Algebra II

6 de abril de 2018

En estos apuntes A denotara siempre un anillo, y k un cuerpo.

1. Anillos de Fracciones

Definicion: S ⊆ A es un sistema multiplicativo si 1 ∈ S, y s, t ∈ S ⇒ st ∈ S.Consideremos en A× S la siguiente relacion,

(a, s) ≡ (b, t) ⇔ existen u, v ∈ S tales que au = bv, su = tv,

que es de equivalencia. Claramente es simetrica y reflexiva, y es transitiva:Si (a, s) ≡ (b, t) ≡ (c, r), existen u, v, u′, v′ ∈ S tales que au = bv, su = tv,

bu′ = cv′, tu′ = rv′. Luego auu′ = bvu′ = cvv′, suu′ = tvu′ = rvv′, dondeuu′, vv′ ∈ S porque S es un sistema multiplicativo; ası que (a, s) ≡ (c, r).

La localizacion AS de A por S, o anillo de fracciones con denominadoren S, es el conjunto cociente (A× S)/≡, con la estructura de anillo

a

s+b

t=at+ bs

st,

a

s· bt=ab

st

donde as denota la clase de (a, s), de modo que a

s = ausu para todo u ∈ S.

Para ver que estas operaciones no dependen de los representantes elegidos,basta comprobarlo cuando a

s se sustituye por ausu :

au

su+b

t=

(at+ bs)u

stu=at+ bs

st,

au

su· bt=abu

stu=ab

st

En AS , tenemos que 0 = 0s , 1 = s

s , y −as = −a

s .Ademas, as = 0 si y solo si ua = 0 para algun u ∈ S.

Luego as = b

t si y solo si u(at− bs) = 0 para algun u ∈ S.El morfismo de anillos γ : A→ AS , γ(a) =

a1 , es el morfismo de localiza-

cion, y γ(s) es invertible en AS para todo s ∈ S, pues su inverso es 1s .

Teorema: Si A es ıntegro, entonces S = A− {0} es un sistema multiplicativo,el morfismo canonico γ : A → AS es inyectivo, y el anillo AS es un cuerpo(llamado cuerpo de fracciones de A).

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Demostracion: S es un sistema multiplicativo porque 1 = 0, y el producto deelementos no nulos nunca es nulo, cuando A es ıntegro. Ademas, si a1 = 0, existes = 0 tal que sa = 0; luego a = 0. Es decir, γ es inyectivo, y AS = 0.

Si as = 0, entonces a = 0. Luego a ∈ S, y sa ∈ AS es el inverso de a

s en AS .

Proposicion: Si J es un ideal de AS, existe un ideal I de A tal que J = IAS ={as ; a ∈ I}.

Demostracion: Claramente I = {a ∈ A : a1 ∈ J} es un ideal de A, y {as ; a ∈I} ⊆ IAS ⊆ J .

Ahora, si bt ∈ J , entonces b1 = t

1bt ∈ J ; luego b ∈ I y b

t ∈ {as ; a ∈ I}.

Propiedad Universal: Si f : A → B es un morfismo de anillos y f(s) esinvertible en B para todo s ∈ S, entonces existe un unico morfismo de anillosψ : AS → B tal que ψ(a1 ) = f(a),

Af //

γ ��666

66B

AS

ψ

DD�����

f = ψ γ

Demostracion: El unico morfismo posible, ψ : AS → B, ψ(as ) = f(a)f(s)−1, nodepende del representante a

s elegido,

ψ(ausu ) = f(au)f(su)−1 = f(a)f(u)f(s)−1f(u)−1 = f(a)f(s)−1.

Ejemplos: El cuerpo de fracciones del anillo Z es Q.Si k es un cuerpo, el anillo de polinomios k[x1, . . . , xn] es ıntegro y su cuerpo

de fracciones k(x1, . . . , xn) se llama cuerpo de fracciones racionales en nindeterminadas con coeficientes en k.

Definicion: Un dominio de factorizacion unica es un anillo ıntegro en quetodo elemento propio descompone, de modo unico salvo el orden y factoresinvertibles, en producto de elementos irreducibles (Es decir, si a ∈ A no es nuloni invertible, existen irreducibles p1, . . . , pr ∈ A, r ≥ 1, tales que a = p1 · · · pr. Sia = q1 · · · qs es otra descomposicion de a en producto de irreducibles, entoncesr = s y, despues de reordenar los factores si fuera preciso, qi = uipi para ciertosinvertibles u1, . . . , ur ∈ A).

Ejemplos: Los dominios de ideales principales (Z, k[x],...) son DFU.

En los DFU vale el lema de Euclides (ca. 325 a. C.-ca. 265 a. C.): Siun elemento irreducible p divide a un producto de elementos, entonces dividea algun factor (es decir, pA es un ideal primo de A). En efecto, si bc = pa,al descomponer b y c en producto de irreducibles, algun factor debe coincidir,salvo un invertible, con p; luego b o c es multiplo de p. q.e.d.

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Las demostraciones dadas en Z prueban las siguientes afirmaciones en cual-quier anillo A que sea DFU (donde Σ denota su cuerpo de fracciones):

Si d|bc y no tiene factores irreducibles comunes con b, entonces d|c.

Si p(x) = c0xn+c1x

n−1+ . . .+cn ∈ A[x] y α es una raız de p(x) en Σ, entoncesα = a/b donde a ∈ A divide a cn y b divide a c0.

Cualquier elemento de Σ que sea raız de un polinomio unitario con coeficientesen A necesariamente esta en A.

Lema de Gauss (1777-1855): Si un polinomio no constante en A[x] descomponeen producto de polinomios con coeficientes en Σ, multiplicando los factores porconstantes tenemos una descomposicion en A[x].

En particular, si q(x) es irreducible en A[x], tambien lo es en Σ[x].

Corolario: Un polinomio no constante, con coeficientes en A y sin factoresirreducibles comunes, es irreducible en A[x] si y solo si es irreducible Σ[x].

Si el producto de dos polinomios unitarios con coeficientes en Σ tiene coefi-cientes en A, ambos polinomios tienen coeficientes en A.

Criterio de Eisenstein (1823-1852): Sea q(x) = c0xn+c1x

n−1+. . .+cn ∈ A[x]no constante. Si los coeficientes carecen de factores irreducibles comunes y existeun elemento irreducible p ∈ A que divide a c1, . . . , cn y p2 no divide a cn,entonces q(x) es irreducible en A[x], (y en Σ[x] por el lema de Gauss).

Lema: Si un anillo A es ıntegro, entonces A[x] es ıntegro y A[x]∗ = A∗.

Demostracion: (anxn + . . .)(bmx

m + . . .) = anbmxn+m + . . ., ası que gr (PQ) =

grP + grQ. Luego A[x] es ıntegro, y los invertibles son de grado 0.

Teorema: Si A es un dominio de factorizacion unica, A[x] tambien lo es.

Demostracion: La descomposicion en factores irreducibles de P ∈ A[x] se pruebapor induccion sobre el grado. Pongamos P = dQ, donde los coeficientes de Qya no tienen factores irreducibles comunes.

Si Q es irreducible, P = dQ es producto de irreducibles.Si Q no es irreducible, Q = Q1Q2, donde Q1 y Q2 no pueden ser constantes;

luego son de grado menor que Q, y son producto de irreducibles por induccion;luego P = dQ1Q2 tambien.

Unicidad : Consideremos dos descomposiciones en factores irreducibles,

p1 . . . prP1(x) . . . Ps(x) = q1 . . . qmQ1(x) . . . Qn(x),

donde pi, qj ∈ A; grPi, grQj ≥ 1. Sea Σ el cuerpo de fracciones de A.El anillo Σ[x] es euclıdeo, y los factores Pi, Qj son irreducibles en Σ[x] por

el lema de Gauss.

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Luego s = n, y reordenando tendremos Qi =aibiPi (donde ai, bi no tienen

factores irreducibles comunes); biQi = aiPi, y los factores irreducibles de bi(resp. ai) dividirıan a Pi (resp. Qi), que es irreducible: ai y bi son invertibles, yp1 · · · pr = uq1 · · · qm, con u ∈ A invertible.

Luego r = m y, reordenando los factores, pi = qi salvo invertibles.

Corolario: Z[x1, . . . , xn] y k[x1, . . . , xn] son dominios de factorizacion unica.

Demostracion: Por induccion sobre n, pues A[x1, . . . , xn] = A[x1, . . . , xn−1][xn].

2. Anillos y Modulos Noetherianos

Lema: Si M es un A-modulo, las siguientes condiciones son equivalentes:

1. Todo submodulo N de M es finito generado: N = Am1 + . . .+Amn.

2. Toda sucesion creciente M1 ⊆M2 ⊆ . . . ⊆Mn ⊆ . . . de submodulos de Mestabiliza: existe un ındice r tal que Mr =Mr+i para todo i ∈ N (es decir,toda sucesion estrictamente creciente de submodulos de M es finita).

Demostracion: (1 ⇒ 2) Dada una sucesion crecienteM1 ⊆M2 ⊆ . . . ⊆Mn ⊆ . . .de submodulos de M , veamos que N =

∪nMn es un submodulo: 0 ∈ N porque

0 ∈ M1, y si m,n ∈ N , entonces m ∈ Mi, n ∈ Mj para ciertos ındices i, j.Tomando k ≥ i, j tendremos que m,n ∈ Mk. Luego m + n ∈ Mk ⊆ N yam ∈Mk ⊆ N para todo a ∈ A, porque Mk es submodulo.

Por hipotesis N = Am1+ . . .+Amn para ciertos elementos m1, . . . ,mn ∈ N ,y tomando un ındice r suficientemente grande tendremos que m1, . . . ,mn ∈Mr,de modo que Mr ⊆ Mr+i ⊆ N = Am1 + . . . + Amn ⊆ Mr, porque Mr es unsubmodulo, y concluimos que Mr =Mr+i para todo i ∈ N.

(2 ⇒ 1) Procedemos por reduccion al absurdo.Supongamos que existe un submodulo N de M que no es finito generado.

Tomamos m1 ∈ N , y Am1 ⊂ N porque N no es finito generado. Luego existem2 ∈ N tal quem2 /∈ Am1, de modo que Am1 ⊂ Am1+Am2, y Am1+Am2 ⊂ Nporque N no es finito generado. Luego existe m3 ∈ N tal que m3 /∈ Am1+Am2,de modo que Am1+Am2 ⊂ Am1+Am2+Am3, y Am1+Am2+Am3 ⊂ N porqueN no es finito generado... Obtenemos ası una sucesion infinita estrictamentecreciente de submodulos de M , en contra de la hipotesis de que no existen,

Am1 ⊂ Am1 +Am2 ⊂ Am1 +Am2 +Am3 ⊂ ...

Definicion: Un A-modulo es noetheriano si todos sus submodulos son finitogenerados, es decir, si toda sucesion creciente de submodulos de M estabiliza.

Un anillo A es noetheriano si lo es como A-modulo; es decir, si todos susideales son finito generados.

Ejemplos: Los dominios de ideales principales (Z, k[x],...) son noetherianos.

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Lema: Sea 0 → M ′ i−→ Mp−→ M ′′ → 0 una sucesion exacta de A-modulos. El

A-modulo M es noetheriano si y solo si M ′ y M ′′ lo son.

Demostracion: Si M es noetheriano, todos sus submodulos son noetherianos(luego M ′ ≃ i(M ′) es noetheriano) y todo submodulo N ′′ de M ′′ es finitogenerado, N ′′ = p(p−1(N ′′)) = p(An1 + . . .+Ans) = Ap(n1) + . . .+Ap(ns).

Veamos el recıproco. Si N es un submodulo de M , la sucesion

0 −→M ′ ∩N i−−−→ Np−−−→ p(N) −→ 0

es exacta. Por hipotesis los A-modulos M ′ ∩N y p(N) son finito generados,

M ′ ∩N = Am′1 + . . .+Am′

n , p(N) = Ap(m1) + . . .+Ap(mr),

y terminamos al ver que i(m′1), . . . , i(m

′n),m1, . . . ,mr generan N :

Si m ∈ M , entonces p(m) =∑i aip(mi), y p(m −

∑i aimi) = 0. Luego

m−∑i aimi = i(

∑j a

′jm

′j) =

∑j a

′ji(mj), y m =

∑j a

′ji(m

′j) +

∑i aimi.

Teorema: Si A es noetheriano, todo A-modulo finito generado es noetheriano.

Demostracion: Procediendo por induccion sobre n, las sucesiones exactas

0 −→ A −→ An −→ An−1 −→ 0

prueban que An es un A-modulo noetheriano; luego sus cocientes tambien.

Teorema de la Base de Hilbert (1862-1943): Si un anillo A es noetheriano,el anillo de polinomios A[x] tambien es noetheriano.

Demostracion: Llamaremos coeficiente director de un polinomio cnxn+ . . .+ c0

de grado n a cn, y convenimos que 0 es el coeficiente director del polinomio nulo.Dado un ideal I de A[x], los coeficientes directores de los polinomios de I

forman un ideal a = a1A+ . . .+ arA de A (pruebese).Tomemos polinomios pi(x) = aix

n + . . . ∈ I que, despues de multiplicar porciertas potencias de x, podemos suponer todos de igual grado n.

Si q(x) = axm + . . . ∈ I, con m ≥ n, entonces tendremos a =∑i biai, y

gr (q−∑i bix

m−npi) < m. Reiterando el proceso vemos que existen polinomiosc1(x), . . . , cr(x) ∈ A[x] tales que gr (q(x)−

∑i ci(x)pi(x)) < n; es decir,

I ⊆ (p1, . . . , pr) + (I ∩ L),

y L = A⊕Ax⊕ . . .⊕Axn−1 es A-modulo noetheriano por el teorema anterior.Luego I ∩L es un A-modulo finito generado, I ∩L = Aq1(x) + . . .+Aqs(x),

y I ⊆ (p1, . . . , pr, q1, . . . , qs). Concluimos que I = (p1, . . . , pr, q1, . . . , qs), porquela inclusion contraria es obvia al ser p1, . . . , pr, q1, . . . , qs ∈ I.

Definicion: Una A-algebra B es finito generada o de tipo finito cuandoexisten ξ1, . . . , ξn ∈ B tales que B = A[ξ1, . . . , ξn]; es decir, el morfismo de

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A-algebras A[x1, . . . , xn] → B, p(x1, . . . , xn) 7→ p(ξ1, . . . , ξn), es epiyectivo, demodo que B ≃ A[x1, . . . , xn]/I para algun ideal I.

Corolario: Si A es noetheriano, toda A-algebra finito generada es noetheriana.

Demostracion: El anillo A[x1, . . . , xn] = A[x1, . . . , xn−1][xn] es noetheriano, porinduccion sobre n; luego tambien sus cocientes por ideales.

3. El Espectro de un Anillo

Definicion: El espectro de un anillo A es el conjunto SpecA de sus idealesprimos. Los elementos f ∈ A son las funciones sobre SpecA, y el valor de fen un punto x ∈ SpecA, definido por un primo p, es f(x) := [f ] ∈ A/p.

Aunque el anillo de valores varıe con el punto, el cero esta definido de modoabsoluto, y el ideal primo p de un punto x ∈ SpecA esta formado por lasfunciones que se anulan en tal punto,

p = {f ∈ A : f(x) = 0}

El hecho de que las funciones que se anulan en un punto dado forman unideal primo significa que

La funcion 0 se anula en todos los puntos.Si dos funciones se anulan en un punto, su suma tambien.Si una funcion se anula en un punto, sus multiplos tambien.Las funciones invertibles no se anulan en ningun punto.Si un producto de funciones se anula en x, algun factor se anula en x.

Como todo anillo no nulo tiene algun ideal maximal (y por tanto primo),todo anillo no nulo tiene espectro no vacıo, y como todo elemento no invertiblede un anillo esta en algun ideal maximal, las funciones invertibles son las queno se anulan en ningun punto del espectro.

Definicion: Llamaremos ceros de una funcion f ∈ A al subconjunto (f)0 deSpecA formado por los puntos donde se anula f (es decir, los ideales primos deA que contienen a f), y llamaremos ceros de un ideal I de A al subconjunto deSpecA formado por los puntos donde se anulen todas las funciones de I:

(I)0 =∩f∈I

(f)0 = {x ∈ SpecA : f(x) = 0, ∀f ∈ I} =

[Ideales primos de Aque contienen a I

]En particular (f)0 = (fA)0. Los ceros de los ideales son los cerrados de una

topologıa en SpecA, llamada topologıa de Zariski (1899-1986), porque

(0)0 = SpecA

(A)0 = ∅(∑j Ij)0 =

∩j(Ij)0

(I ∩ J)0 = (I)0 ∪ (J)0,

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y solo la ultima igualdad requiere demostracion. Si f1 ∈ I, f2 ∈ J no se anulanen un punto x, entonces f1f2 no se anula en x, y f1f2 ∈ I ∩ J .

Los cerrados de la topologıa de Zariski son las intersecciones arbitrarias deceros de funciones, de modo que los ceros de funciones forman una base decerrados de la topologıa de SpecA; es decir, las funciones de A separan puntosde cerrados en SpecA: dado un cerrado C y un punto x /∈ C, existe f ∈ A quese anula en C y no se anula en x. Por tanto, si IC es el ideal de formado portodas las funciones que se anulen en el cerrado C, tenemos que C = (IC)0.

Luego una base de abiertos de la topologıa de Zariski de SpecA esta formadapor los abiertos basicos

Uf := SpecA− (f)0 = {x ∈ SpecA : f(x) = 0}

Como todo ideal I = A esta contenido en un ideal maximal de A, tenemosque (I)0 = ∅ si y solo si I = A, de modo que el Teorema chino de los restosadmite la siguiente reformulacion:

Teorema Chino del Resto: Si dos ideales I, J de A no tienen ceros comunes,(I)0 ∩ (J)0 = ∅, entonces I ∩ J = IJ y tenemos un isomorfismo de anillos

A/IJ = (A/I)× (A/J) .

Proposicion: Si p es el ideal primo de un punto x ∈ SpecA, entonces x = (p)0,y diremos que x es el punto generico de su cierre x. Por tanto SpecA es T0y sus puntos cerrados se corresponden con los ideales maximales de A.

Demostracion: Un cerrado (I)0 pasa por el punto x cuando I ⊆ p, en cuyo caso(p)0 ⊆ (I)0. Luego (p)0 es el menor cerrado que contiene a x.

Teorema: El espectro de cualquier anillo es un espacio topologico compacto.

Demostracion: Dados cerrados con interseccion vacıa, ∅ =∩j(Ij)0 = (

∑j Ij)0,

tenemos que∑j Ij = A. Luego 1 = f1 + . . .+ fn para ciertos f1 ∈ Ij1 , . . . , fn ∈

Ijn , y una subfamilia finita ya tiene interseccion vacıa,

(Ij1)0 ∩ . . . ∩ (Ijn)0 = (Ij1 + . . .+ Ijn)0 = (A)0 = ∅.

Definicion: Un espacio topologico no vacıo es irreducible cuando no puedadescomponerse como union de dos cerrados estrictamente menores. Llamaremoscomponentes irreducibles de un espacio topologico X a los subespacios irre-ducibles maximales de X, es decir, que no esten contenidos estrictamente enotro subespacio irreducible.

El cierre de un subespacio irreducible tambien es irreducible y, en particular,el cierre de cualquier punto es un cerrado irreducible. Luego las componentesirreducibles de un espacio siempre son cerradas. Todo espacio irreducible esconexo, ası que cada componente irreducible de un espacio X esta contenida en

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una componente conexa de X; pero un punto de X puede pertenecer a variascomponentes irreducibles.

Teorema: Cada cerrado irreducible de SpecA es el cierre de un unico punto.Por tanto, al asociar a cada ideal primo de A sus ceros, tenemos una corres-pondencia biyectiva[

Ideales primosdel anillo A

]=

[Cerrados irreducibles

de SpecA

]que invierte el orden. En particular, las componentes irreducibles de SpecA secorresponden con los ideales primos minimales de A (ideales primos que nocontienen estrictamente a otro ideal primo).

Demostracion: Sea Y un cerrado irreducible de SpecA. Si un producto de dosfunciones de A se anula en Y , algun factor se anula en Y , porque Y es irreducible;ası que el ideal IY formado por las funciones de A que se anulan en Y es unideal primo p, y sabemos que Y = (IY )0.

Luego Y es el cierre del punto de SpecA definido por el ideal primo IY .La unicidad de tal punto se debe a que SpecA es T0.

Definicion: Sean x, y ∈ SpecA. Cuando y ∈ x, decimos que x es una genera-lizacion de y, o que y es una especializacion de x, y ponemos y ≤ x.

La dimension de Krull (1899-1971) de un anillo A es el supremo de laslongitudes de las cadenas p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn de ideales primos de A, y solodepende del espacio topologico SpecA, pues es el supremo de las longitudes delas cadenas de especializaciones x0 > x1 > . . . > xn, o bien de las cadenas decerrados irreducibles Y0 ⊃ Y1 ⊃ . . . ⊃ Yn.

Definicion: Un espacio topologico X es noetheriano si toda sucesion estricta-mente decreciente de cerrados de X es finita; es decir, si toda sucesion decre-ciente de cerrados estabiliza.

Proposicion: Si A es un anillo noetheriano, entonces SpecA es un espaciotopologico noetheriano.

Demostracion: Si Y1 ⊃ Y2 ⊃ . . . es una sucesion estrictamente decreciente decerrados de SpecA, y ponemos Ii = IYi , tenemos una sucesion creciente deideales I1 ⊂ I2 ⊂ . . ., que es estrictamente creciente porque (Ii)0 = Yi. Luegoha de ser finita cuando el anillo A es noetheriano.

Teorema: Todo espacio noetheriano X descompone en union de un numerofinito de componentes irreducibles.

Demostracion: Veamos primero que X es union finita de cerrados irreducibles.En caso contrario X no es irreducible, ası que es union de dos cerrados mas pe-quenos, alguno de los cuales tampoco sera union finita de cerrados irreducibles.

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Reiterando el argumento con el obtenemos una sucesion infinita estrictamentedecreciente de cerrados de X, en contra de la noetherianidad de X.

Consideramos ahora una descomposicion X = Y1 ∪ . . . ∪ Yr en union decerrados irreducibles tales que no se den inclusiones Yi ⊆ Yj cuando i = j.

Para todo cerrado irreducible Y tenemos que Y = (Y1 ∩ Y )∪ . . .∪ (Yr ∩ Y );luego Y = Yi ∩ Y , y por tanto Y ⊆ Yi, para algun ındice i.

Es decir, Y1, . . . , Yr son las componentes irreducibles de X.

Corolario: Todo anillo noetheriano A tiene un numero finito de ideales primosminimales y cada ideal primo de A contiene algun ideal primo minimal.

Corolario: Todo anillo noetheriano de dimension 0 tiene un numero finito deideales primos, y todos son maximales.

Demostracion: En dimension 0, todo ideal primo es minimal y maximal.

Definicion: Llamaremos variedad algebraica (afın) sobre un cuerpo k atoda pareja (X,A) formada por una k-algebra de tipo finito A y su espectroX = SpecA. Diremos que la variedad es ıntegra, reducida, de dimension n, etc.,si lo es A, y que es conexa, irreducible, etc., si lo es el espacio topologico X.Corolario: Todo anillo noetheriano de dimension 0 tiene un numero finito deideales maximales.

4. Espectro de la Localizacion

Cada morfismo de anillos j : A → B induce en los espectros una aplicacionϕ : SpecB → SpecA,

ϕ(q) = q ∩A := j−1(q) = {f ∈ A : j(f) ∈ q}.

Si y ∈ SpecB, por definicion una funcion f ∈ A se anula en ϕ(y) cuandoj(f) se anula en y; es decir, ϕ−1(f)0 = (fB)0, de modo que ϕ es continua:

ϕ−1(I)0 = ϕ−1(∩f∈I

(f)0) =∩f∈I

ϕ−1(f)0 =∩f∈I

(fB)0 = (IB)0.

Teorema: Sea I un ideal de A. La aplicacion continua i : Spec (A/I) → SpecAinducida por la proyeccion canonica π : A → A/I establece un homeomorfismode Spec (A/I) con su imagen, que son los ceros del ideal I,

Spec (A/I) = (I)0 =

[Ideales primos de Aque contienen a I

]donde cada primo p de A/I se corresponde con π−1(p) = {a ∈ A : a ∈ p}, ycada primo p de A que contiene a I se corresponde con π(p) = {a; a ∈ p}.

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Demostracion: Del curso anterior se sabe que la aplicacion es biyectiva, y aca-bamos de ver que es continua. Es un homeomorfismo porque para cada cerrado(π(I)

)0de Spec (A/I) tenemos que i−1(I)0 =

(π(I)

)0.

Corolario: Spec (A×B) = (SpecA)⨿(SpecB)

Demostracion: Consideremos en el anillo A×B los ideales a = A×0, b = 0×B.Como a + b = A × B y a ∩ b = 0, tenemos que (a)0 ∩ (b)0 = ∅ y (a)0 ∪ (b)0 =Spec (A×B); es decir, Spec (A×B) = (a)0

⨿(b)0.

Ademas (a)0 = Spec (A×B)/a = SpecB y (b)0 = Spec (A×B)/b = SpecA.

Notese que cada ideal primo p de A se corresponde con el ideal primo p×Bde A×B, y cada ideal primo q de B con el ideal primo A× q de A×B .

Teorema: Sea S un sistema multiplicativo de un anillo A. La aplicacion con-tinua i : SpecAS → SpecA inducida por el morfismo canonico γ : A → ASestablece un homeomorfismo de SpecAS con su imagen, formada por los idealesprimos de A que no cortan al sistema multiplicativo S,

SpecAS =

[Ideales primos de Aque no cortan a S

]donde cada primo q de AS se corresponde con q ∩ A = {a ∈ A : a1 ∈ q}, y cadaprimo p de A que no corte a S se corresponde con pAS = {as ; a ∈ p, s ∈ S}.

Demostracion: Si q es un primo de AS , entonces p = A ∩ q = {a ∈ A : a1 ∈ q}no corta a S y q = pAS (pruebese); luego i : SpecAS → SpecA es inyectiva.

Ademas, si un primo p de A no corta a S, entonces A ∩ (pAS) = p:

a

1=b

s, b ∈ p ⇒ au = bv ∈ p , u ∈ S ⇒ a ∈ p

Ademas pAS es un ideal primo de AS ,

(a1/s1)(a2/s2) ∈ pAS ⇒ a1a2 ∈ A ∩ pAS = p ⇒ ai ∈ p ⇒ ai/si ∈ pAS

y concluimos que i : SpecAS → SpecA establece una biyeccion entre los idealesprimos de AS y los ideales primos de A que no cortan a S.

Esta biyeccion es continua, y es un homeomorfismo porque para cualquiercerrado (IAS)0 de SpecAS tenemos que i−1(I)0 = (IAS)0.

Notacion: Si p es el ideal primo de un punto x ∈ SpecA, la localizacion de Apor S = A− p = {f ∈ A : f(x) = 0} se denota Ap = Ax.

Si f ∈ A, la localizacion de A por S = {1, f, f2, . . . , fn, . . .} se denota Af .

Corolario: El anillo Ap tiene un unico ideal maximal, que es pAp.

Corolario: SpecAf = Uf = SpecA− (f)0.

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Demostracion: (f)0 = (fn)0.

Definicion: Si I es un ideal de un anillo A, diremos que

rad I = {f ∈ A : fn ∈ I para algun n ∈ N}

es el radical de I. Por abuso del lenguaje, el radical del ideal 0, formado porlos elementos nilpotentes (con alguna potencia nula), se denomina radical delanillo A. Un anillo es reducido si su radical es nulo, es decir, si carece deelementos nilpotentes no nulos.

Teorema: Las funciones nilpotentes son las que se anulan en todo el espectro.Es decir, el radical de un anillo es la interseccion de sus ideales primos.

Demostracion: Es claro que los elementos nilpotentes de un anillo A pertenecena todos sus ideales primos.

Recıprocamente, si f ∈ A se anula en todos los puntos del espectro de A,entonces SpecAf = Uf = ∅. Luego Af = 0, y 1

1 = 0, de modo que existe unapotencia fn tal que 0 = fn1 = fn.

Corolario: El radical de un ideal I coincide con la interseccion de los idea-les primos que lo contienen, de modo que rad I es el mayor ideal cuyos ceroscoinciden con los ceros de I.

Demostracion: Es claro que el radical de I esta contenido en cualquier idealprimo que contenga a I.

Recıprocamente, si una funcion f ∈ A pertenece a todos los ideales primosque contienen a I, entonces f se anula en SpecA/I. Luego alguna potencia fn

es nula, y concluimos que fn ∈ I. Es decir, f ∈ rad I.

Definicion: Sea ϕ : SpecB → SpecA la aplicacion continua inducida por unmorfismo de anillos j : A → B, y sea p el ideal primo de un punto x ∈ SpecA.Diremos que ϕ−1(x) = {y ∈ SpecB : ϕ(y) = x} es la fibra de ϕ sobre elpunto x, y denotaremos Bx a la localizacion de B por la imagen del sistemamultiplicativo A− p.

Lema: ϕ−1(x) = SpecB/pB , cuando el punto x es cerrado.

Demostracion: Como x es cerrado, x = x = (p)0, y terminamos,

ϕ−1(x) = ϕ−1((p)0) = (pB)0 = SpecB/pB.

Formula de la Fibra: ϕ−1(x) = Spec(Bx/pBx

).

Demostracion: Sea q el ideal primo de un punto y de SpecB. La condicionϕ(y) = x significa que p = A ∩ q, lo que implica que q no corta a la imagende A − p en B. Luego la fibra ϕ−1(x) esta contenida en SpecBx, y por tanto

11

coincide con la fibra de SpecBx → SpecAx sobre el unico punto cerrado deSpecAx, definido por el ideal maximal pAx. Terminamos por el lema anterior,

ϕ−1(x) = SpecB/(pAxBx) = Spec (Bx/pBx).

Calculos:

1. El espectro de un cuerpo k tiene un unico punto, y el espectro de cualquierk-algebra finita es un espacio topologico finito y discreto.

2. El espectro de Z tiene un punto cerrado por cada numero primo y unpunto generico definido por el ideal 0. Es irreducible y de dimension 1.

3. El espectro de Z/nZ, n ≥ 2, tiene un punto cerrado por cada numeroprimo que divide a n. Su dimension es 0.

4. El espectro de C[x] . Cada numero complejo a define un punto cerrado,definido por el ideal maximal (x− a). Ademas tiene un punto generico pgdefinido por el ideal 0. Es irreducible y de dimension 1.

5. El espectro de k[x] tiene un punto cerrado por cada polinomio irreducibley unitario p(x) con coeficientes en k, definido por el ideal maximal

(p(x)

),

y un punto generico definido por el ideal primo 0. Es irreducible y dedimension 1.

6. El espectro de k[x]/(p(x)

), donde p(x) es un polinomio no constante

con coeficientes en el cuerpo k, tiene un punto cerrado por cada factorirreducible y unitario de p(x) en k[x]. Su dimension es 0.

7. El espectro de C [x, y] . Vamos a calcular las fibras de la aplicacion

ϕ : SpecC [x, y] −→ SpecC [x]

que define la inclusion C [x] → C [x, y]. La fibra de un punto x = a es elespectro de C [x, y]/(x − a) ≃ C [y], donde el isomorfismo transforma xen a, ası que sus puntos estan definidos por el ideal primo (x − a) y losideales maximales (x−a, y−b), donde b ∈ C. La fibra del punto x = a estaformada por los puntos cerrados x = a, y = b junto con el punto genericode la recta x = a.

La fibra del punto generico de SpecC [x] es el espectro de la localizacionC(x)[y] de C[x, y] por los polinomios en x no nulos. Por el lema de Gauss,los ideales primos no nulos de C(x)[y] son los ideales generados por lospolinomios irreducibles en C [x, y] que sean de grado mayor o igual que 1en y. Los puntos de esta fibra estan definidos por el ideal 0 y los idealesprimos

(p(x, y)

), donde p(x, y) es un polinomio irreducible de grado ≥ 1 en

y. Es decir, la fibra del punto generico esta formada por el punto genericodel plano y los puntos genericos de las curvas irreducibles p(x, y) = 0, degrado ≥ 1 en y.

12

SpecC [x, y] tiene dimension 2 y (como los polinomios irreducibles de grado0 en y son, salvo factores constantes, los polinomios x−a) sus puntos son:–. Los puntos cerrados x = a, y = b donde a, b ∈ C .

–. Los puntos genericos de las curvas irreducibles p(x, y) = 0 .

–. El punto generico del plano afın.

Si q(x, y) ∈ C[x, y] no es constante y q(x, y) = p1(x, y)m1 · · · pr(x, y)mr es

su descomposicion en factores irreducibles, entonces

(q)0 = (p1)0 ∪ . . . ∪ (pr)0.

Luego los cerrados de SpecC [x, y] son las intersecciones arbitrarias deuniones finitas de curvas irreducibles. Ahora bien, dos curvas irreduciblesdistintas p1(x, y) = 0, p2(x, y) = 0 se cortan en un numero finito depuntos cerrados, porque todos los ideales primos del anillo noetherianoC[x, y]/(p1, p2) son maximales (luego minimales, y por tanto un numerofinito), ası que los cerrados de SpecC[x, y] (ademas del vacıo y el total)son las uniones finitas de puntos cerrados y curvas irreducibles.

8. El espectro de C [x, y]/(q(x, y)

), donde q(x, y) no es constante.

Si q(x, y) = cp1(x, y)m1 · · · pr(x, y)mr es la descomposicion en factores

irreducibles, SpecC [x, y]/(q) = (q)0 tiene dimension 1 y sus puntos son:

–. Los puntos cerrados (a, b) donde q(a, b) = 0 .

–. Los puntos genericos de las curvas irreducibles pi(x, y) = 0.

9. El espectro de C [x, y]/(p(x, y), q(x, y)

), donde p(x, y) y q(x, y) no son

constantes y carecen de factores irreducibles comunes.

El espectro coincide con los ceros de p(x, y) en SpecC [x, y]/(q(x, y)

); luego

todos sus puntos son cerrados, porque p(x, y) no es multiplo de ningun fac-tor irreducible pi(x, y) de q(x, y). Por tanto C [x, y]/

(p(x, y), q(x, y)

)tiene

dimension 0 y obtenemos la finitud del numero de soluciones complejasdel sistema de ecuaciones algebraicas

p(x, y) = 0q(x, y) = 0

}10. El espectro de Z[x]. La inclusion Z → Z[x] induce una aplicacion

ϕ : SpecZ[x] −→ SpecZ.

La fibra de cada numero primo p es el espectro de Z[x]/pZ[x] ≃ Fp[x],donde [q(x)] se corresponde con la reduccion de q(x) modulo p. Los puntosde la fibra de p estan definidos por el ideal primo pZ[x] y los idealesmaximales (p, q(x)), donde q(x) es un polinomio cuya reduccion modulo psea irreducible en Fp[x].

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La fibra del punto generico de SpecZ es SpecQ[x]. Por el lema de Gauss,los primos no nulos de Q[x] estan generados por los polinomios irreduciblesen Z[x] no constantes. Luego los primos de Z[x] son el ideal 0 y los ideales(p(x)), donde p(x) es un polinomio no constante irreducible en Z[x].Luego dimZ[x] = 2 y (como los polinomios irreducibles constantes son,salvo el signo, los numeros primos) los ideales primos de Z[x] son:–. Los ideales maximales (p, q(x)), donde p es un numero primo y q(x) esun polinomio cuya reduccion modulo p es irreducible.

–. Los ideales primos (p(x)) generados por un polinomio p(x) irreducibleen Z[x] (lo que incluye los numeros primos).

–. El ideal primo 0.

5. Localizacion de Modulos

Definicion: La localizacion MS de un A-modulo M por un sistema multipli-cativo S de A es el conjunto cociente de M × S por la relacion de equivalencia

(m, s) ≡ (n, t) ⇔ existen u, v ∈ S tales que mu = nv, su = tv,

dotado de la estructura de AS-modulo que definen las siguientes operaciones:

m

s+n

t=tm+ sn

st,

a

s· mt

=am

st

donde ms denota la clase de (m, s). De nuevo m

s = 0 si y solo si um = 0 paraalgun u ∈ S; ası que m

s = nt si y solo si u(tm− sn) = 0 para algun u ∈ S.

El morfismo de localizacionM →MS ,m 7→ m1 , es morfismo de A-modulos.

Si f ∈ A, entoncesMf denotara la localizacion deM por S = {1, f, . . . , fn, . . .}.Si p es el ideal primo de un punto x ∈ SpecA, entonces Mp =Mx denotara

la localizacion de M por S = A− p.

Propiedad Universal: Sea N un AS-modulo. Si f : M → N es un morfismode A-modulos, existe un unico morfismo de AS-modulos ϕ : MS → N tal queϕ(m1 ) = f(m).

HomAS(MS , N) = HomA(M,N).

Demostracion: El unico morfismo posible, ϕ(ms ) = ϕ(s−1m1 ) = s−1ϕ(m1 ) =

s−1f(m), esta bien definido porque

ϕ(umus ) = (us)−1f(um) = s−1u−1uf(m) = s−1f(m),

y es inmediato comprobar que es morfismo de AS-modulos.

Teorema: Hay un isomorfismo de AS-modulos MS =M ⊗A AS , ms = m⊗ 1s .

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Demostracion: Por la propiedad universal de la localizacion, el morfismo de A-modulos M → M ⊗A AS , m 7→ m ⊗ 1, induce un morfismo de AS-modulosMS →M ⊗A AS , m/s 7→ s−1(m⊗ 1) = m⊗ (1/s).

Recıprocamente, la aplicacion M × AS → MS , (m,as ) 7→

ams es A-bilineal,

ası que define un morfismo de A-modulos M ⊗AAS →MS , m⊗ (a/s) 7→ am/s,y es sencillo comprobar que ambos morfismos son mutuamente inversos.

Definicion: Sea f : M → N un morfismo de A-modulos. Por la propiedad

universal, el morfismo de A-modulos M → NS , m 7→ f(m)1 , induce un morfismo

de AS-modulos fS : MS → NS , fS(ms ) =

f(m)s , llamado localizacion de f en S.

Teorema: Si M ′ f−−→ Mg−−→ M ′′ es una sucesion exacta de A-modulos, en-

tonces tambien es exacta la sucesion

M ′S

fS−−−−→MSgS−−−−→M ′′

S .

Demostracion: Im fS ⊆ Ker gS porque gS ◦ fS = (g ◦ f)S = 0S = 0.

Ahora, si ms ∈ Ker gS , entonces g(m)

s = 0, y 0 = tg(m) = g(tm) paraalgun t ∈ S. Luego tm = f(m′) para algun m′ ∈ M ′, porque Ker g = Im f , yms = tm

ts = f(m′)ts = fS

(m′

ts

)∈ Im fS . q.e.d.

Si N es un submodulo de M , entonces NS es un submodulo de MS .

1. (N +N ′)S = NS +N ′S .

2. (M ⊕M ′)S =MS ⊕M ′S ,

(m,m′)s = (ms ,

m′

s ).

3. (N ∩N ′)S = NS ∩N ′S .

4. (M/N)S =MS/NS ,ms = [ms ].

5. (Ker f )S = Ker fS .

6. (Im f )S = Im fS .

Demostracion: Todas las igualdades se siguen de la definicion, salvo la 4 y 5,que se obtienen localizando las sucesiones exactas

0 −→ N −→M −→M/N −→ 0

0 −→ Ker f −→M −→ N

5.1. Propiedades Locales

Definicion: La localizacion de un A-modulo M en x ∈ SpecA se denota Mx, ysi m ∈M , ponemos mx = m

1 ∈Mx. El soporte de un elemento m ∈M es

sop (m) := {x ∈ SpecA : mx = 0} ,

15

y su anulador es Ann(m) := {a ∈ A : am = 0}. El soporte de un A-moduloM es sop (M) := {x ∈ SpecA : Mx = 0} =

∪m∈M sop (m), y su anulador es

AnnM := {a ∈ A : aM = 0} =∩m∈M Ann(m).

Lema: sop (m) = (Ann (m))0. Luego m = 0 si y solo si mx = 0, ∀x ∈ SpecA.

Demostracion: La condicion mx = 0 afirma que fm = 0 para algun f ∈ A queno se anula en x; es decir, que x no esta en los ceros del ideal Ann(m).

Ahora, si ∅ = sop (m) = (Ann(m))0, entonces Ann(m) = A, y m = 0.

Corolario: M = 0 si y solo si Mx = 0 en todo punto x ∈ SpecA.

Teorema: Una sucesion de A-modulos M ′ f−−→Mg−−→M ′′ es exacta si y solo

si lo es su localizacion M ′x

fx−−−→Mxgx−−−→M ′′

x en todo punto x ∈ SpecA.

Demostracion: Si la sucesion es exacta en todo punto, entonces (Im gf)x =Im (gf)x = Im (gxfx) = 0. Luego Im gf = 0, y Im f ⊆ Ker g.

Localizando ahora Ker g/Im f vemos que es nulo,

(Ker g/Im f)x = (Ker g)x/(Im f)x = (Ker gx)/(Im fx) = 0.

Definicion: Un anillo es local si tiene un unico ideal maximal (como Ax).

Lema de Nakayama: Sea O un anillo local y m su unico ideal maximal. Si Mes un O-modulo finito generado y mM =M , entonces M = 0.

Demostracion: Por reduccion al absurdo. Si M = 0, consideramos un sistemamınimo de generadores m1, . . . ,mn. Como

M = mM = m(Om1 + . . .+Omn) = mm1 + . . .+mmn

tendremosm1 = f1m1+f2m2+. . .+fnmn para ciertas funciones f1, . . . , fn ∈ m.Luego 1− f1 es invertible (no esta en el unico maximal m) y

(1− f1)m1 = f2m2 + . . .+ fnmn.

Vemos que m1 ∈ Om2 + . . .+Omn, y m2, . . . ,mn generan M . Absurdo.

Corolario: Sea O un anillo local y k = O/m el cuerpo residual de su unicoideal maximal m. Si M es un O-modulo finito generado, entonces

1. M = 0 si y solo si M ⊗O k = 0.

2. La condicion necesaria y suficiente para que m1, . . . ,mn ∈ M generen elO-modulo M es que sus clases m1, . . . , mn generen el k-espacio vectorialM/mM =M ⊗O k.

Demostracion: (1) Si 0 =M ⊗O k =M/mM , entonces mM =M , y M = 0.

(2) Pongamos N = Om1 + . . . + Omn. Si m1, . . . , mn generan el k-espaciovectorialM/mM entoncesM = N+mM . Pasando al cociente por N obtenemosque M/N = m(M/N), y el lema de Nakayama permite concluir que M/N = 0.Es decir, N =M y m1, . . . ,mn generan el O-modulo M .

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6. Morfismos Finitos

Definicion: Sea A→ B un morfismo de anillos. Diremos que un elemento b ∈ Bes entero sobre A si verifica alguna relacion de dependencia entera

bn + a1bn−1 + . . .+ an−1b+ an = 0 , a1, . . . , an ∈ A,

y decimos que el morfismo A → B es finito (o que B es una A-algebra finita)cuando B es un A-modulo finito generado, B = Ab1 + . . .+Abn.

En tal caso, si B → C es otro morfismo finito, C = Bc1+. . .+Bcm, entoncesla composicion A→ C tambien es un morfismo finito:

C = (Ab1 + . . .+Abn)c1 + . . .+ (Ab1 + . . .+Abn)cm = Ab1c1 + . . .+Abncm.

Lema: Sea A→ B un morfismo de anillos y b ∈ B. Las siguientes condicionesson equivalentes:

1. b es entero sobre A.

2. El morfismo A→ A[b] es finito.

3. b pertenece a una subalgebra C ⊆ B que es un A-modulo finito generado.

Demostracion: (1 ⇒ 2) Si b es entero sobre A, una potencia de b es combinacionlineal de las anteriores, bn = −a1bn−1 − . . . − an−1b − an, con a1, . . . , an ∈ A,de modo que las sucesivas potencias bn+i tambien son combinaciones lineales de1, b, . . . , bn−1, y concluimos que

A[ b ] = A+Ab+ . . .+Abn−1.

(2 ⇒ 3) Es evidente, pues A[b] es una subalgebra de B y b ∈ A[b].

(3 ⇒ 1) Si C = Ac1 + . . . + Acn es una subalgebra de B y b ∈ C, entoncespara ciertos elementos aij ∈ A tendremos

bci =∑j

aijcj ,

b− a11 . . . −a1n. . . . . . . . .

−an1 . . . b− ann

c1...cn

=

0...0

,

Multiplicando por la izquierda por la matriz adjunta de (δijb− aij) se sigueque el determinante |δijb−aij | anula a cada ci; luego anula a C, y es nulo porque1 ∈ C. Desarrollando el determinante obtenemos una relacion de dependenciaentera bn + a1b

n−1 + . . .+ an = 0 sobre A.

Corolario: El morfismo A → A[b1, . . . , bn] es finito cuando b1, . . . , bn ∈ B sonenteros sobre A.

Demostracion: Por induccion sobre n, y es parte del lema anterior cuando n = 1.

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Si n > 1, por induccion A→ A[b1, . . . , bn−1] es finito. Como bn es entero so-bre A, tambien lo es sobre A[b1, . . . , bn−1]; luego A[b1, . . . , bn−1] → A[b1, . . . , bn]es finito y concluimos que tambien lo es A→ A[b1, . . . , bn].

Corolario: Sea B una A-algebra. Los elementos de B enteros sobre A formanuna subalgebra, llamada cierre entero de A en B.

Demostracion: Si b1, b2 ∈ B son enteros sobre A, entonces A[b1, b2] es un A-modulo finito generado, y por el lema todos sus elementos son enteros sobre A.En particular b1 + b2 y b1b2 son enteros sobre A.

Ejemplos: (1) Sea L una extension de un cuerpo k. Los elementos de L enterossobre k son precisamente los elementos algebraicos sobre k, y el cierre entero dek en L es el cierre algebraico de k en L. Si la extension k → L es finita, entoncesel morfismo k[x1, . . . , xn] → L[x1, . . . , xn] tambien es finito.

(2) Los numeros complejos enteros sobre Z se llaman enteros algebraicosy, por definicion, son las raıces complejas de los polinomios unitarios con coe-ficientes en Z. Cada numero algebraico α ∈ C es raız de un unico polinomioirreducible unitario pα(x) con coeficientes racionales, y por el lema de Gauss, αes entero sobre Z si y solo si pα(x) tiene coeficientes en Z.

(3) Sea C la curva plana y2 = x3. La parametrizacion x = t2, y = t3, defineun morfismo finito A1 → C, porque t satisface la relacion de dependencia enterat2 − x = 0 sobre A = k[x, y]/(y2 − x3).

(4) Sea C la curva plana y2 = x2 + x3. La parametrizacion x = t2 − 1,y = t3 − t, define un morfismo finito A1 → C, porque t satisface la relacion dedependencia entera t2 − (1 + x) = 0 sobre A = k[x, y]/(y2 − x2 − x3).

(5) Un anillo ıntegro es normal si coincide su cierre entero en su cuerpo defracciones. Los dominios de factorizacion unica son normales.

Teorema: Sea A→ B un morfismo finito. Las fibras de la aplicacion inducidaπ : SpecB → SpecA son finitas y discretas, y no vacıas cuando A → B esinyectivo.

Demostracion: Sea p el ideal primo de un punto x ∈ SpecA. Como A → B esfinito, tambien lo son los morfismos Ax → Bx y k := Ax/pAx → Bx/pBx.

Como Bx/pBx es una k-algebra finita, Spec (Bx/pBx) = π−1(x) es finito ydiscreto. Ademas, si 0 → A→ B es exacta, entonces 0 → Ax → Bx es exacta yBx = 0. Luego Bx/pxBx = 0 por Nakayama, y su espectro no es vacıo.

Corolario: Si A→ B es finito, entonces dimB ≤ dimA.

Demostracion: En ninguna cadena de especializaciones y0 > . . . > yn en SpecBse dan coincidencias π(yi−1) = π(yi), porque la fibra de π(yi) no serıa discreta.

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Teorema del Ascenso: Los morfismos finitos son cerrados.

Demostracion: Sea π : SpecB → SpecA la aplicacion inducida por un morfismofinito A→ B. Si J es un ideal de B y ponemos I = J ∩A, entonces el morfismonatural A/I → B/J es finito e inyectivo (pruebese), y el siguiente cuadradoconmutativo muestra que π(J)0 = (I)0,

SpecBπ−−→ SpecA

∪ ∪SpecB/J −−→ SpecA/I

Corolario: Sea A → B un morfismo finito, y p ⊂ p′ ideales primos de A. Si qes un ideal primo de B y p = q∩A, entonces existe en B un ideal primo q′ ⊃ qtal que p′ = q′ ∩A.

Demostracion: Sean x, x′, y los puntos definidos por los primos p, p′, q.El cierre de x = π(y) esta contenido en π(y), porque π es cerrada; luego

x′ ∈ π(y), y existe y′ ∈ y tal que x′ = π(y′).

Corolario: Si A→ B es finito e inyectivo, entonces dimA = dimB.

Demostracion: Sea p0 ⊂ . . . ⊂ pn una cadena de ideales primos en A.Existe un primo q0 en B tal que p0 = q0∩A, porque las fibras no son vacıas,

y por el corolario anterior existe una cadena de primos q0 ⊂ . . . ⊂ qn tales queq1 ∩A = pi; luego dimB ≥ dimA.

6.1. Teorema de los Ceros

Definicion: Sea A una k-algebra. Diremos que a1, . . . , an ∈ A son algebrai-camente dependientes sobre el cuerpo k si p(a1, . . . , an) = 0 para algunpolinomio no nulo p(x1, . . . , xn) ∈ k[x1, . . . , xn], y en caso contrario (es decir,cuando el morfismo de k-algebras k[x1, . . . , xn] → A, xi 7→ ai, es inyectivo)decimos que son algebraicamente independientes sobre k.

Lema de Normalizacion: Si A = k[ξ1, . . . , ξn] es una k-algebra de tipo finito,existe un morfismo de k-algebras finito e inyectivo k[x1, . . . , xd] → A, donded ≤ n y d < n cuando ξ1, . . . , ξn son algebraicamente dependientes sobre k.

Demostracion: Por induccion sobre n, y es cierto cuando n = 0 porque en talcaso A = k. Cuando n ≥ 1, si ξ1, . . . , ξn son algebraicamente independientes,entonces k[x1, . . . , xn] = A, y el enunciado es cierto.

Si ξ1, . . . , ξn son algebraicamente dependientes, verifican alguna relacion (dela que escribimos el monomio con mayor grado en ξ1, y en caso de coincidenciael de mayor grado en ξ2,..., y podemos suponer que el coeficiente es 1)

ξr11 ξr22 · · · ξrnn + . . . = 0.

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Pongamos ξ′i = ξi − ξdin , con d1 ≫ d2 ≫ . . .≫ dn−1.Ahora A = k[ξ′1, . . . ξ

′n−1, ξn], donde ξ

′1, . . . , ξ

′n−1, ξn satisfacen una relacion

en la que el termino de mayor grado en ξn es

ξd1r1+...+dn−1rn−1+rnn + . . . = 0,

de modo que el morfismo k[ξ′1, . . . , ξ′n−1] ↪→ A es finito. Por induccion, existe un

morfismo finito k[x1, . . . , xd] ↪→ k[ξ′1, . . . , ξ′n−1], con d ≤ n− 1, y terminamos.

Teorema de los Ceros de Hilbert (1862-1943): Si m es un ideal maximal deuna k-algebra de tipo finito A, entonces la extension k → A/m es finita.

Demostracion: Tomemos un morfismo finito e inyectivo k[x1, . . . , xd] → A/m.Como la aplicacion inducida Spec(A/m) → Spec k[x1, . . . , xd] es epiyectiva, ve-mos que k[x1, . . . , xd] tiene un unico punto. Luego d = 0.

Definicion: Diremos que el punto cerrado de SpecA que define un ideal maxi-mal m de una k-algebra A es racional si el morfismo natural k → A/m es unisomorfismo.

Cuando el cuerpo k es algebraicamente cerrado, por el Teorema de los Ceroslos puntos cerrados de las variedades algebraicas sobre k son racionales.

Corolario: Si m es un ideal maximal de k[x1, . . . , xn] y k es algebraicamentecerrado, entonces existen a1, . . . , an ∈ k tales que m = (x1 − a1, . . . , xn − an).

Demostracion: Como la extension k → k[x1, . . . , xn]/m es finita, es trivial; asıque existen ai ∈ k tales que xi − ai ∈ m. Luego (x1 − a1, . . . , xn − an) ⊆ m, ycoinciden porque el ideal (x1 − a1, . . . , xn − an) es maximal.

Lema: Sea A→ B un morfismo de k-algebras entre dos k-algebras de tipo finito.Si m es un ideal maximal de B, entonces m ∩A es un ideal maximal de A.

Demostracion: El morfismo natural A/(m ∩ A) → B/m es inyectivo, y comoB/m es una extension finita de k, se sigue que A/(m ∩A) es un cuerpo.

Teorema de los Ceros (forma fuerte): El radical de cualquier k-algebra detipo finito A es la interseccion de sus ideales maximales.

Demostracion: Si f ∈ A se anula en todos los puntos cerrados de SpecA, en-tonces la variedad algebraica Uf = SpecA[ 1f ] carece de puntos cerrados por elcorolario anterior; luego es vacıa, y f se anula en SpecA.

Corolario: En las variedades algebraicas sobre un cuerpo algebraicamente ce-rrado, las funciones nilpotentes son las que se anulan en los puntos racionales.

20

7. Teorıa de la Dimension

Teorema: dim k[x1, . . . , xn] = n.

Demostracion: Por induccion sobre n, y sabemos que es cierto cuando n = 0, 1.Si 0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pm es una cadena de ideales primos en k[x1, . . . , xn],

tomamos p(x1, . . . , xn) ∈ p1 no nulo, de modo que la dimension de Krull deA = k[x1, . . . , xn]/(p) = k[ξ1, . . . , ξn] es ≥ m− 1.

Como p(ξ1, . . . , ξn) = 0, por el lema de normalizacion hay un morfismo finitoe inyectivo k[y1, . . . , yd] → A, con d < n. Luego dimA = dim k[y1, . . . yd].

Por induccion dim k[y1, . . . , yd] = d; ası que m− 1 ≤ d < n.Es decir, m ≤ n y dim k[x1, . . . , xn] ≤ n.Al ser 0 ⊂ (x1) ⊂ (x1, x2) ⊂ . . . ⊂ (x1, . . . , xn) una cadena de ideales primos

de k[x1, . . . , xn], tenemos que dim k[x1, . . . , xn] ≥ n, y terminamos.

Corolario: Toda variedad algebraica sobre un cuerpo tiene dimension finita.

Demostracion: Si A = k[ξ1, . . . , ξn] es una k-algebra de tipo finito, por el lemade normalizacion existe un morfismo finito e inyectivo k[x1, . . . , xd] ↪→ A, cond ≤ n; luego d = dim k[x1, . . . , xd] = dimA.

Teorema: La dimension de cualquier k-algebra de tipo finito ıntegra A coincidecon el grado de trascendencia sobre k de su cuerpo de fracciones Σ.

Demostracion: Por el lema de normalizacion tenemos un morfismo finito inyec-tivo k[x1, . . . , xd] → A, donde d = dim k[x1, . . . , xd] = dimA.

Consideremos el sistema multiplicativo S = {p ∈ k[x1, . . . , xd] : p = 0}.El morfismo natural k(x1, . . . , xd) → AS es finito (pruebese) y AS es ıntegra;

luego es cuerpo y coincide con el cuerpo de fracciones Σ de A. Luego Σ es unaextension finita de k(x1, . . . , xd), y su grado de trascendencia sobre k es d.

Corolario: Sea X = SpecA una variedad algebraica ıntegra. Si una funcionf ∈ A no es nula, entonces dimUf = dimX.

Demostracion: A y Af = A[ 1f ] tienen el mismo cuerpo de fracciones.

Corolario: Si un polinomio p ∈ k[x1, . . . , xn] es irreducible, entonces

dim k[x1, . . . , xn]/(p) = n− 1.

Demostracion: Pongamos A = k[ξ1, . . . , ξn] = k[x1, . . . , xn]/(p), que es ıntegra,y sea Σ su cuerpo de fracciones. Podemos suponer que el grado de p(x1, . . . , xn)en la indeterminada xn no es nulo. Entonces ξ1, . . . , ξn−1 son algebraicamenteindependientes, pues ningun polinomio en x1, . . . , xn−1 es multiplo de p, y laextension k(ξ1, . . . , ξn−1) → k(ξ1, . . . , ξn) es finita porque p(ξ1, . . . , ξn) = 0.

Luego el grado de trascendencia de Σ = k(ξ1, . . . , ξn) es n− 1.

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Corolario: Si un polinomio f ∈ k[x1, . . . , xn] no es constante, entonces

dim k[x1, . . . , xn]/(f) = n− 1.

Demostracion: Si p1, . . . , pr son los factores irreducibles de f , entonces

Spec k[x1, . . . , xn]/(f) = (f)0 = (p1)0 ∪ . . . ∪ (pr)0,

donde todos los cerrados (pi)0 son de dimension n− 1.

Teorema del Ideal Principal de Krull (1899-1971): Sea X = SpecA unavariedad algebraica ıntegra de dimension n. Si f ∈ A no es nulo ni inverti-ble, entonces todas las componentes irreducibles de (f)0 = SpecA/fA son dedimension n− 1.

Demostracion: Sea (f)0 = Y1∪. . .∪Yr la descomposicion de (f)0 en componentesirreducibles, y tomemos h ∈ A que se anule en Y2∪ . . .∪Yr pero no en Y1. AhoraUh = SpecAh es una variedad algebraica ıntegra de dimension n en la que losceros de f son irreducibles; luego podemos suponer que (f)0 es irreducible.

Por el lema de normalizacion de Noether, tenemos un morfismo finito einyectivo k[x1, . . . , xn] → A, con n = dimA.

Ahora la inclusion k[x1, . . . , xn, f ] → A es un morfismo finito e inyectivo, yla aplicacion continua inducida ϕ : SpecA → Spec k[x1, . . . , xn, f ] cumple queϕ−1

((f)0

)= (f)0, ası que por el teorema del ascenso ambos cerrados tienen

igual dimension, y podemos suponer que A = k[x1, . . . , xn, f ].Sea p el nucleo del epimorfismo k[x1, . . . , xn, xn+1] → k[x1, . . . , xn, f ] = A,

de modo existe una cadena de primos p ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn, y tomemos unpolinomio irreducible p(x1, . . . , xn+1) ∈ p.

Si la inclusion (p) ⊆ p fuera estricta, en k[x1, . . . , xn+1] tendrıamos unacadena de primos 0 ⊂ (p) ⊂ p ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn de longitud n + 2, lo que esabsurdo. Luego p = (p) y A = k[x1, . . . , xn+1]/(p).

Ahora A/fA = k[x1, . . . , xn+1]/(p, xn+1) = k[x1, . . . , xn]/(p(x1, . . . , xn, 0)

)tiene dimension n − 1, porque p(x1, . . . , xn, 0) no es constante (ya que f no esnulo ni invertible).

Corolario: Sea A una k-algebra de tipo finito ıntegra de dimension n. Todaslas cadenas irrefinables de ideales primos de A tienen longitud n.

Demostracion: Por induccion sobre n, y es obvio cuando n = 0.Si n ≥ 1, sea 0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pm una cadena irrefinable de primos de A y

tomemos 0 = f ∈ p1. Al ser irrefinable, p1 define un primo minimal de A/fA,y (p1)0 es una componente irreducible de (f)0.

Por el teorema anterior, dimA/p1 = dim (p1)0 = n − 1, y concluimos quem = n, ya que p1 ⊂ . . . ⊂ pm define una cadena irrefinable de primos en A/p1.

Definicion: Un anillo A es catenario si todas las cadenas irrefinables de primosp = p0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn = q con extremos prefijados p, q tienen igual longitud.

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Teorema: Toda k-algebra de tipo finito A es catenaria.

Demostracion: Sustituyendo A por A/p podemos suponer que A es ıntegra yp = 0. En tal caso, si 0 ⊂ p1 ⊂ . . . ⊂ pn = q y 0 ⊂ p′1 ⊂ . . . ⊂ p′m = q son doscadenas irrefinables, consideramos una cadena irrefinable q ⊂ q1 ⊂ . . . ⊂ qr.

Ahora 0 ⊂ p1 . . . ⊂ pn ⊂ q1 . . . ⊂ qr y 0 ⊂ p′1 . . . ⊂ p′m ⊂ q1 . . . ⊂ qr son doscadenas irrefinables de ideales primos de A.

Luego n+ r = m+ r por el corolario anterior, y concluimos que n = m.

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8. Apendice

Definicion: Sea k → L una extension. Un elemento α ∈ L es algebraico sobrek si es raız de algun polinomio no nulo p(x) ∈ k[x]. En caso contrario diremosque α es trascendente sobre k. Diremos que L es una extension algebraica dek cuando lo sean todos sus elementos.

Por ejemplo, todas las extensiones finitas son algebraicas.

Definicion: Sea k → L una extension. Unos elementos x1, . . . , xn ∈ L algebrai-camente independientes sobre k forman una base de trascendencia de L sobrek si no existe x ∈ L tal que x1, . . . , xn, x sean algebraicamente independientessobre k; es decir, si la extension k(x1, . . . , xn) → L es algebraica.

Proposicion: Todas las bases de trascendencia de L sobre k tienen igual numerode elementos, llamado grado de trascendencia de L sobre k.

Demostracion: Si existieran dos bases de trascendencia x1, . . . , xn e y1, . . . , ymcon n < m, procediendo por induccion sobre i vamos a ver que L es extensionalgebraica de k(y1, . . . , yi, xi+1, . . . , xn), lo que es absurdo cuando i = n porquey1, . . . , yn, yn+1 son algebraicamente independientes.

Cuando i = 0 es cierto porque la extension k(x1, . . . , xn) → L es algebraica.Cuando i ≥ 1, el elemento yi es algebraico sobre k(y1, . . . , yi−1, xi, . . . , xn)

por hipotesis de induccion,

pr(y1, . . . , yi−1, xi, . . . , xn)yri + . . .+ p0(y1, . . . , yi−1, xi, . . . , xn) = 0.

Quitando denominadores podemos suponer que los coeficientes son polino-mios y (reordenando xi, . . . , xn si fuera preciso) en alguno ha de aparecer xiporque y1, . . . , yi son algebraicamente independientes. Luego xi es algebraicosobre k(y1, . . . , yi, xi+1, . . . , xn), y son algebraicas las extensiones

k(y1, . . . , yi, xi+1, . . . , xn) −→ k(y1, . . . , yi, xi, xi+1, . . . , xn) −→ L.

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