1.- CONCEPTO DE FUNCIÓNiesaricel.org/rafanogal/eso/2eso-14-15/2eso-u8y9-func-14...1) “Eva fue a...

2º ESO - UNIDADES 8 y 9.- FUNCIONES. PROPIEDADES GLOBALES. FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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1.- CONCEPTO DE FUNCIÓNObjetivo 1.- Interpretar funciones en contextos reales, en especial cuando se trate del estudio conjunto de dos gráficas

Definición de funciónUna función es una forma de hacerle corresponder a un número cualquiera “x” otro número “y”.Lo que vale “y” depende de lo que vale “x”, por eso la letra “y” se llama variable dependiente y la “x” variableindependiente.

Función dada a través de una fórmulaLa fórmula y = 3x + 7 representa una función, pues a un valor determinado de “x” le corresponde un sólo valorde “y”. Por ejemplo, para x = 4 → y = 3.4 + 7 = 19. Se dice que la imagen de 4 es 19

Función dada a través de una tabla de valoresTras nacer un bebé se han anotado sus pesos hasta el 3er mes en una tabla dando los siguientes resultados:

x = tiempo (meses) 0 1 2 3y = peso (kg) 3,75 4,25 5,60 6,40

Función dada a través de un enunciadoEn una tienda el jamón está a 9 €/kg. El precio que tengo que pagar depende de la cantidad de kilogramos.

En este ejemplo, “x” es la cantidad de kg que compramos e “y” es el precio.Función dada a través de una gráfica

En un pueblo se juegan 5 partidos de fútbol.La siguiente gráfica representa la asistencia depúblico a cada partido.

X (nº de partido)

Y (nº de asistentes)

200

32

150

250

1

350

4

100

5La “x” toma valores aislados y por eso la gráfica estáformada sólo por puntos aislados.

Este tipo de funciones se llaman de funciones devariable discreta.

La siguiente gráfica corresponde a la distancia recorridapor un coche en un viaje

En este ejemplo, “x” es el tiempo e “y” es la distancia.La “x” puede tomar cualquier valor.

Este tipo de funciones se llaman de funciones devariable continua.

Fíjate bienEn las funciones dadas a través de una gráfica, la variable “x”, llamada también abscisa, siempre se representa enel eje horizontal, el eje X.La variable “y “ , llamada también ordenada, siempre se representa en el eje vertical, el eje Y.El punto donde se cortan los ejes de coordenadas se llama origen de coordenadasLos ejes de coordenadas dividen al plano en 4 regiones llamadas cuadrantes


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ACTIVIDADES1 Construye una gráfica tiempo-distancia a casa a partir del siguiente enunciado:Esta mañana, Luisa salió a hacer una ruta en bicicleta. Tardó media hora en llegar al primer punto de descanso,que estaba a 25 km de su casa. Estuvo parada durante 30 minutos. Tardó 1 h en recorrer los siguientes 15 km yotra hora en recorrer los 10 km que faltaban para llegar a su destino

2 Considera la función que a cada número x le asigna su triple menos siete.a) Escribe la fórmula de la función b) Calcula la imagen de –2 c) ¿Qué número tiene de imagen 14?

Haz las actividades de la Plataforma SM del Apartado 1 repasando y practicando primeroen el enlace de tu curso “Teoría y actividades interactivas” de la web de tu profesor

3.- Resuelve tú los siguientes apartados:a) Representa los puntos A(2,4) , B(–3,2) e indica las coordenadas de los puntos C y D

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

X

Y

D

C

b) El gráfico representa las temperaturas máximas y mínimas (en ºC) registradas en una localidad granadina enuna semana del año.

1) ¿Cuál fue la menor de las temperaturas máximas? 2) ¿Y la mayor de las temperaturas mínimas?3) ¿Qué día hubo mayor diferencia entre la mínima y la máxima?4) ¿Qué día la temperatura mínima bajó de –2 ºC y la máxima subió de 6 ºC?


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c) Construye una gráfica, representando el tiempo en el eje X y la distancia en el eje Y, que se ajuste a lossiguientes enunciados:1) “Eva fue a visitar a su amiga Leticia y tardó 20 minutos en llegar a su casa, que se encuentra a 800 metros dedistancia. Estuvo allí durante media hora y regresó a su casa, tardando en el camino de vuelta lo mismo quetardó en el de ida”

2) “Un ciclista sale de excursión a un lugar que dista 20 km de su casa. A los 15 minutos de la salida, cuando seencuentra a 6 km, hace una parada de 10 minutos. Reanuda la marcha y llega a su destino una hora después dehaber salido de casa”

d) Escribe la fórmula de la función en los siguientes casos:1) A cada número “x” le hacemos corresponder un valor “y” igual a su mitad más cinco

2) A cada valor “x” del lado de un cuadrado le hacemos corresponder su área, “y”

e) Considera la función y = –3x + 4 .1) Calcula el valor “y” que corresponde al valor x = –22) Calcula los valores de “x” que corresponden a los siguientes valores de “y”: y = –2 ; y = –8 ; y = 1

2.- CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓNObjetivo 2.- Reconocer e interpretar las características de continuidad/discontinuidad, crecimiento/decrecimiento,máximos/mínimos y puntos de corte con los ejes de coordenadas a partir de la gráfica en diversos contextos

Funciones continuas y discontinuasUna función es continua cuando su gráfica no tiene ninguna “rotura” y, por tanto, se puede dibujar de un solotrazo.

Esta gráfica corresponde a una función continua Esta gráfica corresponde a una función discontinua.Los puntos de discontinuidad son x = 0, x = 3

Funciones crecientesUna función es creciente si sugráfica es ascendente.

Funciones decrecientesUna función es decreciente si sugráfica es descendente.

Funciones constantesSon las funciones que no soncrecientes ni decrecientes.La gráfica es una línea rectahorizontal


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Máximo de una funciónUna función continua tiene un máximo en el puntoA(a , b) si en dicho punto la gráfica pasa de

creciente a decreciente.

Mínimo de una funciónUna función continua tiene un mínimo en el punto

A(a , b) si en dicho punto la gráfica pasa dedecreciente a creciente.

Fíjate bienUna función puede ser creciente, decreciente o constante por intervalos.

También puede tener varios máximos/mínimosEjemplo:

Es creciente de x = 1 a x = 4 ; de x = 7 a x = 8 y de x = 12 a x = 16 Es decreciente de x = 8 a x = 12 y de x = 16 a x = 21Es constante de x = 4 a x = 7. Los máximos son A y B y el mínimo es C

ACTIVIDADES1 En la gráfica siguiente se describe cómo varía la distancia de una persona a su casa cuando da un paseo.

a) Hay 3 intervalos de tiempo en los que la función es constante. Indica cuáles son y qué significado tienen

b) Cuando hizo la 2ª parada, ¿a qué distancia estaba de su casa?

c) Indica los intervalos de tiempo en los que la función es decreciente

d) Indica los máximos o mínimos que tiene la función

e) ¿Cuál fue la velocidad media desde que salió hasta que hizo la primera parada?

f) Indica cuál es la escala en cada eje


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2 En las gráficas siguientes se muestra el crecimiento de Ana y Pedro hasta los 10 años:

a) ¿A qué edades medía Pedro más que Ana? b) ¿A qué edades medían los dos lo mismo?

c) ¿Entre qué dos años la estatura de Ana se mantiene constante? d) ¿Son continuas estas dos funciones?

3 Para la función dada por la siguiente gráfica, determina:

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

X

Y

a) El tramo en el que la función es creciente b) La imagen de –3 c) La imagen de 3

d) Los números que tienen imagen igual a 4 e) Los valores de x para los que la función es discontinua


4.- Resuelve tú los siguientes apartados:a) Esta es la gráfica correspondiente a un corredor en una etapa de carrera ciclista.

1) Indica cuáles son las variables independiente y dependiente 2) ¿Qué escala se utiliza en cada eje?

3) ¿Cuántos kilómetros tiene la etapa? 4) ¿Cuánto tiempo tardó en recorrer la etapa?

5) ¿Qué distancia había recorrido a las 2 horas de empezar?

6) ¿Cuánto tiempo tardó en recorrer los 100 primeros kilómetros?

7) ¿Es una función continua? 8) Calcula la velocidad que llevaba el ciclista en la primera media hora

9) ¿Cuál fue la velocidad media en la etapa? 10) ¿La función es decreciente?


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b) La siguiente gráfica representa la evolución del peso de Carlos a lo largo de sus 70 años de vida:

1) ¿Qué escala se usa en cada eje? 2) ¿Cuánto pesaba al nacer?

3) Indica el máximo de la función y explica su significado 4) ¿A qué edades pesaba 75 kg?

5) ¿En qué intervalo de tiempo la función es decreciente? 6) La función representada, ¿es continua?

c) En una clase de laboratorio un alumno ha medido la temperatura de un líquido según se calentaba.Los resultados del experimento los anotó en la siguiente tabla.

Tiempo (minutos) 0 1 2 3Temperatura (º C) 20 24 30 40

Haz la gráfica de la función graduando los ejes convenientemente e indica sus características

d) La siguiente tabla expresa el nº de asistentes cada día en una competición de tenisDía 1 2 3 4 5 6

Nº de personas 1000 800 400 600 900 1200Haz la gráfica de la función graduando los ejes convenientemente e indica sus características

e)

Para la función anterior indica:1) El punto de corte con el eje de ordenadas 2) La imagen de 1 3) Los números que tienen imagen igual a 2


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3.- FUNCIONES LINEALES, AFINES Y CONSTANTESObjetivo 3.- Reconocer funciones lineales en diversos contextos y representarlas usando escalas adecuadasObjetivo 4.- Obtener la fórmula de funciones lineales en diversos contextos a partir de la tabla, gráfica o enunciado y calcular e interpretar pendiente

Funciones linealesSon aquellas cuya fórmula es del tipo y = mx, siendo m un número distinto de cero.

Por ejemplo: y = 3x, y = –2x son funciones lineales.La gráfica de estas funciones es una recta que pasa por el origen de coordenadas O(0,0)

El número que multiplica a la x se llama pendiente de la rectaEjemplos

X

Y

Funcióncreciente

y = 3x 3

1

m = 3 > 0

Si la pendiente es positiva la recta está inclinadahacia la derecha, o sea es una función creciente.

X

YFunción

decrecientey = -2x

-2

1

m = -2 < 0

Si la pendiente es negativa la recta está inclinadahacia la izquierda, o sea es una función decreciente.

Fíjate bienSi dos magnitudes “x” e “y” son d.p., entonces la función que relaciona a “x” e “y” es lineal y su pendientees la constante de proporcionalidad.

Ejemplo:Si x = kg de manzanas, y = precio. Suponiendo que 2 kg de manzanas valgan 6 €.

Como las magnitudes son d.p. podemos establecer una proporción y 6 3x 2

.Por tanto, despejando, y = 3x .

ACTIVIDADES1 Haz la gráfica y un estudio completo de las funciones: a) y = 3

2x b) y = – 2,5x

2 Halla la ecuación de la función lineal que pasa por el punto (5, –2) y dibuja su gráfica

3.- Haz tú la gráfica e indica la pendiente de las siguientes funciones:

a) y = 4x b) y = –3x c) y = 1 x5

d) y = 0,5x e) y = 2x3

f) y = x6

g) La función lineal que pasa por A(–2,7)


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Funciones afinesSon aquellas cuya fórmula es del tipo y = mx + n , siendo m, n números distintos de cero.

Por ejemplo: y = 2x – 5 , y = –3x + 1 son funciones afines.

La gráfica de las funciones afines es una recta que NO pasa por el origen de coordenadas.

El número que multiplica a la x se llama pendiente de la recta y tiene el mismo significado que en lasfunciones lineales.

El término independiente, “n”, se llama ordenada en el origen y representa el punto de corte de la rectacon el eje Y.

Ejemplos

X

Y

y = 2x - 5

-5

1

-3

La pendiente es 2 y la ordenada en el origen –5

X

Y

y = -3x + 1

-2

11

La pendiente es –3 y la ordenada en el origen 1

Funciones constantesSon aquellas cuya fórmula es del tipo y = n . La gráfica de una función constante es una línea horizontal.

Ejemplos

X

Y

y = 11

X

Y

y = -5-5

ACTIVIDADES (continuación)4.- Representa tú las siguientes funciones e indica su pendiente y ordenada en el origen:

a) y = 2x + 3 b) y = –3x + 1 c) y = –x – 2

d) y = 4x – 5 e) y = 4 f) y = –3


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Cálculo de la pendiente de una rectaLa pendiente de una recta se puede calcular a partir de dos puntos cualesquiera de la recta de la siguienteforma: Si A(x1 , y1) , B(x2,y2) son dos puntos de la recta, la fórmula para hallar la pendiente es:

m = 2 12 1

y yVariación de y =Variación de x x x

EjemploVamos a calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(2, – 1) y B(4,2)

Método algebraico

m =

2 ( 1 ) 1,54 2

2 12 1

y yVariación de y =Variación de x x x

La pendiente de esta recta es m = 1,5

Método gráfico

1 2 3 4 5 6

-5-4-3-2-1

12345

X

Y

3 unidades

2 unidades

La pendiente de esta recta es m = 3 1,52

Fíjate bienLa pendiente del ejemplo anterior es positiva que se corresponde con que la gráfica es creciente.Como la pendiente es m = 1,5 y la ordenada en el origen es n =– 4, la fórmula de la función es:

y = mx + n → y = 1,5x – 4

Cuando la recta es decreciente la pendiente que se obtiene es negativa pues la y disminuye y por tanto lavariación de y es un número negativo

Si la función es constante, la pendiente vale 0 pues la gráfica es una recta horizontal

ACTIVIDADES (continuación)5 La siguiente gráfica relaciona la distancia recorrida (en metros) en función del tiempo (en segundos)

a) Calcula la pendiente de la recta y explica su significado. b) Escribe la fórmula de la función

c) Usando la gráfica y fórmula indica: 1) La distancia recorrida a los 7 segundos 2) El tiempo en recorrer 25 m

d) Usa la fórmula para calcular: 1) La distancia recorrida a los 2,5 min 2) El tiempo en recorrer 1,5 km


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6 Hemos medido la temperatura de un líquido a medida que se calentaba

El tiempo está dado en minutos y la temperatura en ºC

a) Indica la escala usada en cada eje b) ¿Qué tipo de función se está representando?

c) Indica cuál es la ordenada en el origen y explica su significado.

d) Calcula la pendiente de la recta y explica su significado

e) Escribe la fórmula de la función f) Completa la siguiente tabla

g) ¿En qué momento empieza a hervir?

7 Para pintar 5 m2 de pared un pintor necesita 12 kg de pintura.a) Haz la gráfica de la función b) Indica cuál es la pendiente y explica su significadoc) Escribe la fórmula de la funciónd) ¿Cuántos m2 se pueden pintar con 8 kg de pintura? e) ¿Cuántos kg necesitamos para pintar 16 m2?

8 Considera todos los rectángulos de 6 cm de altura.Sea la función que relaciona x = base del rectángulo con y = perímetro del rectánguloa) Completa la siguiente tabla:

b) Escribe la fórmula de la función c) Haz la gráfica de la funciónd) Calcula la base del rectángulo que tiene 34 cm de perímetro

9 Una fábrica debe distribuir sus productos a varias ciudades. Recibe las ofertas de dos transportistas en lassiguientes condiciones: Transportista A: cobra 0,60 € por km. Transportista B: cobra 45 € fijos y 0,50 € por km.

Considera la función que relaciona las variables x = nº de km, y = precioa) Escribe la expresión algebraica de la función para el transportista Ab) Haz lo mismo para el transportista Bc) Completa la siguiente tabla

x 0 400 500y (transportista A)y (transportista B)

d) Haz la gráfica de las dos funciones usando los datos de la tabla y los mismos ejes de coordenadase) ¿Para qué número de km cobran los dos lo mismo?

x 0 4 7y 25 50

x = base (cm) 1 2 3 4y = perímetro (cm)


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10.- Resuelve tú los siguientes apartados:a) La siguiente función representa el volumen de agua (en litros) de un depósito a medida que transcurre eltiempo (en minutos).

1) Calcula la pendiente y explica su significado 2) Escribe la fórmula de la función

3) Halla el volumen de agua al cabo de 1 hora y cuarto

4) Si al depósito le cupieran 600 litros, ¿cuánto tiempo tardaría en llenarse?

b) La siguiente gráfica representa la velocidad de un móvil en función del tiempo

1 2 3 4 5 6

123456789

1011121314

t (tiempo en min)

v (velocidad en m/min)

-31) ¿Qué velocidad lleva a los 4 minutos? 2) ¿Al cabo de cuánto tiempo alcanza una velocidad de 7 m/min?

3) ¿Qué significado tiene el punto de corte con el eje Y? 4) Determina la pendiente y explica su significado

5) Escribe la fórmula de la función 6) Calcula la velocidad a las 6 horas menos cuarto

7) Halla el tiempo que tarda en alcanzar una velocidad de 57 m/min


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c) Todas las casas de la urbanización tienen que abonar al mes un recibo por los servicios que presta lacomunidad de vecinos (limpieza de calles y jardines, y uso de la piscina).

Cada familia tiene que pagar una cantidad fija y una cuota por habitante de cada casa.

El administrador, cuando fui a pagar la cuota con mi madre, me enseñó la gráfica que había hecho para saberde forma rápida lo que debe pagar cada familia.

Como me conoce, y sabe que estoy en 2º curso de secundaria, me propuso que descubriera cuál es la fórmulaque había usado para realizar la gráfica. ¿Cuál es?

d) Supongamos que el tren AVE llevara una velocidad constante. La siguiente tabla nos da el espacio querecorre en función del tiempo.

tiempo (en h) 0 0,5 1 1,5 2 …espacio (en km) 0 120 240 360 480 …

1) Haz la gráfica de la función 2) Indica cuál es la pendiente y explica su significado

3) Escribe la fórmula de la función

e) Un sastre, por hacer un disfraz, cobra 10 € fijos y luego 4 € por cada metro de tela que utilice.1) Completa la siguiente tabla:

2) Escribe la fórmula de la función 3) Indica si es una función lineal o afín

4) Calcula cuánto cuesta un disfraz en el que se utilizan 10 metros de tela

5) Si el sastre nos ha cobrado 42 €, ¿cuántos metros de tela ha utilizado?

Metros de tela 0 1 2 3Precio (en euros)


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f) Un depósito para gasoil está vacío. Se va llenando con una manguera que vierte 12 litros cada minuto.1) Completa la tabla siguiente

2) Haz la gráfica de la función 3) Indica cuál es la pendiente y explica su significado

4) Escribe la fórmula de la función 5) Calcula cuántos litros de gasoil tiene el depósito al cabo de 1,75 min.

6) Si el depósito tiene una capacidad de 150 litros, ¿cuántos minutos tarda en llenarse?

g) Unos amigos van de vacaciones a Mallorca durante una semana. Desean alquilar un coche y les ofrecen dosopciones: Opción A: 40 € Opción B: 1 € por día más 0,30 € por km recorrido.

Considera la función que relaciona las variables x = nº de km, y = precio1) Completa la siguiente tabla

x 0 100 150y (opción A)y (opción B)

2) Escribe la expresión algebraica de la función para la opción A 3) Haz lo mismo para la opción B

4) Haz la gráfica de las dos funciones usando los datos de la tabla y los mismos ejes de coordenadas

5) ¿Para qué número de km las dos opciones le salen igual de caras?

h) Dos depósitos de agua iguales, A y B, tienen una capacidad para 21 litros.El depósito A está lleno y se vacía a razón de 2 litros/min.El depósito B está vacío y se llena con una velocidad de 1,5 litros/min.

Considera la función que relaciona las variables x = tiempo, en minutos, y = volumen del depósito, en litros1) Completa la siguiente tabla

x 0 2 4 6 8 10 12 14y (depósito A)y (depósito B)

2) Escribe la expresión algebraica de la función para el depósito A 3) Haz lo mismo para el depósito B

4) Haz la gráfica de las dos funciones usando los datos de la tabla y los mismos ejes de coordenadas

5) ¿En qué minuto los dos depósitos tienen la misma agua?

6) ¿Cuánto tiempo tarda en llenarse el depósito B?

7) ¿Cuánto tiempo tarda en vaciarse el depósito A?

8) Cuándo el depósito A está vacío, ¿cuántos litros tiene el depósito B?

x = tiempo (segundos) 0 5 10 15y = litros de gasoil del depósito


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4.- FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSAObjetivo 5.- Reconocer funciones de proporcionalidad inversa y representarlas usando escalas adecuadasObjetivo 6.- Obtener la fórmula de funciones de proporcionalidad inversa a partir de la tabla, gráfica o enunciado y calcular e interpretarla constante de proporcionalidad

DefiniciónUna función de proporcionalidad inversa es aquella que relaciona a dos magnitudes “x” e “y” que son i.p.

La fórmula de estas funciones es del tipo y = kx , siendo k la constante de proporcionalidadSu gráfica es una curva llamada hipérbola

EjemploLa cantidad de nieve que limpia una máquina quitanieves de la carretera depende del espesor de esta.

Se han recogido datos de una de estas máquinas en un momento determinado

En este caso, las magnitudes “x” = espesor de nieve, “y” = distancia que limpia en 1 h son i.p.Observa que x.y = 300 = constante de proporcionalidad

Despejando la y se obtiene: y = 300x

Espesor (en cm)Fíjate bien

Si tomamos valores de “x” muy grandes obtenemos valores de “y” muy próximos a cero

Si tomamos valores de “x” muy próximos a cero obtenemos valores de “y” muy grandes

Si en una función de proporcionalidad inversa tomáramos valores de “x” negativos obtendríamos unahipérbola de dos “ramas”

Ejemplo:


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ACTIVIDADES1 Haz la gráfica de la función y = 120

xtomando valores positivos y negativos para la variable x:

2 Considera todos los rectángulos de 24 cm2 de superficie.a) Completa la siguiente tabla de valores

b) Escribe la fórmula de la función y haz su gráfica para valores positivos de x

3 Un bidón se llena en 4 min con un grifo que arroja 20 litros/minuto.a) Completa la siguiente tabla de valores

b) Escribe la fórmula de la función y dibuja su gráficac) Averigua cuánto tiempo tarda en llenarse el bidón con un grifo que eche 16 litros/min

4 Un tren circulando a 120 km/h tarda 6 horas en hacer un recorrido.a) Completa la siguiente tabla

b) Determina la fórmula de la función c) Halla el tiempo que se tarda a una velocidad de 80 km/hd) Calcula la velocidad que debe llevar el tren para hacer el recorrido en 10 horas

5 Se van a repartir 3500 € entre un grupo de personas, a partes iguales.a) Determina la fórmula de la función que relaciona el nº de personas con la cantidad de dinero que lecorresponde a cada una.b) Si a cada persona le ha tocado 28 €, ¿cuántas personas hay?


6.- Resuelve tú los siguientes apartados:a) Haz la gráfica de las siguientes funciones tomando valores positivos y negativos para la variable x:

1) y = 6x

2) y = 24x

3) y = 40x

x = base del rectángulo 8 4 2y = altura del rectángulo

x = nº de litros/minuto 20 40 10y = tiempo (en minutos)

x = velocidad (km/h) 120 60 30 15y = tiempo (horas)


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b) La distancia entre dos ciudades es 180 km. Supongamos que se recorre esa distancia a una velocidadconstante.1) Completa la siguiente tabla de valores

2) Escribe la fórmula de la función 3) Haz la gráfica de la función para valores positivos del tiempo

4) Si la velocidad es de 72 km/h, ¿cuánto tiempo se tarda?

c) Nuestra profesora de Ciencias de la Naturaleza nos ha llevado al laboratorio para realizar un experimento.Ha introducido un cierto gas en un cilindro con un émbolo y hemos ido elaborando una tabla que relaciona lapresión a la que está sometido el gas con el volumen que ocupa.

La tabla de valores que hemos obtenido es la siguiente, expresando el volumen en litros y la presión enatmósferas:

V (litros) P (atm)60 0,530 120 1,515 212 2,5

1) Representa gráficamente los puntos que se corresponden con la tabla de datos anterior, situando en el eje Xla variable volumen del gas, y en el eje Y la variable presión. No olvides indicar las unidades en los ejes.

2) Une los puntos de la gráfica y prolóngala para valores de V muy próximos a cero y para valores de Vmayores que 60 litros.

NOTA: Ni el volumen V ni la presión P pueden ser negativos.

ACTIVIDADES DEL LIBRO (UNIDADES 8 y 9)Apartado 1 (Concepto de función) : Unidad 8: 24

Apartado 2 (Características de una función) : Unidad 8: 63

Apartado 3 (Funciones lineales, afines y constantes) : Unidad 9: 9 y 15

Apartado 4 (Funciones de proporcionalidad inversa) : Unidad 9: 64 y 66

t = tiempo empleado (h) 2 3 4v = velocidad (km/h)

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