08 05 estimacion de parametros para dos muestras. diferencia de medias

ESTADÍSTICA. PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,

CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y

CIENCIAS DE LA SALUD.

CAPÍTULO 8: ESTIMACIÓN DE

PARÁMETROS E INTERVALOS DE

CONFIANZA.

DIFERENCIA DE MEDIAS

POBLACIONALES (µ1–µ2).

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 8. Estimación de parámetros e intervalos de confianza. Diferencia de medias (µ1-µ2).

Estadística. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 107

8.6.- INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA DIFERENCIA ENTRE MEDIAS,

VARIANZAS CONOCIDAS.

Si 1X y 2X son las medias de muestras aleatorias independientes de tamaño 1n y 2n

tomadas de poblaciones normales con varianzas 2

1 y 2

2 conocidas pero iguales, un

intervalo de confianza de %100)1( para 21 está dado por

21 :

2

2

2

1

2

12/21 )(

nnzXX

(45a)

2

2

2

1

2

12/2121

2

2

2

1

2

12/21 )()(

nnzXX

nnzXX

(45b)

Intervalos de confianza de una cola para la diferencia de medias.

También pueden obtenerse intervalos de confianza de una cola para 21 .

Un intervalo de confianza inferior aproximado del %100)1( es

21

2

2

2

1

2

121 )(

nnzXX (46a)

2

2

2

1

2

12121 )(

nnzXX

(46b)

Un intervalo de confianza superior aproximado del %100)1( es

2

2

2

1

2

12121 )(

nnzXX

(47)

Ejemplo 8.27. Intervalo de confianza para la diferencia de media de dos poblaciones

normales con varianzas conocidas.

Se lleva a cabo un experimento en que se comparan dos tipos de motores, A y B. Se mide el

rendimiento en millas por galón de gasolina. Se realizan 50 experimentos con el motor tipo

A y 75 con el motor tipo B. La gasolina que se utiliza y las demás condiciones se

mantienen constantes. El rendimiento promedio de gasolina para el motor A es de 36 millas

por galón y el promedio para el motor B es 42 millas por galón. Encuentre un intervalo de



confianza de 96% sobre la diferencia promedio real para los motores A y B. Suponga que

las desviaciones estándar poblacionales son 6 y 8 para los motores A y B respectivamente.

Solución.

Tamaño muestra A: 50An

Tamaño de la muestra B: 75Bn

Media muestral de A: 36AX millas/galón

Media muestral de B: 42BX millas/galón

Nivel de confianza: 96.01

Desviación estándar poblacional de A: 6A

Desviación estándar poblacional de B: 8B

Intervalo de confianza para la diferencia de medias.

AB :

A

A

B

BAB

nnzXX

22

2/)(

(45a)

Valor 2/z .

4800.02

96.0

2

1

2

06.205.22/

z

055.22/ z


AB :50

)6(

75

)8(055.2)3642(

22

AB : 57.26

AB :

43.3

57.8

57.843.3 AB



Con un nivel de confianza de 96% se puede afirmar que la diferencia entre las medias

poblacionales de la población B y la población A se encuentra entre 3.43 millas/galón y

8.57 millas/galón. El motor B da más rendimiento promedio que el motor A.

Ejercicios propuestos.

186. [RV] Los puntajes obtenidos en una prueba de rendimiento motor hecha con

estudiantes que participan en deportes universitarios (grupo 1) están distribuidos

normalmente y tienen una varianza poblacional de 100. Los puntajes de los muchachos que

no participan en deportes universitarios (grupo 2) están también distribuidos normalmente

con varianza poblacional de 121. Se selecciona una muestra aleatoria de 10 muchachos del

grupo 1 y de 11 muchachos del grupo 2 con una media de 60 y 50 respectivamente.

Construir un intervalo de confianza del 96% para la diferencia entre las dos medias

poblacionales.

Respuesta: 41.1959.0 21 .

187. [RV] Un antropólogo selecciona una muestra aleatoria de 40 habitantes en una región

A y 50 habitantes en una región B y estima que el índice cefálico promedio de los

habitantes de cada región es de 80 y 75 respectivamente. El antropólogo deseaba construir

un intervalo de confianza del 94% para la diferencia entre las dos medias poblacionales. En

base a experiencias anteriores, suponía que el índice cefálico en ambas regiones estaban

distribuidas normalmente, con una desviación típica poblacional de 3 para la región A y de

2 para la región B.

Respuesta: 04.696.3 BA .

188. [RV] En un experimento de laboratorio a un grupo 1, que consta de 10 animales, fue

sometido a respirar aire contaminado con un producto químico dañino, mientras otros 10

animales de control (grupo 2) respiraban aire puro durante el mismo tiempo. Al final del

experimento los investigadores verificaron que los animales del grupo 1 y grupo 2 tenían

una hemoglobina promedio de 18 y 14 respectivamente. Asuma normalidad para ambos

grupos con varianza poblacional de 25 para el grupo 1 y 20 para el grupo 2. Construir el

intervalo de confianza del 86% para la diferencia entre las medias poblacionales.



Respuesta: 13.787.0 21 .

189. Se llevan a cabo pruebas de resistencia sobre dos diferentes clases de barras de

aluminio utilizadas en la fabricación de alas de acero plano comerciales. De la experiencia

pasada con el proceso de fabricación de barras y del procedimiento de pruebas, se supone

que las desviaciones estándar de la resistencia a la tensión son conocidas. Los datos

aparecen en la siguiente tabla:

Clase de barra Tamaño de la

muestra x

1 10 87.6 1.0

2 12 74.5 1.5

Si 1 y 2 denotan los promedios verdaderos a la resistencia a la tensión para las dos

clases de barras, encontrar un intervalo de confianza del 90% para las diferencias de las

medias.

Respuesta: 46.1674.9 21 .

190. [DM, MR] Un fabricante de calculadoras electrónicas puede usar dos tipos de plástico.

La resistencia a la ruptura de este plástico es importante. Se sabe que psi 0.121 . De

muestras aleatorias de 101 n y 122 n se obtiene 5.1621 y y 0.1552 y . La compañía

no empleará el plástico 1 a menos que su resistencia a la ruptura exceda la del plástico 2 por

lo menos 10 psi. Con base en la información muestral, ¿debería usarse el plástico 1?

Construir un intervalo de confianza de 99% para la verdadera diferencia media en la

resistencia a la ruptura.

Respuesta: 60.840.6 21 .

191. [MR, SW] Se estudia la velocidad de combustión de dos cargas propulsoras sólidas

diferentes usadas en el sistema de expulsión de la tripulación de un avión. Se sabe que

ambas cargas propulsoras sólidas tienen aproximadamente la misma desviación estándar

para la velocidad de combustión; esto es, cm/s 321 . Se prueban dos muestras

aleatorias de 201 n y 202 n ejemplares; las medias muestrales de la velocidad de



combustión son 181 x cm/s y 242 x cm/s. Construya un intervalo de 95% para la

diferencia de las medias 21 . ¿Cuál es el significado práctico de este intervalo?

192. [RV] En una encuesta realizada en una determinada población, 125 mujeres con

sangre del tipo “A” tuvieron un peso promedio de 61 kg y 130 mujeres con sangre del tipo

“B” tuvieron un peso promedio de 56 kg. La desviación típica en los de tipo “A” es de 10

kg y las de tipo “B” es de 7 kg. Construir un intervalo de confianza del 97% para BA .

193. [RV] Los estudiantes que se matricularon en el séptimo grado en una escuela

elemental se clasificaron al azar en dos clases. La enseñanza de la Aritmética en la clase

“A” se hizo con una técnica que usaba computador. La enseñanza de la Aritmética en el

grupo “B” se hizo según los métodos tradicionales. Las pruebas de rendimiento en

Aritmética que se hicieron al final del año dieron los siguientes resultados:

Clase n x s

A 37 85 6

B 32 71 9

Construir un intervalo de confianza del 93% para BA .

194. [RV] Los estudiantes que se han matriculado en un curso de investigación educativa

fueron distribuidos al azar en 2 cursos. El grupo “A” utilizó numerosas técnicas y

actividades para enriquecer el curso. El grupo “B” estudió mediante el método tradicional

de conferencias. Los puntajes obtenidos en una prueba de rendimiento al terminar el curso

dieron los siguientes resultados:

Grupo n x s

A 42 80 8

B 35 72 10

Construir el intervalo de confianza del 90% para BA . ¿Qué suposición tiene que

hacer?

195. [RV] Se hizo un estudio sobre las diferencias en la atención en dos grupos de niños

pequeños. Mientras cada niño, perteneciente a cada una de las muestras aleatorias simples

independientes de los dos grupos, miraba un programa de televisión de 30 minutos un



equipo de investigación registraba el número de minutos de fijación de la vista. El equipo

obtuvo los siguientes datos:

Grupo n x s

A 46 23.5 min 5 min

B 39 18.1 min 3 min

Construir el intervalo de confianza del 79% para BA .

196. [RV] Las siguientes son las medias y desviaciones típicas de los puntajes de C.I verbal

obtenidos en dos muestras aleatorias simples independientes sacadas de dos grupos de

niños en una escuela elemental:

Grupo n x s

I 38 100 12

II 32 90 14

Supóngase que las poblaciones de los puntajes C.I están distribuidas normalmente con

varianzas iguales. Construir el intervalo de confianza del 93% entre III

197. [MR, SW] Se usan dos máquinas para llenar botellas con detergente para lavar trastes.

Se sabe que las desviaciones estándar del volumen de llenado son 10.01 onzas líquidas

y 15.02 onzas líquidas, respectivamente, para las dos máquinas. Se seleccionan dos

muestras aleatorias de tamaños 121 n botellas de la máquina 1 y 102 n botellas de la

máquina 2, y los volúmenes medios de llenado muestrales son 87.301 x onzas líquidas y

68.302 x onzas líquidas. Suponga una distribución normal.

a) Construya un intervalo de confianza de dos colas de 90% para la diferencia en las medias

del volumen de llenado. Interprete este intervalo.

b) Construya un intervalo de confianza de dos colas de 95% para la diferencia en las medias

del volumen de llenado. Compare la anchura de este intervalo con la del intervalo del inciso

a) y comente.

c) Construya un intervalo de confianza superior de 95% para la diferencia en las medias del

volumen de llenado. Interprete este intervalo.

Respuesta: a) 3330.00470.0 21 ; b) 2988.00812.0 21 . A menor nivel de

confianza, más pequeño es el intervalo de confianza; c) 2813.021 .



198. [SW] Construya un intervalo de confianza de 94% de la diferencia real entre las

duraciones en promedio de dos tipos de focos eléctricos, dado que una muestra tomada al

azar de 40 focos de un tipo duró en promedio 418 horas de uso continuo y 50 focos de otra

clase duraron en promedio 402 horas. Las desviaciones estándar de las poblaciones, según

se sabe, son 261 y 222 .

Respuesta: 7.253.6 21 .

Ejemplo 8.28. Intervalo de confianza para la diferencia de medias a partir de datos

muestrales.

Durante un experimento se compararon dos muestras de glucosa por polarimetría,

obteniéndose los poderes rotatorios que siguen a continuación:

Muestra 1 146.3 140.7 140.5 143.0 142.0 141.5 141.6 142.2

Muestra 2 146.6 143.0 145.3 149.5 144.1 149.4 144.0 143.9

Hallar un intervalo de confianza del 95% para la diferencia de medias poblacionales si se

conocen las varianzas 2.32

1 y 9.62

1 .

Solución.

Varianzas poblacionales.

Población 1: 2.32

1

Población 2: 9.62

1

Tamaño de la muestra:

Muestra 1: 81 n

Muestra 2: 82 n

Nivel de confianza: 95.01


21 : 2

2

2

1

2

12/21 )(

nnzXX

(45a)

Media muestral.



n

X

X

n

i

i 1

Muestra 1: 225.1421 X

Muestra 2: 725.1452 X

Valor 2/z .

4750.02

95.0

2

1

96.12/ z .


21 : 8

9.6

8

2.396.1)725.145225.142(

21 : 2023.25.3

21 :

7023.5

2977.1

2977.17023.5 21

Con un nivel de confianza de 95% se puede afirmar que la diferencia en las medias de las

poblaciones 1 y 2 se encuentra entre –5.7023 y –1.2977.


199. [DM, MR] Se utilizan dos máquinas para llenar botellas de plástico con un volumen

neto de 16.0 onzas. Puede suponerse que el proceso de llenado es normal, con desviaciones

estándar de 015.01 y 018.02 . El departamento de ingeniería de calidad sospecha

que ambas máquinas llenan el mismo volumen neto, sin importar si este volumen es 16.0

onzas o no. Se realiza un experimento tomando una muestra aleatoria de la producción de

cada máquina.

Máquina 1 16.03 16.04 16.05 16.05 16.02 16.01 15.96 15.98 16.02 15.99

Máquina 2 16.02 15.97 15.96 16.01 15.99 16.03 16.04 16.02 16.01 16.00



Encontrar un intervalo de confianza de 95% para la diferencia en el volumen de llenado

promedio de las dos máquinas.

200. [MR] Un polímero se fabrica en un proceso químico por lotes. Se hacen mediciones

regulares de la viscosidad de cada lote, y una larga experiencia con el proceso indica que la

variabilidad del proceso es bastante estable con 20 . Se presenta a continuación la

medición de la viscosidad de 15 lotes:

724 718 776 760 745

759 795 756 742 740

761 749 739 747 742

Se hace una modificación en el proceso, la cual incluye el cambio del tipo de catalizador

usado en el proceso. Después de la modificación del proceso, se hace la medición de la

viscosidad en ocho lotes:

735 775 729 755 783 760 738 780

Suponga que la variabilidad del proceso no es afectada por el cambio del catalizador.

Encuentre un intervalo de confianza de 90% para la diferencia en la viscosidad media de

los lotes que resulta de la modificación del proceso.

Ejemplo 8.29. Prueba de una aseveración respecto de una diferencia de medias.

[MR] Se piensa que la concentración del ingrediente activo de un detergente líquido para

ropa es afectada por el tipo de catalizador que se utiliza en el proceso. Se sabe que la

desviación estándar de la concentración activa es 3 g/L, independientemente del tipo de

catalizador. Se hacen 10 observaciones de la concentración con cada catalizador, y los

datos se presentan a continuación:

Catalizador 1 57.9 66.2 65.4 65.4 65.2 62.6 67.6 63.7 67.2 71.0

Catalizador 2 66.4 71.7 70.3 69.3 64.8 69.6 68.6 69.4 65.3 68.8

a) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la diferencia en las medias de la

concentración activa de los dos catalizadores.

b) ¿Hay evidencia que indique que las medias de la concentración activa dependen de la

elección del catalizador? Apóyese en los resultados del inciso a) para responder.

Solución.



Desviación estándar poblacional: 321

Tamaño de la muestra.

Muestra 1: 101 n

Muestra 2: 102 n


21 : 2

2

2

1

2

12/21 )(

nnzXX

(45a)

Media muestral.

Muestra 1: 22.651 X

Muestra 2: 42.682 X

Valor 2/z .

4750.02

95.0

2

1

96.12/ z .


21 : 10

3

10

396.1)42.6822.65(

21 : 5182.12.3

21 :

7182.4

6818.1

6818.17182.4 21

b) El intervalo de confianza obtenido en a) no incluye a cero, lo cual implica que la

concentración del ingrediente activo es significativamente menor con el catalizador 1 que

con el catalizador 2. De hecho, puede afirmarse que se tiene una confianza de 95% de que

la concentración del ingrediente activo con el catalizador 1 es menor a la del catalizador 2

por una cantidad entre 1.6818 y 4.7182 g/L.




201. [MR] Se investiga la resistencia a la ruptura del hilado de dos fabricantes. Se sabe que

por experiencia con los procesos de los fabricantes que psi 51 y psi 42 . Una

muestra aleatoria de 20 fibras de prueba de cada fabricante da como resultado psi 881 x y

psi 912 x , respectivamente.

a) Usando un intervalo de confianza de 90% para la diferencia de la resistencia a la ruptura

media, comente acerca de si hay o no evidencia a favor de la afirmación de que el

fabricante 2 produce hilado con una resistencia a la ruptura media más alta.

b) Usando un intervalo de confianza de 98% para la diferencia de la resistencia a la ruptura

media, comente acerca de si hay o no evidencia a favor de la afirmación de que el

fabricante 2 produce hilado con una resistencia a la ruptura media más alta.

c) Comente por qué los resultados de los incisos a) y b) son diferentes o iguales. ¿Cuál de

los dos elegiría el lector para tomar una decisión y por que?

Determinación del tamaño de las muestras requerido para la estimación de la

diferencia de proporción de dos poblaciones.

Para una distribución muestral de diferencia de medias el error está dado por

2

2

2

1

2

12/

nnz

(48)

En esta ecuación se pueden presentar dos casos:

- Los tamaños de muestra son iguales ( nnn 21 ).

- Los tamaños de muestra son diferentes ( 21 nkn ).

Para el primer caso se eleva al cuadrado la ecuación (48) y se despeja n.

2

2

2

2

1

2

2/ )(

zn (49)

Para el segundo caso se pondrá una 1n en función 2n : 21 nkn y se despeja 2n :

2

2

2

2

1

2

2/

2

)(

k

kzn

(50)



Ejemplo 8.30. Cálculo del tamaño muestral para estimar la diferencia de medias de

dos poblaciones con una determinada precisión.

Un director de personal quiere comparar la efectividad de dos métodos de entrenamiento

para trabajadores industriales a fin de efectuar cierta operación de montaje. Se divide un

número de operarios en dos grupos iguales: el primero recibe el método de entrenamiento

1, y el segundo, el método 2. Cada uno realizará la operación de montaje y se registrará el

tiempo de trabajo. Se espera que las mediciones para ambos grupos tengan una desviación

estándar aproximadamente de 2 minutos. Si se desea que la estimación de la diferencia en

tiempo medio de montaje sea correcta hasta por un minuto, con una probabilidad igual a

0.95, ¿cuántos trabajadores se tienen que incluir en cada grupo de entrenamiento?

Solución.

21 nn

21 min

22 min

1 min

95.01


2

2

2

2

1

2

2/ )(

zn (49)

Valor 2/z .

4750.02

95.0

2

1

96.12/ z


2

222

)1(

])2()2[()96.1( n

73.30n



Se requieren muestras independientes de al menos 31 trabajadores para cada grupo de

operarios.


202. [MR] Dos diferentes formulaciones de un combustible oxigenado para motores se

prueban para estudiar sus índice de octano en carretera. La varianza del índice de octano en

carretera para la formulación 1 es 5.12

1 , y para la formulación 2 es 2.12

2 . Se

prueban dos muestras aleatorias de tamaño 151 n y 202 n , y las medias del índice de

octano en carretera observadas son 6.891 x y 5.922 x . Suponga una distribución

normal.

a) Construya un intervalo de confianza de dos colas de 95% para la diferencia de las medias

del índice de octano en carretera.

b) ¿Qué tamaño de la muestra se necesitaría en cada población si se quiere tener una

confianza de 95% de que el error al estimar la diferencia en las medias del índice de octano

en carretera sea menor que 1?

8.7.- ESTIMACIÓN DE LA DIFERENCIA EN MEDIAS DE DOS

DISTRIBUCIONES NORMALES. VARIANZAS DESCONOCIDAS.

Muestras grandes.



1 y 2

2 desconocidas pero iguales, un


21 :

2

2

2

1

2

12/21 )(

n

s

n

szXX (52a)

2

2

2

1

2

12/2121

2

2

2

1

2

12/21 )()(

n

s

n

szXX

n

s

n

szXX (52b)

Ejemplo 8.31. Muestras grandes.

Se compara la resistencia de dos tipos de rosca de tornillo. 50 piezas con cada tipo de rosca

se prueban en condiciones similares. Las piezas de marca A tienen una resistencia media a

la tensión de 78.3 kg, con una desviación estándar de 5.6 kg, en tanto que las de la marca B



tienen una resistencia media a la tensión de 87.2 kg, con una desviación estándar de 6.3 kg.

Determine un intervalo de confianza de 95% para la diferencia de las medias de población.

Solución.

Marca n x s

A 50 78.3 5.6

B 50 87.2 6.3

Solución.

Se desconocen las varianzas poblacionales, sin embargo, se tienen muestras grandes, pues

30An y 30Bn . Se asume que las varianzas son iguales ( 22

BA )1.


21 : 2

2

2

1

2

12/21 )(

n

s

n

szXX (52a)

Valor 2/z .

4750.02

95.0

2

1

96.12/ z

Intervalo de confianza.

21 : 50

)3.6(

50

)6.5(96.1)2.873.78(

22

21 : 34.29.8

21 :

24.11

56.6

56.624.11 21

Se tiene un 95% de confianza de que la diferencia en las medias poblacionales se encuentra

entre –11.24 kg y –6.56 kg.

1 En el capítulo 9 se mostrará cómo verificar esta condición.




203. [UA] Se realizó un estudio para determinar si cierto tratamiento para metales tenía

algún efecto en la cantidad de metal eliminado en una operación de decapado. Una muestra

aleatoria de 100 piezas fue puesta en un baño durante 24 horas sin el tratamiento, lo que

produje una eliminación media de metal de 12.2 mm, con una desviación estándar de

muestra de 1.1 mm. Una segunda muestra de 200 piezas se sometió al tratamiento y luego

fue puesta en el baño durante 24 horas, resultando una eliminación de 9.1 mm, con una

desviación estándar de 0.9 mm. Obtenga un intervalo de confianza de 98% para estimar la

diferencia entre las medias poblacionales. Reduciría el tratamiento la cantidad media de

metal eliminado?

204. [JF] De una población de trabajadores fumadores y no fumadores se extrae una

muestra aleatoria de 96 fumadores y otra muestra aleatoria de 206 trabajadores que nunca

han fumado. La primera muestra arrojó un número medio de horas de ausencia laboral al

mes de 2.15 y una desviación típica de 2.09 horas al mes, y la segunda un número medio de

horas de 1.69 y una desviación típica de 1.91 horas al mes. Calcular un intervalo de

confianza para la diferencia entre las dos medias poblacionales al 99% de confianza.

Respuesta: 1076.11876.0 21 .

Muestras pequeñas. Varianzas iguales.



1 y 2

2 desconocidas pero iguales, un


21 :

21

2

2;2/21

11)(

21 nnstXX pnn

(53a)

21

2

2;2/2121

21

2

2;2/21

11)(

11)(

2121 nnstXX

nnstXX pnnpnn

(53b)

donde 2

ps es la varianza combinada



2

)()1()()1(

21

2

22

2

112

nn

snsnsp (54)

Muestras pequeñas. Varianzas diferentes.



1 y 2

2 desconocidas pero diferentes, un


21 : 2

2

2

1

2

1.;2/21 )(

n

s

n

stXX lg (55a)

2

2

2

1

2

1.;2/2121

2

2

2

1

2

1.;2/21 )()(

n

s

n

stXX

n

s

n

stXX lglg (55b)

Donde los grados de libertad están dados por

)1()/()1()/(

)//(.

2

2

2

2

21

2

1

2

1

2

2

2

21

2

1

nnsnns

nsnslg (56)

Ejemplo 8.32. Muestras pequeñas.

[LM] Los siguientes datos se obtuvieron en un experimento diseñado para verificar si existe

una diferencia sistemática en los pesos (en gramos) obtenidos con dos escalas distintas.

Espécimen de roca Escala I Escala II

1 12.13 12.17

2 17.56 17.61

3 9.33 9.35

4 11.40 11.42

5 28.62 28.61

6 10.25 10.27

7 23.37 23.42

8 16.27 16.26

9 12.40 12.45

10 24.78 24.75

Obtenga el intervalo de confianza del 99% para la verdadera diferencia entre los pesos

medios entre las dos escalas. Interprete los resultados. Suponga que 22

III y que los

datos se extraen de una distribución normal.



Solución.

Los datos de la escala I y escala II se designarán con los subíndices 1 y 2, respectivamente.


21 :

21

2

2;2/21

11)(

21 nnstXX pnn

(53a)

Muestra 1. Muestra 2.

101 n 102 n

6110.161 x 6310.162 x

7994.61 s 7873.62 s

01.0

Varianza combinada.

2

)()1()()1(

21

2

22

2

112

nn

snsnsp

21010

)7873.6()110()7974.6()110( 222

ps

1502.462 ps

De la tabla 4, para dos colas, con un nivel de confianza 99.01 y 18121 nn

grados de libertad:

8784.21,2/ 21nnt


21 :

10

1

10

11502.468784.2)6310.166110.16(

21 : 7449.802.0

21 :

7649.8

7249.8

7249.87649.8 21



A un nivel de significancia de 0.01, podemos afirmar que la diferencia en las medias de las

escalas I y II se encuentra entre –8.7648 y 8.7249.


205. [RW] Una empresa de taxis trata de decidir si comprará neumáticos de la marca A o

de la marca B para su flotilla de taxis. Para estimar la diferencia entre las dos marcas realiza

un experimento utilizando 12 neumáticos de cada marca, los cuales utiliza hasta que se

desgastan. Los resultados son:

Marca A: 363001 x kilómetros.

50001 s kilómetros.

Marca B: 381002 x kilómetros.

61002 s kilómetros.

Calcule un intervalo de confianza de 95% para, BA , suponiendo que las poblaciones

distribuyen de forma aproximadamente normal. Suponer que las varianzas poblacionales

son iguales.

Respuesta: 60.266260.6262 BA .

206. [RV] Las siguientes son las medias y las desviaciones típicas de los puntajes de C.I no

verbal obtenidos en dos muestras aleatorias simples independientes sacadas de dos grupos

de niños de una escuela elemental.

Grupo N x S

I 25 110 10

II 20 95 15

Suponer que las poblaciones de los puntajes de C.I están distribuídos aproximadamente en

forma normal con varianzas iguales. Construir un intervalo de confianza del 95% para la

diferencias entre III .

207. [RV] En una fábrica de clavijas, se utilizan dos máquinas. Una muestra aleatoria de 11

clavijas fabricadas en la máquina A y una muestra de 21 clavijas hechas en la máquina B,

dieron los siguientes resultados en relación con la longitud de las clavijas producidas

pies 01.5Ax pies 02.4Bx



018.02 As 020.02 Bs

Se supone que las poblaciones se distribuyen en forma aproximadamente normal y que las

varianzas poblacionales son iguales. Constrúyase el intervalo de confianza del 80% para

BA .

208. Se registraron los siguientes datos, en minutos, que tardan algunos hombres en

resolver un problema, los cuales fueron tomados aleatoriamente:

Hombres Mujeres

141 n 252 n

171 x 192 x

5.12

1 s 8.12

2 s

Calcular el intervalo de confianza de 99% para la verdadera diferencia de medias. Suponga

que las varianzas de la población son iguales y desconocidas.

209. Queremos estudiar la influencia que puede tener el tabaco con el peso de los niños al

nacer. Para ello se consideran dos grupos de mujeres embarazadas (unas que fuman un

paquete al día y otras que no) y se obtienen los siguientes datos sobre el peso X de sus

hijos:

Madres fumadoras: mujeres 351 n , kg 6.31 x , kg 5.01 s .

Madres no fumadoras: mujeres 272 n , kg 2.32 x , kg 8.02 s .

En ambos grupos, los pesos de los recién nacidos provienen de sendas distribuciones

normales de medias desconocidas, y con varianzas que, si bien son desconocidas, podemos

suponer que son las mismas. Calcular en cuánto influye el que la madre sea fumadora en el

peso de su hijo.

210. [MA] Se realizan pruebas de un nuevo lector láser manual para uso en inventarios y el

lector utilizado actualmente, con el fin de decidir si se adquiere el primero. Se obtienen los

datos siguientes sobre el número de códigos de barra de 7 pulg que pueden leerse por

segundo:

Nuevo Antiguo

611 n 612 n

401 x 292 x



9.242

1 s 7.222

2 s

a) Determine un intervalo de confianza de 90% para 21 .

b) ¿Acaso el nuevo lector láser parece leer más códigos de barras por segundo, en

promedio?

211. [MA] Las pruebas ambientales están diseñadas para poner a prueba un componente

bajo condiciones que simulan estrechamente el entorno donde se usará. Un componente

eléctrico se utilizará en dos sitios distintos de Alaska. Antes de emprender las pruebas

ambientales, es necesario determinar la composición del suelo de esas localidades. Se

obtienen los datos que siguen sobre el porcentaje de óxido de silicio por peso del suelo:

Anchorage Kodiak

101 n 162 n

94.641 x 06.572 x

92

1 s 29.72

2 s

a) Encuentre un intervalo de confianza de 99% para 21 .

b) Con base en el intervalo del inciso a), ¿parece haber una diferencia entre 1 y 2 ?

Explique su respuesta.

212. [MA] Desde tiempo atrás, se han usado cadenas en los hornos de las plantas de

cemento para ayudar a disminuir el consumo de calor. Se emprende un estudio para

determinar si las cadenas tienen el mismo efecto cuando se usan materias primas más

baratas, con alto contenido de azufre y cloro. El propósito de la investigación es estimar la

diferencia en el consumo de calor específico en los hornos con y sin el uso de cadenas. Se

usan muestras independientes de tamaños 14 y 16, respectivamente. Los datos resultantes

son los que siguen:

Sin cadenas Con cadenas

161 n 142 n

kJ/kg 61501 x kJ/kg 52502 x

kJ/kg 801 s kJ/kg 752 s

Determine un intervalo de confianza de 95% para 21 . ¿Acaso parece que las cadenas

son efectivas? Explique su respuesta.



213. [MA] Un fabricante de componentes de direcciones hidráulicas compra sellos

hidráulicos a dos proveedores. Se seleccionan muestras de los sellos de esos dos

proveedores y cada una se prueba para determinar la presión que soporta. Los datos

resultantes son los que siguen:

Proveedor I Proveedor II

101 n 102 n 2

1 lb/pulg 1350x 2

2 lb/pulg 1338x

1002

1 s 292

2 s

a) Construya un intervalo de confianza de 95% para 21 .

b) ¿Hay evidencia basada en el intervalo de confianza de que los sellos del proveedor I

soportan en promedio presiones más altas que los del proveedor II? Explique su respuesta.

214. [MA] El empaque aséptico de jugos se realiza con un método que incluye el

calentamiento rápido seguido de enfriamiento igualmente rápido hasta la temperatura

ambiental, en un recipiente al vacío. Dicho empaque permite almacenar los jugos sin

refrigerarlos. Se comparan dos máquinas usadas para el llenado de los empaques asépticos.

Se obtienen los datos siguientes sobre el número de recipientes llenados por minuto:

Máquina I Máquina II

251 n 252 n

5.1151 x 7.1122 x

2.252

1 s 6.72

2 s

a) Calcule un intervalo de confianza de 90% para 21 .

b) ¿Existe evidencia basada en el intervalo de confianza, de que la máquina I es más rápida

en promedio que la máquina II? Explique su respuesta.

215. [MR] Se investiga el diámetro de las varillas de acero fabricadas en dos máquinas de

extrusión diferentes. Se seleccionan dos muestras aleatorias de tamaños 151 n y 172 n ,

y las medias muestrales y las varianzas muestrales son 73.81 x , 35.02

1 s , 68.82 x y

40.02

2 s , respectivamente. Suponga que 2

2

2

1 y que los datos se extraen de una

distribución normal. Construya un intervalo de confianza de 95% para la diferencia de las

medias del diámetro de las varillas. Interprete este intervalo.



216. [MR] En un artículo de Fire Technology se investigaron dos diferentes agentes de

expansión de espuma que pueden usarse en las boquillas del equipo aspersor para combatir

incendios. Una muestra aleatoria de cinco observaciones con una espuma acuosa que forma

una película (AFFF) tuvo una media muestral de 4.7 y una desviación estándar de 0.6. Una

muestra aleatoria de 5 observaciones con concentrado del tipo alcohol (ATC) tuvieron una

media muestral de 6.9 y una desviación estándar de 0.8. Encuentre un intervalo de

confianza de 95% para la diferencia de la expansión media de la espuma de estos dos

agentes.

217. [MR] Pueden usarse dos catalizadores en un proceso químico por lotes. Se prepararon

12 lotes usando el catalizador 1, obteniéndose un rendimiento promedio de 86 y una

desviación estándar muestral de 3. Se prepararon 15 lotes usando el catalizador 2,

obteniéndose un rendimiento promedio de 89 con una desviación estándar de 2. Suponga

que las mediciones del rendimiento tienen una distribución aproximadamente normal con la

misma desviación estándar. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la diferencias

en los rendimientos promedio.

218. [MR] Una película fotoconductora se fabrica con un espesor nominal de 25

milipulgadas. El ingeniero del producto quiere incrementar la rapidez media de la película,

y piensa que puede conseguirlo reduciendo el espesor de la película a 20 milipulgadas. Se

fabrican 8 muestras con cada espesor de la película en un proceso de producción piloto, y

se mide la rapidez de la película (en 2J/pulg ). Para la película de 25 milipulgadas, los

datos muestrales dieron como resultado 15.11 x y 11.01 s , mientras que para la película

de 20 milipulgadas los datos dieron como resultado 06.12 x y 09.02 s . Obsérvese que

un incremento de la rapidez de la película reduciría el valor de la observación en 2J/pulg .

Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la diferencia de las dos medias.

219. [JF] Para efectuar la estimación por intervalos de la diferencia de medias de dos

poblaciones X1 y X2 normales e independientes, se tomaron de ambas poblaciones dos

muestras aleatorias de tamaños 91 n y 42 n , respectivamente, las cuales arrojaron

medias de 7.2 y 7.3 y desviaciones típicas de 0.1 y 0.12, respectivamente. obtener un



intervalo de confianza al nivel de significación del 1% suponiendo que las desviaciones

típicas de X1 y X2 son:

a) 0.4 y 0.36, respectivamente.

b) desconocidas pero iguales.

Respuesta: a) 4770.06770.0 21 ; b) 0975.02975.0 21 .

220. [MR] Un artículo del Journal of Materials Engineering (Vol. II, Nº 4, pp. 275 – 282)

reportó los resultados de un experimento para determinar los mecanismos de falla de los

recubrimientos de protección térmica por rocío de plasma. El esfuerzo de falla de un

recubrimiento particular (NiCrAlZr) bajo dos condiciones de prueba diferentes es el

siguiente:

Esfuerzo de falla (×106 Pa) después de nueve ciclos de 1 hr:

19.8 18.5 17.6 16.7 16.7 14.8 15.4 14.1 13.6

Esfuerzo de falla (×106 Pa) después de seis ciclos de 1 hr:

14.9 12.7 11.9 11.4 10.1 7.9

a) ¿Qué supuestos se necesitan para construir intervalos de confianza para la diferencia del

esfuerzo de falla medio bajo dos condiciones de prueba diferentes?

b) Encuentre un intervalo de confianza de 99% para la diferencia del esfuerzo de falla

medio bajo las dos condiciones de prueba diferentes.

c) Utilizando el intervalo de confianza construido en el inciso b), ¿la evidencia apoya la

afirmación de que las primeras condiciones de prueba producen resultados más altos, en

promedio, que las segundas? Explique su respuesta.

d) Construya un intervalo de confianza de 95% para el cociente de las varianzas, 21 / del

esfuerzo para la falla bajo las dos condiciones de prueba diferentes.

e) Use la respuesta del inciso d) para determinar si hay una diferencia significativa en las

varianzas de las dos condiciones de prueba diferentes. Explique su respuesta.

221. Se toman dos muestras aleatorias de tamaños 151 n y 102 n de dos termocuplas

diferentes. Las medias y las varianzas muestrales son 3001 x , 162

1 s , 3052 x y

492

2 s . Suponga que 2

2

2

1 . Construya un intervalo de confianza bilateral del 95% para



21 . ¿Qué conclusión puede obtenerse sobre las lecturas de temperatura promedio de

las dos termocuplas?

222. [DM, MR] En la fabricación de semiconductores es común el uso del grabado químico

húmedo para eliminar el silicio de la parte posterior de las obleas antes de la metalización.

La rapidez del grabado es una característica importante de este proceso. Se están evaluando

dos soluciones de grabado diferentes. Se grabaron ocho obleas seleccionadas al azar en

cada solución, y las cifras de la rapidez del grabado observada (en milésimas de

pulgada/min) se muestran abajo

Solución 1 9.9 9.4 10.0 10.3 10.6 10.3 9.3 9.8

Solución 2 10.2 10.0 10.7 10.5 10.6 10.2 10.4 10.3

Encontrar un intervalo de confianza de 95% para la diferencia en la rapidez de grabado

promedio.

223. [MA] Se realiza un estudio de la redacción de informes hechos por ingenieros. Se

sugiere una escala que mide la legibilidad de sus escritos. Esa escala, llamada “índice de

confusión”, se elabora de modo que las calificaciones bajas indican legibilidad alta. Se

obtienen los datos siguientes acerca de artículos seleccionados aleatoriamente de revistas de

ingeniería y de informes inéditos redactados en 1979:

Revistas Informes inéditos

1.79 1.75 1.67 1.65 2.39 2.51 2.86 2.14

1.87 1.74 1.94 1.62 2.56 2.29 2.49 2.36

2.06 1.33 1.96 1.69 2.58 2.33 2.62 2.41

1.70 1.94

a) Determine un intervalo de confianza de 90% para 21 .

b) ¿Parece haber diferencia entre 1 y 2 ? Explique su respuesta con base en el intervalo

de confianza del inciso a).

224. [MA] Se obtienen los datos siguientes de la producción de energía eléctrica, en

kilowatts, de los nuevos motores a diesel para automóviles compactos:

Inyección directa de combustible Inyección indirecta de combustible

38.5 38.2 39.2 38.5 38.9 38.3 38.4 39.0

38.9 38.0 39.1 39.1 37.7 37.2 38.4 38.2

37.4 37.6 39.0 38.0 37.0 37.9 38.2 37.5



39.0 37.7 38.1 37.4 39.7

Prepare un intervalo de confianza de 955 para 21 . Acaso el intervalo de confianza

parece indicar que existe una diferencia en la media de producción de energía de esos dos

motores? Explique su respuesta.

225. [MA] Se estudian dos medicamentos, la amantadina (A) y la rimantidina (R), para su

administración contra el virus de la influenza. Se administra una sola dosis de 100 mg por

vía oral a adultos por demás saludables. La variable de estudio es máxT , el tiempo en

minutos necesario para que se alcancen las concentraciones máximas en el plasma

sanguíneo. Se obtienen los datos siguientes (basado en información de “Drug Therapy”,

Gordon Douglas, Jr., New England Journal of Medicine, vol. 322 de febrero de 1990, pp.

443 – 449):

)(ATmáx )(RTmáx

105 123 124 221 227 280

126 108 134 261 264 238

120 112 130 250 236 240

119 132 130 230 246 283

133 136 142 253 273 516

145 156 170 256 271

200

a) Determine un intervalo de confianza de 95% para la diferencia en el tiempo promedio

necesario para llegar a las concentraciones máximas en el plasma sanguíneo de los dos

medicamentos.

b) Con base en el intervalo de confianza del inciso a), puede concluirse que existe una

diferencia entre las medias? Explique su respuesta.

226. La empresa “La Azulita” está preocupada por las crecientes sumas en gastos de

representación ocasionada por dos de sus ejecutivos. En tal sentido se toma una muestra

aleatoria de los montos referentes a 20 días y cuya información se presenta a continuación:

Ejecutivo A Ejecutivo B

Número de

días

Gastos de

representación

Número de

días

Gastos de

representación

3 20 2 15

2 21 1 18



3 25 2 21

1 28 3 24

1 30 5 29

4 35 4 32

3 40 2 35

4 45 1 38

20 días 20 días

La empresa está interesada en que se establezca un intervalo de 98% de confianza que le

permita estimar la diferencia entre el promedio de gastos ocasionados por el ejecutivo A y

el promedio de gastos ocasionados por el ejecutivo B. Suponga que las poblaciones están

normalmente distribuidas.

227. [MA] El tiempo en segundos necesario para conectarse con Internet mediante un

servicio en el que debe marcarse un número recibe influencia de diversos factores, como el

número de líneas telefónicas disponibles en el área de llamadas locales, hora del día, día de

la semana, número de usuarios en el área, y así sucesivamente. Se obtienen los datos

siguientes en un área dada a dos horas distintas del día, siempre en el mismo día de la

semana:

Mañana (9:00 a 11:00 a.m) Noche (10:00 p.m a la medianoche)

10 20 31 42 44 10 11 21 31 15

44 15 33 35 47 40 27 20 32 38

47 45 22 33 21 36 22 41 39 24

51 53 52 37 28 33 25 35 36 42

35 56 63 60 48 43 52 52

49 55 57 62 61

a) Calcule un intervalo de confianza de 99% para la diferencia en el tiempo promedio

necesario para el acceso a Internet durante esos dos periodos. ¿En cuál de los dos periodos

parece ser el acceso promedio más rápido?

b) ¿Por qué es tan amplio el intervalo obtenido? Podría usar los mismos datos para obtener

un intervalo más angosto?

08 05 estimacion de parametros para dos muestras. diferencia de medias

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