Universidad Autónoma de Baja California UABC Facultad de Ingeniería Mexicali

Curso Ecuaciones Diferenciales

1.6 Ecuaciones Exactas Ahora veremos la resolución de ecuaciones exactas a través de su método correspondiente. Es importante señalar que este método se basa en el concepto del diferencial total de una función así como en la forma diferencial exacta de una ecuación diferencial, por lo que será importante definir primero dichos conceptos. Recuerde que la ecuación diferencial de primer orden

),( yxfdxdy

=

También puede expresarse en la forma diferencial

0),(),( =+ dyyxNdxyxM

Ejemplo:

La Ec. Diferencial 1–

–3 2

xyx

dxdy

= puede expresarse así: ( ) ( ) 01–3– 2 =+ dyxdxxy

DEFINICION Diferencial total de una función Recuerde que existe el concepto llamado diferencial total de una función expresado como ( , )dF x y , mismo que se define mediante:

( ) dyy

yxFdxx

yxFyxdF∂

∂+

∂∂

=),(),(:,

donde dx y dy son incrementos arbitrarios. DEFINICION Forma diferencial exacta. Se dice que la forma diferencial

dyyxNdxyxM ),(),( + es exacta, si existe una función ( , )F x y tal que

( ) ( )yxMyxxF ,, =∂∂

( ) ( )yxNyxyF ,, =∂∂

Dicho de otra manera, la forma diferencial dyyxNdxyxM ),(),( + es exacta si y solo si proviene de aplicar el diferencial total a una función ( , )F x y

DEFINICION Ecuación diferencial exacta. Si dyyxNdxyxM ),(),( + es una forma diferencial exacta, entonces la ecuación diferencial expresada como 0),(),( =+ dyyxNdxyxM se llama ecuación diferencial exacta.

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Ejemplo: La ecuación 0=⋅+⋅ dyxdxy es exacta, ya que:

( ) dyxdxyxyd ⋅+⋅= es la diferencial total de ( ) yxyxF ⋅=,

Ahora la pregunta debe ser, y cómo puedo verificar si una ecuación diferencial es exacta? El criterio de exactitud nos puede ayudar. Criterio de exactitud Supóngase que las primeras derivadas parciales de ( , )M x y y ( , )N x y son continuas en un rectángulo R. Entonces 0),(),( =+ dyyxNdxyxM es una ecuación exacta en R si y sólo si

( ) ( )yxxNyx

yM ,,

∂∂

=∂∂

para todo ( , )x y en R. Método para resolver ecuaciones exactas Paso 1. Si 0),(),( =+ dyyxNdxyxM es una ecuación diferencial exacta, entonces

(a)

a) ( )yxMx

yxF ,),(=

∂∂ b) ( )( , ) ,F x y N x y

y∂

=∂

(b) Observe que ambos incisos son verdaderos desde el momento en que la ecuación es exacta. Tomaremos como referencia solo uno, en este caso será el inciso a). Recuerde que en todo momento lo que queremos encontrar es la función ( , )F x y , de tal manera que procedemos a despejar dicho elemento a partir del inciso a). Observe que ( , )F x y esta afectado por un diferencial (derivada), así que integrando nos queda:

( ) ( ), ,F x y M x y dx C= +∫

Desde el momento en que estamos integrando con respecto a la variable independiente x , la variable dependiente y se considera como constante (si estuviéramos integrando con respecto a la variable dependiente y , entonces la variable independiente x sería considerada como constante). De acuerdo a lo anterior la constante numérica C bien podría ser una función que dependa de la variable dependiente y , por lo que podemos escribir la siguiente ecuación:

( ) ( ), , ( )F x y M x y dx g y= +∫

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Hasta este punto prácticamente tenemos una parte de la solución, ya que conocemos el valor de ( , )M x y ; nos falta encontrar el valor de ( )g y , procedimiento que veremos a continuación. Paso 2. Para determinar ( )yg , se realiza lo siguiente: se toma la derivada parcial con respecto a la variable dependiente y en ambos lados de la ecuación anterior. De lo anterior resulta:

( ) ( )( ), ( ), M x y dx g yF x yy y

∂ +∂=

∂ ∂∫

( ) ( )( )( )

,, M x y dxF x yg y

y y

∂∂′= +

∂ ∂∫

Observe que gracias a que la ecuación es exacta podemos sustituir ( )yxN , por ( )

yyxF

∂∂ ,

lo que nos da: ( )( )

( ),

( , )M x y dx

N x y g yy

∂′= +

∂∫

Paso 3. Despejamos )(yg ′ e integramos para obtener ( )yg . Sustituyendo ( )yg en

( ) ( ), , ( )F x y M x y dx g y= +∫ podemos tener el equivalente de ( , )F x y Paso 4. Finalmente la solución de la ecuación diferencial 0),(),( =+ dyyxNdxyxM está dada implícitamente por ( ) CyxF =, Ejemplos

Resuelva:

( ) ( ) 02sec–2 22 =++ dyyxdxxxy Solución: ( )

CyxyxyxyxyxF

=+

+=22

22

tan–tan–,

Resuelva: ( ) ( ) 021 =++++ dyxedxyxeye xxx Solución: Cxyyxex =++ 2

Factores integrantes para ecuaciones exactas

En ciertas ocasiones, una ecuación diferencial que no es exacta puede volverse exacta a través de lo que se conoce como un factor integrante. Este factor integrante es una función, que multiplicada por la ecuación diferencial en su forma diferencial, permite a dicha ecuación cumplir con criterio de exactitud.

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Para verificar si una ecuación diferencial posee un factor integrante se

consideran las siguientes dos condiciones:

1) Si y xM NN−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

es una función que depende solamente de la variable independiente

x , entonces un factor integrante para la ecuación diferencial es:

( )y xM N

dxNx eμ−

∫=

2) Si x yN MM−⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

es una función que depende solamente de la variable independiente

y , entonces un factor integrante para la ecuación diferencial es:

( )x yN M

dyMy eμ−

∫= Notas importantes

• La nomenclatura xN representa la derivada parcial de la función N con respecto a la variable x

• Recuerde que N y M se obtienen de la ecuación diferencial original en su forma diferencial

Ejemplo

Verifique que la siguiente ecuación diferencial no es exacta; encuentre un factor integrante y verifique nuevamente su criterio de exactitud.

( ) ( )2 22 3 20 0xy dx x y dy+ + − =