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OCTAVA PRÁCTICA DIRIGIDA DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICOCICLO: ANUAL – SAN MARCOS 2003

EL TANTO POR CUANTO

INTRODUCCIÓNEn un comedor popular se encuentra 50 personas y sólo se dispone de 20 raciones de comida. De pronto el número de personas se incremento consecutivamente en 20% y 50%. ¿En qué tanto por cuento se debe incrementar el número de raciones para satisfacer a todos? (Cada persona recibe una ración)

EL TANTO POR CUANTOEn una reunión se observa que 3 de cada 8 personas son varones.

Si nos basamos en lo estudiado en el capítulo de fracciones, diremos que los varones representan 3/8.Entonces podemos decir que:

El 3 por 8 =

Luego:

El 15 de 40 =

El 60 por 50 =

EL TANTO POR CIENTOEl tanto por ciento es un caso particular del tanto por cuanto, que surge como consecuencia de tomar 100 como valor referencial.

Lo que está representado es:

El 20 por

El 20

El 20%

Luego:

* El 45% = * El 130% =

Ejercicio:

Calcule el 9 por 15 del 60% de 75

,Humanizando al hombre con la educación

8va. Práctica Dirigida de Raz. Matemático 2 Anual – SM 2003

Calcule el 20% del 40% del 125% de 200

Humanizando al hombre con la educación


EQUIVALENCIAS

* *

* *

* *

* *

* *

OPERACIONES 15% N + 60% N = 75% N

80% P – 25% P = 55% P

+ 10% A = ?

100% A + 10% A = 110% A

X– 35% X = ?100% X – 35% X = 65% X

¿Qué tanto por ciento de “a” es “b”? ¿Qué tanto por ciento de 48 es 12?

Rpta.: 25%

¿Qué tanto por ciento es 80 respecto de 32?

Rpta.: 250%

Ejemplo:En el siguiente gráfico todos los triangulitos son iguales:

¿Qué tanto por ciento del total está sombreado?¿Qué tanto por ciento representa la región sombreada respecto de la no sombreada?Solución:Asumimos que cada triangulito tiene área 1

Área Total = 25Región sombreada = 10Región no sombreada = 15

¿Qué tanto por ciento del total está sombreado?

¿Qué tanto por ciento representa la región sombreada respecto de la no sombreada?

Ejercicios: ¿60 es el 20% más de que número?

60 = 120% x N

¿El 25% menos de que número es 18?

75% N = 18 N = 24

¿Qué tanto por ciento más es 140 respecto de 120? 140 es 20 más respecto de 120


mas que

respecto de

menos que


¿Qué tanto por ciento más que 40 es 45? 45 es 5 más que 40

¿Qué tanto por ciento menos es 15 respecto de 20? 15 es 5 menos respecto de 20

x 100% = 25%

¿Qué tanto por ciento menos que 12 es 3? 3 es 9 menos que 12

Observación:

Si pierdo, gasto o saco

Me queda Si aumento gano o agrego

Resulta

15% 85% 10% 110%60% 40% 45% 145%72% 28% 120% 220%x% (100-x)% x% (100+x)%

Ejemplo:Alex entra a un casino y decide jugar a las cartas. En el primer juego pierde el 20% de lo que llevaba; en el segundo juego gana el 60% de lo que le quedaba. Si al final tiene 340 soles, ¿con cuánto empezó a jugar?

Solución:Empezó con “X” soles

Donde: 40% (80%X) = 640

APLICACIONES DEL TANTO POR CIENTO

Descuentos y aumentos sucesivos¿A qué descuento único equivalen 2 descuentos sucesivos de 10% y 20%?

¿A qué aumento único equivalen 2 aumentos sucesivos del 20% y 30%?

Observación: Para descuentos sucesivos de a% y b%.

Ejemplo:Para 2 descuentos sucesivos de 10% y 20%

Para 2 aumentos sucesivos es a% y b%

Ejemplo:Para 2 aumentos sucesivos de 20% y 30%

Ejemplo:Un mismo artículo es vendido en 2 tiendas; en la primera ofrecen un descuento del 20% más 20% y en la segunda un descuento del 10% más 30%. ¿Cuál de las dos tiendas vende más barato?

Solución:Tienda (1) Tienda (2)


respecto de


Dctos. 20% más 20% Dcto. 10% más 30%

Du = 36% Du = 37%

La segunda vende más barato

VARIACIÓN PORCENTUAL

Toda cantidad antes de sufrir una variación representa un 100%

Observación:

Si una cantidad sufre una variación, ya sea de aumento o de disminución, para calcular el porcentaje de variación, se divide dicha variación entre la cantidad inicial y se multiplica por 100%.

Ejemplo:Si el radio de un círculo aumenta en 40%, ¿En qué tanto por ciento aumenta su área?

Solución:Asumimos que el radio del círculo es 10

Observe que la constante “ ” se elimina en la

operación. Si por un error involuntario no se hubiera

colocado la constante “ ” al calcular el área, esto no

afectaría la respuesta.

Ejemplo:



Si el radio de una esfera disminuye en 50%, ¿En qué porcentaje disminuye su volumen?

Solución:Asumimos que el radio de la esfera sea 2

Disminuye

Observe que la constante “ ” se cancela, por lo

tanto si no se hubiese colocado desde un principio no cambiaría la respuesta.

Toda constante numérica que multiplique o divida a la variable puede ser dejada de lado para el cálculo de la variación.

Ejemplo:

¿En qué porcentaje varía “A”?

Solución:

4 y son constantes numéricas, entonces podemos dejarlas de lado.

“Z” no aumenta ni disminuye por lo tanto es constante, entonces podemos dejarla de lado.Así que sólo trabajaremos con:

Disminuye 29

COMPRA – VENTA

Pv: Precio de ventaPC: Precio de compra o costoG: GananciaP: Pérdida

NOTA:La ganancia y la pérdida son siempre porcentajes del precio de compra, a menos que el problema diga lo contrario.

NOTA:El descuento o rebaja son siempre porcentajes del precio fijado, a menos que el problema diga lo contrario

Ejemplo:Se venden 2 camisas en 60 soles cada una; una con una ganancia del 20% y la otra con una pérdida del 20%. ¿Se ganó o se perdió y cuánto, en la venta de ambas camisas?


3

R4Vol

3


Solución:

Luego en la venta de ambas se perdió:15 – 10 = 5 soles

Ejemplo:Para fijar el precio de un artículo se aumentó su costo en 300 soles, pero en el momento de realizar la venta se rebajó en 30% y aún así se ganó el 40% del costo. ¿Cuál es el costo del artículo?

Solución:

300 = 2x + Dcto.

Luego:

300 = 2x + 3x x = 60 PC = 5(60) PC = 300 soles



PREGUNTAS

1. En los círculos mostrados; el área del círculo A es el 150% más que el área del círculo B.

¿Qué tanto por ciento más es el área de la región sombreada de A respecto de la no sombreada de B?

Rpta.: …………………..

2. En una fiesta se observa que todas las mujeres están bailando pero el 20% de los hombres no. Al cabo de unas horas se observa que todos los hombres están bailando pero el 10% de las mujeres no. ¿Qué tanto por ciento de los hombres se han retirado?

Rpta.: …………………..

3. Andrés contó que durante todo el mes de junio salió, algunos días con Brenda y el resto con Carolina. Cada día que salió con Brenda gastó un 80% más que cuando salió con Carolina. Si en total gastó con Brenda un 20% más que con Carolina, ¿cuántos días salió con Brenda?

Rpta.: …………………..

4. La mano de obra y el costo de los materiales suman el 40% del valor de una obra. Si el costo de los materiales representa el 60% del importe de la mano de obra, ¿qué tanto por ciento del valor de dicha obra representa solamente la mano de obra?

Rpta.: …………………..

5. Ángel y Bruno invitaron a almorzar a Carolina, los 3 comieron lo mismo. Al momento de pagar la cuenta Ángel cubre el 40% y Bruno el 60%. Carolina en agradecimiento les invita una caja de chocolates. ¿qué porcentaje de los chocolates le corresponde a Bruno?

Rpta.: …………………..6. Si el costo de vida se ha incrementado en un

50% y los sueldos en un 20%, ¿en qué tanto por ciento ha variado el poder adquisitivo?

Rpta.: …………………..

7. En un colegio el 40% de los alumnos son mujeres. Si la cantidad de mujeres aumenta en 30% y la cantidad de hombres aumenta en 20%. ¿En qué tanto por ciento aumenta el total de alumnos del colegio?

Rpta.: …………………..

8. Si gastara el 30% del dinero que tengo y ganara el 20% de lo que me quedaría, perdería 256 soles. ¿Cuánto tengo?

Rpta.: ………………….. 9. Al escribir en la pizarra se consume el 90% de

las tizas, los residuos se utilizan para fabricar nuevas tizas, perdiéndose en este proceso el 10%. ¿Cuántas tizas pueden ser fabricadas con los residuos de una caja de 1200 tizas?

Rpta.: …………………..

10. Para su cumpleaños Alex invitó a 200 de sus amigos y compró 5 cajas de gaseosa (12 botellas cada una). Si sólo asistieron el 80% de sus amigos y desea invitarles un vaso de gaseosa a cada uno, ¿qué porcentaje de las botellas utilizará, si se sabe que con el 10% de una botella se puede llenar el 80% de un vaso?

Rpta.: …………………..

11. Le pidieron a Carmen que prepare un cóctel de fresas, en el cual el ron sea el 25% del jugo de fresa. Por un error involuntario Carmen preparó 20lt de este cóctel con un 40% de ron. ¿En qué tanto por ciento debe incrementar el jugo de fresa para cumplir con el pedido inicial?

Rpta.: …………………..

12. En un salón de la academia el 48% de los estudiantes prefieren el curso de aptitud matemática y el 40% prefieren aptitud verbal, además el 25% de los que prefieren aptitud matemática prefieren aptitud verbal. Si 12 estudiantes no prefieren ninguno de los dos cursos, ¿cuántos estudiantes hay en el salón?

Rpta.: …………………..


BA


13. Si el lado de un hexágono regular aumentara en 30%, su área aumentaría en 46m2. ¿En cuánto aumentaría su área si su lado aumentara en 60%?

Rpta.: …………………..

14. El radio de una piscina circular se incrementa en un 50%, ¿en qué tanto por ciento se debe incrementar la profundidad para que el volumen aumente en 80%?

Rpta.: …………………..

15. Una bolsa de caramelos se vendió de la siguiente manera: el 20% con una ganancia del 20% de su respectivo costo, el 50% del resto con una pérdida del 10% de su respectivo costo. ¿Qué tanto por ciento de su respectivo costo se debe ganar en la venta del resto para que en toda la venta se gane el 25%?

Rpta.: …………………..

16. Un comerciante estaba indeciso sobre como vender un artículo, si lo vende ganando el 50% del costo más el 25% del precio de venta o lo vende ganando el 40% del costo más el 33,3% de la venta. Si la diferencia entre las ganancias es de 15 soles, ¿a qué precio venderá el artículo?

Rpta.: …………………..

17. En un supermercado para fijar el precio de los artículos se multiplican los costos por un cierto factor K, de tal manera, que pueden descontar 20% más 20% y aún así ganar el 80% del costo. Hallar el factor K.

Rpta.: …………………..

18. Calcule la pureza de una mezcla alcohólica sabiendo que si se pudiera extraer el 25% del alcohol puro y el 20% del agua, la mezcla resultante tendría un 60% de pureza?

Rpta.: …………………..

19. Se tienen dos mezclas alcohólicas, una de 48lt al 75% y la otra de 80lt al 80%. ¿Cuántos litros deben extraerse de cada mezcla para que luego de ser intercambiados las dos mezclas tengan el mismo porcentaje de pureza?

Rpta.: …………………..

20. Se tienen 60lt de alcohol de 60% de pureza. ¿Cuántos litros de alcohol puro deben agregarse

para que la mezcla resultante tenga 75% de pureza?

Rpta.: …………………..

PROPUESTOS

1. Si lo que no gasté es el 60% de lo que gasté. ¿Qué porcentaje del total es lo que me queda?

Rpta: 37,5%

2. ¿Qué cantidad de agua debe agregarse a 40 litros de alcohol al 30% para obtener un alcohol al 25%?

Rpta: 8lt3. Si el 30% del número de patos es igual al 20%

del número de pavos. ¿Qué tanto por ciento del 80% del total es el número de pavos?

Rpta: 75%

4. En una fiesta el número de hombres es el 80% del número de mujeres. Al cabo de unas horas se observa que han disminuido, el número de hombres en 65% y el número de mujeres en 20%. ¿En qué tanto por ciento ha disminuido el total de personas?

Rpta: 40%

5. Una fábrica redujo en un 20% el precio de venta de sus artículos. ¿en que tanto por ciento aumentaron sus ventas, si se sabe que sus ingresos aumentaron en un 20%

Rpta: 50%

6. En una fiesta se observa que de los hombres están bailando el 20% de los que no están bailando, y de las mujeres las que están bailando son el 25% de las que no lo hacen. Si los hombres que no bailan exceden en 12 a las mujeres que no bailan, ¿cuántas personas son en total?

Rpta: 132

7. De los asistentes a un congreso estudiantil el 20% estudia medicina y el 40% estudia ingeniería. Si de los que estudian medicina y de los que estudian ingeniería son mujeres el 20% y 30% respectivamente, ¿qué tanto por ciento



menos son las mujeres que estudian medicina respecto de las que estudian ingeniería?

Rpta: 66,6 %

8. En un colegio el 40% de los alumnos son hombres. A una excursión han ido el 20% de los hombres y el 30% de las mujeres. ¿Qué porcentaje del total de alumnos fueron a la excursión?Rpta: 26%

9. Si “a” es 20% más que “b” y “b” es 40% menos que “c”. ¿Qué tanto por ciento menos es “2a – b” respecto de “2c – b”?Rpta: 66,6%

10. Se tiene un recipiente con alcohol al 60%. Si se pudiera sacar la mitad del agua que contiene, ¿cuál sería el nuevo porcentaje de pureza? Rpta: 75%

11. Si el área de una esfera disminuye en 19%. ¿En qué tanto por ciento disminuirá su volumen?Rpta: 27,1%

12. Un artículo se vende con una ganancia del 25% del precio de costo más el 25% del precio de venta. Si se ganó S/.200. ¿Cuál es el precio de venta?

Rpta: S/.500

13. Se tiene una mezcla alcohólica de 240lt, donde el volumen de agua representa el 60% del volumen de alcohol puro. ¿Cuántos litros de alcohol puro se debe agregar a la mezcla para obtener una mezcla alcohólica de 80%?

Rpta: 210

14. Una empresa vende dos automóviles en S/.59400 cada uno; en uno de ellos gana un 10% y en el otro pierde un 10%. Averiguar cuánto se gana o se pierde en la venta total.

Rpta: se pierde S/.800

15. Si “a” se incrementa un 10%, “b” disminuye 10%, “c” aumenta 20% y “d” disminuye 20%; ¿cuál es la variación porcentual de “K”?

Rpta: disminuye 4,96%16. Dos descuentos sucesivos de 10% y 20%

equivalen a un único descuento de x%, y 3 aumentos sucesivos de 10%, 20% y 10% equivalen a un aumento único de y%. Hallar “x + y”.

Rpta: 73,2

17. Para fijar el precio de un televisor se aumentó su costo en S/.600. En el momento de venderse se hizo una rebaja del 33,3% pero aún así se ganó el 20%. ¿Qué precio se fijó?

Rpta: S/.1350

18. En la siguiente figura, el área de cuadrado “A” es el 150% del área del cuadrado “B”.

¿Qué tanto por ciento más es el área de la región sombreada de “A” respecto del área de la región sombreada de “B”?

Rpta: 31,25%

19. Se vende un objeto en 10 dólares, ganando el 5% del precio de costo. ¿Qué tanto por ciento se hubiera ganado, si se hubiese vendido en 12 dólares?

Rpta: 26%

20. Cierto artículo tiene igual precio de venta en 2 tiendas. La primera ofrece una rebaja del 20% y la segunda una rebaja de 25%, cobrando así S/35 menos. ¿Cuál es el precio de venta?

Rpta: S/.700


A B


Lima, junio del 2002


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