1. Construcci´on de la Integral - unican.es...Supongamos primero que f es integrable en A, y sea >...
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Integral deRiemann en Rn.
Concepto yPropiedades
Fundamentales.
JJ II
J I
1. Construccion de la Integral
La integral de Riemann en Rn es una generalizacion de la integral de funciones de una variable.La definicion que vamos a dar reproduce el metodo de Darboux para funciones acotadas definidasen rectangulos. La generalizacion a otra familia mas amplia de conjuntos se vera mas adelante.
Llamamos rectangulo en Rn a un producto cartesiano de intervalos
A = [a1, b1]× · · · × [an, bn]
y llamamos volumen de A al producto de las longitudes de sus lados
v(A) = Πni=1(bi − ai)
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Llamamos particion de A a una familia P formada por una particion de cada uno de losintervalos, P = {P1, . . . , Pn}, donde Pi = {a = t0 ≤ · · · ≤ tki
= bi} es una particion de [ai, bi]
Una particion P de A define una familia finita de rectangulos, que llamaremos RP , que verifica
A =⋃
R∈RP
R; v(A) =∑
R∈RP
v(R)
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Si P = {P1, . . . , Pn} y Q = {Q1, . . . , Qn} son dos particiones de A, se dice que Q ≥ P , oque Q es mas fina que P , si para cada i entre 1 y n Pi ⊆ Qi. En este caso, Q define en cadarectangulo R de RP una particion QR.
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Dadas dos particiones P y Q de A, llamaremos P ∪ Q a la particion formada por todos lospuntos de cada Pi y Qi
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Definicion (Sumas de Riemann).Sea f : A −→ R una funcion acotada, y P una particion de A. Para cada rectangulo R ∈ RP
se definen:
mR(f) = inf{f(x); x ∈ R}
MR(f) = sup{f(x); x ∈ R}
Se definen la Suma Inferior de Riemann y la Suma Superior de Riemann por
S(f, P ) =∑
R∈RP
mR(f) v(R)
S(f, P ) =∑
R∈RP
MR(f) v(R)
respectivamente.
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Si f es una funcion no negativa, S(f, P ) es la suma de los volumenes de los rectangulosR× [0, mR(f)], levantados por debajo de la grafica de f , y S(f, P ) es la suma de los volumenesde los rectangulos R× [0, MR(f)] construidos por encima de la grafica de f
Caso n=1:
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Caso n=2
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Estas sumas superiores e inferiores verifican las siguientes propiedades:
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Estas sumas superiores e inferiores verifican las siguientes propiedades:
1.- Para toda particion P de A,
S(f, P ) ≤ S(f, P )
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2.- Si P y Q son dos particiones con P ≤ Q, entonces
S(f, P ) ≤ S(f, Q) y S(f, P ) ≥ S(f, Q)
es decir, cuanto mas fina es la particion, la suma inferior es mayor y la superior es menor.
P ≤ Q
t1 t2 t3 t4 t5t0s0 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 s10
S(f, Q)
S(f, P )
P = {t0, t1, t2, t3, t4, t5}
Q = {s0, s1, s2, s3, s4, s5, s6, s7, s8, s9, s10}
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t1 t2 t3 t4 t5t0s0 s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 s10
Q = {s0, s1, s2, s3, s4, s5, s6, s7, s8, s9, s10}
P = {t0, t1, t2, t3, t4, t5}S(f, P )
S(f, Q)
P ≤ Q
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3.- Para toda particion P de A,
mA(f)v(A) ≤ S(f, P ) ≤ S(f, P ) ≤ MA(f)v(A)
S(f, P )
t1 t2 t3 t4 t5t0
P = {t0, t1, t2, t3, t4, t5}
MA(f)v(A)
mA(f)v(A)
S(f, P )
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4.- Si P y Q son dos particiones cualesquiera de A,
S(f, P ) ≤ S(f, Q)
P = {t0, t1, t2, t3, t4, t5}S(f, P )
S(f, Q)
Q = {s0, s1, s2, s3, s4, s5, s6}
t1 t2 t3 t4 t5t0s0 s1 s2
s3 s4 s5 s6
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Definimos ahora las integrales inferior y superior de una funcion de la siguiente manera:
Definicion (Integral Superior e Integral Inferior).Sea A un rectangulo en Rn, y f : A −→ R una funcion acotada.
Se llama integral inferior de f en A a∫A
f = sup{S(f, P ); Pparticion de A}
Y se llama integral superior de f en A a∫A
f = inf{S(f, P ); Pparticion de A}
Las integrales superior e inferior estan bien definidas, en el sentido de que como los conjuntosde sumas superiores e inferiores de Riemann de f son acotados, existen el supremo y el ınfimorespectivamente.
Ademas, por las propiedades que hemos visto antes, se tiene que
mA(f)v(A) ≤∫
A
f ≤∫
A
f ≤ MA(f)v(A)
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Definicion (Funcion Integrable Riemann).Sea A un rectangulo en Rn, y f : A −→ R. Se dice que f es integrable Riemann en A si esacotada y las integrales superior e inferior de f en A coinciden. En este caso se llama integralde f en A a∫
A
f =
∫A
f =
∫A
f
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Ejemplo 1. Toda funcion constante en un rectangulo es integrable. Ademas, si f(x) = a para
cada x ∈ A, entonces
∫A
f = av(A)
En efecto, si P es una particion cualquiera de A, y R es uno de los rectangulos definidos porP , mR(f) = a = MR(f), ası que
S(f, P ) =∑
R∈RP
MR(f)v(R) =∑
R∈RP
av(R) = a∑
R∈RP
v(R) = av(A)
y
S(f, P ) =∑
R∈RP
mR(f)v(R) =∑
R∈RP
av(R) = a∑
R∈RP
v(R) = av(A)
Por tanto∫A
f = inf{S(f, P ), P particion de A} = av(A)
y ∫A
f = sup{S(f, P ), P particion de A} = av(A)
las dos integrales son iguales, f es integrable, y
∫A
f = av(A)
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Ejemplo 2. La funcion de Dirichlet, f : [0, 1] −→ R definida por
f(x) =
{1 si x ∈ Q0 si x 6∈ Q
no es integrable Riemann.En efecto, si P es una particion cualquiera de A, y R es uno de los rectangulos definidos por
P , en R habra numeros racionales y numeros irracionales, de modo que mR(f) = 0 y MR(f) = 1,ası que
S(f, P ) =∑
R∈RP
MR(f)v(R) =∑
R∈RP
v(R) = v([0, 1]) = 1
y
S(f, P ) =∑
R∈RP
mR(f)v(R) = 0
Por tanto∫A
f = inf{S(f, P ), P particion de A} = 1
y ∫A
f = sup{S(f, P ), P particion de A} = 0
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Ejemplo 3. Funciones no integrables en R2
Partiendo del ejemplo anterior, es facil construir funciones que no sean integrables, definidasen conjuntos de R2, o en general de Rn. Por ejemplo, puede ser
f(x, y) =
{1 si x ∈ Q0 si x 6∈ Q
definida en A = [0, 1]× [0, 1], o
g(x, y) =
{1 si (x, y) ∈ Q2
0 si (x, y) 6∈ Q2
�
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2. Criterio de Riemann
El primer teorema que vamos a demostrar, da una condicion equivalente para la integrabilidad deuna funcion, aunque no da el valor de su integral. Es una condicion parecida a la condicion deCauchy de las sucesiones de numeros reales, o de vectores de Rn.
Teorema (Criterio de Integrabilidad de Riemann).Sea A un rectangulo en Rn, y f : A −→ R una funcion acotada en A.
f es integrable en A si y solo si para cada ε > 0 existe una particion
Pε de A tal que
S(f, Pε)− S(f, Pε) ≤ ε
Demostracion: I (Saltar al final de la demostracion)Supongamos primero que f es integrable en A, y sea ε > 0. Por la definicion de la integral
superior como el ınfimo de las sumas superiores de Riemann, existira al menos una particion P1
de A tal que S(f, P1) <∫
Af + ε/2. Y por la definicion de la integral inferior como supremo de
las sumas inferiores, existira al menos una particion P2 de A tal que S(f, P2) >∫
Af − ε/2.
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Consideramos entonces la particion P union de P1 y P2, y tenemos
S(f, P ) ≤ S(f, P1) <
∫A
f + ε/2
y
S(f, P ) ≥ S(f, P2) >
∫A
f − ε/2
de donde restando las dos desigualdades se obtiene
S(f, P )− S(f, P ) <
∫A
f + ε/2−∫
A
f + ε/2 = ε
ya que por ser f integrable
∫A
f =
∫A
f .
Recıprocamente, supongamos ahora que para cada ε > 0 existe alguna particion Pε de A talque S(f, Pε)− S(f, Pε) < ε
Entonces como
∫A
f ≤ S(f, Pε) y
∫A
f ≥ S(f, Pε), tenemos
0 ≤∫
A
f −∫
A
f ≤ S(f, Pε)− S(f, Pε) < ε
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y esto para todo ε > 0, luego necesariamente
∫A
f =
∫A
f
y por tanto f es integrable en A.J(Volver al enunciado) �
Como consecuencia de este teorema es facil demostrar que toda funcion continua en unrectangulo es integrable, o incluso que toda funcion monotona es integrable (ver problemas)
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3. Propiedades
Para terminar este primer capıtulo, vamos a demostrar las propiedades elementales de la integral
Teorema (Propiedades de la Integral de Riemann).Sea A un rectangulo en Rn, y sean f : A −→ R y g : A −→ R dos funciones integrables en A.
1. la suma f + g es integrable y∫
A(f + g) =
∫A
f +∫
Ag
2. para todo α ∈ R el producto αf es integrable, y∫
A(αf) = α
∫A
f
3. si f ≥ 0, entonces
∫A
f ≥ 0
4. si f ≥ g, entonces
∫A
f ≥∫
A
g
5. |f | tambien es integrable, y
∣∣∣∣∫A
f
∣∣∣∣ ≤ ∫A
|f |
6. max{f, g} y min{f, g} son integrables
7. el cuadrado f 2 es integrable
8. el producto fg es integrable
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Demostracion: I (Saltar al final de la demostracion)
(1) Como f y g son acotadas, tambien f + g es acotada.Sea P una particion cualquiera de A, y R ∈ RP un rectangulo cualquiera definido por P .
entonces
mR(f + g) = inf{f(x) + g(x), x ∈ R} ≥≥ inf{f(x), x ∈ R}+ inf{g(y), y ∈ R} = mR(f) + mR(g)
y
MR(f + g) = sup{f(x) + g(x), x ∈ R} ≤≤ sup{f(x), x ∈ R}+ sup{g(y), y ∈ R} = MR(f) + MR(g)
En consecuencia, multiplicando por v(R) y sumando
S(f, P ) + S(g, P ) ≤ S(f + g, P ) ≤∫
A
(f + g)
≤ ≤∫
A
(f + g) ≤ S(f + g, P ) ≤ S(f, P ) + S(g, P )
Si tomamos ahora dos particiones cualesquiera de A, P 1 y P 2, y consideramos la unionP = P 1 ∪ P 2, tenemos
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S(f, P 1) + S(g, P 2) ≤ S(f, P ) + S(g, P ) ≤ S(f + g, P )
≤∫
A
(f + g) ≤∫
A
(f + g) ≤ S(f + g, P ) ≤
≤ S(f, P ) + S(g, P ) ≤ S(f, P 1) + S(g, P 2)
Dejando fija P 2, y tomando a la izquierda de la cadena supremos en P 1, como f es integrablequeda∫
A
f + S(g, P 2) ≤∫
A
(f + g) ≤∫
A
(f + g) ≤ S(f, P 1) + S(g, P 2)
y tomando ahora supremos en P 2∫A
f +
∫A
g ≤∫
A
(f + g) ≤∫
A
(f + g) ≤ S(f, P 1) + S(g, P 2)
Repitiendo estos argumentos con la parte derecha de la desigualdad, tomando ınfimos en vezde supremos, obtenemos∫
A
f +
∫A
g ≤∫
A
(f + g) ≤∫
A
(f + g) ≤∫
A
f +
∫A
g
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luego en efecto f + g es integrable, y su integral es la suma de las integrales de f y g
(2) Si f es integrable, entonces es acotada y evidentemente entonces tambien αf es acotada.Supongamos ahora que α ≥ 0.Sea P una particion cualquiera de A, y R uno de los rectangulos de RP .
mR(αf) = inf{αf(x), x ∈ R} = α inf{f(x), x ∈ R} = αmR(f)
y analogamente
MR(αf) = sup{αf(x), x ∈ R} = α sup{f(x), x ∈ R} = αMR(f)
Entonces, multiplicando por el volumen de cada rectangulo de la particion, y sumando
S(αf, P ) =∑
R∈RP
mR(αf)v(R) =∑
r∈RP
αmR(f)v(R) = αS(f, P )
y
S(αf, P ) =∑
R∈RP
MR(αf)v(R) =∑
r∈RP
αMR(f)v(R) = αS(f, P )
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Por tanto∫A
αf = sup{S(αf, P ), P particion de A} =
= sup{αS(f, P ), P particion de A} =
= α sup{S(f, P ), P particion de A} =
= α
∫A
f
y analogamente∫A
αf = inf{S(αf, P ), P particion de A} =
= inf{αS(f, P ), P particion de A} =
= α inf{S(f, P ), P particion de A} =
= α
∫A
f
Ası que como f es integrable, αf tambien lo es, y∫
Aαf = α
∫A
fCuando α < 0, hay que tener en cuenta que para sacar α de un supremo o un ınfimo, hay
que cambiar el sentido de las desigualdades, con lo que se cambian los ınfimos por supremos ylos supremos por ınfimos:
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mR(αf) = inf{αf(x), x ∈ R} = α sup{f(x), x ∈ R} = αMR(f)
y analogamente
MR(αf) = sup{αf(x), x ∈ R} = α inf{f(x), x ∈ R} = αmR(f)
de modo que
S(αf, P ) =∑
R∈RP
mR(αf)v(R) =∑
r∈RP
αMR(f)v(R) = αS(f, P )
y
S(αf, P ) =∑
R∈RP
MR(αf)v(R) =∑
r∈RP
αmR(f)v(R) = αS(f, P )
De aquı∫A
αf = sup{S(αf, P ), P particion de A} =
= sup{αS(f, P ), P particion de A} =
= α inf{S(f, P ), P particion de A} =
= α
∫A
f
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y analogamente∫A
αf = inf{S(αf, P ), P particion de A} =
= inf{αS(f, P ), P particion de A} =
= α sup{S(f, P ), P particion de A} =
= α
∫A
f
Ası que tambien αf es integrable y∫
Aαf = α
∫A
f
(3) Es trivial, ya que si f(x) ≥ 0 para todo x ∈ A, entonces∫A
f ≥∫
A
f ≥ mA(f)v(A) ≥ 0
(4) Se deduce de las tres propiedades anteriores: por (2), −g es integrable, y∫
A(−g) =
−∫
Ag. Por (1), f − g = f + (−g) es integrable, y
∫A(f − g) =
∫A
f +∫
A(−g) =
∫A
f −∫
Ag.
Y por (3), como f(x)− g(x) ≥ 0 para todo x ∈ A,∫A
f −∫
A
g =
∫A
(f − g) ≥ 0
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luego ∫A
f ≥∫
A
g
(5) Como f es integrable, en particular es acotada, y por tanto tambien |f | es acotada.Sea P una particion cualquiera de A, y R uno de los rectangulos definidos por P , R ∈ RP ,
y sean x e y dos puntos cualesquiera en R. Se tiene
mR(f)−MR(f) ≤ f(x)− f(y) ≤ MR(f)−mR(f)
luego
|f(x)| − |f(y)| ≤ | |f(x)| − |f(y)| | ≤ |f(x)− f(y)| ≤ MR(f)−mR(f)
y tomando supremos en x e ınfimos en y,
MR(|f |)−mR(|f |) ≤ MR(f)−mR(f)
Multiplicando cada una de estas desigualdades por el volumen de R, y sumando
S(|f |, P )− S(|f |, P ) =∑
R∈RP
(MR(|f |)−mR(|f |)) v(R) ≤
≤∑
R∈RP
(MR(f)−mR(f)) v(R) ≤ S(f, P )− S(f, P )
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Como f es integrable, aplicando el Criterio de Riemann, dado ε > 0 existe alguna particionPε de A tal que S(f, Pε)− S(f, Pε) < ε. Y entonces
S(|f |, Pε)− S(|f |, Pε) ≤ S(f, Pε)− S(f, Pε) < ε
luego aplicando el mismo criterio a |f |, tambien es integrable.Ademas, como para todo x ∈ A
−|f(x)| ≤ f(x) ≤ |f(x)|
aplicando las propiedades (2) y (4)
−∫
A
|f | ≤∫
A
f ≤∫
A
|f |
de donde se deduce que∣∣∣∣∫A
f
∣∣∣∣ ≤ ∫A
|f |
(6) Basta observar que para cada cada x ∈ A
max{f, g}(x) = max{f(x), g(x)} =f(x) + g(x) + |f(x)− g(x)|
2
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y
min{f, g}(x) = min{f(x), g(x)} =f(x) + g(x)− |f(x)− g(x)|
2
y aplicar las propiedades anteriores.
(7) Como f es integrable, es acotada, y entonces tambien f 2 es acotada. Ademas tambien|f | es integrable, como ya hemos visto.
Sea k > 0 tal que |f(x)| ≤ k para todo x ∈ A, y sea ε > 0. Aplicando el criterio de Riemanna la funcion |f |, existe una particion P de A tal que
S(|f |, P )− S(|f |, P ) ≤ ε
2k
Si R es uno de los rectangulos definidos por esa particion, tenemos
MR(f 2) = sup{f 2(x), x ∈ R} = sup{|f(x)|2, x ∈ R} =
= sup{|f(x)|, x ∈ R}2 = MR(|f |)2
mR(f 2) = inf{f 2(x), x ∈ R} = inf{|f(x)|2, x ∈ R} =
= inf{|f(x)|, x ∈ R}2 = mR(|f |)2
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(es decir, el cuadrado se puede sacar fuera del supremo y del ınfimo de una familia de numerospositivos)
Entonces
MR(f 2)−mR(f 2) = MR(|f |)2 −mR(|f |)2 =
= (MR(|f |)−mR(|f |))(MR(|f |) + mR(|f |))≤ 2k(MR(|f |)−mR(|f |))
Multiplicando estas desigualdades por el volumen de cada rectangulo R, y sumando, queda
S(f 2, P )− S(f 2, P ) ≤ 2k(S(|f |, P )− S(|f |, P )) ≤ 2kε
2k= ε
Aplicando el criterio de Riemann a la funcion f 2, esta es integrable.
(8) Por ultimo, para demostrar que el producto de f y g es integrable basta escribir
fg =(f + g)2 − (f − g)2
4
y aplicar las propiedades anteriores.J(Volver al enunciado) �
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Y ademas
Proposicion.Sea P una particion cualquiera de A. f es integrable en A si y solo si para cada rectanguloR ∈ RP la restriccion de f a R es integrable. Ademas en este caso∫
A
f =∑
R∈RP
∫R
f
Demostracion:Sea P una particion cualquiera de A.Supongamos primero que f es integrable en A,Aplicando el criterio de Riemann a A, dado ε > 0 existe una particion Pε de A tal que
S(f, Pε)−S(f, Pε) < ε. Consideramos entonces en A la union de las dos particiones, Q = P ∪Pε,que es mayor que Pε, con lo que
S(f, Q)− S(f, Q) ≤ S(f, Pε)− S(f, Pε) < ε
y tambien es mayor que P , con lo que define sobre cada rectangulo R ∈ RP una particion QR.Los rectangulos definidos por QR en R son los rectangulos S ∈ RQ que estan contenidos en R.
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R
P Pε
Q = P ∪ Pε
R
S
Para un rectangulo R ∈ RP cualquiera, si calculamos para esa particion QR definida en R ladiferencia entre la suma superior y la inferior, obtendremos
S(f |R, QR)− S(f |R, QR) =∑
S∈RQ,S⊆R
[MS(f)−mS(f)]v(S) ≤
≤∑
S∈RQ
[MS(f)−mS(f)]v(S) =
= S(f, Q)− S(f, Q) < ε
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Por tanto la restriccion de f a R es integrable.
Recıprocamente, supongamos que la restriccion de f a cada rectangulo R de RP es integrable.Dado ε > 0, aplicando en cada rectangulo R el criterio de Riemann, existira una particion PR
de R tal que
S(f |R, PR)− S(f |R, PR) ≤ ε
k
donde k es el numero de rectangulos definidos por la particion P .Definimos entonces la particion Q de A union de la particion original P y todas las particiones
PR, que es mayor que P , y define en cada rectangulo R de RP una particion QR mayor que PR,formada por los rectangulos S ∈ RQ que estan contenidos en R
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R1 R2
P P
PR1 PR2
Q = P ∪ PR1 ∪ PR2
QR1 QR2
Para calcular la diferencia entre la sumas superior e inferior definidas por Q, aplicamosla propiedad distributiva de la suma, agrupando los rectangulos S ∈ RQ que estan en cadarectangulo R ∈ RP
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Concepto yPropiedades
Fundamentales.
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S(f, Q)− S(f, Q) =∑
S∈RQ
[MS(f)−mS(f)]v(S) =
=∑
R∈RP
∑S∈RQ,S⊆R
[MS(f)−mS(f)]v(S)
=
=∑
R∈RP
∑S∈RQR
[MS(f)−mS(f)]v(S)
=
=∑
R∈RP
[S(f |R, QR)− S(f |R, QR)
]≤
≤∑
R∈RP
[S(f |R, PR)− S(f |R, PR)
]≤
≤∑
R∈RP
ε
k= ε
Por tanto f es integrable en A.Ademas, si P ′ es ahora una particion cualquiera de A, y consideramos la union Q = P ∪ P ′,
y como antes la particion QR definida por Q en cada rectangulo R de RP , tenemos
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S(f, P ′) ≤ S(f, Q) =∑
S∈RQ
mS(f)v(S) =
=∑
R∈RP
∑S∈RQ,S⊆R
mS(f)v(S)
=
=∑
R∈RP
S(f |R, QR) ≤∑
R∈RP
∫R
f
y tomando supremos cuando P ′ recorre todas las posibles particiones de A se tiene∫A
f ≤∑
R∈RP
∫R
f
Analogamente
Integral deRiemann en Rn.
Concepto yPropiedades
Fundamentales.
JJ II
J I
S(f, P ′) ≤ S(f, Q) =∑
S∈RQ
MS(f)v(S) =
=∑
R∈RP
∑S∈RQ,S⊆R
MS(f)v(S)
=
=∑
R∈RP
S(f |R, QR) ≥∑
R∈RP
∫R
f
y tomando ınfimos cuando P ′ recorre todas las posibles particiones de A, se tiene
∫A
f ≥∑
R∈RP
∫R
f
Por tanto∫A
f =∑
R∈RP
∫R
f
�
Integral deRiemann en Rn.
Concepto yPropiedades
Fundamentales.
JJ II
J I
Ejemplo 4. Las funciones f+ y f−
Un caso particular que se deduce de las propiedades anteriores, y que jugara un papel especialen la teorıa de integracion es el de las funciones f+ y f−.
Dada una funcion f : A −→ R, se llaman
f+(x) = max{f(x), 0}
y
f−(x) = −min{f(x), 0} = max{−f(x), 0}
Integral deRiemann en Rn.
Concepto yPropiedades
Fundamentales.
Contenido
JJ II
J I
f
f+ f−
Las funciones f+ y f− son funciones no negativas, y cumplen
f = f+ − f−
y
|f | = f+ + f−
de donde se deduce, por ejemplo, que f es integrable si y solo si f+ y f− son integrables.