1. Determinar el perfil de leva con la excentridad indicada a partir del diagrama de

desplazamiento para un seguidor puntual.

2. Determinar el perfil de leva a partir del diagrama de desplazamiento mostrado en la

figura para el seguidor de rodillo dado.

3. El seguidor de movimiento alternativo, radial y de rodillo, de una leva de placa debe

subir 2 pulg. con movimiento armónico simple en 180º de rotación de la leva, y retornar

con un movimiento armónico simple en los 180º restantes. Si el radio del rodillo es de

0,375 pulg. y el círculo primario es de 2 pulg. constrúyase el diagrama de

desplazamientos, la curva de paso y el perfil de la leva para una rotación de ésta en el

mismo sentido que el movimiento de las manecillas del reloj.

El diagrama de desplazamiento del movimiento armónico simple es el siguiente:

Dibujamos a partir del diagrama de desplazamientos el perfil de leva y el circulo de paso.

4. Una leva de placa con seguidor de movimiento alternativo y cara plana debe tener el

mismo movimiento que el mencionado en el problema 3. El radio del círculo primario

será de 1.5 pulg. y la leva girará en sentido contrario al movimiento de las manecillas

del reloj. Constrúyase el diagrama de desplazamientos y el perfil de la leva, dándole al

vástago del seguidor una excentricidad de 0.75 pulg. en la dirección que reduce el

esfuerzo de flexión en el seguidor durante la subida.

Para su construcción prolongamos las rectas tangentes en el círculo de excentricidad la

medida tomada del gráfico de desplazamientos. En el extremo dibujamos rectas

perpendiculares. Y construimos la curva del perfil de leva teniendo en cuenta que es tangente

en todo momento a estas rectas por el interior.

El momento que sufre el seguidor es menor por la derecha que por la izquierda como podemos

ver en estos dibujos para un giro de 90º. Luego la excentricidad esta bien situada para reducir

el momento flector durante la subida en un giro de la leva contrario a las agujas de un reloj.

Para un seguidor de rodillo el perfil de leva para el mismo diagrama de desplazamientos sería

el siguiente.

los ángulos de presión son menores hacia la derecha del gráfico como se puede en la siguiente

figura y por esta razón los esfuerzos de flexión son menores en el sentido de avance de la

leva.

5. Determínese la anchura mínima de la cara utilizando 0,1 pulg. de holgura en cada

extremo, y el radio mínimo de curvatura para la leva descrita en el ejercicio anterior.

El gráfico de un movimiento armónico simple es el siguiente.

Y la derivada primera tiene un máximo en �

�=

�

� y un mínimo en

�

�= 0

12 0 0

2 2 2

L Ly sen y y

π πθ θ π θβ β β β β

′ ′ ′= → = = = → = =

Luego el ancho de cara es:

Anchura de cara = y’max – y’min + 2·holgura = 2,2 pulg.

6. Determínense el ángulo máximo de presión y el radio mínimo de curvatura para la

leva del problema 4.

La ecuación para el cálculo del ángulo de presión es la siguiente: 1

2 2

0

tany e

R e yφ − ′ −=

− +

Como R0 y e son valores fijos la expresión se reduce a: 1 0,75tan

1,3

y

yφ − ′ −=

+

1 cos2

Ly

πθβ

= −

2

Ly sen

π πθβ β

′ =

Y observando las gráficas observamos que la mayor diferencia entre el valor de y’ e y ocurre

para �

�=

�

� y entonces y = 0.293 pulg. y’=0,707 pulg

max 37, 6ºφ = −

el radio de curvatura viene determinado por la expresión: 0R y yρ ′′= + +

Como el radio primitivo es un valor fijo debemos buscar los valores que hacen de ρ un valor

mínimo.

1 cos2

Ly

πθβ

= −

2

2cos

2

Ly

π πθβ β

′′ =

Viendo la gráfica tenemos que para θ=0 ρ=R0+1 para θ=π/2 ρ=R0+1 y para θ=π

ρ=R0+2-1

Luego el radio de curvatura es 2,5 para todo el trazado.

7. Para un movimiento armónico simple de subida completa, escríbanse las ecuaciones

para la velocidad y el tirón en el punto medio del movimiento. Determínense también

la aceleración cuando principia y concluye el movimiento.

Ecuaciones del movimiento armónico simple de subida completa

2

2

3

3

1 cos2

2

cos2

2

Ly

Ly sen

Ly

Ly sen

πθβ

π πθβ β

π πθβ βπ πθ

β β

= −

′ =

′′ =

′′′ = −

Para el punto medio del movimiento θ/β = 1/2 y las ecuaciones de velocidad y tirón son:

3 3

3 32 2 2 2 2 2

L L L Ly sen y sen

π π π π π πβ β β β

′ ′′′= = = − = −

Al comienzo y al final del movimiento la aceleración tiene estos valores.

2 2 2 2

2 2 2 2(0) cos 0 ( ) cos

2 2 2 2

L L L Ly y

π π π πθ β πβ β β β

′′ ′′= = = = = −

8. Para el movimiento cicloidal de subida completa, determínense los valores de θ para

los que la aceleración es máxima y mínima. ¿Cuál es la fórmula para la aceleración es

estos puntos? Encuéntrense las ecuaciones para la velocidad y el tirón en el punto medio

del movimiento.

Ecuaciones del movimiento cicloidal de subida completa

2

2

3

1 2

2

21 cos

2 2

4 2cos

y L sen

Ly

Ly sen

Ly

θ πθβ π β

πθβ β

π πθβ βπ πθβ β

= −

′ = −

′′ =

′′′ =

Derivamos la aceleración y la igualamos a cero para hallar el máximo y el mínimo.

2

3

4 2 31cos 0 :4 4

Lpara o

π πθ θ θβ ββ β

= = =

Para θ/β=1/4 θ/β=3/4

2 2 2 2

2 2 2 6 2

2 4

L L L Ly sen y sen

π π π π π πβ β β β

′′ ′′= = = = −

Para θ/β=1/2

( )2 2

3 3

2 4 41 cos cos

L L L Ly y

π ππ πβ β β β

′ ′′′= − = = = −

9. Una leva de placa con seguidor de movimiento alternativo debe girar en el mismo

sentido que el movimiento de las manecillas del reloj, a 400 rpm. El seguidor debe tener

una detención durante 60º de rotación de la leva, después de lo cual sube hasta una

elevación de 2,5 pulg. Durante 1 pulg de su carrera de retorno debe tener una velocidad

constante de 40 pulg/s. Recomiéndense los movimientos estándar de las levas que sea

factible usar para un funcionamiento a alta velocidad y determínense las elevaciones

correspondientes y los ángulos de rotación de la leva para cada segmento de la misma.

Del enunciado sabemos que: 1 60ºβ = y que en ese tramo y=0

400 41,88 /rpm rad sω = =

Mediante la siguiente ecuación se puede hallar la pendiente en el gráfico de desplazamiento

correspondiente al tramo de velocidad constante.

40 lg/0,955 lg/

41,88 /

y pu sy y y pu rad

rad sω

ω′ ′= ⋅ → = = =

&&

Y como: 4 44

4

11,047 60º

0,955

L Ly rad

yβ

β′ = → = = = =

′ (ángulo de rotación de la leva a

velocidad constante)

Una primera aproximación del diagrama de desplazamientos es la siguiente.

Elegimos las ecuaciones para los tramos, teniendo en cuenta que los valores fronteras hasta la

segunda derivada tienen que tener continuidad.

Elegimos: Movimiento armónico modificado de subida completa (para tramo β2 ) y

movimiento semiarmónico de bajada (para tramo β3 ).

Movimiento semicicloidal de bajada (para tramo β5 ).

En la ecuación del segundo tramo sabemos que L=2,5 y que la segunda derivada en θ/β2=1

cuyo valor tenemos que igualar a la ecuación del tercer tramo en θ/β3=0.

2 2

2 22 3 2 2 2 3 3

2 2

3 22 2

2 3

22,5 1 0 cos cos cos

2 4 2

2,5 2,52

4

L Ly y

y

π πθ πθ π πθθ θβ β β β β β β

π π β ββ β

′′= = = = − = −

⋅ ⋅′′ = − = − → =

Entre el tramo 3 y 4 igualamos las pendientes. En θ/β3=1 la ecuación del movimiento

semiarmónico de bajada la igualamos a la pendiente del tramo de velocidad constante.

33 3

3 3 3

1 0,955 0,6082 2

Ly sen L

πθ πθ ββ β β

′= = − = − → =

Entre el tramo 4 y 5 igualamos las pendientes. Igualamos la pendiente del tramo de velocidad

constante a la ecuación del movimiento semicicloidal de retorno en θ/β5=0.

55 5

5 5 5

0 1 cos 0,955 0,955L

y Lθ πθ ββ β β

′= = − + = − → =

3 4 5 3 52,5 lg. 1,5 lgL L L pu L L pu+ + = → + =

1 2 3 4 5 2 3 5 2 3 52 2,0944 2 4,18879β β β β β π β β β π β β β+ + + + = → + + + = → + + =

Resolvemos el sistema de ecuaciones formado por 5 ecuaciones con 5 incognitas.

22,2153 126,9ºradianesβ = =

31,107 63,46ºradianesβ = =

50,8658 49,6ºradianesβ = =

30,67 lg.L pu=

50,83 lg.L pu=

10. Las condiciones en la frontera para un movimiento polinomial de leva son como

sigue: para un θ=0, y=0 y y’=0 y para θ=β, y=L y y’=0. Determínese la ecuación

apropiada del desplazamiento y sus tres primeras derivadas con respecto a θ. Trácense

los diagramas correspondientes.

Ecuación básica:

2 3

0 1 2 3 .....y C C C Cθ θ θβ β β

= + + + +

2 3

1 2 3 4

12 3 4 .....y C C C C

θ θ θβ β β β ′ = + + + +

Las condiciones frontera:

Para θ=0, y=0 -> C0=0 y C1=0

Para θ=β, y=L y y’=0 -> L = C1+ C2+ C3+…….. 0 = 2C2+3C3+4C4+……

Con estas condiciones frontera es posible determinar un polinomio de grado 3.

0 = 2C2+3C3 C3 = -2L

L = C2+ C3 C2=3L

2 3

3 2y L Lθ θβ β = −

2

6Ly

θ θβ β β ′ = −

2

6 21

Ly

θβ β

′′ = −

3

12Ly

β′′′ = −

La serie 1 corresponde a la función y la serie 2,3,4 a las derivadas primera, segunda y tercera

respectivamente.

11. Se desea diseñar una leva en el que el seguidor tenga un reposo desde la posición

inicial durante 40° de rotación de la leva. En el movimiento de ascenso durante 150° de

rotación de la leva, se debe tener un movimiento con velocidad constante durante 20

mm de elevación. Considerar que la primera parte del tramo de no velocidad constante

tiene 5 mm de subida. Finalizado el movimiento de ascenso, se requiere un

detenimiento del seguidor durante 50° de rotación de la leva. El descenso se requiere

un movimiento de descenso inicial de 18 mm durante 40° de rotación de la leva, seguido

de un detenimiento durante 40° de rotación de la leva, finalmente se tiene el descenso

de 15 mm en los 40° de rotación restantes de la leva. Elegir los movimientos principales

requeridos del seguidor en función de la rotación de la leva.

Se requiere elegir los movimientos adecuados para presentar continuidad de la ley

de desplazamiento hasta la segunda derivada. Determine los intervalos de las tres fases

del movimiento de ascenso para garantizar la continuidad. Si la velocidad angular de la

leva es ωL = 30 rad/s, determine las velocidades y aceleraciones máximas del seguidor.

El el tramo de velocidad constante: 1 2 3 150ºβ β β+ + =

Para el tramo β1 elegimos una función semicicloidal de subida:

1

1 cos

y L sen

Ly

θ πθβ π β

πθβ β

= −

′ = −

igualamos pendiente en θ/β1 =1 1 2

1 2

2L Ly

β β′ = =

Sustituyendo L1 =5 y L2 =20 β1 = 0,5 β2

Para el tramo β3 elegimos también una función semicicloidal de subida del tipo:

1

1 cos

y L sen

Ly

θ πθβ π β

πθβ β

= +

′ = +

igualamos pendiente en θ/β3 =0 3 2

3 2

2L Ly

β β′ = =

Sustituyendo L3 =8 y L2 =20 β3 = 0,8 β2

1 2 3

1 2 2

3 2

150º

0,5 2,3 150º

0,8

β β ββ β ββ β

+ + = = ==

1

2

3

32,6º

65,2º

52,2º

βββ

= = =

Para el tramo β5 y β7 elegimos la función cicloidal de retorno completo:

1 21

2y L sen

θ πθβ π β

= − +

Las funciones para todo el ciclo son las siguientes:

Tramo β0 y(θ0)=0

Tramo β1 1 1

1 1 1 0

1 1

1( )y L sen siendo

θ πθθ θ θ ββ π β

= − = −

Tramo β2 2

2 1 2 2 0 1

2

( ) ( )L

y L siendoθ θ θ θ β ββ

= + = − +

Tramo β3 3 3

3 1 2 3 3 0 1 2

3 3

1( ) ( )y L L L sen siendo

θ πθθ θ θ β β ββ π β

= + + + = − + +

Tramo β4 y(θ4)=L1+L2+L3 4 0 1 2 3( )siendo θ θ β β β β= − + + +

Tramo β5 5 55 7 5

5 5

21( ) 1

2y L L sen

θ πθθβ π β

= + − +

5 0 1 2 3 4( )siendo θ θ β β β β β= − + + + +

Tramo β6 y(θ6)=L7 4 6 7(360º )siendo θ θ β β= − − −

Tramo β7 7 77 7

7 7

21( ) 1

2y L sen

θ πθθβ π β

= − +

7 7(360º )siendo θ θ β= − −

Viendo las gráficas, vemos que el mayor valor de velocidad y aceleración se da en la primera

bajada en el tramo β5

En 5 5

5

5 5

21( )

2

Ly

θ θβ β

′= → = − obtenemos el valor de la velocidad máxima.

En 5 5

5 5

1 3

4 4y

θ θβ β

= = el mayor valor para la aceleración.

Si queremos hallar el valor de la velocidad del seguidor lo calculamos con la expresión:

y y ω′= ⋅&