Universidad Autónoma de Baja California UABC Facultad de Ingeniería Mexicali

Curso Ecuaciones Diferenciales

1.3 Las ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos Mediante la adopción de las prácticas babilónicas de la medición cuidadosa y las observaciones detalladas, los antiguos griegos trataron de comprender la naturaleza a partir del análisis lógico. Los convincentes argumentos de Aristóteles acerca de que el mundo no era plano, sino esférico, llevaron a los intelectuales de aquella época a considerar la siguiente pregunta: a qué equivale la circunferencia de la Tierra? Y resulta asombroso que Eratóstenes haya logrado obtener una respuesta bastante precisa para este problema sin tener que salir de la antigua ciudad de Alejandría. Su método implicaba ciertas suposiciones y simplificaciones: la Tierra es una esfera perfecta, los rayos del sol viajan en trayectorias paralelas, la ciudad de Siena se encuentra a 5000 estadios exactamente al sur de Alejandría (aprox. 202 m por estadio), etc. Con estas idealizaciones, Eratóstenes creó un contexto matemático en el cual pudieron aplicarse los principios de la geometría. En la actualidad, cuando los científicos buscan fomentar nuestra comprensión de la naturaleza y los ingenieros procuran encontrar respuestas a problemas técnicos, el proceso de representar nuestro “mundo real” en términos matemáticos se ha convertido en un instrumento de valor incalculable. Con frecuencia se desea describir el comportamiento de algún sistema o fenómeno de la vida real en términos matemáticos, donde dichos sistemas pueden ser físicos, sociológicos o hasta económicos. Este proceso de imitar la realidad utilizando el lenguaje de las matemáticas se conoce como modelación matemática. El proceso de construcción de un modelo matemático efectivo requiere habilidad, imaginación y evaluación objetiva. Pasos importantes en la formulación matemática:

1. Formulación del problema. Aquí debe plantearse el problema de tal manera que pueda responderse matemáticamente. Esto requiere una comprensión del área del problema.

2. Desarrollo del modelo. Aquí es necesario decidir cuales variables son importantes y cuales no lo son. Las primeras se clasifican en dependientes e independientes. Las variables independientes sin aquellas cuyo efecto es significativo y que servirán como información de entrada al modelo. Las variables dependientes son las que resultan afectadas por las independientes y que son importantes en la solución del problema. También debe determinarse las relaciones que existan entre estas variables, es decir, realizar una formulación matemática.

3. Resolución de ecuaciones diferenciales. Una vez formulado el modelo matemático, llegamos al problema de resolverlo por los métodos existentes.

4. Prueba del Modelo. Una vez resuelto, juzgamos que el modelo es razonable si su solución es consistente con los datos experimentales o los hechos conocidos acerca del comportamiento del sistema. Si las predicciones que se basan en la solución son deficientes, entonces podemos aumentar el nivel de resolución del modelo matemático.

Universidad Autónoma de Baja California UABC Facultad de Ingeniería Mexicali

Curso Ecuaciones Diferenciales

En todo momento se debe de tener presente que un modelo no es la realidad, sino

solo una representación de ella. La verdadera prueba de un modelo es su capacidad de encontrar una respuesta aceptable para el problema planteado.

Al iniciar la Unidad 2 nos enfocaremos al análisis de algunos sistemas dinámicos, es

decir, que evolucionan con respecto al tiempo. Un sistema dinámico lo forma un conjunto de variables dependientes del tiempo, que se llaman variables de estado, más una regla que permite determinar el estado del sistema (ya sea, presente, pasado o futuro) en términos de un estado especificado en cierto momento.

La regla o modelo matemático de un sistema de éstos, es una ecuación o sistema

de ecuaciones diferenciales. El estado del sistema en un tiempo t es el valor de las variables de estado en ese instante (lo que conocemos como condiciones o valores iniciales). Finalmente la solución de un problema de valor inicial se llama respuesta del sistema. Precisamente eso es lo que pretendemos conocer!