08 metodo de newton horner

MÉTODOS NUMÉRICOS

CAPÍTULO 1: SOLUCIÓN DE

ECUACIONES DE UNA VARIABLE.

MÉTODO DE NEWTON - HORNER.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 1. Solución de ecuaciones de una variable. Raíces de polinomios. Método de Newton-Horner.

Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 134

1.13.- RAICES DE POLINOMIOS.

Una función de la forma 01

1

1 ...)( axaxaxaxP n

n

n

n

donde las ia , llamadas los coeficientes de P son constantes y 0na , se llama un

polinomio de grado n. La función cero, 0)( xP para todos los valores de x, se considera

un polinomio pero no se le asigna ningún grado.

Teorema.

(Teorema fundamental del álgebra). Si P es un polinomio de grado 1n , entonces

0)( xP tiene cuando menos una raíz (posiblemente compleja).

Corolario.

Si 01

1

1 ...)( axaxaxaxP n

n

n

n

es un polinomio de grado 1n , entonces existen

constantes únicas 1x ,

2x ,…, kx , posiblemente complejas, y enteros positivos, 1m ,

2m ,…,

km tales que nmk

i

i 1

y km

k

mm

n xxxxxxaxP )...()()()( 21

21 .

El corolario afirma que los ceros de un polinomio son únicos y que si cada cero ix

es contado tantas veces como su multiplicidad im , entonces un polinomio de grado n tiene

exactamente n ceros.

El siguiente corolario del teorema fundamental del álgebra será usado

frecuentemente en esta sección y en capítulos posteriores.

Corolario.

Sean P y Q polinomios a lo más de grado n. Si 1x , 2x ,…, kx , nk , son números distintos

con )()( ii xQxP para ki ...,,2,1 , entonces )()( xQxP para todo valor de x.

Para usar el procedimiento de Newton – Raphson para localizar aproximadamente

los ceros de un polinomio P, es necesario evaluar a P y a su derivada en valores

específicos.

1.14.- MÉTODO DE HORNER.

Sea 01

1

1)( axaxaxaxP n

n

n

n

y nab 0



Si 01xbab kkk para 0,1,,2,1 nnk .

entonces )( 00 xPb .

Además, si 02

2

1

1)( bxbxbxbxQ n

n

n

n

entonces 00 )()()( bxQxxxP

Cuando en el método de Horner, se hacen los cálculos a mano, se construye primero

una tabla, que sugiere el nombre de “división sintética” con frecuencia aplicado a esta

técnica.

Ejemplo 1.22.

Evaluar 4332)( 24 xxxxP en 20 x usando el método de Horner.

Solución.

Para la aplicación del método de Horner, el polinomio debe estar ordenado y completado.

Observe que el término en 3x no aparece en el polinomio. En este caso, se completa con

30 x y por lo tanto 43302)( 234 xxxxxP . La tabla aparecería como:

2 0 -3 3 -4

-2 -4 8 -10 14

2 -4 5 -7 10

De esta manera 10)2( P , y podemos escribir 10)7542()2()( 23 xxxxxP .

Una ventaja adicional al usar el procedimiento de Horner (o división sintética) es

que, como

00 )()()( bxQxxxP

donde 12

2

1

1 ...)( bxbxbxbxQ n

n

n

n

,

diferenciando con respecto a x da

)()()()( 0 xQxxxQxP y

)()( 00 xQxP

Entonces, cuando se use el método de Newton – Raphson para encontrar un cero

aproximado de un polinomio P, ambos, P y P´ pueden ser evaluados de esta manera.

Ejemplo 1.23.



Encontrar aproximaciones exactas a 10–4

de todos los ceros reales del polinomio

4332)( 24 xxxxP

usando el método de Newton y 20 x como una

aproximación inicial.

Solución.

Se aplica el método de Newton – Raphson.

)(

)(

1

1

1

i

iii

xP

xPxx

Tanto )( 1ixP como )( 1

ixP se evalúan aplicando la división sintética.

Primera iteración ( 1i ).

)(

)(

0

0

01xP

xPxx

2 0 -3 3 -4

-2 -4 8 -10 14

2 -4 5 -7 10

-2 -4 16 -42

2 -8 21 -49

)49(

1021

x

71.795918361 x

Error absoluto de aproximación.

)2(795918367.1

30.20408163

Puesto que el error no es menor a 10–4

, se procede a realizar otra iteración.

Segunda iteración ( 2i ).

)(

)(

1

112

xP

xPxx

2 0 -3 3 -4

-1.795918367 -3.591836735 6.450645564 -6.197077748 5.741690650

2 -3.591836735 3.450645564 -3.197077748 1.741690650

-1.795918367 -3.591836735 12.901291129 -29.366743449



2 -7.183673469 16.351936693 -32.563821197

)563821197.32(

741690650.1795918367.12

x

71.742432912 x


)795918367.1(742432917.1

10.05348545



Tercera iteración ( 3i ).

)(

)(

2

223

xP

xPxx

2 0 -3 3 -4

-1.742432917 -3.484865834 6.072144939 -5.353006466 4.099955920

2 -3.484865834 3.072144939 -2.353006466 0.099955920

-1.742432917 -3.484865834 12.144289878 -26.513616899

2 -6.969731667 15.216434816 -28.866623366

)866623366.28(

099955920.074243297.13

x

51.738970233 x


)742432917.1(738970235.1

10.00346268



Cuarta iteración ( 4i ).

)(

)(

3

3

34xP

xPxx

2 0 -3 3 -4

-1.738970235 -3.477940471 6.048034959 -5.300442070 4.000400287

2 -3.477940471 3.048034959 -2.300442070 0.000400287

-1.738970235 -3.477940471 12.096069918 -26.335147621



2 -6.955880941 15.144104876 -28.635589690

)635589690.28(

000400287.0738970235.14

x

71.738956254 x


)738970235.1(738956257.1

90.00001397

Puesto que el error es menor a 10–4

, fin del procedimiento.

Una solución de la ecuación 04332 24 xxx es 71.738956254 x , obtenida

aplicando el método de Newton – Raphson con una estimación inicial 20 x y cuatro

iteraciones. El error absoluto de aproximación es 0.000013979.

De esta manera obtenemos el polinomio

300442070.2048034959.3477940471.32)( 23 xxxxQ , al cual también se le puede

aplicar el método descrito con el fin de determinar otra de las raíces. A continuación se

muestra el desarrollo del procedimiento.

Primera iteración ( 1i ).

)(

)(

0

0

01xP

xPxx

2 -3.477940471 3.048034959 -2.300442070

-2 -4.000000000 14.955880941 -36.007831800

2 -7.477940471 18.003915900 -38.308273870

-2 -4.000000000 22.955880941

2 -11.477940471 40.959796841

959796841.40

308273870.3821

x

91.064734761 x


)2(064734769.1



10.93526523



Al final de la séptima iteración, obtenemos:

2 -3.477940471 3.048034959 -2.300442070

1.254917384 2.509834767 -1.214892676 2.300442117

2 -0.968105703 1.833142282 0.000000048

1.254917384 2.509834767 1.934742604

2 1.541729064 3.767884886

767884846.3

000000048.0254917384.17 x

11.254917377 x


254917384.1254917371.1

30.00000001

A este nivel, 0833142282.1968105703.02)( 2 xxxQ puede resolverse por

la fórmula cuadrática para encontrar los dos últimos ceros aproximados de P. Los

resultados que se obtienen son:

ix 926279845.0242026426.0

ix 926279845.0242026426.0

Las raíces exactas del polinomio 4332)( 24 xxxxP son:

57389562564.1x

32548818848.1x

ix 89262454876.0092420371858.0

ix 89262454876.0092420371858.0

Aún cuando este método puede ser usado para encontrar ceros aproximados de

muchos polinomios, depende del uso repetido de aproximaciones y en ocasiones puede

llevar a aproximaciones muy imprecisas.

El procedimiento descrito arriba se llama deflación. La dificultad de precisión de la

deflación se debe al hecho de que, cuando obtenemos los ceros aproximados de P, el



procedimiento de Newton – Raphson se usa en el polinomio reducido kQ , o sea, el

polinomio con la propiedad de que

)()ˆ()ˆ()ˆ()( 21 xQxxxxxxxP kk

Un cero aproximado kx̂ de kQ generalmente no aproximará a una raíz de 0)( xP

tan bien como a una raíz de 0)( xQk . La imprecisión usualmente se incrementará

conforme k crezca. Una manera de eliminar esta dificultad consiste en usar las ecuaciones

reducidas, esto es, los factores aproximados del polinomio original P, para encontrar

aproximaciones2x̂ , 3x̂ , …, kx̂ a los ceros de P y luego mejorar estas aproximaciones

aplicando el procedimiento de Newton – Raphson al polinomio original P.

Ejercicios propuestos.

90. Encontrar aproximaciones exactas a 10–4

de todos los ceros reales de los siguientes

polinomios usando el método de Newton y deflación.

a) 52)( 23 xxxP b) 13)( 23 xxxP

c) 1)( 23 xxxP d) 32)( 24 xxxxP

91. Encontrar aproximaciones exactas a 10–5

de todos los ceros de los siguientes

polinomios, primero encontrando los ceros reales y luego reduciendo los polinomios de

grado menor para determinar los ceros complejos.

a) 1368595)( 234 xxxxxP

b) 4016122)( 234 xxxxxP

c) 223)( 234 xxxxxP

d) 521102111)( 2345 xxxxxxP

e) 240761598816)( 234 xxxxxP

f) 53)( 24 xxxxP

g) 4442)( 234 xxxxxP

h) 6147)( 23 xxxxP



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

1.13.- RAICES DE POLINOMIOS.

1.14.- MÉTODO DE HORNER. 90. a) 2.69065 b) 0.532089, –0.652706, –2.87938

c) 1.32472 d) 1.12412, –0.876053

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