciones produce una media

de 110. Suponga que 15 .

Respuesta: 62.11438.105 .

4. [JF] La longitud aleatoria de las unidades producidas por una máquina tiene desviación

típica de 6 cm. Se toma aleatoriamente una muestra de 100 unidades obteniéndose una

media de 14.35 cm. Construir un intervalo de confianza del 99% para la longitud media de

las unidades producidas.

Respuesta: 90.1580.12 .

5. [JF] Un proceso produce bolsas de azúcar refinada. El peso del contenido de estas bolsas

tiene una distribución normal con 15 gramos. Los contenidos de una muestra aleatoria de

25 bolsas tienen un peso medio de 100 gramos. Calcular un intervalo de confianza al 95%

para el verdadero peso medio de todas las bolsas de azúcar producidas por el proceso.

Respuesta: 88.10512.94 .

6. [MR] Se sabe que el diámetro de los agujeros de un arnés para cables tiene una

desviación estándar de 0.01 pulgadas. Una muestra aleatoria de tamaño 10 produce un

diámetro promedio de 1.5045 pulgadas. Encuentre un intervalo de confianza de dos colas

de 99% para le media del diámetro de los agujeros.

Respuesta: 5126.14964.1 .

7. Un gran distribuidor de refacciones automotrices necesita una estimación de la vida

media que cabe esperar de los limpiaparabrisas en condiciones normales de manejo. La



gerencia ya ha determinado que la desviación estándar de la vida de la población es 6

meses. Se selecciona una muestra de 100 y obtenemos los siguientes resultados: 100n ,

21x meses. Encontrar una estimación por intervalo con un nivel de confianza de 95%.

Respuesta: 18.2282.19 .

8. [MR, SW] Un fabricante produce anillos para pistones de motor de automóvil. Se sabe

que el diámetro de los anillos tiene una distribución aproximadamente normal y que tiene

una desviación estándar de mm 001.0 . Una muestra aleatoria de 15 anillos tiene un

diámetro medio de mm 036.74x .

a) Construya un intervalo de confianza de dos colas de 99% para el diámetro medio de los

anillos para pistones.

b) Construya un límite de confianza inferior de 95% para el diámetro medio de los anillos

para pistones.

Respuesta: a) 0367.740353.74 ; b) 0402.74 .

9. [DM] Los diámetros de las flechas de acero producidas en cierto proceso de manufactura

deberán tener un promedio de 0.255 pulgadas. Se sabe que el diámetro tiene una desviación

estándar de pulgadas 0001.0 . Una muestra aleatoria de 10 flechas tiene un diámetro

promedio de 0.2545 pulgadas. Construir un intervalo de confianza de 95% para el diámetro

promedio de las flechas.

Respuesta: 2546.02544.0 .

10. [RV] Se selección al azar una muestra de 100 personas, cuya 75.106x a partir de una

población con varianza 16, pero cuya media , se desconoce. Determine el intervalo de

confianza 0.95 sobre respecto de x .

Respuesta: 53.10797.105 .

11. [SW] Mediciones de la presión sanguínea de 25 mujeres de edad avanzada tienen una

media de 140x mm de mercurio. Si estos datos se pueden considerar como una muestra

tomada al azar de una población normal con 10 mm de mercurio, construya un

intervalo de confianza de 95% de la media de la población .

Respuesta: 92.14308.136 .



12. [MR] Se requiere que la resistencia a la ruptura de la fibra textil usada en la fabricación

de material para cortinas sea de al menos 100 psi. La experiencia pasada indica que la

desviación estándar de la resistencia a la ruptura es 2 psi. Se prueba una muestra aleatoria

de nueve observaciones, y se encuentra que la resistencia a la ruptura promedio es 98 psi.

Encuentre un intervalo de confianza de dos colas de 95% para la verdadera media de la

resistencia a la ruptura.

Respuesta: 31.9969.96 .

13. [DM] Supuestamente, la viscosidad de un detergente líquido debe promediar 800

centistokes a 25ºC. Se colecta una muestra aleatoria de 16 lotes del detergente, y la

viscosidad promedio es 812. Suponga que se sabe que la desviación estándar de la

viscosidad es psi 3 . Encontrar un intervalo de confianza de 95% para la media.

Respuesta: 47.81353.810 .

14. Un fabricante de papel para computadoras tiene un proceso de producción en forma

continua a través de un turno de producción completa. Se espera que el papel tenga una

longitud promedio de 11 pulgadas y se sabe que la desviación típica es 0.02 pulgadas a

intervalos periódicos. Se seleccionan muestras para determinar si la longitud promedio del

papel sigue siendo 11 pulgadas o si hay alguna falla de producción que la altere. Si es así

habrá que pensar en una acción correctiva. Se ha seleccionado una muestra aleatoria de 100

hojas y se ha encontrado que el largo promedio del papel es 10.998 pulgadas. Se desea un

estimado del intervalo de confianza del 95% de la longitud promedio de papel.

Respuesta: 002.11994.10 .

15. [RV] En un experimento llevado a cabo en un departamento de Educación Física, se

encontró que el puntaje medio de resistencia muscular tomado en una muestra aleatoria de

16 sujetos era de 145. Suponer que los puntajes de resistencia muscular de todos los sujetos

similares están normalmente distribuidos. Construir un intervalo de confianza del 90% para

el puntaje promedio verdadero. Asuma 40 .

Respuesta: 45.16155.128 .



16. [RV] Doscientos quince cerdos recibieron una alimentación especial por un periodo de

tres meses, siendo el aumento medio de peso en este período de 60 kg. Construir un

intervalo de confianza del 97% para el aumento medio del peso verdadero. Asuma una

varianza poblacional de 49 kg. ¿Qué suposición se tiene que hacer?

Respuesta: 07.6193.58 . Debe suponerse que el peso de los cerdos está distribuido

normalmente.

17. Una muestra aleatoria simple de 25 estudiantes responde a un test de inteligencia,

obteniendo una media de 100puntos. Se sabe por experiencia que la variable “inteligencia

de todos los estudiantes” es normal con una desviación típica igual a 10, pero se desconoce

la media. ¿Entre qué límites se hallará la verdadera inteligencia media de todos los

estudiantes, con un nivel de confianza de 0.99?

Respuesta: 15.10684.94 .

18. Se ha aplicado una prueba, para medir el coeficiente intelectual, a una muestra de 100

universitarios elegida en forma aleatoria. Calculada la media de esta muestra se han

obtenido 98 puntos. Sabiendo que las puntuaciones de la prueba siguen una distribución

normal de desviación típica 15, calcular con una probabilidad del 98% entre qué valores se

encontrará la media de la población universitaria. Interprete el significado el intervalo

obtenido.

Respuesta: 49.10151.94 . El coeficiente intelectual de los universitarios está entre

94.51 y 101.49 con una probabilidad de 0.98.

19. Las especificaciones de un fabricante de botes de pintura dicen que el peso de los botes

sigue una distribución normal de media 1 kg de pintura y una desviación estándar de 0.1 kg.

Se ha comprado un lote del que se ha tomado una muestra de 20 botes y en el que la media

de los pesos obtenidos es de 0.98 kg. Construya un intervalo de confianza del 95% para la

media.

Respuesta: 0238.19362.0 .

20. El ratio de productividad anual de nuestra empresa es una variable aleatoria de

comportamiento desconocido si bien conocemos que su dispersión relativa es de 2 unidades



de medida, desconociendo la media de dicho ratio. Dar un intervalo de confianza mínimo

del 90%, para dicha media, si escogidos 40 días, resultó que la productividad media se situó

en el valor 6.

Respuesta: 52.648.5 .

21. [JF] Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 individuos a los que se ha medido el

nivel de glucosa en sangre, obteniéndose una media muestral de 110 mg/cc. Se sabe que la

desviación típica de la población es de 20 mg/cc.

a) Obtenga un intervalo de confianza para el nivel de glucosa en sangre de la población al

90% de confianza.

b) ¿Qué error máximo se comete en la estimación anterior?

Respuesta: a) 29.11371.106 ; b) 2897.3 .

22. Estamos interesados en conocer el consumo diario medio de cigarrillos entre los

alumnos de Centros de Bachillerato de nuestra localidad. Seleccionada una muestra

aleatoria de 100 alumnos se observó que fumaban una media de 8 cigarrillos diarios. Si

admitimos que la varianza de dicho consumo es de 16 cigarrillos en el colectivo total,

estime dicho consume medio con un nivel de confianza del 90%.


Determinación del tamaño de la muestra requerido para la estimación de la media de

una población.

n

XZ

/

(9)

Sea X el error de estimación, entonces

nZ

/

(10)

nz

2/ (11)

Al despejar n, el tamaño de la muestra:



2

2/

zn (12)

Ejemplo 8.2. Cálculo del tamaño muestral para estimar la media de una población con

una determinada precisión.

Se sabe que la desviación típica del peso de las sandías de una plantación es de 750 g.

Calcular el número mínimo de sandías que se han de elegir para, con un nivel de confianza

del 95%, estimar el peso medio de cada una con un error menor que 300 g.

Solución.

Desviación estándar poblacional: 750 g

Tamaño de la muestra: ?n

Nivel de confianza: 95.01

Error de estimación: 300 g

Tamaño de la muestra: ?n

2

2/

zn (12)

Valor 2/z .

4750.02

95.0

2

1

96.12/ z

Tamaño de la muestra.

2

300

75096.1

n

01.24n

El número mínimo de sandías a ser pesadas es 25.

Comentario: El tamaño mínimo de la muestra es el entero mayor o igual a n calculado con

la ecuación (10).




23. Se estima que el tiempo de reacción de un conductor ante un obstáculo imprevisto tiene

una distribución normal con desviación típica 0.05 segundos. Si se quiere conseguir que el

error de estimación de la media no supere los 0.01 segundos con un nivel de confianza del

99%, ¿qué tamaño mínimo ha de tener la muestra de tiempos de reacción?

Respuesta: 166n .

24. Se ha proyectado una encuesta para determinar los gastos médicos anuales promedio

por familias de los empleados de una gran compañía. La administración de la compañía

desea tener una confianza del 95% de que el promedio de la muestra esté correcto en una

escala de error de más o menos $50 de los gastos reales promedio de la familia. Un estudio

pilar señala que la desviación estándar se puede estimar como $400. ¿Qué tamaño de la

muestra se necesita?

Respuesta: 246n .

25. Se planea realizar un estudio de tiempos para estimar el tiempo medio de un trabajo,

exacto dentro de 4 segundos y con una probabilidad de 0.90, para terminar un trabajo de

montaje. Si la experiencia previa sugiere que 16 s mide la variación en el tiempo de

montaje entre un trabajador y otro al realizar una sola operación de montaje, ¿cuántos

operarios habrá que incluir en la muestra?

Respuesta: 44n .

26. Una variable aleatoria X tiene una distribución normal siendo su desviación típica igual

a 3. Si se desea que la media de la muestra no difiera en más de 1 unidad de la media de la

población, con probabilidad de 0.99, ¿cuántos elementos, como mínimo, se deberían tomar

en la muestra?

Respuesta: 60n .

27. [RV] Una firma constructora desea estimar la resistencia promedio de las barras de

acero utilizadas en la construcción de edificios de departamentos. ¿Qué tamaño muestral se

requiere para garantizar que habrá un riesgo de sólo 0.001 de sobrepasar un error de 5 kg o

más en la estimación? La desviación estándar de la resistencia de este tipo de barras se

estima en 25 kg.



Respuesta: 271n .

28. [RV] La gerencia de una empresa manufacturera desea determinar el tiempo promedio

requerido para realizar una determinada operación manual. Se precisa tener una confianza

0.95 de que el error en la estimación no exceda a 2 minutos. ¿Qué tamaño de muestra se

necesita si la desviación estándar del tiempo necesario para realizar la operación ha sido

estimada por un experto en estudio de tiempos y movimientos en 10 minutos?

Respuesta: 97n .

29. [JF] La desviación típica de la altura de los habitantes de un país es de 10 cm. Calcular

el tamaño mínimo que ha de tener una muestra de habitantes de dicho país para que el error

cometido al estimar la altura media sea inferior a 1 cm con un nivel de confianza del 99%.

Respuesta: 664n .

30. Un biólogo quiere estimar el peso promedio de los ciervos cazados en el estado de

Maryland. Un estudio anterior de diez ciertos cazados mostró que la desviación estándar de

sus pesos es de 12.2 libras. ¿Qué tan grande debe ser una muestra para que el biólogo tenga

el 95% de confianza de que el error de estimación es a lo más de 4 libras?

Respuesta: 36n .

31. [MR, SW] Un ingeniero civil analiza la fuerza de compresión del concreto. La fuerza de

compresión tiene una distribución aproximadamente normal con una varianza de

22 (psi) 1000 . Una muestra aleatoria de 12 observaciones tiene una media de la fuerza

de compresión de psi 3250x .

a) Construya un intervalo de confianza de dos colas de 95% para la media de la fuerza de

compresión.

b) Construya un intervalo de confianza de dos colas de 99% para la media de la fuerza de

compresión. Compare la longitud de este intervalo de confianza con la del intervalo que se

encontró en el inciso a).

c) Suponga que se desea estimar la fuerza de compresión con un error que sea menor que

15 psi con una confianza de 99%. ¿Qué tamaño de la muestra se necesita?



Respuesta: a) 89.326711.3232 ; b) 51.327349.3226 . El intervalo b) es más

ancho, pues a mayor confianza, mayor tendría que ser el intervalo para asegurarnos que la

media cae en dicho intervalo; c) 30n .

32. La media de las estaturas de una muestra aleatoria de 400 personas de una ciudad es

1.75 m. Se sabe que la estatura de las personas de esa ciudad es una variable aleatoria que

sigue una distribución normal con varianza 22 m 16.0 .

a) Construya un intervalo, de un 95% de confianza, para la media de las estaturas de la

población.

b) ¿Cuál sería el mínimo tamaño muestral necesario para que puede decirse que la

verdadera media de las estaturas está a menos de 2 cm de la media muestral, con un nivel

de confianza del 90%?

Respuesta: a) 79.171.1 ; b) 1083n .

33. Un estudio realizado sobre 100 usuarios revela que un automóvil recorre anualmente un

promedio de 15200 km con una desviación típica de 2250 km.

a) Determine un intervalo de confianza, al 99%, para la cantidad promedio de kilómetros

recorridos.

b) ¿Cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para que el error cometido no sea

superior a 500 km, con igual confianza.

Respuesta: a) 56.1577944.14620 ; b) 135n .

34. Se sabe que la estatura de los individuos de una población es una variable aleatoria que

sigue una distribución normal con desviación típica 6 cm. Se toma una muestra aleatoria de

225 individuos y da una media de 176 cm.

a) Obtenga un intervalo de confianza, con un 99% de confianza, para la media de la estatura

de la población.

b) Calcule el mínimo tamaño de muestra que se ha de tomar para estimar la estatura media

de los individuos de la población con un error inferior a 1 cm y un nivel de confianza del

95%.

Respuesta: a) 03.17797.174 ; b) 139n .



35. El peso de los perros adultos de una cierta raza es una variable aleatoria que se

distribuye normalmente con desviación típica 0.6 kg. Una muestra aleatoria de 30 animales

ha dado un peso medio de 7.4 kg.

a) Calcúlese un intervalo de confianza al 99% para el peso medio de los perros adultos de

esta raza.

b) ¿Qué tamaño mínimo debe tener la muestra para tener una confianza del 95% de que la

media muestral no se diferencie en más de 0.3 kg de la media de la población?

Respuesta: a) 682.7118.7 ; b) 16n .

36. En una encuesta se pregunta a 10000 personas cuántos libros lee al año, obteniéndose

una media de 5 libros. Se sabe que la población tiene una distribución normal con

desviación típica 2.

a) Hallar un intervalo de confianza al 80% para la media poblacional.

b) Para garantizar un error de estimación de la media poblacional no superior a 0.25 con un

nivel de confianza del 95%, ¿a cuántas personas como mínimo sería necesario entrevistar?

Respuesta: a) 0256.59744.4 ; b) 246n .

37. Se supone que la recaudación diaria de los comercios de un barrio determinado es una

variable aleatoria que se puede aproximar por una distribución normal de desviación típica

328 euros. Se ha extraído una muestra de 100 comercios de dicho barrio, obteniéndose que

la recaudación diaria media asciende a Bs 1248. Calcular:

a) El intervalo de confianza para la recaudación media con un nivel de confianza del 99%.

b) El tamaño muestral mínimo necesario para conseguir, con un nivel de confianza del

95%, un error en la estimación de la recaudación diaria menor de Bs 127.

Respeusta: a) 49.133251.1163 ; b) 26n .

38. Una muestra aleatoria de tamaño 100, extraída de una población normal de varianza 81,

presenta una media muestral igual a 150.

a) Calcular un intervalo de confianza del 90% para la media poblacional.

b) Calcular un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional y compararlo con

el anterior.



c) Si se quiere tener una confianza del 95% de que su estimación se encuentra a una

distancia máxima de 1.2 de la verdadera media poblacional, ¿cuántas observaciones

adicionales deben tomarse?

Respuesta: a) 48.15152.148 ; b) 76.15124.148 . Es más amplio que el obtenido

en a) ; c) 217n . Se requieren 117 observaciones adicionales.

39. Se quiere estimar el sueldo medio de un trabajador de transporte público. Se toma para

ello una muestra de 625 de estos trabajadores y se obtiene un sueldo medio muestral de Bs

1480. Si la desviación típica es igual a 250 euros:

a) Con un nivel de confianza del 90%, determinar el intervalo de confianza para el sueldo

medio de un trabajador del transporte público.

b) Si se quiere que el error máximo de la estimación sea de Bs 10, hallar el tamaño de la

muestra que se debe tomar considerando un nivel de confianza del 99%.

Respuesta: a) 45.149655.1463 ; b) 4147n .

40. Para hacer un estudio sobre el precio/día de una habitación doble en hoteles de cuatro

estrellas en Caracas, se elige una muestra de 64 de estos hoteles y se obtiene un precio/día

medio de Bs 56 con una desviación típica de Bs 6. Se pide:

a) Determinar el intervalo de confianza para el precio/día medio de una habitación doble en

un hotel de cuatro estrellas en Caracas con un nivel de confianza de 97%.

b) Hallar el tamaño de la muestra que se debe tomar para que el error máximo sea de Bs 2,

con un nivel de significación del 1%.

Respuesta: a) 6276.573724.54 ; b) 60n .

41. Un laboratorio farmacéutico afirma que el número de horas que un medicamento de

fabricación propia tarda en curar una determinada enfermedad sigue una variable normal

con desviación típica igual a 8. Se toma una muestra de 100 enfermos a los que se les

administra el medicamento y se observa que la media de horas que tardan en curarse es

igual a 32.

a) Encontrar un intervalo de confianza, con un nivel de confianza del 99%, para la media

del número de horas que tarda en curar el medicamento.



b) Si el nivel de significación es igual a 0.05, ¿cuál es el tamaño de la muestra que habría

que considerar para estimar el valor de la media con un error menor de 3 horas?

Respuesta: a) 06.3494.29 ; b) 28n .

42. Se sabe que el peso de los ladrillos producidos por una determinada fábrica sigue una

distribución normal con una desviación típica de 0.12 kilos. En el día de hoy se extrae una

muestra aleatoria de sesenta ladrillos cuyo peso medio es de 4.07 kilos.

a) Calcular un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos

producidos hoy.

b) Sin realizar cálculos, determinar si un intervalo de confianza del 95% para la media

poblacional tendría mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el apartado a).

c) Se decide que mañana se tomará una muestra de 20 ladrillos. Sin realizar los cálculos,

determinar si un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos

producidos mañana tendría mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el

apartado a).

d) Se sabe que la desviación típica poblacional para la producción de hoy es de 0.15 kilos.

Sin realizar los cálculos, determinar si un intervalo de confianza del 99% para el peso

medio de los ladrillos producidos hoy tendría mayor, menor o la misma longitud que el

calculado en el apartado a).

e) Hallar el tamaño muestral necesario para calcular un intervalo de confianza del 90% para

el peso medio poblacional de los ladrillos, cuya amplitud a cada lado de la media muestral

sea igual a 0.01 kilos.

Respuesta: a) 110.4030.4 ; b) Menor; c) Mayor; d) Mayor; e) 390n .

Longitud (o ancho) del intervalo de confianza.

LICLSCL (13a)

nzL

2/2 (13b)

Si se conoce la longitud del intervalo de confianza, los límites de confianza están dados

por:



2

LXLIC (14a)

2

LXLSC (14b)

Si se proporciona el intervalo de confianza ],[ LSCLIC , la media es el promedio entre los

límites de confianza.

2

LSCLICX

(15)

Ejemplo 8.3. Cálculo del tamaño de la muestra a partir de la longitud intervalo de

confianza.

La altura de los jóvenes estudiantes de la UDO se distribuye según una ley normal de media

desconocida y varianza 25 cm2. Se ha tomado una muestra aleatoria, y con una confianza

del 95%, se ha construido un intervalo para la media poblacional cuya amplitud es 2.45 cm.

a) ¿Cuál ha sido el tamaño de la muestra seleccionada?

b) Determine el límite superior y el inferior del intervalo de confianza si la muestra tomada

dio una altura media de 170 cm.

Solución.

Varianza poblacional: 252


Longitud del intervalo de confianza: 45.2L

a) Tamaño de la muestra: ?n

La longitud del intervalo de confianza.

nzL

2/2 (13b)


2

2/2

L

zn

Valor 2/z .



4750.02

95.0

2

1

96.12/ z

Desviación estándar poblacional.

525


2

45.2

596.12

n

64n

El número mínimo de estudiantes a ser medidos es 64.

b) Media muestral: cm 170X

Límite superior e inferior del intervalo de confianza.

2

LXLi

2

LXLs (14)

2

45.2170Li

2

45.2170 Ls

775.168Li 225.171Ls

Comentario: En la mayoría de las ecuaciones se utiliza la desviación estándar, por lo cual,

cuando se proporciona la varianza como dato, la desviación estándar debe calcularse

mediante la raíz cuadrada de la varianza.


43. [DM] Una variable aleatoria con una distribución normal tiene una media desconocida

y varianza 92 . Encontrar el tamaño de la muestra que se necesita para construir un

intervalo de confianza de 95% para la media cuya anchura total sea de 1.0.

Respuesta: 139n .

44. [MR, SW] Se sabe que la vida en horas de una bombilla de 75 watts tiene una

distribución aproximadamente normal, con una desviación estándar 25 horas. Una

muestra aleatoria de 20 bombillas tiene una vida media de 1014x horas.



a) Construya un intervalo de confianza de dos colas de 95% para la vida media.

b) Construya un intervalo de confianza inferior de 95% para la vida media.

c) Suponga que quería tenerse una confianza del 95% de que el error en la estimación de la

vida media fuera menor que 5 horas. ¿Qué tamaño de la muestra deberá usarse?

d) Suponga que se quería que la longitud total del intervalo de confianza de dos colas para

la vida media fuera de 6 horas con una confianza del 95%. ¿Qué tamaño de la muestra

deberá usarse?

Respuesta: a) 96.102404.1003 ; b) 80.1004 ; c) 97n ; d) 267n .

45. En una población una variable aleatoria sigue una ley normal de media desconocida y

desviación típica 2.

a) Observada una muestra de tamaño 400, tomada al azar, se ha obtenido un media muestral

igual a 50. Calcule un intervalo, con el 97% de confianza, para la media de la población.

b) Con el mismo nivel de confianza, ¿qué tamaño mínimo debe tener la muestra para que la

amplitud del intervalo que se obtenga sea, como máximo, 1?

Respuesta: a) 217.50783.49 ; b) 76n .

46. El tiempo de conexión a internet de los alumnos de cierta universidad, sigue una

distribución normal con desviación típica 15 minutos. Para estimar la media del tiempo de

conexión, se quiere calcular un intervalo de confianza que tenga una amplitud menor o

igual que 6 minutos, con un nivel de confianza del 95%. Determinar cuál es el tamaño

mínimo de la muestra que es necesario observar.

Respuesta: 97n .

Ejemplo 8.4. Cálculo del estimador puntual y del error a partir del intervalo de

confianza.

Un fabricante de pilas alcalinas sabe que el tiempo de duración, en horas, de las pilas que

fábrica sigue una distribución normal de media desconocida y varianza 3600. Con una

muestra de su producción, elegida al azar, y un nivel de confianza del 95% ha obtenido para

la media el intervalo de confianza ]2.392,6.372[ .

a) Calcule el valor que obtuvo para la media de la muestra y el tamaño muestral utilizado.



b) ¿Cuál sería el error de su estimación, si hubiese utilizado una muestra de tamaño 225 y

un nivel de confianza del 86.90%?

Solución.

Varianza poblacional: 36002


Límite inferior del intervalo de confianza: 6.372LIC

Límite superior del intervalo de confianza: 2.392LSC

a) Media muestral: ?X

2

LSCLICX

(15)

2

2.3926.372 X

4.382X

Longitud del intervalo de confianza.

nzL

2/2 (13b)


2

2/2

L

zn

Valor 2/z .

4750.02

95.0

2

1

96.12/ z

Desviación estándar poblacional.

2

3600

60




2

6.3722.392

60960.12

n

144n

El número mínimo de pilas a ser elegidas es 144.

b) Tamaño de la muestra: 225n


Error de la estimación.

nz

2/ (11)

Valor 2/z .

4345.02

8690.0

2

1

51.12/ z

Error de estimación.

225

6051.1

04.6 horas

La diferencia máxima del tiempo de duración promedio de la muestra con respecto al

tiempo de duración promedio de la población es 6.04 horas.


47. Se ha obtenido que el intervalo de confianza correspondiente al 95% de una variable es

]34.8,66.6[ . Calcular la media y el tamaño de la muestra que se ha estudiado para obtener

el intervalo sabiendo que la desviación típica es igual a 3.

Respuesta: 5.7X , 49n .

48. Un fabricante de electrodomésticos sabe que la vida media de éstos sigue una

distribución normal con media 100 meses y desviación típica 12 meses.

Determínese el mínimo tamaño muestral que garantiza, con una probabilidad del 0.98, que

la vida media de los electrodomésticos en dicha muestra se encuentra entre 90 y 110 meses.



Respuesta: 8n .

Ejemplo 8.5. Cálculo del nivel de confianza a partir del intervalo de confianza.

Se sabe que los estudiantes de una provincia duermen un número de horas diarias que se

distribuye según una ley normal de media horas y desviación típica horas 2 .

a) Determine el tamaño muestral mínimo necesario para que el error que se cometa al

estimar la media de la población por un intervalo de confianza sea, como máximo, de 0.75

horas, con un nivel de confianza del 98%.

b) A partir de una muestra de 64 alumnos se ha obtenido el siguiente intervalo de confianza

]14.8,26.7[ para la media de la población. Determine el nivel de confianza con que se ha

construido dicho intervalo.

Solución.

Desviación estándar poblacional: 2 horas


Error de estimación: 75.0 horas



2

2/

zn (12)

Valor 2/z .

4900.02

98.0

2

1

2

33.232.22/

z

325.22/ z


2

75.0

2325.2

n

44.38n



El número mínimo de estudiantes requeridos es 39.

b) Tamaño de la muestra: 64n

Intervalo de confianza: ]14.8,26.7[


nzL

2/2 (13b)

Al despejar 2/z :

22/

nLz

)2(2

64)26.714.8(2/

z

76.12/ z

De la tabla de distribución normal:

4608.02

1

9216.01

El nivel de confianza es 92.16%.


49. En un hospital se ha tomado la temperatura a una muestra de 64 pacientes para estimar

la temperatura media de sus enfermos. La media de la muestra ha sido 37.1ºC y se sabe que

la desviación típica de toda la población es 1.04ºC.

a) Obtenga un intervalo de confianza, al 90%, para la media poblacional.

b) ¿Con qué nivel de confianza podemos afirmar que la media de la población está

comprendida entre 36.8ºC y 37.4ºC?

Respuesta: a) 31.3789.36 ; b) 9792.01 .

50. Las ventas mensuales de una tienda de electrodomésticos se distribuye según una ley

normal, con desviación típica Bs 900. En un estudio estadístico de ventas realizadas en los



últimos nueve meses, se ha encontrado un intervalo de confianza para la media mensual de

las ventas, cuyos extremos son Bs 4663 y Bs 5839.

a) ¿Cuál ha sido la media de las ventas en estos nueve meses?

b) ¿Cuál es el nivel de confianza para este intervalo?

Respuesta: a) Bs 5251X ; b) 95.01 .

51. La longitud de la ballena azul se distribuye según una ley normal con desviación típica

7.5 m. En un estudio estadístico realizado a 25 ejemplares se ha obtenido el intervalo de

confianza ]94.26,06.21[ para la longitud media.

a) Calcule la longitud media de los 25 ejemplares de la muestra.

b) Calcule el nivel de confianza con el que se ha construido dicho intervalo.

Respuesta: a) 24X ; b) 95.01 .

52. Queremos obtener la media de una variable aleatoria que se distribuye normalmente con

una desviación típica de 3.2. Para ello, se toma una muestra de 64 individuos obteniéndose

una media de 32.5.

a) ¿Con qué nivel de confianza se puede afirmar que la media de la población está entre

31.5 y 33.5?

b) Si la desviación típica de la población fuera 3. ¿Cuál es el tamaño mínimo que debería

tener la muestra con la cual estimamos la media poblacional si queremos que el nivel de

confianza sea del 99% y el error admisible no supere el valor de 0.75?

Respuesta: a) 9876.01 ; b) 107n .

53. Un agricultor quiere estimar el peso medio de las naranjas que produce, con un error

menor de 10 g, empleando una muestra de 81 naranjas. Sabiendo que la desviación típica

poblacional es de 36 g, ¿cuál será el nivel de confianza con que se realizará la estimación?

Respuesta: 9876.01 .

Factor de corrección para una población finita.

Cuando se conoce el tamaño de la población (N), y 05.0N

n, se aplica el factor de

corrección por población finita.




: 1

2/

N

nN

nzX

(16a)

112/2/

N

nN

nzX

N

nN

nzX

(16b)


12/

N

nN

nz

(17)


12 2/

N

nN

nzL

(18)


22

2/

2

22

2/

)1(

zN

Nzn

(19)

Ejemplo 8.6. Cálculo del tamaño muestral para estimar la media de una población con

una determinada precisión con factor de corrección por población finita.

Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración aproximadamente normal con

una desviación estándar de 40 horas.

a) ¿De qué tamaño se necesita una muestra si se desea tener 96% de confianza que la media

real está dentro de 10 horas de la media real?

b) Suponga que se tiene una población de 300 focos, y se desea saber de qué tamaño debe

ser la muestra. El muestreo se realizará sin reemplazo.

Solución.

Desviación estándar poblacional: 40 horas



Error de estimación: 10 horas




2

2/

zn (12)

Valor 2/z .

4800.02

96.0

2

1

2

06.205.22/

z

055.22/ z


2

10

40055.2

n

57.67n

El número mínimo de focos a ser probados es 68.

b) 300N Tamaño de la población.


22

2/

2

22

2/

)1(

zN

Nzn

(19)

222

22

)40()055.2()1300()10(

300)40()055.2(

n

30.55n

El número mínimo de focos a ser probados es 56.

Para el valor de n calculado, se tiene:

05.01867.0300

56

N

n

Queda justificado el uso de la ecuación (17) para determinar el tamaño de la muestra.



Ejemplo 8.7. Prueba de una aseveración respecto de una media.

Se supone que el peso de las sandías de cierta variedad sigue una distribución normal con

desviación típica de 1 kg. Se toma una muestra aleatoria de 100 sandías y se observa que el

peso medio es de 6 kg.

a) Calcúlese un intervalo de confianza al 95% para el peso medio de esa variedad de sandía.

b) ¿Puede aceptarse la hipótesis de que el verdadero peso medio de las sandías es de 5 kg,

frente a que sea diferente, con un nivel de significancia de 0.05.

Solución.

Desviación estándar poblacional: 1


Media muestral: 6X


Intervalo de confianza para la media, conocida.

: n

zX

2/ (5a)

Valor 2/z .

4750.02

95.0

2

1

96.12/ z


:100

196.16

: 196.06

:

804.5

196.6

196.6804.5

Con un nivel de confianza de 95% se sabe que el peso promedio de las sandías está entre

5.804 kg y 6.196 kg.



b) 50 no pertenece al intervalo de confianza determinado. Se rechaza la hipótesis de

que el peso medio de las sandías sea 5 kg.


54. Supóngase que una tienda de pinturas quiere estimar la cantidad correcta de pinturas

que hay en latas de un galón compradas a un conocido fabricante. Por las especificaciones

del productor se sabe que la desviación estándar de la cantidad de pinturas es 0.02 galones.

Se selecciona una muestra aleatoria de 50 galones y la cantidad promedio en cada lote de

un galón es de 0.995 galones.

a) Establezca una estimación de intervalo de confianza de 99% de la cantidad promedio

real.

b) Con base a estos resultados, le sería posible que el propietario de la tienda tuviera

derecho a quejarse al fabricante? ¿Porqué?

Respuesta: a) 0023.19877.0 ; b) En base a la evidencia, no tiene derecho a quejarse

del fabricante, pues 1.000 gal se encuentra dentro del intervalo.

55. Un fabricante de bombillas garantiza que el tiempo de duración de las bombillas sigue

una normal con media igual a 500 horas y con desviación típica igual a 40 horas. Para

verificar la garantía del fabricante, se hizo una prueba con 49 bombillas, obteniéndose una

media muestral de 492 horas. Podemos aceptar que la media de duración es de 500 horas,

con un nivel de confianza del 90%?

Respuesta: El intervalo de confianza del 90% es 40.50160.482 . 500 se ubica en

este intervalo, por lo tanto, podemos aceptar la afirmación del fabricante.

56. [LR] Oscar T. Grady es el gerente de producción de la compañía Citrus Groves,

localizada justo al norte de Ocala, Florida. Oscar está preocupado debido a que las heladas

tardías de los últimos tres años han estado dañando los 2500 naranjos que posee la Citrus

Grove. Con el fin de determinar el grado del daño ocasionado a los árboles, Oscar ha

recogido una muestra del número de naranjas producidas por cada árbol para 42 naranjos y

encontró que la producción promedio fue 525 naranjas por árbol, con una desviación

estándar de 30 naranjas por árbol.

a) Estime el error estándar de la muestra de esta población finita.



b) Construya un intervalo de confianza del 98% para la producción media por árbol del

total de 2500 árboles.

c) Si la producción media de naranjas por árbol fue 600 frutas hace cinco años, ¿qué puede

decir Oscar acerca de la posible existencia de daños en el presente?

Respuesta: a) 6291.4X ; b) 77.53523.514 ; c) Hay un daño significativo.

57. En una población escolar se ha comprobado que la estatura sigue un modelo normal de

probabilidad. A partir de una muestra de 81 escolares de dicha población se ha calculado

una estatura media de 159 cm y una cuasivarianza de 169 cm2. Teniendo en cuenta esta

información:

a) Determinar el error máximo que cometeríamos, con una confianza de 99%, si estimamos

en 159 la estatura media de la población escolar.

b) ¿Podríamos rechazar, con un nivel de significación del 5%, la hipótesis de que la estatura

media en esa población es de 160 cm? Justificar las respuestas.

Respuesta: a) 697.3 ; b) No. El intervalo de confianza del 95% es 81.16119.156 ,

160 se ubica en este intervalo.

Ejemplo 8.8. Intervalo de confianza para la media a partir de datos muestrales.

El índice de resistencia a la rotura, expresado en kg, de un determinado tipo de cuerda sigue

una distribución normal con desviación típica 15.6 kg. Con una muestra de 5 de estas

cuerdas, seleccionadas al azar, se obtuvieron los siguientes índices:

280 240 270 285 270

a) Obtenga un intervalo de confianza para la media del índice de resistencia a la rotura de

este tipo de cuerdas, utilizando un nivel de confianza del 95%.

b) Si, con el mismo nivel de confianza, se desea obtener un error máximo en la estimación

de la media de 5 kg, ¿será suficiente con elegir una muestra de 30 cuerdas?

Solución.

Desviación estándar poblacional: 04.1



Intervalo de confianza para la media, conocida.



: n

zX

2/ (5a)

Media muestral.

n

X

X

n

i

i 1

2695

1345

5

270285270240280

5

5

1

i

iX

X

Valor 2/z .

4750.02

95.0

2

1

96.12/ z


:5

6.1596.1269

: 674.13269

:

326.255

674.282

674.282326.255

Con un nivel de confianza de 95% se puede afirmar que el índice de resistencia a la rotura

promedio en la población de un determinado tipo de cuerdas se encuentra entre 255.326 kg

y 282.674 kg.

b) Error de estimación: 5 kg


2

2/

zn (12)

2

5

6.15960.1

n



39.37n

El número mínimo de cuerdas a ser elegidas es 38. No es suficiente con elegir una muestra

de 30 cuerdas.

Comentario: Si la varianza (o la desviación estándar) poblacional es conocida, se debe usar

la distribución de probabilidad normal independientemente del tamaño de la muestra.


58. [JF] Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo producto alimenticio en 16

comercios, elegidos al azar en un barrio de una ciudad, y se han encontrado los siguientes

precios:

0.95 1.08 0.97 1.12 0.99 1.06 1.05 1.00

0.99 0.98 1.04 1.10 1.07 1.11 1.03 1.10

Suponiendo que los precios de este producto se distribuyen según una ley normal de

varianza 0.0025 y media desconocida. Determine el intervalo de confianza, al 95%, para la

media poblacional.

Respuesta: 064.1016.1 .

59. [MR] Se está estudiando el rendimiento de un proceso químico. Por experiencias

previas con este proceso, se sabe que la desviación estándar del rendimiento es 3. En los

últimos cinco días de operación se observan los siguientes rendimientos: 91.6%, 88.75%,

90.8%, 89.95% y 91.3%. Encuentre un intervalo de confianza de dos colas de 95% para el

rendimiento medio real.

Respuesta: 11.9385.87 .

60. [DM] Se requiere que la resistencia a la ruptura de una fibra sea de por lo menos 150

psi. La experiencia pasada indica que la desviación estándar de la resistencia a la ruptura es

psi 3 . Se prueba una muestra aleatoria de cuatro ejemplares de prueba, y los resultados

son 1451 y , 1532 y , 1503 y y 1474 y . Construir un intervalo de confianza de 95%

para la resistencia a la ruptura promedio.

Respuesta: 75.148y , 69.15181.145 .



61. [JF] Se desea estudiar el gasto semanal en fotocopias, en bolívares, de los estudiantes de

bachillerato de Maturín. Para ello se ha elegido una muestra aleatoria de 9 de estos

estudiantes, resultando los valores siguientes para estos gastos:

100 150 90 70 75 105 200 120 80

Se supone que la variable aleatoria objeto de estudio sigue una distribución normal de

media desconocida y desviación típica igual a 12. Determínese un intervalo de confianza al

95% para la media del gasto semanal en fotocopias por estudiante.

Respuesta: 84.11716.102 .

62. Una muestra aleatoria de 9 envases de helado proporciona los siguientes pesos en

gramos:

88 90 90 86 87 88 91 92 89

Hallar un intervalo de confianza al 95% para la media de la población, sabiendo que el peso

de los envases tiene una distribución normal con una desviación típica de 1.8 gramos.

Respuesta: 176.90824.87 .

63. La duración de una batería de cierto modelo de teléfono móvil se puede aproximar por

una distribución normal con una desviación típica de 5 meses. Se toma una muestra

aleatoria simple de 10 baterías y se obtienen las siguientes duraciones (en meses):

33 34 26 37 30 39 26 31 36 19

Hallar un intervalo de confianza al 95% para la duración media de ese modelo de batería.

Respuesta: 20.3400.28

64. Un nadador obtiene los siguientes tiempos, en minutos, en 10 pruebas cronometradas

por su entrenador:

41.48 42.34 41.95 41.86 41.60 42.04 41.81 42.18 41.72 42.26

a) Obtener un intervalo de confianza para la marca promedio de esta prueba con un 95% de

confianza, suponiendo que se conoce por otras pruebas que la desviación típica para este

nadador es de 0.3 minutos.

b) Si el entrenador quiere obtener un error en la estimación de la media de este nadador

inferior a tres segundos, ¿cuántas pruebas debería cronometrar?



Respuesta: a) 110.42738.41 ; b) 169n .

65. Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo producto alimenticio en 16

comercios, elegidos al azar en un barrio de la ciudad, y se han encontrado los siguientes

precios:

95 108 97 112 99 106 105 100

99 98 104 110 107 111 103 110

Suponiendo que los precios de este producto se distribuyen según una normal de varianza

25 y media desconocida. Determine un intervalo de confianza, al 95%, para la media

poblacional.

Respuesta: 45.10655.101 .

66. [MA] La temperatura de un material aumenta conforme se le aplica calor. La capacidad

térmica es una expresión cuantitativa del aumento de la temperatura con la adición de una

cantidad específica de calor. Los datos siguientes se obtuvieron respecto de x, la capacidad

térmica medida del etilenglicol líquido a presión constante y temperatura de 80ºC. La

mediciones se expresan en calorías por gramo y grado Celcius:

0.645 0.654 0.640 0.627 0.626

0.649 0.629 0.631 0.643 0.633

0.646 0.630 0.634 0.632 0.651

0.659 0.638 0.645 0.655 0.624

0.658 0.658 0.658 0.647 0.665

La experiencia indica que 01.0 .

a) Evalúe x en relación con esos datos, con los que obtendrá una estimación puntual

insesgada para .

b) Suponga que x tiene distribución normal. Encuentre un intervalo de confianza de 95%

para .

c) ¿Esperaría que un intervalo de confianza del 90% para basado en esos datos sea

mayor o menor que el de 95% calculado en el inciso b)? Explique su respuesta. Verifíquela

al encontrar el intervalo de confianza de 90% para .



d) ¿Esperaría que un intervalo de confianza de 99% de basado en esos datos sea mayor o

menor que el intervalo del inciso b)? Explique su respuesta. Verifíquela al encontrar el

intervalo de confianza de 99% para .

Respuesta: a) 643.0x ; b) 6467.06395.0 ; c) Es menor, pues a menor nivel de

confianza, el intervalo se hace más estrecho y su longitud menor. 6461.06401.0 ; d)

Es mayor, pues a mayor nivel de confianza, el intervalo se hace más amplio y su longitud

mayor. 6478.06387.0 .

67. [MA] Es habitual la manifestación tardía de lesiones después de la exposición a dosis

suficientes de radiación. Se obtuvieron los datos siguientes de la variable x, el tiempo en

días que transcurren entre la exposición a la radiación y la aparición de eritema

(enrojecimiento de la piel) de intensidad máxima:

16 12 14 16 13 9 15 7

20 19 11 14 9 12 11 3

8 21 16 16 12 16 14 20

7 14 18 14 18 13 11 16

18 16 11 13 14 16 15 15

a) Evalúe x en relación con los datos.

b) Suponga que 4 y encuentre un intervalo de confianza de 95% para la media de

tiempo para la aparición del eritema. ¿Le sorprendería la afirmación de que 17 días?

Explique su respuesta, con base en el intervalo de confianza.

Respuesta: a) 825.13x ; b) 0646.155854.12 . Si. 17 no se ubica en este intervalo;

se ha descartado como posible valor de .

68. [MA] Cuando ocurre la fisión, muchos de los fragmentos nucleares formados tienen

neutrones excesivos para ser estables. Algunos de esos neutrones se expulsan casi

instantáneamente. Se tienen las observaciones siguientes de x, el número de neutrones

emitidos durante la fisión del plutonio 239:

3 2 2 2 2 3 3 3

3 3 3 3 4 3 2 3 3 2 3 3 3 3 3 1

3 3 3 3 3 3 3 3

3 3 2 3 3 3 3 3



a) Estime la media de neutrones expulsados durante la fisión del plutonio 239.

b) Suponga que 5.0 . Encuentre un intervalo de confianza de 99% para . ¿Cuál

teorema justifica el procedimiento que usó para elaborar este intervalo?

c) Se informa que el valor de es 3.0. ¿Acaso los datos refutan dicho valor? Explique su

respuesta.

Respuesta: a) 8.2x ; b) 0036.35964.2 . c) No, 3.0 se ubica en este intervalo; no se

ha descartado como posible valor de .

69. [MA] En estudios, se ha comprobado que la variable aleatoria x, el tiempo de

procesamiento requerido para una multiplicación en una nueva computadora

tridimensional, tiene distribución normal con media y desviación estándar de 2 s

(microsegundos). Se toma una muestra aleatoria de 16 observaciones:

42.65 45.15 39.32 44.44 41.63 41.54 41.59 45.68

46.50 41.35 44.37 40.27 43.87 43.79 43.28 40.70

a) A partir de esos datos, encuentre una estimación insesgada para .

b) Encuentre un intervalo de confianza de 95% de . ¿Le sorprendería la afirmación de

que el tiempo promedio requerido para procesar una multiplicación en el sistema sea de

42.2 s? Explique su respuesta, con base en el intervalo de confianza.

Respuesta: a) 883.42x ; b) 8631.439031.41 . No, 42.2 es parte del intervalo de

confianza.

70. [MA] En un estudio de diversos sistemas de cómputo, se considera la variable aleatoria

x, el número de archivos que se ha almacenado. La experiencia indica que 5 . Se

obtienen los datos siguientes:

7 8 4 5 9 9 4 12 8

1 8 7 3 13 2 1 17 7

12 5 6 2 1 13 14 10 2

4 9 11 3 5 12 6 10 7

a) Encuentre una estimación insesgada de , la media del número de archivos por sistema.

b) Calcule un intervalo de confianza de 98% aproximado para .



c) En una descripción del tamaño del sistema, un ejecutivo afirma que el número promedio

de archivos es mayor de 10. ¿Le sorprende esta afirmación? Explique su respuesta.

Respuesta: a) 1389.7x ; b) 0775.92003.5 ; c) Si. 10 no se ubica en este intervalo;

se ha descartado como posible valor de .


VARIANZA DESCONOCIDA. MUESTRA GRANDE, 30n .

Consideremos una muestra aleatoria de n observaciones ( 30n ) extraídas de una

población que sigue una distribución normal de media y varianza ( 2 ) desconocida. Si

la media muestral es X , entonces el intervalo de confianza al %)1( de la media

poblacional, cuando la varianza (o desviación estándar) poblacional es desconocida, viene

dado por

: n

szX 2/ (20a)

n

szX

n

szX 2/2/ (20b)


varianza desconocida. Muestra grande.

Se quiere conocer la permanencia media de los pacientes de un hospital, con el fin de

estudiar una posible ampliación del mismo. Se tienen datos referidos a la estancia,

expresada en días, de 800 pacientes, obteniéndose los siguientes resultados: 1.8X días,

9s días. Se pide obtener un intervalo de confianza del 95% para la estancia media.

Solución.


Media muestral: 1.8X días

Desviación estándar muestral: 9s días

Nivel de significancia: 95.01

Intervalo de confianza para la media, desconocida y muestra grande.



: n

szX 2/ (20a)

Valor 2/z .

4750.02

95.0

2

1

96.12/ z


:800

996.11.8

: 62.01.8

:

48.7

72.8

72.848.7

Se tiene un 95% de confianza que la permanencia media de los pacientes de un hospital se

encuentra entre 7.48 días y 8.72 días.


71. Suponga que se quiere estimar la producción media por hora, en un proceso que

produce antibiótico. Se observa el proceso durante 100 periodos de una hora, seleccionados

al azar y se obtiene una media de 34 onzas por hora con una desviación estándar de 3 onzas

por hora. Estime la producción media por hora para el proceso, utilizando un nivel de

confianza del 95%.

Respuesta: 59.3441.33 .

72. [LR] La Autoridad para la Televisión por Cable de Nebraska (ATCN) realizó una

prueba para determinar el tiempo que las personas pasan frente al televisor por semana. La

ATCN encuestó a 84 suscriptores y encontró que el número promedio de horas que ven

televisión por semana es 11.6 horas con una desviación estándar de 1.8 horas.

a) Calcule el error estándar estimado de la media.

b) Construya un intervalo de confianza del 98% para la media de la población.



Respuesta: a) 1964.0X ; b) 06.1214.11 .

73. En una encuesta, se les pidió a 250 alumnos de un colegio que registraran la cantidad de

tiempo promedio diario que tardaban estudiando. La muestra arrojó una media de 45

minutos con una desviación estándar o típica de 20 minutos. Construir un intervalo de

confianza de 97.5% para la media poblacional.

Respuesta: 84.4716.42 .

74. Un investigador selección una muestra aleatoria de 300 suscriptores de una póliza de

seguros médicos que cuesta Bs 6 000 mensuales, que no hubieran hecho reclamo durante

todo el año anterior. Se les pidió a los individuos de la muestra que informaran la cantidad

total gastada en servicios médicos durante el año. La media y la desviación típica estándar

fueron Bs 3900 y Bs 720. Construir el intervalo de confianza del 99% para la media

poblacional.

Respuesta: 08.400793.3792 .

75. Se quiere obtener un intervalo de confianza para el valor de las ventas medias por hora

que se producen en un kiosko. Para ello realizamos una muestra consistente en elegir al

azar las ventas que se realizaron durante 1000 horas distintas; muestra cuyos resultados

fueron: ventas medias por hora Bs 4000, y varianza de dicha muestra Bs2 4000. Obtener

dicho intervalo con un nivel de confianza del 95.5%.

Respuesta: 40043996 .

76. En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una escala de extroversión tienen una

media de 32.7 puntos y una desviación típica de 12.64.

a) Calcule a partir de estos datos el correspondiente intervalo de confianza, a un nivel del

90%, para la media de la población.

b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cuál sería el máximo error que podríamos

cometer al tomar como media de la población el valor obtenido en la estimación puntual.

Respuesta: a) 28.3512.30 ; b) 07.3

77. [MA] Se produce un cierto volumen de gas natural con cada barril de petróleo crudo.

Ese gas escapa del petróleo cerca del extremo superior de la tubería de los pozos. En un



intento por estimar el volumen de gas natural disponible de pozos kuwaitíes, se obtienen los

datos de los siguientes respecto de x, el número de pies cúbicos de gas obtenido por barril

de crudo (basado en información de “The Oil/Gas Separator: A New Cap for Quenching

Oil Well Fires”, Energy and Technology, diciembre de 1991, p.1):

290 610 790 670 770 420 600 350 800 920

410 810 620 560 550 610 510 390 480 630

470 380 550 570 730 680 530 650 1000 720

Estime un intervalo de confianza de 99% para el volumen promedio de gas natural

producido por barril de crudo en los pozos kuwaitíes.

b) Si interesara un intervalo basado en los mismos datos que fuera más angosto que el

calculado en el inciso a), ¿qué debería hacer para lograrlo?

Respuesta: 33.602x , 11.169s , a) 86.68180.522 ; b) Se reduce la confianza.

78. [MA] Uno de los problemas clásicos de la investigación de operaciones es el problema

de enrutamiento de vehículos de capacidad conocida. El objetivo del estudio es establecer

la ruta de los vehículos de manera que se minimice la distancia recorrida total. Se

investigan las características de un nuevo algoritmo. Se obtienen los datos siguientes sobre

el tiempo de CPU necesario para resolver el problema:

2.0 1.4 3.5 2.3 3.2 3.6 0.1 3.5 2.2 2.1

2.4 1.5 2.2 2.3 2.7 1.9 1.7 1.8 3.1 1.5

1.5 2.6 2.8 2.5 2.5 3.9 0.8 1.8 3.3 3.7

a) Estime la media y desviación estándar del tiempo necesario para resolver un problema

con ese algoritmo.

b) Calcule un intervalo de confianza de 99% sobre la media del tiempo necesario para

solucionar un problema.

c) Otro algoritmo, escrito en otro lenguaje, requiere en promedio 6.6 s de tiempo de CPU.

Las soluciones obtenidas son equivalentes. ¿Acaso el nuevo algoritmo parece más eficaz

que el otro en cuanto al tiempo de cómputo? Explique su respuesta.

Respuesta: a) 3467.2x , 8916.0s , b) 7660.29274.1 . Si. Se tiene una confianza

de 99% de que la nueva media de tiempo es cuando mucho de 2.7660 s.



79. Un fabricante de gasolinas mide el octanaje de su producto. A continuación se

presentan los datos obtenidos de 30 muestras tomadas de proceso de producción.

86.98 86.90 86.94 87.11 86.80 87.02 87.10 87.13 86.92 87.04

86.92 87.13 87.10 86.91 87.03 86.91 87.05 86.95 86.94 86.92

87.16 87.08 87.13 86.84 86.81 86.83 87.19 86.81 86.98 86.97

Encuentre un intervalo de confianza del 95% que contenga a menos el 95% de los valores

de octanaje para la gasolina producida por este proceso.

Respuesta: 9867.86x , 1136.0s , 027.87946.86 .

80. [MA] Se diseñó un estudio para la estimación del tiempo medio que requiere ensamblar

un conjunto de microprocesadores para uso en televisores a color. Se necesita una

estimación de esa media para asignar cuotas de producción razonables a los trabajadores de

la línea de montaje. Se emprende un estudio piloto y se obtienen los datos siguientes sobre

el tiempo de ensamble, en minutos:

1.0 1.5 2.2 3.0 2.7

2.0 2.4 2.6 2.3 1.7

a) Estime con base en los datos precedentes.

b) ¿Cuán grande se requiere que sea la muestra para estimar a no más de 0.2 min, con

una confianza de 99%?

Respuesta: a) 6041.0s , 14.2X , b) 61n .






: 1

2/

N

nN

n

szX (21a)

112/2/

N

nN

n

szX

N

nN

n

szX

(21b)




12/

N

nN

n

sz (22)


12 2/

N

nN

n

szL (23)


22

2/

2

22

2/

)1(

zN

Nszn

(24)

Ejemplo 8.10. Intervalo de confianza con factor de corrección por población finita.

[LR] Se toma una muestra de 60 individuos a partir de una población de 540. De esta

muestra, se encuentra que la media es 6.2 y la desviación estándar 1.368.

a) Encuentre la estimación del error estándar de la media.

b) Construya un intervalo del 96% de confianza para la media.

Solución.


Tamaño de la población:


Desviación estándar muestral: 368.1s

a) Error estándar de la media: ?X

Puesto que se conoce el tamaño de la población, es necesario verificar si aplica la

utilización del factor de corrección por población finita.

05.01111.0540

60

N

n

Es necesario aplicar factor de corrección por población finita.

a) Error estándar de la media.

1

N

nN

n

sX



1540

60540

60

368.1

X

1667.0X

b) Intervalo de confianza para la media

: 1

2/

N

nN

n

szX (21a)


Valor 2/z .

4800.02

96.0

2

1

2

06.205.22/

z

055.22/ z


: 1667.0055.22.6

: 34.02.6

:

86.5

54.6

54.686.5

Interpretación.

Se tiene un 96% de confianza que la media poblacional se encuentra entre 5.86 y 6.54.


81. Se seleccionó una muestra aleatoria de 100 familias de una comunidad de 5000

familias. La muestra dio un ingreso familiar anual medio de Bs 150 000. El investigador

supone que la población de ingreso familiar anual está normalmente distribuido con una

desviación estándar de Bs 20 000. Obténgase un intervalo de confianza 0.90 para el ingreso

total anual de la comunidad.

Respuesta: 93.15391907.146080 .



82. [LR] La enfermera de la secundaria de Westview está interesada en conocer la estatura

promedio de los estudiantes del último año, pero no tiene suficiente tiempo para examinar

los registros de los 430 estudiantes. Por ello, selecciona 48 al azar y encuentra que la media

de la muestra es 64.5 pulgadas y la desviación estándar es 2.3 pulgadas.

a) Encuentre la estimación del error estándar de la media.

b) Construya un intervalo de confianza del 90% para la media.

Respuesta: a) 3133.0X ; b) 02.6598.63 .

83. [LR] Jon Jackobsen, un pasante de posgrado muy dedicado, acaba de terminar una

primera versión de su tesis de 700 páginas. Jon mecanografió el trabajo por sí mismo y está

interesado en conocer el número promedio de errores tipográficos por página, pero no

quiere leer todo el documento. Como sabe algo acerca de estadística, Jon leyó 40 páginas

seleccionadas de manera aleatoria y encontró que el promedio de errores tipográficos por

página fue 4.3 y la desviación estándar de la muestra fue 1.2 errores por página.

a) Calcule el error estándar estimado de la media.

b) Calcule un intervalo de confianza del 90% para el número promedio verdadero de

errores por página en su trabajo.

a) 1844.0X ; b) 60.400.4 .

84. [LR] La jefa de policía, Kathy Ackert, recientemente estableció medidas enérgicas para

combatir a los traficantes de droga de su ciudad. Desde que se pusieron en funcionamiento

dichas medidas, han sido capturados 750 de los 12368 traficantes de droga de la ciudad. El

valor promedio, en dólares, de las drogas decomisadas a estos 750 traficantes es $ 250000.

La desviación estándar del valor de la droga de esos 750 traficantes es $ 41000. Elabore

para la jefa Ackert un intervalo de confianza del 90% para el valor medio en dólares de las

drogas que están en manos de los traficantes de la ciudad.

Respuesta: 68.25337532.246624 .


VARIANZA DESCONOCIDA.

Distribución t de Student.



Cuando debe tomarse una muestra pequeña, la distribución normal no puede

aplicarse. El teorema del límite central asegura normalidad en el proceso de muestreo sólo

si la muestra es grande. Cuando se utiliza una muestra pequeña, puede ser necesaria una

distribución alternativa, la distribución t de Student. Ésta se utiliza cuando se cumplen las

tres (3) condiciones siguientes:

1. La muestra es pequeña ( 30n ).

2. La desviación estándar poblacional ( ) es desconocida.

3. La población proviene de una distribución normal o casi normal.

Si la desviación poblacional ( ) es conocida, la distribución normal se usa

inclusive si la muestra es pequeña.

Al igual que la distribución normal estándar, la distribución t tiene forma de

campana, presenta una media igual a cero, es simétrica con respecto a la media y oscila

entre y . Sin embargo, mientras que la distribución Z tiene una varianza igual a 1

( 12 ), la varianza de la distribución t es mayor que 1, por tanto, la distribución es

platicúrtica o más plana y más dispersa que la distribución Z.

Aunque solo hay una distribución normal estándar, hay una distribución t para cada

tamaño muestral n. Sin embargo, a medida que n se hace más grande, la distribución t se

aproxima a la distribución normal estándar hasta que, cuando 30n , son

aproximadamente iguales.



El estadístico t se calcula en gran parte como el estadístico Z.

n

s

Xt

Sigue una distribución t de Student con 1n grados de libertad.

Intervalo de confianza para la media de una población con varianza poblacional ( 2 )

desconocida y muestra pequeña ( 30n ).

Consideremos una muestra aleatoria de n observaciones ( 30n ) extraídas de una

población que sigue una distribución normal de media y varianza ( 2 ) desconocida. Si

la media muestral es X , entonces el intervalo de confianza al %100)1( de la media

poblacional, cuando la varianza (o desviación estándar) poblacional es desconocida, viene

dado por

: n

stX n 1,2/ (25a)

n

stX

n

stX nn 1,2/1,2/ (25b)


85. [MA] Use la tabla t para calcular cada uno de los puntos siguientes:

a) 8,05.0t b) 8,95.0t c) 12,975.0t d) 12,025.0t e) 121,05.0t f) 150,05.0t

Respuesta: a) 1.86; b) –1.86; c) –2.179; d) 2.179; e) 1.658; f) 1.655.


varianza desconocida.

La puntuación promedio de una muestra de 20 jueces de gimnasio rítmica, elegidos al azar,

para la misma prueba presentó una media de 9.8525 y una desviación típica muestral de

0.0965. Calcular un intervalo de confianza con un 95% para la puntuación media (Se

sobreentiende que la puntuación de la prueba sigue una distribución normal).

Solución.





Desviación estándar muestral: 0965.0s


Intervalo de confianza para la media, desconocida y muestra pequeña.

: n

stX n 1,2/ (25a)

Grados de libertad: 191201 n

De la tabla 2, para dos colas, un nivel confianza 95.01 y 191n grados de

libertad:

0930.21,2/ nt


: 20

0965.00930.28525.9

: 0452.08525.9

:

8073.9

8977.9

8977.98073.9

Con un nivel de confianza de 95% se puede afirmar que la puntuación media poblacional

de los jueces se encuentra entre 9.8073 y 9.8977.


86. [JF] De una muestra de 26 embotelladoras automáticas se encontró que la media de

botellas rellenadas por minuto era de 71.2 y su varianza de 13.4. Suponiendo que la

población es normal, calcular el intervalo de confianza al 95% para el número medio de

botellas a rellenar.

Respuesta: 68.7272.69 .

87. [RV] Una muestra aleatoria de 16 flores de cierta especie tienen una longitud promedio

de 20 mm y una desviación típica de 16. Suponer que esta muestra constituye una muestra

aleatoria simple de todas las flores de este tipo y que las medidas de tales flores están



normalmente distribuidas. Construir el intervalo de confianza del 99% para la media

poblacional.


88. Como parte de un experimento, una gran empresa manufacturera encontró que el

tiempo promedio requerido para que 16 empleados escogidos al azar completaran una tarea

determinada era de 26 minutos. La desviación típica era de 5 minutos. Construir el intervalo

de confianza del 90% para . ¿Qué suposiciones son necesarias para poder construir un

intervalo de confianza válido?

Respuesta: 19.2881.23 .

89. [MR] El ingeniero de desarrollo de un fabricante de llantas está investigando la vida de

las llantas para un nuevo compuesto de hule. Ha hecho 16 llantas y las ha probado hasta el

fin de su vida útil en una prueba de carretera. La media y la desviación estándar muestrales

son 60139.7 y 3645.94 km. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la vida media

de las llantas.

Respuesta: 48.6208292.58196 .

90. [MR] Un ingeniero de control de calidad midió el espesor de las paredes de 25 botellas

de vidrio de 2 litros. La media muestral fue mm 05.4x y la desviación estándar muestral

fue mm 08.0s . Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la media del espesor de

las paredes de las botellas. Interprete el intervalo obtenido.

Respuesta: 083.4017.4 . Se tiene un 95% de confianza de que la media poblacional

se encuentre entre 4.017 mm y 4.083 mm.

91. [MR] Una máquina de bebidas premezcladas se ajusta para liberar cierta cantidad de

jarabe en una cámara donde se mezcla con agua carbonatada. Se encontró que una muestra

aleatoria de 25 bebidas tuvo un contenido medio de jarabe de líquidas onzas 10.1x y una

desviación estándar de líquidas onzas 015.0s . Encuentre un intervalo de confianza de

95% para la cantidad media de jarabe servida.

Respuesta: 1062.10938.1 .



92. [MA] Se vigila una muestra de 150 t de mineral de cobre para estimar el número

promedio de libras (lb) de cobre recuperados por tonelada de mineral beneficiado. Se

obtiene una media muestral de 11 lb, con desviación estándar de 3 lb. Construya un

intervalo de confianza de 95% sobre el número promedio de libras de cobre recuperados

por tonelada de mineral beneficiado.

Respuesta: 484.11516.10 .

93. Un entrenador de fútbol está interesado en estimar, con un 99% de confianza, la fuerza

máxima de los músculos cuádriceps de los futbolistas. Admitiendo que dicha fuerza sigue

una distribución normal, selecciona al azar una muestra de 25 futbolistas para la que obtuvo

una media de 85 N y una varianza de 144. Determinar el intervalo de confianza para la

media de la fuerza máxima de estos músculos.

Respuesta: Respuesta: 713.91287.78 .

94. Una empresa de construcción fue culpada de inflar los comprobantes que registra para

los contratos de construcción con el gobierno. El contrato estableció que un cierto tipo de

trabajo debería promediar Bs 1150. Por motivos de tiempo, los directivos de sólo 12

agencias del gobierno fueron llamados a dar testimonio ante la corte respecto a los

comprobantes de la empresa. Si se descubrió a partir del testimonio una media de Bs 1275

y una desviación estándar de Bs 235. ¿Un intervalo de confianza del 95% apoyaría el caso

legal de la empresa? Se asume que los montos de los comprobantes son normales.

Respuesta: 31.142469.1125 . Si. 1150 se ubica en este intervalo: no se ha descartado

como posible valor de .

Ejemplo 8.12. Intervalo de confianza para la media a partir de datos muestrales.

Un director de producción sabe que la cantidad de impurezas contenida en los envases de

cierta sustancia química sigue una distribución normal. Se extrae una muestra aleatoria de

nueve envases cuyos contenidos de impurezas son los siguientes:

18.2 13.7 15.9 17.4 21.8 16.6 12.3 18.8 16.2

a) Calcular un intervalo de confianza del 90% para el peso medio poblacional de las

impurezas.



b) Sin realizar cálculos, determinar si un intervalo de confianza del 95% para la media

poblacional tendría mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el apartado a)

Solución.



Intervalo de confianza para la media, desconocida y muestra pequeña.

: n

stX n 1,2/ (25a)

Media muestral.

n

X

X

n

i

i 1

767.169

9.150

9

2.168.18...7.132.18

9

9

1

i

iX

X

Varianza muestral.

1

)( 2

1

2

2

n

XnX

s

n

i

i

19

)667.16()9(])2.16()8.18(...)7.13()2.18[( 222222

s

7975.72 s

Desviación estándar muestral.

7975.7s

7924.2s


Grados de libertad: 8191 n

De la tabla 2, para dos colas, un nivel de confianza 90.01 y 81n grados de

libertad:

8595.11,2/ nt




: 9

7924.28595.1767.16

: 731.1767.16

:

036.15

498.18

498.18036.15

Con un nivel de confianza de 90% se puede afirmar que el peso medio de las impurezas en

la población de los envases se encuentra entre 15.036 y 18.498.

b) Mayor.

Comentario.

El procedimiento de cálculo de la media y la desviación estándar muestral se puede ejecutar

en la mayoría de las calculadoras científicas. Se explicará a continuación como realizar los

cálculos estadísticos en la calculadora CASIO fx-350MS.

- Encender la calculadora:

ON

- Limpiar la memoria:

SHIFT MODE 3 = AC

La calculadora muestra el display siguiente:

D

0.

- Entrar en el modo Estadístico.

MODE 2


SD D

0.

- Ingresar los datos.

El primer dato (18.2) se ingresa presionando las teclas:

1 8 . 2 M+




SD D

n= 1.

El segundo dato (13.7) se ingresa presionando las teclas:

1 3 . 7 M+


SD D

n= 2.

Y así sucesivamente. Con el ingreso de cada dato, la calculadora va indicando el número de

datos cargados a la memoria. Al finalizar el ingreso de datos, presionar la tecla AC.

Independientemente si se apaga la calculadora, una vez que se han cargado los datos, éstos

se mantienen en la memoria. La única forma de modificar la data ingresada es limpiando la

memoria o ingresando algún dato adicional.

- Obtener los estadísticos.

Media:

AC SHIFT 2 1 =

El display muestra:

x SD D

16.76666667

Desviación estándar:

AC SHIFT 2 3 =

El display muestra:

1xón SD D

2.792400401

Para volver la calculadora a su estado fundamental, presionar:

MODE 1

El display muestra:

D

0.




95. [JF] Una muestra aleatoria de 6 autos americanos de un determinado modelo consume

las siguientes cantidades en kilómetros por litro:

18.6 18.4 19.2 20.8 19.4 20.5

Calcular un intervalo de confianza al 99% para el consumo de gasolina medio poblacional

de los automóviles de este modelo, suponiendo que la distribución de la población es

normal

Respuesta: 20.2187.17 .

96. Supóngase que se realiza un experimento muy costoso, el cual produce diamantes

sintéticos. Por medio de él se obtiene una muestra de 5 diamantes cuyos pesos son, en

quilates:

0.54 0.60 0.63 0.48 0.51

y se tiene que el promedio de los pesos de los diamantes es 0.5 quilates. ¿Cómo estimar un

intervalo de confianza de 90% que garantice que el promedio es 0.50 o más?

Respuesta: 6113.04927.0 .

97. [MR] Un artículo en Journal of Composite Materials (Vol. 23, p.2000) describe el

efecto de delaminación sobre la frecuencia propia de vigas hechas con laminados mixtos.

Cinco de estas vigas delaminadas se sometieron a cargas, y las frecuencias resultantes (en

Hz) fueron las siguientes:

230.66 233.05 232.58 229.48 232.58

Encuentre un intervalo de confianza de dos colas de 90% para la frecuencia propia media.

Respuesta: 13.23321.230

98. [MR] Se analizó una muestra particular de margarina dietética para determinar el nivel

de ácido graso polinsaturado (en porcentaje). Una muestra de seis paquetes dio como

resultado los siguientes datos:

16.8 17.2 17.4 16.9 16.5 17.1

Encuentre un intervalo de confianza de 99% para la media . Ofrezca una interpretación

práctica de este intervalo.

Respuesta: 508.17459.16 .



99. La Dirección General de Tráfico quiere conocer la velocidad a la que circulan los

automóviles en un tramo determinado de una carretera. Para una muestra de siete

automóviles, el radar señaló las siguientes velocidades en km/h:

79 73 68 77 86 71 69

a) Calcular la media y la varianza muestral.

b) Suponiendo que la distribución de la población es normal, hallar un intervalo de

confianza del 95% para la velocidad media de los automóviles que circulan por dicho

tramo.

Respuesta: a) 7143.74x , 3957.62 s ; b) 629.80799.68 .

100. [JF] Una muestra aleatoria de los salarios (en bolívares) por hora para nueve

trabajadores es:

10.5 11.0 9.5 12.0 10.0 11.5 13.0 9.0 8.5

Si el muestreo se realizó sobre una población distribuida normal, construya el intervalo de

confianza estimado del 95% para los salarios por hora promedio para todos los

trabajadores.


101. Una empresa de alquiler de coches está interesada en conocer el tiempo que sus

vehículos permanecen en el taller de reparaciones. Una muestra aleatoria de nueve coches

indicó que el pasado año el número de días que estos coches habían permanecido fuera de

servicio era:

16 10 21 22 8 17 19 14 19

Especificando las hipótesis necesarias, calcular un intervalo de confianza del 90% para el

número medio de días que la totalidad de los vehículos de la empresa se encuentran fuera

de servicio.

Respuesta: El número de días que estos coches habían permanecido fuera de servicio

siguen una distribución normal. 191.19253.13

102. [DM] La vida (días) de anaquel de una bebida carbonatada es motivo de interés. Se

seleccionaron 10 botellas al azar y se prueban, obteniéndose los siguientes resultados

108 124 124 106 115



138 163 159 134 139

Construir un intervalo de confianza de 99% para la vida media de anaquel.

Respuesta: 09.15191.110 .

103. [MA] El supergopher (supercastor) es un dispositivo creado para perforar la capa de

hielo ártico. Se trata de un aparato cónico de 5 pies de diámetro y 4 pies de altura, con tubo

de cobre enrollado a su alrededor. Se bombea agua calentada a 180ºF por el tubo de cobre.

Ello permite que el aparato funda un cilindro vertical de hielo. Sea x la distancia o

profundidad que el dispositivo puede taladrar por hora. Se obtuvieron los datos siguientes

de 10 orificios de prueba (la profundidad se indica en pies):

2.0 1.7 2.6 1.5 1.4 2.1 3.0 2.5 1.8 1.4

a) Use estos datos para calcular x , 2s y s .

b) Calcule un intervalo de confianza de 90% para la distancia promedio que puede perforar

en una hora. (Basado en información de “The Lost Squadron”, Steven Petrow, LIFE,

diciembre de 1992).

Respuesta: a) 2x , 3022.02 s , 5497.0s ; b) 32.268.1 .

104. De una muestra elegida al azar de 10 alumnos de la clase, se obtuvieron los siguientes

datos para el peso (en kg) y la estatura (en cm):

Peso 74 79 85 49 83 78 74 54 63 68

Estatura 176 178 180 165 182 177 179 165 172 170

Calcular, suponiendo que las variables peso y estatura se adecúan a una distribución

normal, un intervalo de confianza para cada variable, con un nivel de confianza del 95%

para las medias.

Respuesta: Peso: 7.70x , 23.1462 s , 09.12s , 35.7905.62 ; Estatura:

4.174x , 16.372 s , 0955.6s , 76.17804.170 .

105. [MR] Un ingeniero civil está probando la resistencia de compresión del concreto.

Prueba 12 muestras y obtiene los siguientes datos:

2216 2237 2249 2204 2225 2301

2281 2263 2318 2255 2275 2295

a) Construya un intervalo de confianza de dos colas de 95% para la resistencia media.



b) Construya un intervalo de confianza inferior de 95% para la resistencia media.

Respuesta: a) 52.228232.2237 : b) 36.2278 .

106. [MR] Un artículo de Nuclear Engineering International describe varias características

de las varillas de combustible usadas en el reactor de una compañía de energía eléctrica en

Noruega. Las mediciones reportadas del enriquecimiento porcentual de 12 varillas fueron

las siguientes:

2.94 2.75 2.75 2.81 2.90 2.90

2.82 2.95 3.00 2.95 3.00 3.05

Encuentre un intervalo de confianza de dos colas de 99% para la media del enriquecimiento

porcentual. ¿Se siente usted cómodo con la afirmación de que la media del enriquecimiento

porcentual es 2.95%? ¿Por qué?

Respuesta: 991.2813.2 . Si. 2.95 está contenido en el intervalo.

107. El departamento de servicio al cliente de una empresa local de servicios públicos de

gas quiere estimar el tiempo promedio entre la llegada de la solicitud, los servicios y la

conexión del mismo. De los registros disponibles del año anterior se selecciona una muestra

aleatoria de 15 casos. Los resultados en días fueron:

114 78 96 137 78

103 117 126 86 99

114 72 104 78 86

Estime un intervalo de confianza del 95% para la media de la población.

Respuesta: 16.11034.88 .

108. [MR] Una máquina produce varillas metálicas usadas en el sistema de suspensión de

un automóvil. Se selecciona una muestra aleatoria de 15 varillas, y se mide el diámetro

(mm). Los datos resultantes se muestran a continuación.

8.24 8.23 8.20 8.21 8.20

8.28 8.23 8.26 8.24 8.25

8.19 8.25 8.26 8.23 8.24

Encuentre un intervalo de confianza de dos colas de 95% para el diámetro medio de las

varillas.

Respuesta: 248.8220.8 .



109. [MA] Los ingenieros civiles usan actualmente telémetros de láser manuales de bajo

peso en investigaciones hidrográficas. En las pruebas de una marca de estos aparatos, se

obtienen los datos siguientes del error (en metros) en la localización de un objeto situado a

500 m:

–0.10 –0.02 0.10 –0.03 0.09

0.01 –0.05 0.05 –0.06 0.01

0.03 0.06 0.02 –0.07 0.03

a) Calcule estimaciones puntuales para la media y desviación estándar del error del

telémetro.

b) Suponga que esos errores de medición tienen distribución normal. Encuentre un

intervalo de confianza de 90% sobre la media de error de medición.

c) Un competidor afirma que con este modelo de telémetro en particular se sobreestima la

distancia, en promedio, al menos en 0.50 m. ¿Existen razones para dudar de esta

afirmación, con base en los datos observados? Explique su respuesta.

Respuesta: a) 044.0x , 0332.0s ; b) 065.0024.0 . c) Si. 0.50 m no se ubica en

este intervalo; se ha descartado como posible valor de .

110. Los tiempos de reacción, en milisegundos, de 17 sujetos frente a una matriz de 15

estímulos fueron los siguientes:

448 460 514 488 592

490 507 513 492 534

523 452 464 562 584

507 461

Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye normalmente, determine un intervalo

de confianza para la media a un nivel de confianza del 95%.

Respuesta: 90.52781.482 .

111. En un proceso químico se fabrica cierto polímero. Normalmente se hacen mediciones

de viscosidad después de cada corrida; las siguientes son 15 mediciones de viscosidad por

corrida:

724 713 775 760 745

759 795 756 742 740

761 749 739 747 742



Suponga que la viscosidad está normalmente distribuida.

a) Encuentre un intervalo de confianza bilateral del 90% para la viscosidad promedio del

polímero.

b) Encuentre un intervalo de confianza bilateral del 90% para la viscosidad media del

polímero, considerando 20 . ¿Qué intervalo es mayor? ¿Por qué?

Respuesta: a) 745.758855.740 ; b) 294.758306.741 . El primer intervalo es

mayor, pues tiene menor desviación típica.

112. [DM] El tiempo para reparar un instrumento electrónico es una variable aleatoria

medida en hora que sigue una distribución normal. El tiempo (horas) de reparación de 16 de

estos instrumentos elegidos al azar es el siguiente

159 280 101 212 224 379 179 264

222 362 168 250 149 260 485 170

Construir un intervalo de confianza de 95% para el tiempo de reparación promedio.

Respuesta: 11.29489.188 .

113. [MA] Use los datos siguientes de x, el tiempo que un avión comercial permanece

estacionado junto a la sala de abordaje durante un vuelo directo, para calcular un intervalo

de confianza de 95% de un lado que asigne un límite al tiempo mínimo esperado, en

minutos, para .

25 29 32 37 40 27 30 35 38 41

42 45 45 47 49 50 55 53 60

Respuesta: 10.37 .

114. [MA] Los conductores metálicos o tubos huecos se usan en el cableado eléctrico. En la

prueba de tubos de 1 pulg, se obtienen los datos siguientes respecto del diámetro exterior

(en pulgadas) del tubo:

1.281 1.293 1.287 1.286 1.288 1.293 1.291 1.295 1.292 1.291

1.290 1.296 1.289 1.289 1.286 1.291 1.291 1.288 1.289 1.286

a) Calcule x , 2s y s respecto de esta muestra.

b) Suponga que el muestreo se realiza en una distribución normal. Calcule el intervalo de

confianza de 95% para diámetro externo medio de tubos de este tipo.



c) Los fabricantes de este tipo de tubo afirman que la media de diámetro exterior es de 1.29

pulg. ¿Acaso el intervalo de confianza lleva a poner en tela de juicio tal cifra? Explique su

respuesta.

Respuesta: a) 2896.1x , 00001225.02 s , 0035.0s ; b) 2912.12880.1 ; c) No,

1.29 está contenido en el intervalo de confianza.

115. [MA] Se obtienen los datos siguientes sobre la concentración total de nitrógeno (en

partes por millón, ppm) del agua obtenida de un lago considerado como posible fuente de

agua potable de una localidad:

0.042 0.023 0.049 0.036 0.045 0.025 0.048 0.035

0.048 0.043 0.044 0.055 0.045 0.052 0.049 0.028

0.025 0.039 0.023 0.045 0.038 0.035 0.026 0.059

Calcule un intervalo de confianza de 95% unilateral del valor máximo factible para . La

media del contenido de nitrógeno debes ser inferior a 0.07 ppm para que el lago sea

aceptable como fuente de agua potable. ¿Parece satisfacer el lago dicho criterio?

Respuesta: 0436.0 . El lago satisface el criterio.

116. [MA] El acabado superficial de protección anticorrosiva suele ser el último proceso de

manufactura que tiene lugar antes de la venta o ensamblaje de partes metálicas usadas en

productos como los automóviles o aparatos electrodomésticos. Es frecuente que el proceso

se realice en talleres especializados. Una técnica para la aplicación de plateado de zinc

brillante al acero es sometida a prueba. La variable de estudio es el grosor del

recubrimiento obtenido, en micras. Se obtienen los datos siguientes en 25 franjas de prueba

(basado en cifras de “The Cinderella of Manufacturing”, D. J. C. Hemsley, Professional

Engineering, vol. 5, núm. 7, julio / agosto de 1992, pp. 18 – 20):

6.4 8.3 7.9 7.5 6.9

8.5 7.0 7.4 7.2 6.8

7.1 8.1 7.5 7.7 8.5

7.8 7.3 8.4 8.0 7.8

7.5 7.8 7.6 8.4 9.9

a) Prepare un intervalo de confianza de 95% sobre grosor promedio del recubrimiento

obtenido con el nuevo proceso.



b) ¿Le sorprendería la afirmación de que ese promedio es de 7.7 µm? Explique su respuesta

con base en el intervalo de confianza calculado.

Respuesta: a) 028.8436.7 . b) No sorprendería, 7.7 µm se ubica en este intervalo.






: 1

1,2/

N

nN

n

stX n (26a)

111,2/1,2/

N

nN

n

stX

N

nN

n

stX nn (26b)


11,2/

N

nN

n

st n (27)


12 1,2/

N

nN

n

stL n (28)

Ejemplo 8.13. Intervalo de confianza con factor de corrección por población finita.

Para llevar a cabo un control de calidad sobre el peso que pueden resistir los 300 forjados

(suelos) de una construcción, realizamos 12 pruebas resultando la resistencia media hasta la

rotura de 350 kg/cm2 con desviación típica de 20. Si trabajamos con el nivel de confianza

de 0.9. Entre qué valores oscila la resistencia media de los 300 forjados, si por experiencias

anteriores sabemos que dicha resistencia se distribuye normalmente?

Solución.

Tamaño de la población: 300N


Media muestral: 350X



Desviación estándar muestral: 20s


Puesto que se conoce el tamaño de la población, es necesario verificar si aplica la

utilización del factor de corrección por población finita.

05.004.0300

12

N

n

No es necesario aplicar factor de corrección por población finita.

Intervalo de confianza para , desconocida y muestra pequeña.

: n

stX n 1,2/ (25a)

Nivel de confianza: 90.01 .

Grados de libertad: 111121 n .

De la tabla 2, para dos colas, un nivel confianza 90.01 y 111n grados de

libertad:

7959.11,2/ nt


:12

207959.1350

: 37.10350

:

63.339

37.360

37.36063.339

Con un nivel de confianza de 0.90 se puede afirmar que la resistencia media hasta la rotura

de los 300 forjados está entre 339.63 y 360.37 kg/cm2.

08 01 estimacion de parametros para una sola muestra. media

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