1 Algebra Vectorial

1.1 Introducción

En los asuntos cotidianos de nuestras vidas y aún más en la ciencia es útil eincluso a veces esencial describir con números objetos, eventos y fenómenos. Enalgunos casos un solo número basta. Por ejemplo, la distancia entre Tehuacán yel D.F. puede especi�carse con un solo número. Si embargo, la localización de laciudad de Tehuacán sobre la tierra requiere de dos números, y la localización deun objeto en el espacio requiere de tres. En la física, magnitudes tales como lafuerza, el desplazamiento, la velocidad y la aceleración pueden especi�carse contres números. Hay muchos ejemplos en los que para describir una situación físicase requieren más de tres números. Por ejemplo, para localizar una partícula enel espacio y en el tiempo se necesitan cuatro números. La descripción del estadodel mercado de valores o el estado de un circuito eléctrico puede fácilmenteexigir el empleo de miles de números.Todos los ejemplos anteriormente mencionados en los que una colección de

números especi�ca una magnitud física o una situación física, química, económicao social, son ejemplos de vectores. Como en el caso de los números reales, enlos vectores podemos de�nir operaciones. El conjunto de todos los vectores es-peci�cados por un número �jo de números reales con ciertas operaciones básicasde�nidas en estos vectores se llama espacio vectorial y el estudio de estas opera-ciones en los vectores se llama álgebra vectorial. El número de números realesnecesarios para especi�car los vectores en un espacio vectorial es la dimensióndel espacio. Así, un vector en el espacio de dimensión cuatro es una cuaternade números reales y, en general, un vector en un espacio n-dimensional es unan-ada de números reales.Como las operaciones que se de�nen sobre los vectores y sus propiedades

básicas no dependen de la dimensión del espacio, comenzaremos con el estudiode las propiedades algebraicas de los espacios vectoriales n-dimensionales.

1.2 Vectores

De�nición 1 El espacio vectorial n-dimensional, denotado por Vn, es elconjunto de todas las n-adas de números reales, a las que denotaremos porx = (x1; : : : ; xn), xi 2 R, (i = 1; : : : ; n) y llamaremos vectores, donde la relaciónde igualdad y las operaciones de adición y multiplicación por un número real sede�nen como sigue:Igualdad de vectores. Si x = (x1; : : : ; xn) y y = (y1; : : : ; yn) son vectores

en Vn, entoncesx = y si xi = yi 8 i = 1; : : : ; n:

Adición de vectores. Si x = (x1; : : : ; xn) y y = (y1; : : : ; yn) son vectoresen Vn, entonces

x+ y =(x1 + y1; : : : ; xn + yn):

1

Multiplicación de un vector por un número real. Si x = (x1; : : : ; xn)es un vector en Vn y r es un número real, entonces

r x = (r x1; : : : ; r xn):

En estas notas los vectores se representan con letras negritas, por ejemplo:x. Sin embargo, los vectores también suelen representarse por símbolos talescomo: �!x , x o x.El número xi se llama i-ésimo componente del vector x = (x1; : : : ; xn).La relación de igualdad y la operaciones de adición y multiplicacion por un

número real pueden expresarse verbalmente como sigue:Igualdad de vectores. Dos vectores de Vn son iguales si sus componentes

correspondientes son iguales. Por ejemplo, el vector x = (4; 0;�8; 4; 7) no esigual al vector y = (4; 0;�8; 7; 4).Adición de vectores. La suma de dos vectores es el vector obtenido

sumando los componentes correspondientes. Por ejemplo, si x = (3; 16;�2; 6; 10)y y = (34;�16;�4; 5; 27), entonces

x+ y = (3 + 34; 16 + (�16);�2 + (�4); 6 + 5; 10 + 27)= (37; 0;�6; 11; 37):

Multiplicación de un vector por un número real. El producto de unnúmero real r por un vector x es el vector que se obtiene al multiplicar cadacomponente de x por el número real r. Por ejemplo,

12 (�1; 0; 8) = (12 (�1);

12 (0);

12 (8))

= (� 12 ; 0; 4):

Como las operaciones de adición de vectores y multiplicación de un vectorpor número real son operaciones sobre los componentes de los vectores y loscomponentes son números reales, las propiedades de los números reales inducenciertas propiedades algebraicas correspondientes en Vn.

Ejemplo 1 Establezca la ley conmutativa para la adición de vectores: x+ y =y + x para todos los vectores x;y 2 Vn.

Solución. Sean u = x+y y v = y+x. Entonces, según la de�nición de adiciónde vectores

ui = xi + yi y vi = yi + xi 8i = 1; : : : n:Según la ley conmutativa para la adición de los números reales

ui = vi 8i = 1; : : : n:

Por lo tanto, de acuerdo con la de�nición de igualdad de vectores, u = v, esdecir x+ y = y + x.

Ejemplo 2 Establezca la siguiente ley distibutiva para vectores:

r(x+ y) = rx+ ry para cualesquiera x;y 2 Vn y todo r 2 R:

2

Solución.

r(x+ y) = r(x1 + y1; : : : ; xn + yn)

= (r(x1 + y1); : : : ; r(xn + yn))

= (rx1 + ry1; : : : ; rxn + ryn)

= (rx1; : : : ; rxn) + (ry1; : : : ; ryn)

= rx+ ry:

y esto completa la prueba.De modo análogo al empleado en los anteriores ejemplos, cada una de las

siguientes propiedades algebraicas fundamentales del espacio vectorial n-dimen-sional Vn se pueden demostrar con facilidad.

Teorema 1 Propiedades algebraicas fundamentales.

A1 Para cualesquiera x y y en Vn , x+ y 2 Vn:

A2 Para cualesquiera x y y en Vn , x+ y = y + x:

A3 Para cualesquiera x, y y z en Vn , (x+ y) + z = x+ (y + z):

A4 Hay un y sólo un vector en Vn� denotado por 0 y llamado vector cero� conla propiedad de que

x+ 0 = x 8x 2 Vn; (0 = (0; : : : 0)):

A5 Para todo x 2 Vn hay un vector único � denotado por �x� con lapropiedad de que

x+ (�x) = 0; (�x =(�1)x):

S1 Para todo x 2 Vn y todo r 2 R, rx 2 Vn.

S2 Para todo x 2 Vn, 1x = x:

S3 Para cualesquiera r; s 2 R y todo x 2 Vn, r(sx) = (rs)x:

S4 Para cualesquiera r; s 2 R y todo x 2 Vn, (r + s)x = rx+sx:

S5 Para todo r 2 R y cualesquiera x;y 2 Vn , r(x+ y) = rx+ ry:

Nota: Las propiedades A1 a A5 del teorema 1 implican que el conjunto devectores n-dimensionales es un grupo conmutativo bajo la operación de adición.La sustracción de vectores puede de�nirse en términos de la adición de vec-

tores.

De�nición 2 Para cualesquiera x;y 2 Vn ,

x� y = x+ (� y);

es decir, x� y = (x1 � y1; : : : ; xn � yn):

3

1.2.1 Ejercicios

1. Sean a = (3;�5; 4), b = (2; 5; 7), c = (0; 2; 1), P0 = (0; 5; 6) y P1 =(�1;�5; 2).Encuentre:

(a) a+ b

(b) 3a+ 4b� 3c(c) P0 + t(P1 �P0)(d) P0 + ta; t = 0;�1;�2;�3(e) P0 + sa+tb; (s;t) = (0; 0); (1; 0); (0; 1); (1; 1); (�1;�1):

2. Demuestre que:

(a) Si a+ b = a+ c, entonces b = c:

(b) Si rx = 0, entonces r = 0 o x = 0.

(c) Si rx = sx y x 6= 0, entonces r = s:

3. Resuelva:

(a) 2(0; 3) + 8x = (1;�7)(b) 3(x� (8;�3;�2; 1)) = 6(7; 0;�5;�10)

4. En cada una de las siguientes ecuaciones determine si hay o no númerosreales r que las satisfagan:

(a) r(3;�2) = r(6; 4)(b) r(1;�12; 8; 13) = (3;�36; 24; 40)(c) r(4; 2; 0; 5) + 3(4;�2; 6; 0) = 2(6;�3; 9; 0)(d) 2r(4; 6;�10) + 3(�2; 4; 8) = 2(�3; 6; 12) + 4r(2; 3;�5)

1.3 Representación geométrica de los vectores

En esta sección estudiaremos las ideas geométricas intuitivas que están rela-cionadas con el álgebra vectorial y que servirán en la construcción del modeloanálitico del espacio euclidiano n-dimensional. Los vectores en el espacio tridi-mensional se representan mediante �echas o segmentos dirigidos. Mediante con-strucciones geométricas con estas �echas dibujaremos diagramas que ilustren elálgebra vectorial. Aunque esta imagen de un vector como objeto geométricoconcreto está limitada a los espacios vectoriales de una, dos y tres dimensiones,el lenguaje utilizado para los vectores de los espacios n-dimensionales se derivade esta representación geométrica.Escojamos en un espacio tridimensional (�gura 1):

4

Figure 1: Representación geométrica de un vector.

1) un punto O; 2) tres rectas perpendiculares entre sí X1, X2 y X3 quepasen por O; 3) direcciones positivas sobre estas tres rectas; y 4) una unidadde medida de distancias.

Un sistema como el descrito se llama sistema cartesiano o de coordenadasrectangulares. Convenimos desde ahora en que siempre limitaremos nuestrasilustraciones a sistemas levógiros o de mano derecha. Esto signi�ca que lasdirecciones positivas de las tres rectas llamadas ejes han sido escogidas de talmodo que cuando el pulgar de la mano derecha apunta en la dirección positivadel eje X1 y el dedo índice apunta en la dirección positiva del eje X2, entoncesel dedo cordial señala la dirección positiva del eje X3. Los sistemas levógirosde coordenadas también pueden describirse diciendo que la rotación en el planoX1X2 de 90 � de la semirrecta positiva del eje X1 a la semirrecta positiva deleje X2 es contraria a la dirección de giro de las manecillas del reloj cuando seve desde la semirrecta positiva del eje X3.Dado un vector a = (a1; a2; a3) en V3, construimos una �echa que represente

el vector a como sigue (ver �gura 1): elegimos un punto arbitrario P0; nosmovemos la distancia a1 paralelamente al eje X1 desde P0 y localizamos elpunto P1 (el número a1 es una distancia dirigida; a1 positivo signi�ca quedebemos movernos en la dirección positiva del eje X1 y a1 negativo que debemosmovernos en la dirección opuesta); de P1 nos movemos la distancia dirigida a2paralelamente al eje X2 y localizamos así el punto P2; nos movemos de P2 ladistancia dirigida a3 paralelamente al ejeX3 y localizamos el puntoP3. La �echade P0 a P3, que también denotaremos con a, es una representación geométrica

5

Figure 2: La suma de dos vectores.

del vector a. A P0 se le llama punto inicial de la �echa a y al punto P3 supunto terminal. Recíprocamente, dada una �echa de P0 a P3, construyendoun paralelepípedo rectangular del que P0 y P3 sean vértices opuestos y concaras paralelas a los planos X1X2, X2X3, y X3X1, se puede asignar un vectora = (a1; a2; a3) a tal �echa.Al construir la �echa que representa un vector a, elegimos arbitrariamente

el punto inicial P0. Así, el mismo vector a puede estar representado por �echasdiferentes. En algunas aplicaciones se establecen restricciones sobre la local-ización de P0. Por ejemplo, puede ser que se especi�que cuál ha de ser el puntoinicial. Si el punto inicial es el origen O, el vector a se llama radio vector y la�echa OP se denomina vector de posición del punto P(a1; a2; a3). En cualquiercaso, el vector a = (a1; a2; a3) determina tanto la longitud como la dirección dela �echa; dos �echas cualesquiera que representen el mismo vector a serán dela misma longitud (magnitud) y apuntarán en la misma dirección. Es en estesentido que se dice que un vector especi�ca una magnitud y una dirección.La suma a + b = (a1 + b1; a2 + b2; a3 + b3) de un par de vectores en V3 se

ilustra en �gura 2.El punto inicial de b se coloca en el punto terminal de a. La �echa a + b

es entonces la �echa que tiene como punto inicial el punto inicial de a y comopunto terminal el punto terminal de b.La �gura 3 ilustra la multiplicación de un vector a por un número real r. La

�echa ra es paralela a la �echa a y su longitud es jrj veces la longitud de a; raapunta en la misma dirección que a si r > 0, y si r < 0, la dirección de ra es laopuesta a la de a.

6

Figure 3: Multiplicación de un vector por un número real.

La �gura 4 ilustra la ley conmutativa A2 para la adición de vectores. Lasuma a+ b es una diagonal del paralelogramo cuyos lados son a y b.La otra diagonal está relacionada con la diferencia de los dos vectores. Esto

se ilustra en la �gura 5.Los vectores a y b están construidos con el mismo punto inicial. Entonces,

el vector a� b es el vector del punto terminal de b al punto terminal de a. La�gura 5 también ilustra que b+ (a� b) = a. La ley asociativa A3 se ilustra enla �gura 6.

1.3.1 Ejercicios

1. Calcúlese grá�camente lo siguiente:

(a) (3;�5) + (5;�3)(b) (1; 1) + (�2; 5) + (�3;�2)(c) (cos 30 �; sen 30 �) + (cos 45 �; sen 45 �)

2. Demuestre grá�camente que hay números reales r y s que satisfacen

c = ra+ sb

donde

(a) a = (5; 1), b = (3; 5), c = (5; 5)

(b) a = (2;�1), b = (3; 2), c = (5; 2)(c) a = (�1;�2), b = (�1; 3), c = (4; 1)

3. ¿Qué condiciones sobre a, b y c nos aseguran que a, b y c son los ladosde un triángulo?

7

Figure 4: Ley conmutativa para la adición de vectores.

Figure 5: La diferencia de dos vectores.

8

Figure 6: Ley asociativa para la adición de vectores.

1.4 Paralelismo de vectores

En la sección anterior vimos que los vectores a y ra, donde r 6= 0, están repre-sentados por �echas que son paralelas (�gura 3). De�nimos ahora el paralelismoentre vectores.

De�nición 3 Se dice que dos vectores en Vn son paralelos si uno de ellos esigual al producto del otro por un número real.

Observe que como 0 = 0a para todo a 2 Vn, el vector cero es paralelo atodos los vectores.

De�nición 4 Dos vectores distintos de cero a;b 2 Vn se dice que tienen lamisma dirección si b = r a donde r > 0, y se dice que tienen direcciones opuestassi b = r a donde r < 0.

Ejemplo 3 ¿Son paralelos los vectores (2; 1; 5) y (�6;�3;�15)?Solución. Como (�6;�3;�15) = �3(2; 1; 5), los vectores son paralelos y dedirecciones opuestas.

Ejemplo 4 ¿Son paralelos los vectores (1; 3; 2) y (3; 9; 7)?

Solución. Si los vectores fueran paralelos, como ninguno de ellos es cero, cadauno de ellos sería paralelo al otro si hubiera un número real r tal que

(1; 3; 2) = r(3; 9; 7):

Pero esto implica que 3r = 1, 9r = 3 y 7r = 2. Como no hay un número real rcon esta propiedad, los vectores no son paralelos.

9

1.4.1 Ejercicios

1. ¿Cuáles de los siguientes pares de vectores tienen la misma dirección? ,¿cuáles son paralelos?

(a) (1; 1), (2; 2)

(b) (1; 2; 1;�1), (�3;�6;�3;�3)(c) (1;�2; 2;�1), (�2; 4;�4; 2)(d) (5; 7; 2), (�15;�21;�6)(e) (3; 9); (�4;�6)

2. Pruebe que si c 6= 0 y si a y b son paralelos a c, entonces a y b sonparalelos. (Vectores paralelos a un mismo vector no nulo son paralelosentre sí.)

3. Pruebe que si d = b+ c y si b es paralelo a a, entonces d es paralelo a asi y sólo si c es paralelo a a. Ilustre grá�camente este resultado.

1.5 Ortogonalidad de vectores

Sea a = (a1; a2; a3) un vector en V3. Ya sabemos que una interpretación ge-ométrica del vector a es una �echa en el espacio (ver �gura 7). Si el espacioes euclidiano y si los ejes son rectangulares (mutuamente perpendiculares), en-tonces el teorema de pitágoras se veri�ca y, por tanto, la longitud de la �echaque representa a a es

pa21 + a

22 + a

23. Como nuestra geometría es euclidiana,

de�nimos la longitud del vector a en V3 comopa21 + a

22 + a

23. Generalizando

esta longitud euclidiana, introducimos la siguiente de�nición.

De�nición 5 La longitud de un vector a = (a1; : : : ; an) 2 Vn, denotada por jaj,se de�ne como

jaj =qa21 + � � �+ a2n =

"nXk=1

a2k

#1=2:

Un vector de longitud igual a la unidad se le llama vector unitario. A Vncon la longitud que acabamos de de�nir se le llama espacio vectorial euclidianon-dimensional.

Teorema 2 Las propiedades fundamentales de la longitud de un vector son:Para cualesquiera a;b 2 Vn y para todo r 2 R.

1. jaj � 0; jaj = 0 si y sólo si a = 0:

2. jr aj = jrj jaj:

3. ja+ bj � jaj+ jbj (desigualdad del triángulo).

10

Figure 7: Interpretación geométrica de un vector en el espacio de tres dimen-siones.

Prueba. Probamos el inciso 1. Por de�nición, jaj � 0. Ahora bien, jaj2 =a21 + � � �+ a2n, y por tanto, si ai 6= 0 para una i = 1; : : : ; n cualquiera, entoncesjaj 6= 0. Por tanto jaj = 0 implica a1 = 0; : : : ; an = 0; entonces

a = (a1; : : : ; an) = (0; : : : ; 0) = 0:

Probamos el inciso 2.

jraj = j(ra1; : : : ; ran)j =p(ra1)2 + � � �+ (ran)2

=pr2qa21 + � � �+ a2n

= jrj jaj:

La prueba de la desigualdad del triángulo se dará en la sección 1.7. Entoncesno será di�cil demostrar que si a y b no están en la misma dirección, entoncesja + bj < jaj + jbj, (a 6= 0, b 6= 0). Esta desigualdad corresponde al teoremageométrico que establece: la longitud de un lado de un triángulo no degeneradoes menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados (ver la �gura 8)Observe que la notación para la longitud de un vector es la misma que la

usada para el valor absoluto de un número real. La razón para haber elegidotal notación es que las propiedades fundamentales del valor absoluto de unnúmero real y las de la longitud de un vector son las mismas. En realidad,si consideramos a los números reales como vectores en V1, entonces el valorabsoluto es la longitud del vector unidimensional, es decir, jrj =

pr2.

11

Figure 8: Desigualdad del triángulo.

Figure 9: Ortogonalidad de vectores.

La palabra ortogonal signi�ca en ángulo recto y es sinónima de perpendic-ular. Sean a y b los lados de un paralelogramo (ver la �gura 9). Los vectoresa+b y a�b son las diagonales del paralelogramo. Expresada geométricamente,la de�nición de ortogonalidad es: a es ortogonal a b si las diagonales del paralel-ogramo formado por a y b son de igual longitud; es decir, si el paralelogramoes un rectángulo.

De�nición 6 Un vector a se dice que es ortogonal a un vector b si

ja+ bj = ja� bj:

Como ja+bj = jb+aj y ja�bj = jb�aj, es claro que a ortogonal a b implicab ortogonal a a. Por esta razón se usa con frecuencia la expresión de que a y bson mutuamente ortogonales. Diremos también que, a y b son ortogonales.

12

El vector cero tiene la propiedad muy especial de ser ortogonal a todos losvectores.

Ejemplo 5 ¿Son ortogonales los vectores a = (5;�8; 3) y b = (2; 5; 10)?

Solución. Utilizando la de�nición 6 de ortogonalidad de vectores tenemos:

ja+ bj = j(5;�8; 3) + (2; 5; 10)j= j(7;�3; 13)j=

p(7)2 + (�3)2 + (13)2 =

p227

y

ja� bj = j(5;�8; 3)� (2; 5; 10)j= j(3;�13;�7)j=

p(3)2 + (�13)2 + (�7)2 =

p227:

Como ja+ bj = ja� bj, los vectores son ortogonales.

Ejemplo 6 ¿Son ortogonales los vectores a = (�2; 6; 4;�3) y b = (3; 12 ; 1;�1)?

Solución. Utilizando la de�nición 6 de ortogonalidad de vectores tenemos:

ja+ bj = j(�2; 6; 4;�3) + (3; 12; 1;�1)j

= j(1; 132; 5;�4)j

=

r(1)2 + (

13

2)2 + (5)2 + (�4)2 =

r42 +

169

4

y

ja� bj = j(�2; 6; 4;�3)� (3; 12; 1;�1)j

= j(�5; 112; 3;�2)j

=

r(�5)2 + (11

2)2 + (3)2 + (�2)2 =

r38 +

121

4:

Como ja+ bj 6= ja� bj, los vectores no son ortogonales.

1.5.1 Ejercicios

1. Si a = (3; 0; 5) y b = (2;�1;�3), calcúlese la longitud de:

(a) a

(b) b

13

(c) a+ b

(d) a� b(e) 3a

(f) �3(a� b)(g) 1

2b

(h) 3a� 12b

(i) a=jaj(j) b=jbj(k) (a+ b)=ja+ bj

(l)a

jaj +b

jbj

2. Demuestre que j � aj = jaj:

3. Determine si los siguientes pares de vectores son ortogonales.

(a) (�1; 3;�3) y (3; 3; 2)(b) (1; 0; 0) y (0; 1; 0)

(c) (2; 8; 4) y (0; 0; 0)

(d) (3; 2; 0) y (1;�1; 0)

4. Demuestre que a+ b y a� b son ortogonales si y sólo si jaj = jbj: ¿Cuáles la interpretación geométrica de este hecho?

5. Demuestre que si a es un vector distinto de cero, entonces1

jaja es unvector de longitud igual a uno que tiene la misma dirección que a. A unvector de longitud igual a la unidad se le llama vector unitario.

6. Encuentre los vectores unitarios en la dirección de:

(a) (1; 1)

(b) (1;�1; 1)(c) (2; 3;�7)

1.6 El producto escalar

Nuestra de�nición de ortogonalidad de un par de vectores a = (a1; : : : ; an) yb = (b1; : : : ; bn) es equivalente a a�rmar que la diferencia de los cuadrados delas longitudes de las diagonales a+ b y a� b del paralelogramo de lados a y bes cero; es decir,

ja+ bj2 � ja� bj2 = 0:

14

Como

ja+ bj2 � ja� bj2 =nXk=1

(ak + bk)2 �

nXk=1

(ak � bk)2

=nXk=1

(a2k + 2akbk + b2k � a2k + 2akbk � b2k)

= 4nXk=1

akbk; (1)

la ortogonalidad de los vectores a y b es equivalente a la anulación dePn

k=1 akbk.Esta expresión

Pnk=1 akbk es de considerable importancia en álgebra, geometría

y física, y es por ello que se le ha dado un nombre especial.

De�nición 7 El producto escalar a � b � léase a punto b� de dos vectoresa;b 2 Vn, donde a = (a1; : : : ; an) y b = (b1; : : : ; bn), está de�nido por

a � b =

nXk=1

akbk

= a1b1 + � � �+ anbn:

Observe que el producto escalar de dos vectores no es un vector, es unnúmero real. En física, magnitudes tales como la longitud, el trabajo, la masa,la temperatura, etc., se llaman magnitudes escalares; tienen magnitud, pero nodirección y quedan especi�cadas (medidas) por números reales. En matemáti-cas, a menudo se usa el término producto interior en lugar del término productoescalar. Otro nombre para este producto, es el sugerido por la notación: pro-ducto punto.La ecuación 1 puede escribirse ahora:

ja+ bj2 � ja� bj2 = 4(a � b) (2)

y podemos enunciar el siguiente:

Teorema 3 Dos vectores a y b son ortogonales si y sólo si a y b = 0:

Ejemplo 7 Aplique el teorema que se acaba de enunciar para determinar laortogonalidad en los ejemplos 5 y 6.

Solución. Del ejemplo 5:

a � b = (5;�8; 3) � (2; 5; 10) = 10� 40 + 30 = 0:

Por tanto, los vectores son ortogonales.Solución. Del ejemplo 6:

a � b = (�2; 6; 4;�3) � (3; 12 ; 1;�1) = �6 + 3 + 4 + 3 = 4 6= 0:

Por tanto, los vectores no son ortogonales.

15

Teorema 4 Las propiedades fundamentales del producto escalar.

1. a � b = b � a

2. (ra)�b = r(a � b)

3. a � (b1 + b2) = a � b1 + a � b2

4. a � a � 0; a � a = 0 si y sólo si a = 0:

La propiedad 1 del teorema 4 a�rma que la ley conmutativa se veri�ca parael producto escalar y la 3 que también se cumple la ley distributiva. Se observaque la propiedad 4 es una reformulación de la propiedad 1 del teorema 2 ya que

a � a =nXk=1

a2k = jaj2:

Las propiedades 1, 2 y 4 son simples consecuencias de las propiedades de losnúmeros reales.Mostraremos ahora que las de�niciones de longitud y ortogonalidad implican

el teorema de pitágoras.

Teorema 5 a es ortogonal a b si y sólo si

ja+ bj2 = jaj2 + jbj2:

Prueba. De acuerdo con las propiedades fundamentales del producto escalar,

ja+ bj2 = (a+ b) � (a+ b)= a � (a+ b) + b � (a+ b)= a � a+ a � b+ b � a+ b � b= jaj2 + 2(a � b) + jbj2:

Vemos pues que ja+ bj2 = jaj2 + jbj2 si y sólo si a � b = 0; es decir, si y sólo sia es ortogonal a b.

1.6.1 Ejercicios

1. Sean a = (3; 0; 5), b = (2;�1;�3); P0 = (1;�2; 1) y P1 = (2; 3;�1).Encuentre:

(a) a � b(b) a � (P1 �P0)(c) b � (P1 �P0)(d) (a+ b) � (P1 �P0)(e) a � a(f) b � b

16

(g) (a+ b) � (a� b)(h) ja+ bj2

2. Determine si los siguientes pares de vectores son ortogonales.

(a) (2; 1;�3; 4) y (3; 4; 2;�1)(b) (3; 2; 0;�1) y (4;�1; 7; 2)(c) (�18; 2; 3; 4) y (2; 6; 12; 3)(d) (1; 0; 0; 0) y (0; 0; 1; 0)

3. Pruebe los tres primeros incisos del teorema 4.

4. Demuestre que:

(a) (a+ b) � (a� b) = jaj2 � jbj2

(b) ja+ tbj2 = jaj2 + 2t(a � b) + t2jbj2

1.7 Proyección ortogonal. Componentes.

Dados dos vectores no nulos a y b construya un triángulo rectángulo conhipotenusa a y base paralela a b (ver �gura 10). Como cualquier vector paraleloa b puede representarse por rb con r igual a un número real, lo que deseamoses construir un triángulo de lados a, rb y c = a� rb tal que c sea ortogonal ab. Pero a� rb es ortogonal a b si y sólo si

(a� rb) � b = a � b� rjbj2 = 0:

Por tanto, r =a � bjbj2 es el único número tal que a� rb es ortogonal a b y el

triángulo rectángulo deseado de hipotenusa a tiene ladosa � bjbj2 b y a �

a � bjbj2 b.

El ladoa � bjbj2 b que es paralelo a b se denomina proyección ortogonal de a sobre

b.

De�nición 8 Sean a;b 2 Vn con b 6= 0: La proyección ortogonal de a sobreb, denotada Proyba, es el vector

Proyba =a � bjbj2 b:

La proyección de a sobre b puede escribirse en la forma

Proyba =a � bjbj

b

jbj :

Como el vectorb

jbj es un vector unitario en la dirección de b, el númeroa � bjbj

es la longitud dirigida de Proyba. Este número se llama componente de a enla dirección de b.

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Figure 10: Proyección ortogonal.

De�nición 9 El númeroa � bjbj se llama componente de a en la dirección de b

y se denota por Compba; es decir,

Compba =a � bjbj :

La relación entre proyección (un vector) y componente (un número) es

Proyba =a � bjbj

b

jbj = (Compba)b

jbj : (3)

Si Compba > 0, entonces Proyba está en la dirección de b (ver la �gura11a). Si Compba < 0, entonces Proyba está en la dirección opuesta de b(ver la �gura 11b). Si Si Compba = 0, entonces los vectores Proyba y b sonortogonales.Nota: Si b0 es un vector cualquiera no nulo paralelo a b, entonces Proyba =

Proyb0a (ejercicio 5a). Así, Proyba no cambia cuando b se reemplaza porcualquier vector no nulo paralelo a b. Por otra parte, si b0 es un vector distintode cero paralelo a b, entonces Compb0a = Compba o Compb0a = �Compbasegún que b y b0 tengan igual dirección o direcciones opuestas (ver ejercicios5b y 5c).Como el componente de un vector en la dirección de otro vector tiene un

signi�cado geométrico de�nido, la relación entre componente y el producto es-calar introduce una interpretación geométrica del producto escalar. Según la

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Figure 11: Dirección del vector Proyba:

de�nición de componente,

a � b = jbjCompba: (4)

Esta ecuación nos dice: el producto escalar a � b es la longitud de b por elcomponente de a en la dirección de b.En el espacio vectorial bidimensional V2 (�gura 11),

Compba = jaj cos �;

donde � es el ángulo de b a a y, por tanto,

a � b = jaj jbj cos �:

La misma terminología puede extenderse para Vn. Consideremos un ángulo enel espacio n-dimensional como determinado por un par de vectores distintos decero a y b. Si � es el ángulo determinado por los vectores distintos de cero a yb en Vn, de�nimos el cos � por la relación

cos � =a � bjaj jbj :

La interpretación geométrica del producto escalar sugiere una importante propiedadllamada desigualdad de Schwarz.

Teorema 6 (Desigualdad de Schwarz). Para cualesquiera a;b 2 Vn,

ja � bj � jaj jbj

donde la igualdad se veri�ca si y sólo si a y b son paralelos.

Prueba. (Ver la �gura 10) Si a no es paralelo a b, hay un triángulo rectángulocon hipotenusa a y base Proyba. Sea c = a � Proyba 6= 0 el tercer lado deeste triángulo rectángulo. De acuerdo con el teorema de Pitágoras tenemos

jProybaj2= jaj2 � jcj2 < jaj2

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ojProybaj <jaj:

De las ecuaciones 4 y 3 se deduce

ja � bj = jbjjCompbaj = jbjjProybaj < jbj jaj

de modo que si a no es paralelo a b,

ja � bj � jaj jbj:

Si a es paralelo a b y a o b es nulo, entonces la desigualdad de Schwarz severi�ca (0 = 0).Si a y b son vectores paralelos no nulos, entonces a = r b para algún número

real r y, por tanto,

ja � bj = j(rb) � bj = jrj jbj2 = jrbjjbj = jajjbj:

Esto completa la prueba.La desigualdad del triángulo es ahora una simple consecuencia de la desigual-

dad de Schwarz.Prueba. (Prueba de la desigualdad del triángulo). Como a � b � ja � bj, de ladesigualdad de Scwarz se deduce

a � b � ja � bj � jaj jbj:

De donde

ja+ bj2 = (a+ b) � (a+ b) = jaj2 + 2a � b+ jbj2

� jaj2 + 2 jaj jbj+ jbj2 = (jaj+ jbj)2:

Esto implica la desigualdad del triángulo.Es claro que si a es el vector cero o b es el vector cero, se veri�ca la igualdad

en la desigualdad del triángulo. Si a y b son vectores distintos de cero, laigualdad se veri�ca si y sólo si a y b son vectores paralelos, es decir a = rb paraun cierto número real r. Si a = rb, entonces

jaj jbj = jrbj jbj = jrj jbj2

ya � b =(rb) � (b) =r jbj2

y por tanto a � b = jaj jbj si y sólo si r = jrj, es decir, r � 0. Vemos pues que laigualdad se veri�ca en la desigualdad del triángulo si y sólo si a = 0, b = 0, oa y b están en la misma dirección.

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1.7.1 Ejercicios

1. Exprese en cada uno de los siguientes casos, al vector a como la suma deun vector paralelo a b y un vector ortogonal a b.

(a) a = (3; 8), b = (1; 0)

(b) a = (�5; 8), b = (1; 1)(c) a = (1; 2; 3), b = (1; 1; 0)

(d) a = (2; 1; 1), b = (1; 2; 0)

2. En cada uno de los siguientes calcúlese Compba y Proyba.

(a) a = (3; 8), b = (1; 0)

(b) a = (�5; 8), b = (1; 1)(c) a = (1; 2;�3), b = (0; 0; 1)(d) a = (1; 1; 1), b = (1; 0; 1)

3. Demuestre que Compb(a1 + a2) = Compba1 + Compba2:

4. Demuestre que:

(a) si b y b0 son vectores paralelos no nulos, entoncesProyba = Proyb0a:

(b) si b y b0 son vectores que están en la misma dirección, entoncesCompba = Compb0a:

(c) si b y b0 son vectores que están direcciones opuestas, entonces Compba =�Compb0a:

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