UNIVERSIDAD FERMIN TOROVICERREPTORADO ACADEMICO

FACULTAD DE INGENIERIAESCUELA DE INGENIERIA ELECTRICA

Análisis NuméricoUnidad I

José Arteaga

15176866JUNIO, 2012

Desde tiempos pasados el papel del ingeniero ha sidobásicamente el mismo, tratar de conocer e interpretar losmecanismos de la naturaleza para así poder modificarla alservicio del hombre. Para ello ha utilizado sus conocimientos,intuición, experiencia y los medios naturales a los que en cadamomento ha tenido disponibles. Con el gran poder de cómputoque se tiene en estos días, el ingeniero dispone de grandesventajas para poder llevar a cabo su misión y abordar cada díaretos mas ambiciosos en la solución de nuevos problemas, cuyosaspectos políticos, económicos, científicos o tecnológicospueden tener un mayor impacto en la mejora de la calidad devida del hombre. Encontramos así aplicaciones de los métodosnuméricos en los ámbitos más diversos desde sectorestecnológicos tan clásicos como la ingeniería estructural o laaerodinámica de aviones, hasta aplicaciones más sofisticadascomo ingeniería de alimentos, ingeniería medica, biología, etc.

En la actualidad, gracias a la gran evolución que han tenido los métodosnuméricos y su implementación en potentes computadoras, es posible, porejemplo, modelar el choque de un vehículo o hacer el análisis aerodinámicoestructural de un avión, resolviendo en cada caso sistemas algebraicos deecuaciones con varios cientos de miles (a veces de millones) de incógnitas.El Análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son deltodo precisos. De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplinaocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitanresolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidadesnuméricas, con una precisión determinada.En el contexto del cálculo numérico, un algoritmo es un procedimiento que nospuede llevar a una solución aproximada de un problema mediante un númerode pasos finitos que pueden ejecutarse de manera lógica. En algunos casos, seles da el nombre de métodos constructivos a estos algoritmos numéricos. Elanálisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores.Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamentecomplejos, pero en última instancia operan con números binarios y operacionesmatemáticas simples.

Desde esta perspectiva, el análisis numérico proporcionará todo el andamiajenecesario para llevar a cabo todos los procedimientos matemáticos existentesen base a algoritmos que permitan su simulación o cálculo en procesos mássencillos empleando números.A pesar del desarrollo que ha tenido el análisis numérico en las ultimasdécadas es importante señalar que a pesar de la precisión y exactitud quearrojan sus resultados también se encuentran presentes márgenes de error, loscuales se generan con el uso de aproximaciones para representar lasoperaciones y cantidades matemáticas. La relación entre el resultado exacto overdadero y el aproximado está dada por:Valor verdadero = aproximación + errorDe lo anterior se concluye que el error numérico resulta de la diferencia entreel valor verdadero y la aproximación,Ev = valor verdadero – aproximaciónEv : Valor “exacto” o “verdadero” del error.No siempre se cuenta con el valor verdadero, por lo que se debe emplear unaestimación “aproximada” del error. Esta definición no toma en cuenta lamagnitud de la medición.

Ej.: Un error de 1 cm. es mucho más significativo si se está midiendo una hojatamaño carta, que un puente.Una manera de tener en cuenta la magnitud es normalizar el error respecto a unvalor de referencia, a esta nueva forma de redefinir el error se le llama ErrorRelativo:

Hoy en día son prácticamente innumerables la cantidad de aplicacionesy usos que tiene el análisis numérico dentro del campo de la ingeniería, un grannúmero de estructuras en ingeniería civil, que son modelados desde suconcepción utilizando técnicas de elementos finitos.

Los métodos numéricos también pueden ser utilizados para estudiar elcomportamiento de estructuras que son fabricadas en serie. También es posiblehacer la simulación numérica entre dos sólidos, cada uno de ellos con uncomportamiento diferente. Un ejemplo típico es la interacción entre unacimentación (zapata) y el suelo sobre el que se apoya. El objetivo es determinarla máxima capacidad de carga que puede soportar el suelo en condiciones deservicio.

En ocasiones es muy importante hacer el análisis de estructuras que fueron construidas hace muchos años. Estas estructuras pueden tener ya daños estructurales y es muy importante poder predecir si la estructura es estable o bien si requiere algún tipo de reparación. También es importante modelar el tipo de reparación, qué materiales se utilizarán y qué estrategia constructiva se va a utilizar.

Otro aspecto muy importante en una aplicación de la Mecánica de Fluidos es el de generar laboratorios virtuales para modelar fenómenos físicos. Por ejemplo el túnel de viento para modelar el paso de un vehículo a una cierta velocidad y determinar el coeficiente de penetración en el aire, el cual puede incidir en el gasto energético del vehículo para poder mantener una velocidad constante.