Universidad Autónoma de Baja California UABC Facultad de Ingeniería Mexicali

Curso Ecuaciones Diferenciales

1.4 Variables Separables Una clase sencilla de ecuaciones diferenciales que se pueden resolver utilizando integración es la de las ecuaciones separables. Este método es considerado por muchos el más sencillo, sin embargo, la sencillez lleva sus limitantes, veamos un concepto importante. DEFINICION Ecuación separable Si el segundo miembro de una ecuación expresada de la forma

),( yxfdxdy

=

se puede expresar como una función que depende solamente de x, multiplicada por una función que depende solamente de y; entonces, la ecuación diferencial se llama separable. De acuerdo a lo anterior, una ecuación diferencial es separable solo si se puede escribir en la siguiente forma

)()( ypxgdxdy

=

Por ejemplo, veamos la ecuación

12

2 ++

=y

xyxdxdy

es separable ya que factorizando el numerador, podemos obtener lo siguiente:

( ) )()(1

21

222 ypxg

yyx

yxyx

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=++

Sin embargo, la ecuación

xydxdy

+= 1

no admite tal factorización en el segundo miembro y , por consiguiente, no es separable. Método para resolver ecuaciones separables Para resolver una ecuación diferencial de la forma:

)()( ypxgdxdy

=

Pasamos el término p(y) al primer miembro de la ecuación de tal manera que nos queda así:

)()(

1 xgdxdy

yp=

Por conveniencia expresaremos el término )(

1yp

como h(y); lo que nos queda así:

Universidad Autónoma de Baja California UABC Facultad de Ingeniería Mexicali

Curso Ecuaciones Diferenciales

)()( xgdxdyyh =

Ahora procedemos a hacer un particular paso; la terminología de la primera derivada la separaremos en dos entidades diferentes, dy y dx, de tal manera que separándolas nuestra ecuación queda de la siguiente manera:

dxxgdyyh )()( = Luego se integran ambos miembros

∫∫ = dxxgdyyh )()( para finalmente obtener lo siguiente:

CxGyH += )()( La ecuación obtenida es generalmente una solución implícita. Notas importantes:

1) Observe claramente que se distingue entre h(y) y H(y), indicando la letra mayúscula la función ya integrada.

2) A pesar que el separar la terminología de la primera derivada en dos entidades diferentes no tiene sentido alguno, este paso es necesario para indicar la etapa de integración en el método.

3) No olvide la constante de integración al finalizar la resolución de la ecuación diferencial

Ejemplos:

Resolver:

2

5–y

xdxdy

= Solución: 31

2

315–2

3⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= Cxxy

Resolver:

31–

+=

xy

dxdy

Solución: )3(1 ++= xCy

Resolver:

yeyxx

dxdy

++

=cos

12–6 5

Solución: Cxxxeseny y ++=+ 26 –