Circuitos III Fasores Un fasor es un número complejo que representa la amplitud y la fase de una senoide

Los fasores brindan un medio sencillo para analizar circuitos lineales alimentados por fuentes senoidales.

Números complejos: z = x + jy Forma binómica o rectangular

Donde 𝑗 = −1 x = parte real

y = parte imaginaria x e y representan las partes real e imaginaria de z en el plano complejo

En forma polar: 𝑧 = 𝑟 ∕ 𝜙

En forma exponencial: 𝑧 = 𝑟𝑒𝑗𝜙

Donde r = magnitud de z Φ = fase de z

Circuitos III Fasores Relación entre la forma rectangular y polar:

Si tenemos x e y entonces:

𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2

𝜙 = tan−1𝑦

𝑥

Si tenemos r y Φ entonces:

𝑥 = 𝑟 cos𝜙

𝑦 = 𝑟𝑠𝑒𝑛 𝜙

𝑧 = 𝑥 + 𝑗𝑦 = 𝑟 𝜙 = 𝑟(cos𝜙 + 𝑗𝑠𝑒𝑛 𝜙)

Circuitos III Fasores Operaciones con números complejos

Si tenemos los números complejos 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑗𝑦1 = 𝑟1/∅1 y 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑗𝑦2 = 𝑟2/∅2

𝑆𝑢𝑚𝑎: 𝑧1 + 𝑧2 = 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑗(𝑦1 + 𝑦2)

𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝑧1 − 𝑧2 = 𝑥1 − 𝑥2 + 𝑗(𝑦1 − 𝑦2)

𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛: 𝑧1 ∗ 𝑧2 = 𝑟1 ∗ 𝑟2/∅1 + ∅2

𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛: 𝑧1𝑧2

=𝑟1𝑟2/∅1 − ∅2 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜:

1

𝑧=1

𝑟/−∅

𝑅𝑎𝑖𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎: 𝑧 = 𝑟/∅ 2

𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜: 𝑧∗ = 𝑥 − 𝑗𝑦 = 𝑟/−∅ = 𝑟𝑒−𝑗∅

Identidad de Euler: 𝑒±𝑗∅ = cos∅ ± 𝑗 sin ∅

Lo que indica que se puede considerar a cosф y senф como las partes real e imaginaria

de 𝑒±𝑗∅ cos∅ = 𝑟𝑒𝑎𝑙(𝑒𝑗∅) sin ∅ = 𝑖𝑚𝑎𝑔(𝑒𝑗∅)

Circuitos III Fasores Dado que un fasor posee magnitud y fase (“dirección”) se comporta como un vector

Por ejemplo: 𝑉 = 𝑣𝑚/∅ e 𝐼 = 𝑖𝑚/∅

Diagrama fasorial

Circuitos III Fasores Dada una senoide 𝑣 𝑡 = 𝑣𝑚 cos(𝜔𝑡 + ∅) , se puede expresar como

𝑣 𝑡 = 𝑣𝑚 cos(𝜔𝑡 + ∅)=𝑅𝑒 𝑣𝑚𝑒𝑗 𝜔𝑡+∅ o sea 𝑣 𝑡 = 𝑅𝑒(𝑣𝑚𝑒

𝑗𝜔𝑡𝑒𝑗∅)

por lo tanto si se toma 𝑉 = 𝑣𝑚𝑒𝑗∅ →Representación fasorial

entonces 𝑣 𝑡 = 𝑅𝑒(𝑉𝑒𝑗𝜔𝑡)

Al tratar con fasores es importante tener en cuenta la frecuencia ω del fasor, de lo contrario, se puede cometer graves errores.

Un fasor puede considerarse como un equivalente matemático de una senoide sin la dependencia el tiempo.

Dado un fasor, la representación en el dominio temporal se obtiene como la función coseno con la misma magnitud que el fasor y el argumento como ωt mas la fase del fasor.

Circuitos III Fasores Transformación senoide - fasor

Dominio temporal Dominio fasorial

𝑣𝑚 cos(𝜔𝑡 + ∅) 𝑣𝑚/∅

𝑣𝑚 sin(𝜔𝑡 + ∅) 𝑣𝑚/∅−90°

𝑖𝑚 cos(𝜔𝑡 + ∅) 𝑖𝑚/∅

𝑖𝑚 sin(𝜔𝑡 + ∅) 𝑖𝑚/∅−90°

En el dominio fasorial el factor de frecuencia (o tiempo) 𝑒𝑗𝜔𝑡 no se muestra, porque w es constante.

Sin embargo, la respuesta depende de ω, por esta razón, el dominio fasorial también se conoce como dominio frecuencial.

La suma de senoides de la misma frecuencia equivale a sumar sus correspondientes fasores

El análisis fasorial solo se aplica cuando la frecuencia es constante

Circuitos III Fasores

Diferencias entre v(t) y V:

1. v(t) es la representación instantánea o en el dominio temporal, mientras que V es la representación de frecuencia o en el dominio fasorial

2. v(t) depende del tiempo, mientras que V no (ojo no olvidar)

3. v(t) siempre es real y no tiene ningún término complejo, mientras que V es generalmente complejo.

Circuitos III Fasores

Gracias por su atención…..