1-2.Interés Simple y Compuesto

7/25/2019 1-2.Inters Simple y Compuesto

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Matematica para las finanzas

Interes simple y compuesto

Ana L. Gamarra Carrasco

Trujillo, agosto del 2015

Ana L. Gamarra Carrasco. UCV2015 Matematica para las finanzas
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Matematica financiera

IntroduccionLa Matematica Financiera es una rama de la matematica apli-cada que estudia el valor del dinero en el tiempo, combinandoel capital, la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento ointeres, a traves de metodos de analisis que permiten tomardecisiones de inversion.

La Matematica Financiera es tambien llamada analisis de inver-siones, administracion de inversiones o ingeniera economica.

Las matematicas financieras son de aplicacion eminentemente

practica, su estudio esta ligado a la solucion de problemas en elmundo de los negocios y principalmente en las finanzas.

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Introduccion

Desde el punto de vista matematico, la base de las matematicasfinancieras descansa en la relacion resultante de recibir un suma de

dinero hoy (VA-valor actual) y otra diferente (VF-valor futuro) demayor cantidad transcurrido un perodo.La diferencia entre VA y VF representa el valor que las personasasignan al consumo actual y al riesgo de dejar el ingreso para elfuturo.

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Finanzas en la empresa

Se entiende por Finanzas el conjunto de actividades y decisionesadministrativas que conducen a una empresa a la adquisicion y fi-

nanciamiento de sus activos fijos (terreno, edificio, mobiliario ,etc.)y circulantes (efectivo, cuentas y efectos por cobrar, etc.). El analisisde estas decisiones se basa en los flujos de sus ingresos y gastos yen sus efectos sobre los objetivos administrativos que la empresa seproponga alcanzar.

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Sistema financieroEl sistema financiero (sistema de finanzas) de un pas esta for-mado por el conjunto de instituciones, medios y mercados, cuyofin primordial es canalizar el ahorro que generan los prestamistas

o unidades de gasto con superavit, hacia los prestatarios o uni-dades de gasto con deficit, as como facilitar y otorgar seguridadal movimiento de dinero y al sistema de pagos.

El sistema financiero comprende, tanto los instrumentos o ac-tivos financieros, como las instituciones o intermediarios y los

mercados financieros: los intermediarios compran y venden losactivos en los mercados financieros.

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Estudio de las matematicas financieras

Luego de un breve repaso de algunos conceptos basicos, propiamenteaqu comenzamos con el estudio de las matematicas financieras, un

area importante de la matematica aplicada, en la que se analizanlos elementos y la metodologa para trasladar, en el tiempo y demanera simbolica, pero que refleja la situacion de la vida real, loscapitales que intervienen en cualquier operacion de ndole financieray comercial.

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Interes

Intereses el pago por el uso del dinero ajeno, se denota con I.

Otras formas de conceptualizar los intereses o reditos son:

El cambio en el valor del dinero con el paso del tiempo.

El dinero que produce un capital al prestarlo o invertirlo para

que otros lo usen sin ser de su propiedad. Por ejemplo, si ustedconsigue un prestamo bancario, estara utilizando un dinero queno es suyo sino del banco. Tambien si invierte un capital en unbanco, entonces el banco le pagara intereses por usar el dinerode usted.

Es el precio que tiene el dinero como cualquier otro bien; es elpago por la adquisicion de bienes y servicios en operaciones decredito, etcetera.

Numericamente hablando, los intereses son la diferencia entre dos

cantidades: el capital y el monto.Ana L. Gamarra Carrasco. UCV2015 Matematica para las finanzas
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Interes

Si al transcurrir el tiempo una cantidad de dinero,C, se incrementahasta otra, M, entonces el interes es I = M C, donde C es el

capital,y Mel monto del capital.

Dependiendo del caso y de las circunstancias, el capital tambien tieneel nombre de principal, valor presente o valor actual. De igual manera,algunos sinonimos del monto del capital son valor futuro, montante,

valor acumulado o simplemente monto.

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Plazo o tiempo

Al numero de das u otras unidades de tiempo que transcurren entrelas fechas inicial y final en una operacion financiera se le llamaplazoo tiempo.


I i l
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Tasa de interes

La razon entre el interes I y el capital C por unidad de tiempo sellama tasa de interes, por lo tanto:

i= I

C

Cuando la tasa de interes se expresa en porcentaje se le llama tipode interes, y al valor correspondiente expresado en decimales, el que

se emplea para las operaciones, se denomina como tasa de interes,pero en la practica es al primero al que le llaman tasa de interes.


I i l
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Ejemplo: intereses, capital, monto, tasa de interes, plazo y tipo deinteres

La licenciada Ariana invierte $4, 000 y al termino de 1 ano recibe$4, 500 por su inversion.

El valor presente es C = 4, 000, el monto es M= 4, 500 y losintereses son la diferencia de M y C:

I = 4, 500 4, 000 = 500

La tasa de interes es i

= 500

4,000 = 0,125. El tipo de interes es, por lotanto, 0,125(100) = 12,5 % anual, y el plazo es de 1 ano.


I t i l t
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Interes simple y compuestoEl interes es simplecuando solo el capital gana intereses y es com-puestosi a intervalos de tiempo pre establecidos, el interes vencidose agrega al capital. Por lo que este tambien genera intereses.

Suponga que hace una inversion a plazo fijo. Si al final retira el ca-pital y los intereses, entonces estara ganando un interes simple; sinembargo, si no hace retiro alguno, entonces los intereses, al terminodel plazo fijo, se suman al capital y a partir del segundo periodoganaran intereses, puesto que ya forman parte integral de dicho ca-pital y en tales condiciones la inversion estara devengando con interescompuesto.


I t i l t
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Interes simple y compuestoLos intereses que produce un capital C con una tasa de interessimple anual i durante n anos estan dados por:

I = Cin

Observacion

La unidad de tiempo para la tasa de interes puede no ser anual, sinomensual, diaria, trimestral o de cualquier otra unidad de tiempo. Sinembargo, en cualquier caso es importante hacer coincidirla con lasunidades de tiempo del plazo; por ejemplo, si la tasa de interes essemanal entonces el plazo debe expresarse y manejarse en semanas.


I t s si l st
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Ejemplo: Tasa de interes simple en un prestamo

Cual es la tasa de interes simple anual, si con $14, 644 se liquidaun prestamo de $14, 000 en un plazo de 6 meses?

Solucion: Los intereses son la diferencia entre el monto y el capitalprestado.

I = M

C = 14, 644

14, 000 = 644

El plazo en anos es n = 1/2, que equivale a un semestre. La tasaanual, i, se despeja de la ecuacion siguiente que resulto de sustituirlos valores anteriores en I = Cin.

De donde:644(2)/14, 000 = i

i= 0,092 = 9,2 %


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Valor acumulado

El valor acumulado Mde un capital Cque devenga intereses con latasa de interes simple anual, i, al final de n periodos anuales es:

M=

C(1 +

in)

Observacion

Es muy importante insistir en que si la tasa de interes no es anual,entonces es necesario que tanto la tasa como el plazo esten en las

mismas unidades de tiempo.


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Ejemplo: Monto acumulado en cuenta bancaria

Cuanto acumula en 2 anos en su cuenta bancaria el senor Morales,si invierte $28, 000 ganando intereses del 7,3 % simple anual?

Solucion:C

= $28, 000 el capital,n

= 2 el plazo en anos, i

= 0,073la tasa de interes simple anual, Mes la incognita, entonces:

M = 28, 000[1 + 0,073(2)]

M = 28, 000(1,146)

M = $32, 088


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Ejemplo: Plazo en que se duplica una inversion con interes simple

En cuanto tiempo se duplica una inversion con un tipo de interes

del 13 % simple anual?

Solucion: Si Ces el capital inicial, entonces el monto Mal final delplazo sera el doble de C,es decir, M= 2C,por lo que al reemplazaresto en la ecuacion del valor acumulado, esta quedara as:

M = C(1 + in)

2C = C(1 + 0,13n)

Despejando la incognita n:

2 = 1 + 0,13n

1 = 0,13n

1/0,13 = n

n = 7,692307692


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Conversion de anos en anos con meses y das

Para expresar este plazo en anos con meses y das, la parte decimalse multiplica por 12, que son los meses que tiene un ano.

0,692307692(12) = 8,307692304

Esto significa que 0,692307692 anos son equivalentes a 8,307692304meses. Ahora bien, la parte fraccionaria de este numero se multiplicapor 30, los das contenidos en un mes.

0,307692304(30) = 9,23076912

Resultado que se redondea a 9, por lo que el plazo queda como: 7anos, 8 meses y 9 das.


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Ejemplo: Tasa de interes simple

Con que tasa de interes simple se realizo una operacion crediticia

que se liquido con un pago a los 10 meses con $42, 350, suponiendoque el credito fue por $37, 644,44?

Solucion: Los valores a sustituir en la formula del interes simple son:M = 42, 350 el valor futuro del credito, C = 37, 644,44 el valor

presente, n = 10 meses, el plazo o n = 10/12 anos, i la tasa deinteres simple anual es la incognita. Entonces,

42, 350 = 37, 644,44[1 + (10/12)i]

1,125 1 = (10/12)i

0,125 = (10/12)i

i = 0,125/(10/12)

i = 0,15

i = 15 %

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