1

2

Objetivos:Objetivos:

1.1. Conocer los símbolos de desigualdad.Conocer los símbolos de desigualdad.

2.2. Conocer las propiedades básicas de las Conocer las propiedades básicas de las desigualdades.desigualdades.

3.3. Expresar una desigualdad en forma de Expresar una desigualdad en forma de intervalo.intervalo.

4.4. Expresar una desigualdad en forma gráfica.Expresar una desigualdad en forma gráfica.

3

queMayor

queMenor

que igual oMayor

que igual oMenor

Los símbolos de desigualdadLos símbolos de desigualdad

Veremos en esta sección algunos conceptos básicos que son de utilidad en la solución de desigualdadeslineales y compuestas.

4DefiniciónSean a y b dos números reales. Se diceque a es menor que b, si b - a es un númeropositivo. En tal caso escribimos a < b.

Ejemplos: 1. 3 < 5 2. -6 < -3

a < b es lo mismo que b > a

Esto significa que a está a la izquierda de b enla recta numérica.

a b

5

11. La propLa propiieedad de dad de tricotomítricotomíaa

a < b a = b a > b

Propiedades de las desigualdadesPropiedades de las desigualdades

Para los números reales a y b,

sólo una de las siguientes es cierta:

6

22. La PropPropiieedad dad nono negativnegativaa

Si Si aa es un número real entonces, es un número real entonces,

Todo número elevado al cuadrado es Todo número elevado al cuadrado es positivo o cero.positivo o cero.

a2 0

2

2

2

2 0

6 0.

. 0

1

3

.

2

3

7

3. La p3. La propiedad transitiva para las desigualdadesropiedad transitiva para las desigualdades

Si a < b y b < c, entonces a < c.

Si a > b y b > c, entonces a > c.

1. 5 7 7 9 5 9

2. 65 7 7 4 6

:

5 4

y entonces

y entonces

Ejemplo

8

4. La p4. La propropiieedaddad aditi aditivava de las de las desigualdadesdesigualdades

Si a < b, y entonces a + c < b + c.

Si a > b, y entonces a + c > b + c.

: 1 4Eje lo xmp

3x

Rc

Rc

1 4x 1 1

9

5. La propiedad multiplicativa de las desigualdades

Si a < b y c > 0, entonces ac < bc.

Si a < b y c < 0, entonces ac > bc.

Si a > b y c > 0, entonces ac > bc.

Si a > b y c < 0, entonces ac < bc.

Aclaración: Si se multiplica o divide en ambos lados de una desigualdad por un número negativo el sentido odirección del signo de la desigualdad cambia.

10

: 7 > 4Ejemplo

3 7 > 3 4

21 > 12

: 19 < 30Ejemplo

2 19 2 30

>38 60

11

1. Si a y b son dos números reales tal que a < b. Se denota el intervalintervalo cerrado abo cerrado ab por [a, b] y se define como el conjunto de todos los números reales x tal que a < x < b.

[ ]a bx

IntervalosIntervalos

x R a x b [a, b]=

12

2. Si a y b son dos números reales tal que a < b. Se denota el intervalintervalo abierto abo abierto ab por (a, b), y se define como el conjunto de todos los reales x tal que

a < x < b.

( ) a b

(a, b) = x R a x b

133. Si a y b son dos números reales tal que a < b. Se denota el intervalintervalo semi abiertoo semi abierto o semi cerrado abo semi cerrado ab por (a, b], y se define como el conjunto de todos los números reales x tal que a < x < b.

( ]a bx

(a, b] = x R a x b

14

4. Sean a y b dos números reales tal que a < b. Denotamos el intervalintervalo semi abiertoo semi abierto o semi cerrado abo semi cerrado ab por [a, b), y se define como el conjunto de todos los números reales x tal que a < x < b.

[ )a bx

[a, b) = x R a x b

15

[a x

),[a x R a x

x R x a

5. Si a es un número real. Se denota el intervalintervalo de los o de los números mayores o iguales que anúmeros mayores o iguales que a por y se define como el conjunto de todos los números reales x tal que x > a.

[ , )a

16

(a x

),(a x R x a

6. Si a es un número real. Se denota el intervalintervalo de los o de los números mayores que anúmeros mayores que a por y se define como el conjunto de todos los números reales x tal que x > a.

( , )a

17

)ax

( , )a x R x a

7. Si a es un número real. Se denota el intervalintervalo de los o de los números menores que anúmeros menores que a por y se define como el conjunto de todos los números reales x tal que x < a.

, a

18

]ax

( , ]a x R x a

x R x a

8. Si a es un número real. Se denota el intervalintervalo de los o de los números menores o iguales que anúmeros menores o iguales que a por y se define como el conjunto de todos los números reales x tal que x < a.

, a

19

R)reales, los (todos que tal reales

números los todosde consiste , .9

xx

R

20

Escriba el conjunto de soluciones de la desigualdad -3 < x < 2 usando notación de intervalo y en forma gráfica.

3 2,

[ )-3 20

Ejemplo:

Intervalo =

21

Resumen de intervalos:

Intervalo Notación de Conjuntos

Forma gráfica

[a, b]

[a, b)

(a, b]

x R a x b a b

x R a x b a b

x R a x b a b

22

ba , x R a x b a b

,a x R x a a

,a x R x a a

a , x R x a a

a , x R x a a

, x R x