1

Distribuciones bidimensionales. Tablas de contingencia. Regresión lineal

2.1 Distribución de frecuencias bidimensional2.2 Distribuciones marginales y condicionadas2.3 Dependencia e independencia estadística. Indicadores de asociación

2.4 Regresión y correlación lineal

2

X\Y 140-160 160-180 180-200 >200 Marginal X

40-60 1010 66 22 00 18

60-80 88 1212 66 22 28

80-100 11 88 1010 66 25

Marginal

Y19 26 18 8 71

2.1 Distribución de frecuencias bidimensional

Frecuencias Marginales Frecuencias Marginales de X Frecuencias Marginales de Y

Frecuencias Condicionadas Frecuencias Condicionadas de X Frecuencias Condicionadas de Y

♦ Ejemplo . X: “Peso”, Y: “Estatura”

3

X \ Y

40-60

60-80

80-100

Marginal

Y

140-160

1010

88

11

19

Marginal X

18

28

25

71

160-180

66

1212

88

26

180-200

22

66

1010

18

>200

00

22

66

8

♦ Distribución de la variable X: “Peso”

Distribución marginal de X

2.2 Distribuciones marginales y condicionadas

4

X Frecuencias Marginales

40-60 18

60-80 28

80-100 25

71

Distribución marginal de X

Varianza Marginal de X

Media Marginal de X

Mediana Marginal de X

♦ Distribución de la variable X: “Peso”

5

X \ Y 140-160 160-180 180-200 >200 Marginal X

40-60 1010 66 22 00 18

60-80 88 1212 66 22 28

80-100 11 88 1010 66 25

Marginal

Y19 26 18 8 71

Distribución marginal de Y

♦ Distribución de la variable Y: “Estatura”

6

Y Frecuencias Marginales

140-160 19

160-180 26

180-200 18

>200 8

71

Distribución marginal de Y

Varianza Marginal de Y

Media Marginal de Y

Mediana Marginal de Y

♦ Distribución de la variable Y: “Estatura”

7

X\Y

40-60

60-80

80-100

Marginal

Y

140-160

1010

88

11

19

Marginal X

18

28

25

71

160-180

66

1212

88

26

180-200

22

66

1010

18

>200

00

22

66

8

Distribuciones de X Condicionadas a valores de Y

♦ Ejemplo . Distribución de X Condicionada a 160 < Y < 180

8

X Frecuencias condicionadas

40-60 66

60-80 1212

80-100 88

26

♦ Ejemplo . Distribución de X Condicionada a 160 < Y < 180

Varianzas Condicionadas de X

Medias Condicionadas de X

9

X\Y 140-160 160-180 180-200 >200 Marginal X

40-60 1010 66 22 00 18

60-80 88 1212 66 22 28

80-100 11 88 1010 66 25

Marginal

Y19 26 18 8 71

Distribuciones de Y Condicionadas a valores de X

♦ Ejemplo . Distribución de Y Condicionada a 60 < X < 80

10

Y Frecuencias condicionadas

140-160 8

160-180 12

180-200 6

>200 2

total 28

♦ Ejemplo . Distribución de Y Condicionada a 60 < X < 80

Varianzas Condicionadas de Y

Medias Condicionadas de Y

11

Independencia estadística No hay relación entre las variables

,. .i jij

n nn i j

n sii

Dependencia estadística Hay relación entre las variables

El grado de asociación se mide mediante los coeficientes de asociación

2.4 Dependencia e independencia estadística. Indicadores de asociación

12

Independencia estadística

2 323

30 126

60. .

n nn

n

,. .

Si i j

ijn n

n i jn

X\Y Y1 Y2 Y3 Y4 ni ●

X1 n11

= 2= 2

n12

= 6= 6

n13

= 4= 4

n14

= 8= 8

n1 ●

= 20= 20

X2 n21

= 3= 3

n22

= 9= 9

n23

= 6= 6

n24

= 12= 12

n2 ●

= 30= 30

X3 n31

= 1= 1

n32

= 3= 3

n33

= 2= 2

n34

= 4= 4

n3 ●

= 10= 10

n ●j n ●1

= 6= 6

n ●2

= 18= 18

n ●3

= 12= 12

n ●4

= 24= 24

n = 60= 60

3 131

10 61

60. .

n nn

n

♦ Ejemplo. Variables X e Y Independientes

13

Independencia estadística

2 323

31 126

62. .

n nn

n

,. .

Si i j

ijn n

n i jn

X\Y Y1 Y2 Y3 Y4 ni ●

X1 n11

= 3= 3

n12

= 6= 6

n13

= 4= 4

n14

= 8= 8

n1 ●

= 21= 21

X2 n21

= 3= 3

n22

= 10= 10

n23

= 6= 6

n24

= 12= 12

n2 ●

= 31= 31

X3 n31

= 1= 1

n32

= 3= 3

n33

= 2= 2

n34

= 4= 4

n3 ●

= 10= 10

n ●j n ●1

= 7= 7

n ●2

= 19= 19

n ●3

= 12= 12

n ●4

= 24= 24

n = 62= 62

3 131

10 71.129 1

62. .

n nn

n

♦ Ejemplo. Variables X e Y No Independientes

14

Independencia

estadística,

. .Si

i jij

n nn i j

n

♦ Estadístico Chi-Cuadrado de asociación

ji ij

ijij

t

tn

,

2

2 siendo n

nnt ji

ij

las frecuencias teóricas que obtendríamos si las dos variables fueran independientes.

Recordamos…

Si las variables fueran independientes, el coeficiente seanularía. Tiene el inconveniente de que depende del tamaño de la población. ♦ Estadístico T-Tschuprow de asociación

10)1)(1(

2

Tqpn

T

Cuanto más se acerca a 1, mayor es la asociación

)1(),1(0 2 qpmínn

15

,

ij i ji j

x y

n x x y y

Cov X Yn

ij i ji j

n x y

x yn

Definición de Covarianza

2.4 Regresión y correlación lineal

Regresión “Búsqueda de una función matemática sencilla que relacione ambas variables y sirva para predecir la variable de interés del problema”

Mide el grado de correlación lineal entre las variables X e Y. Si tienen una relación positiva, la covarianza será positiva y en el caso de una relación negativa, la covarianza será negativa.

16

Nube de puntos (diagrama de dispersión): gráfico de las observaciones (datos bidimensionales)

Elección de la función de regresión : tipo de función que mejor se ajuste a la nube de puntos: Lineal , polinómica, exponencial……

Especificación de función de regresiónEspecificación de función de regresión

Correlación

Estudio del grado de asociación entre las variables

17

(xi, yj )

xi

yj

(xi, yj* )

*

**

**

*

* *

*

eij

X

Y

*

*

yj*

y = a + bx

2 2*min = minij j ji j i j

e y y

Ecuaciones normales

2j ii j

y a bx min

Rectas de regresión

Recta de mínimos cuadrados de Y / X

jij ie y a bx Residuos = =

18

22 2

,i i i

xy

i ix

n x yx yCov X Y nb

Var X n xx

n

a y bx

Recta de mínimos cuadrados de Y / X

( )y f x a b x

y y b x x

b = pendiente de la recta o coeficiente de regresión de Y / X “Variación de Y que se produce por cada unidad de aumento en X”a= ordenada en el origen

Ecuación de una recta:

19

Recta de mínimos cuadrados de X / Y

( )x f y c d y

22 2

,

i i ixy

i iy

n x yx yCov X Y nd

Var Y n yy

n

c x d y

x x d y y

d = coeficiente de regresión de X / Y “Variación de X si Y aumenta en una unidad”

Propiedad: “Las dos rectas de regresión se cortan en el el punto “

( , )x y

20

0

0

1

1

r

r

r

r

No hay asociacion lineal entre las variables

Independencia

Asociacion lineal positiva perfecta

Asociacion lineal negativa perfecta

Coeficiente de determinación y coeficiente de correlación lineal

; 1 1 xy

x yr r

Coeficiente de correlación lineal de Pearson

Es una medida del grado de relación lineal entre las variables X e Y

21

Coeficiente de determinación y coeficiente de correlación lineal

Coeficiente de determinación

“Proporción de la varianza explicada por la regresión”

22 2

2 2; 0 1

xy

x y

r r

Propiedad: , donde b y d son las pendientes de las rectas de regresión. 2 bdr

Como es la proporción de la varianza de Y, explicada por la regresión, proporciona una medida de la bondad del ajuste obtenido.

En regresión lineal simple, este coeficiente coincide con el coeficiente de correlación lineal de Pearson al cuadrado, es decir:

22

x i yi x i yi x i2 Yi

2

160 52 8320 25600 2704

172 64 11008 29584 4096

174 65 11310 30276 4225

176 72 12672 30976 5184

180 78 14040 32400 6084

=862 = 331 = 57350 = 148836 = 22293

862 331172.4 ; 66.2

5 5 x y

57350172.4 66.2 57.12

5i i i

xyn x y

x yn

222 2148836

172.4 45.445

i ix

n xx

n

222 222293

66.2 76.165

i iy

n yy

n

♦ Ejemplo. X= “Estatura”, Y= “Peso”

23

2

, 57.121.257

45.44

66.2 1.257 172.4 150.5068

xy

x

Cov X Y

Var Xb

a y bx

57.120.909

45.44 76.16

xy

x yr

170

150.5068 1.257 170 63.1832

Para x

y a bx

y a bx

150.5068 1.258y a b x x

24

2y ax bx c

by a x

xy ab

ay

x Hiperbólico

Potencial

Exponencial

Parabólico

Otros tipos de ajuste