1 4 variables_separables
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Universidad Autónoma de Baja California UABC Facultad de Ingeniería Mexicali
Curso Ecuaciones Diferenciales
1.4 Variables Separables Una clase sencilla de ecuaciones diferenciales que se pueden resolver utilizando integración es la de las ecuaciones separables. Este método es considerado por muchos el más sencillo, sin embargo, la sencillez lleva sus limitantes, veamos un concepto importante. DEFINICION Ecuación separable Si el segundo miembro de una ecuación expresada de la forma
),( yxfdxdy
=
se puede expresar como una función que depende solamente de x, multiplicada por una función que depende solamente de y; entonces, la ecuación diferencial se llama separable. De acuerdo a lo anterior, una ecuación diferencial es separable solo si se puede escribir en la siguiente forma
)()( ypxgdxdy
=
Por ejemplo, veamos la ecuación
12
2 ++
=y
xyxdxdy
es separable ya que factorizando el numerador, podemos obtener lo siguiente:
( ) )()(1
21
222 ypxg
yyx
yxyx
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=++
Sin embargo, la ecuación
xydxdy
+= 1
no admite tal factorización en el segundo miembro y , por consiguiente, no es separable. Método para resolver ecuaciones separables Para resolver una ecuación diferencial de la forma:
)()( ypxgdxdy
=
Pasamos el término p(y) al primer miembro de la ecuación de tal manera que nos queda así:
)()(
1 xgdxdy
yp=
Por conveniencia expresaremos el término )(
1yp
como h(y); lo que nos queda así:
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Universidad Autónoma de Baja California UABC Facultad de Ingeniería Mexicali
Curso Ecuaciones Diferenciales
)()( xgdxdyyh =
Ahora procedemos a hacer un particular paso; la terminología de la primera derivada la separaremos en dos entidades diferentes, dy y dx, de tal manera que separándolas nuestra ecuación queda de la siguiente manera:
dxxgdyyh )()( = Luego se integran ambos miembros
∫∫ = dxxgdyyh )()( para finalmente obtener lo siguiente:
CxGyH += )()( La ecuación obtenida es generalmente una solución implícita. Notas importantes:
1) Observe claramente que se distingue entre h(y) y H(y), indicando la letra mayúscula la función ya integrada.
2) A pesar que el separar la terminología de la primera derivada en dos entidades diferentes no tiene sentido alguno, este paso es necesario para indicar la etapa de integración en el método.
3) No olvide la constante de integración al finalizar la resolución de la ecuación diferencial
Ejemplos:
Resolver:
2
5–y
xdxdy
= Solución: 31
2
315–2
3⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= Cxxy
Resolver:
31–
+=
xy
dxdy
Solución: )3(1 ++= xCy
Resolver:
yeyxx
dxdy
++
=cos
12–6 5
Solución: Cxxxeseny y ++=+ 26 –