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1.9. LEYES DEL LGEBRA DE LAS PROPOSICIONES.

Las proposiciones cumplen con las siguientes leyes, como son:

LEYES

1- Idempotencia P P P P P P

2- Conmutativa P Q Q P P Q Q P 3- Asociativa ( P Q ) R P ( Q R ) ( P Q ) R P ( Q R ) 4- Distributiva P ( Q R ) ( P Q ) ( P R ) P ( Q R ) ( P Q ) ( P R )

5- Identidad P F P

P V V

P F F

P V P

6- Complemento P P V

( P ) P P P F

V F

7- De Morgan ( P Q ) ( P Q ) ( P Q ) ( P Q ) 8- Absorcin P ( P Q ) P P ( P Q ) P 9- Condicional P Q P Q 10- Bicondicional P Q ( P Q ) ( Q P ) 11- Disyuncin

exclusiva P Q ( P Q ) ( P Q )

12- Conjuncin negativa

P Q P Q

Todas estas leyes son equivalencias lgicas y se demuestran mediante tablas de verdad.

1.10. DEMOSTRACIN Y SIMPLIFICACIN.

La aplicacin de las leyes del lgebra de las proposiciones, bsicamente es demostrando equivalencias lgicas, como tambin estas leyes sirven para realizar simplificaciones de ciertos enunciados. Para realizar estos procesos emplearemos los siguientes recursos.

1.10.1. Demostracin.

La demostracin de una proposicin tiene por objeto establecer que es verdadera, infirindola de verdades conocidas o ya demostradas.

Para realizar este proceso aplicamos uno de los mtodos ms utilizados para nuestro estudio, como es el denominado mtodo directo.

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Mtodo directo que consiste en inferir (deducir) una conclusin (solucin), partiendo nicamente de un conjunto de premisas dadas (leyes de las proposiciones).

Se puede decir tambin que se parte de una hiptesis para llegar a una tesis. Como trabajamos con equivalencias lgicas, los smbolos o podemos decir que divide la proposicin compuesta en dos miembros, de tal manera que en uno de ellos (el ms complicado) aplicaremos las leyes del lgebra de las proposiciones para obtener el otro miembro. Estos procesos lo realizamos en dos columnas, de tal manera que la primera columna describe las proposiciones o el simbolismo proposicional, mientras tanto que en la segunda columna anotaremos las leyes aplicadas en cada proceso (razones o justificaciones), esta forma lo ejecutamos hasta llegar a demostrar el otro miembro, por decirlo as.

Ejemplos:

Demostrar los siguientes enunciados, aplicando las leyes del lgebra de las proposiciones (sin usar tablas de verdad).

a) P Q Q P Hiptesis: P Q

Tesis (Conclusin): Q P

Proposiciones Razones

1. P Q 1. Hiptesis 2. P Q 2. Ley condicional 3. Q P 3. Ley conmutativa 4. Q P 4. Ley condicional

b) P ( Q P ) P Q Hiptesis: P ( Q P ) Tesis (Conclusin): P Q

Proposiciones Razones

1. P ( Q P ) 1. Hiptesis 2. ( P Q ) ( P P ) 2. Ley distributiva 3. ( P Q ) V 3. Ley de complemento 4. P Q 4. Ley de identidad

Existen otros mtodos para deducir una proposicin, no muy utilizados en nuestro estudio, como se cita a continuacin.

Demostracin Condicional (R.D.C.) si de un conjunto de premisas y de P se deduce Q, entonces de tal conjunto de premisas se deduce P Q.

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Si de un conjunto de premisas se requiere inferir P Q y no es posible hacerlo por el mtodo directo, al conjunto de premisas se le debe aadir P y la conclusin a obtenerse debe ser Q, demostrndose as que del conjunto de premisas se concluye P Q.

La premisa P puede ser introducida en cualquier parte del proceso.

Demostracin indirecta (L.A.) Ley del absurdo: De P ( Q Q ) se deduce P