1. Función Vectorial
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Funciones vectoriales de variable real MSc Daniel G. Camacho Universidad de Piura Marzo 2010
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Funcion vectorial para curso de analisis matemático
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Funciones vectorialesde variable real
MSc Daniel G. Camacho
Universidad de Piura
Marzo 2010
1 Lımites y continuidad
2 Lımite
3 Continuidad
Funcionesvectoriales
de variable real
MSc Daniel G.Camacho
Lımites ycontinuidad
Lımite
Continuidad
Funciones vectoriales de variable real
Una funcion vectorial de una variable real, es una funciondel tipo
f : I ⊆ < → <n
f(t) es un punto en<n, entonces
f(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t))
Cada funcion xi : I ⊆ < → <, i = 1, . . . , n, es una funcionreal de variable real.
Las funciones xi : I ⊆ < → <, i = 1, . . . , n, se denominanfunciones coordenadas de la funcion f .
Funcionesvectoriales
de variable real
MSc Daniel G.Camacho
Lımites ycontinuidad
Lımite
Continuidad
Funciones vectoriales de variable real
Una funcion vectorial de una variable real, es una funciondel tipo
f : I ⊆ < → <n
f(t) es un punto en<n, entonces
f(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t))
Cada funcion xi : I ⊆ < → <, i = 1, . . . , n, es una funcionreal de variable real.
Las funciones xi : I ⊆ < → <, i = 1, . . . , n, se denominanfunciones coordenadas de la funcion f .
Funcionesvectoriales
de variable real
MSc Daniel G.Camacho
Lımites ycontinuidad
Lımite
Continuidad
Funciones vectoriales de variable real
Una funcion vectorial de una variable real, es una funciondel tipo
f : I ⊆ < → <n
f(t) es un punto en<n, entonces
f(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t))
Cada funcion xi : I ⊆ < → <, i = 1, . . . , n, es una funcionreal de variable real.
Las funciones xi : I ⊆ < → <, i = 1, . . . , n, se denominanfunciones coordenadas de la funcion f .
Funcionesvectoriales
de variable real
MSc Daniel G.Camacho
Lımites ycontinuidad
Lımite
Continuidad
Funciones vectoriales de variable real
Una funcion vectorial de una variable real, es una funciondel tipo
f : I ⊆ < → <n
f(t) es un punto en<n, entonces
f(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t))
Cada funcion xi : I ⊆ < → <, i = 1, . . . , n, es una funcionreal de variable real.
Las funciones xi : I ⊆ < → <, i = 1, . . . , n, se denominanfunciones coordenadas de la funcion f .
Funcionesvectoriales
de variable real
MSc Daniel G.Camacho
Lımites ycontinuidad
Lımite
Continuidad
Lımite
Definicion:Sea f : I ⊆ < → <n una funcion definida en un intervalo abiertoI de< y sea t0 un punto de I o un punto de frontera de I. Se diceque el lımite de la funcion f , cuando t tiende a t0, es L(∈ <n),lo cual se escribe como
lımt→t0
f(t) = L
si dado cualquier ε > 0, existe un δ > 0 tal que
t ∈ I, 0 < |t − t0| < δ⇒ ‖f(t) − L‖ < ε
Funcionesvectoriales
de variable real
MSc Daniel G.Camacho
Lımites ycontinuidad
Lımite
Continuidad
Teorema:Sea f : I ⊆ < → <n una funcion vectorial de variable real.Entonces lımt→t0 f(t) = L = (l1, l2, . . . , ln) ∈ <n, si y solo silımt→t0 xi(t) = li , donde f(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t)).
Funcionesvectoriales
de variable real
MSc Daniel G.Camacho
Lımites ycontinuidad
Lımite
Continuidad
Definicion:Sea f : I ⊆ < → <n una funcion definida en el subconjuntoabierto I de< y sea t0 ∈ I. Se dice que f es continua en t0 si
lımt→t0
f(t) = f(t0)
Funcionesvectoriales
de variable real
MSc Daniel G.Camacho
Lımites ycontinuidad
Lımite
Continuidad
Una funcion continua t0 tiene la propiedad de que unpequeno cambio en t produce pequenos movimientos enlas imagenes f(t) alrededor de f(t0).
Para una funcion continua,de la definicion de lımite:
|t − t0| < δt esta cerca de t0en menos que δ
⇒ ‖f(t) − f(t0)‖ < εf(t) esta cerca de f(t0)en menos que ε
Funcionesvectoriales
de variable real
MSc Daniel G.Camacho
Lımites ycontinuidad
Lımite
Continuidad
Una funcion continua t0 tiene la propiedad de que unpequeno cambio en t produce pequenos movimientos enlas imagenes f(t) alrededor de f(t0).
Para una funcion continua,de la definicion de lımite:
|t − t0| < δt esta cerca de t0en menos que δ
⇒ ‖f(t) − f(t0)‖ < εf(t) esta cerca de f(t0)en menos que ε
Funcionesvectoriales
de variable real
MSc Daniel G.Camacho
Lımites ycontinuidad
Lımite
Continuidad
Teorema:Sea f : I ⊆ < → <n una funcion definida en el intervalo abiertoI de<, digamos que f(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t). Sea t0 ∈ I.La funcion f es continua en t0 si y solo si sus funcionescoordenadas xi : I ⊆ < → < lo son.
