1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA 1 - Elhuyar...Bi proiekzio mota daude: proiekzio konikoa eta proiekzio...
20
Transcript of 1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA 1 - Elhuyar...Bi proiekzio mota daude: proiekzio konikoa eta proiekzio...
1 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEA.......................................................... 11.1 Proiekzioa. Proiekzio motak ........................................................... 31.2 Sistema diedrikoaren oinarriak ...................................................... 51.3 Marrazketarako hitzarmenak. Notazioak........................................ 101.4 Puntuaren, zuzenaren eta planoaren irudikapena........................ 10
1.4.1 Puntuaren irudikapena .................................................................. 101.4.2 Zuzenaren irudikapena.................................................................. 11
1.4.2.1 Determinazioa ....................................................................... 11
1.4.2.2 Zuzen baten barneko puntua ................................................ 11
1.4.2.3 Posizio egokiak ..................................................................... 12
1.4.3 Planoaren irudikapena................................................................... 151.4.3.1 Determinazioa ....................................................................... 15
1.4.3.2 Plano baten barneko zuzena ................................................ 16
1.4.3.3 Plano baten barneko puntua................................................. 17
1.4.3.4 Posizio egokiak ..................................................................... 17
1.4.4 Planoaren zuzen partikularrak....................................................... 20
2 GEOMETRIA DESKRIBATZAILEAREN METODOAK. PLANO-ALDAKETAK .............................................................................. 232.1 Plano-aldaketak ............................................................................... 252.2 Solido baten proiekzio berriak, proiekzio-plano bat aldatzen
denean .............................................................................................. 272.3 Zuzenaren proiekzio berriak, proiekzio-plano bat aldatzen
denean .............................................................................................. 302.3.1 Zuzen zeihar bat proiekzio-plano batekiko paralelo ipintzea ........ 31
2.3.1.1 Zuzen frontala ....................................................................... 31
2.3.1.2 Zuzen horizontala.................................................................. 32
2.3.2 Zuzen horizontala edo frontala proiekzio-plano batekiko zut ipintzea .......................................................................................... 32
AurkibideaAurkibidea
2.3.2.1 Zuzen bertikala...................................................................... 32
2.3.2.2 Punta-zuzena ........................................................................ 33
2.4 Planoaren proiekzio berriak, proiekzio-plano bat aldatzen denean .............................................................................................. 342.4.1 Plano zeihar bat proiekzio-plano batekiko zut ipintzea ................. 35
2.4.1.1 Plano proiektatzaile bertikala ................................................ 35
2.4.1.2 Plano proiektatzaile horizontala ............................................ 36
2.4.2 Plano proiektatzailea proiekzio-plano batekiko paralelo ipintzea.. 372.4.2.1 Plano horizontala .................................................................. 37
2.4.2.2 Plano bertikala ...................................................................... 39
2.4.3 Plano-aldaketa ondoz ondokoak ................................................... 41
3 BIRAKETAK ............................................................................................. 433.1 Puntuaren biraketa........................................................................... 463.2 Biraketa-ardatza aukeratzea ........................................................... 483.3 Zuzen zeihar bat proiekzio-plano batekiko paralelo ipintzea ...... 49
3.3.1 Zuzen frontala................................................................................ 493.3.2 Zuzen horizontala .......................................................................... 49
3.4 Zuzen horizontala edo frontala proiekzio-plano batekiko zut ipintzea ............................................................................................. 503.4.1 Zuzen bertikala .............................................................................. 503.4.2 Punta-zuzena ................................................................................ 51
3.5 Plano zeihar bat proiekzio-plano batekiko zut ipintzea ............... 513.5.1 Plano proiektatzaile bertikala ........................................................ 513.5.2 Plano proiektatzaile horizontala .................................................... 53
3.6 Plano proiektatzailea proiekzio-plano batekiko paralelo ipintzea ............................................................................................. 533.6.1 Plano horizontala........................................................................... 533.6.2 Plano bertikala............................................................................... 54
3.7 Aplikazioa ......................................................................................... 55
4 ERAISPENAK........................................................................................... 574.1. Plano bateko puntu baten eraispena ............................................ 594.2 Irudi lau baten benetako magnitudea ............................................ 61
5 ELKARGUNEAK......................................................................................... 655.1 Zuzenen artekoa............................................................................... 67
5.1.1 Ageriko eta ezkutuko puntuak ....................................................... 675.2 Zuzenaren eta planoaren arteko elkargunea................................. 69
5.2.1 Metodoen aplikazioa...................................................................... 695.2.1.1 Plano-aldaketa baten bitartez ............................................... 69
5.2.1.2 Zuzena hartuko duen plano laguntzaile baten bitartez......... 70
IV
5.3 Planoen arteko elkargunea ............................................................. 715.3.1 Metodoen aplikazioa...................................................................... 73
5.3.1.1 Plano-aldaketa baten bitartez ............................................... 73
5.3.1.2 Plano laguntzaileen bitartez.................................................. 73
6 PARALELOTASUNA .................................................................................. 776.1 Elkarrekiko paraleloak diren zuzenak............................................ 796.2 Plano batekiko paraleloa den zuzena ............................................ 81
6.2.1 Adibideak....................................................................................... 826.2.1.1 Izan bitez P puntua eta p planoa. P puntutik, marraztu π
planoarekiko paraleloa den zuzena ...................................... 82
6.2.1.2 Izan bitez P puntua eta r zuzena. P puntutik, marraztu r
zuzenarekiko paraleloa den planoa ...................................... 82
6.2.1.3 Izan bitez r eta s zuzenak. r zuzenetik, marraztu s
zuzenarekiko paraleloa den planoa ...................................... 83
6.3 Elkarrekiko paraleloak diren planoak ............................................ 846.3.1 Adibidea......................................................................................... 85
6.3.1.1 P puntutik, marraztu w-rekiko paraleloa den ϕ planoa ......... 85
7 PERPENDIKULARTASUNA ETA DISTANTZIAK.................................... 877.1 Zuzenen arteko perpendikulartasuna ............................................ 89
7.1.1 Puntu batetik zuzen baterainoko distantzia................................... 907.1.1.1 Plano-aldaketen bitartez ....................................................... 91
7.1.1.2 Eraispen baten bitartez ......................................................... 91
7.1.2 Bi zuzen paraleloren arteko distantzia .......................................... 927.1.2.1 Plano-aldaketen bitartez ....................................................... 92
7.1.2.2 Eraispen baten bitartez ......................................................... 94
7.1.3 Elkar gurutzatzen duten bi zuzenen arteko distantzia minimoa......................................................................... 947.1.3.1 Plano-aldaketen bitartez ....................................................... 95
7.2 Zuzen baten eta plano baten arteko perpendikulartasuna .......... 967.2.1 Metodoak....................................................................................... 96
7.2.1.1 Eraikuntza zuzena................................................................. 96
7.2.1.2 Plano-aldaketa baten bitartez ............................................... 96
7.2.2 Puntu batetik plano baterainoko distantzia ................................... 977.2.2.1 Plano aldaketen bitartez........................................................ 98
7.2.3 Bi plano paraleloren arteko distantzia ........................................... 997.2.3.1 Plano-aldaketen bitartez ....................................................... 99
7.3 Zuzen batekiko plano zuta .............................................................. 1007.4 Plano zutak ....................................................................................... 101
7.4.1 Plano jakin batekiko plano zuta s zuzenetik igarota ..................... 1027.4.2 α eta β plano jakinekiko plano zuta P puntutik igarota ................. 103
VSistema diedrikoa
8 ANGELUAK .............................................................................................. 1058.1 Zuzen batek proiekzio-plano bakoitzarekin eratzen duen
angelua ............................................................................................ 1078.2 Plano batek proiekzio-plano bakoitzarekin eratzen duen
angelua ............................................................................................. 1088.3 Bi zuzenen arteko angelua.............................................................. 1108.4 Zuzenaren eta planoaren arteko angelua ...................................... 112
8.4.1 Lehen prozedura ........................................................................... 1128.4.2 Bigarren prozedura........................................................................ 112
8.5 Bi planoren arteko angelu diedroa................................................. 1148.5.1 Lehen prozedura ........................................................................... 1148.5.2 Bigarren prozedura........................................................................ 1158.5.3 Hirugarren prozedura. Plano-aldaketen bitartez ........................... 115
ARIKETA EBATZIAK ..................................................................................... 117
VI
3Sistema diedrikoa
Geometria Deskribatzailea Geometriaren adarra da, eta, proiekzioak erabiliz,espazioko gorputzak planoan irudikatzea du helburu. Erabiltzen den proiekziomotaren araberakoak dira Geometria Deskribatzailearen irudikapen-sistemak.Ale honetan, Sistema Diedrikoa edo Monge-rena aztertzen da.
1.1 PROIEKZIOA. PROIEKZIO MOTAK
A puntuaren α planorako proiekzioa da A-tik eta O proiekzio-zentrotik igaro-tzen den izpi proiektatzaileak α planoa ebakitzen duen puntua (1.1 irudia). Opuntutik abiatuta, A puntuaren α planorako proiekzioa A1 puntua da. O–A–A1zuzena izpi proiektatzailea da.
Bi proiekzio mota daude: proiekzio konikoa eta proiekzio zilindrikoa. Lehenbi-zikoari proiekzio zentrala ere esaten zaio. Proiekzio koniko edo zentralean, izpiproiektatzaile guztiak proiekzio-zentro izeneko puntu finko batetik igarotzen dira;1.2 irudiko O puntutik, alegia. Proiekzio zilindrikoan, berriz, proiekzio-zentroa ez--jatorra izaten da, hau da, infinituan dago.
4
A
B
A1
B1
r
r1
α
1.3 irudia
A1
A
α
O
1.1 irudia B
O
Ar
r1A1
B1
α
1.2 irudia
Horregatik, izpi proiek-tatzaile guztiak paraleloakdira norabide jakin bate-kiko. Norabidea proiekzio--planoaren perpendikula-rrean badago, proiekziozilindriko ortogonala da(1.3 irudia). Zeiharrabada, proiekzio zilindrikozeiharra izango dugu (1.4irudia).
1.2 SISTEMA DIEDRIKOAREN OINARRIAK
Sistema diedrikoa proiekzio zilindriko ortogonaleko sistema da. Sistemahonetan, bi plano zut hartzen dira proiekzio-plano gisa, eta bakoitzean lortzendira irudikatu behar den gorputz edo irudiaren proiekzioak. Plano horizontalari
5Sistema diedrikoa
BA
r
r1A1
B1
α1.4 irudia
1.5 irudia
PB
L.L.
PH
1. diedroa
2. diedroa
3. diedroa
4. diedroa
PH deritzo eta bertikalari PB. Bi plano horien arteko elkarguneari lur-lerro (LL)deritzo (1.5 irudia).
Proiekzio-planoak lau diedrotan zatitzen du espazioa, eta, proiekzio-planoakopakuak eta infinituak direla kontutan harturik, lehen diedroan dauden gorputzakbakarrik ikusten direla hartu behar da aintzat. Beste hiru diedroak, beraz, ezku-tuan daude.
Objektu bat diedro horietako batean ipini ondoren proiekzio-planoetaraproiektatzen badugu era ortogonalean, bi proiekzio lortuko ditugu: goitiko bistaedo proiekzio horizontala, eta aurretiko bista edo proiekzio bertikala.
Puntu batek proiekzio-plano horizontalarekiko duen altuerari puntuaren kotaderitzo. Puntuak proiekzio-plano bertikalarekiko duen distantziari, aldiz, puntua-ren urrunera deritzo (1.6 irudia).
Irudikapen-sistema baten ezaugarri nagusia itzulgarritasuna da. Puntu batekbi proiekzio besterik ez du, eta bi horiek espazioko puntu batenak baino ezin diraizan. Beraz, proiekzioetatik abiatuz, proiektatutako gorputz edo elementuarenposizioa jakin daiteke.
Orain artekoa espazioan egin dugu. Baina hori plano batean, paperean, iru-dikatu ahal izateko, H planoa lur-lerroaren inguruan biratu behar da B planoare-
6
PB
u
PH
1.6 irudia
P
P1
P2
k
kin bat egin arte. Proiekzio-plano horizontala proiekzio-plano bertikalaren gai-nean eraitsitakoan, plano berean geratzen dira goitiko bista eta aurretiko bista.Goitiko bista eta aurretiko bista plano bakar batean, aldi berean eta elkarrekinerlazionaturik aurkezten baditugu, objektuaren aurkezpen diedrikoa izango duguaurrean (1.7 irudia).
Objektua proiekzio-plano baterantz perpendikularrean lekualdatzen denean,haren proiekzioak ez dira formaz aldatzen, baizik eta lur-lerrorako distantziakaldatzen dira soil-soilik. Beste era batera esanda, elementuen kotak eta urruneraaldatzen dira bakarrik (1.8 irudia).
7Sistema diedrikoa
1.7 irudia
PB
PB
PHPH
Aurretiko bista
Goitiko bista
Aurretiko bista
Goitiko bista
Halatan, alde batera utz dezakegu lur--lerroa aurkezpen diedrikoan eta objektua-ren goitiko eta aurretiko bisten irudikapenaegin ditzakegu besterik gabe. Zuzenekosistema diedrikoan ari garela esango duguorduan. Horrenbestez, zuzeneko sistemadiedrikoan ez da irudikatu beharreko objek-tuaren eta proiekzio-planoen arteko distan-tzia aintzat hartzen (1.9 irudia).
Batzuetan, marraztu nahi den gorpu-tzari hirugarren proiekzio bat egin beharizaten zaio erabat irudikaturik uzteko. Hiru-
8
PB
PH
1.8.a) irudia
1.8.b) irudia
1.9 irudia
garren proiekzio hori, alboko P planoan egiten da. P planoa zuta da B eta H pla-noekiko. Baita LLrekiko ere; 1.10 irudian ikusten da nola gelditzen diren espa-zioan eta planoan.
9Sistema diedrikoa
1.10 irudia
PP
PB
PHPP
PB
PH
1.3 MARRAZKETARAKO HITZARMENAK. NOTAZIOAK
Puntuak letra nagusiz adieraziko ditugu. A puntua, esate baterako, A(A1–A2)adierazten da. A1 eta A2, hurrenez hurren, espazioko A puntuaren proiekzio hori-zontala eta bertikala dira. Zenbakiz ere adieraz daitezke.
Zuzenak letra txikiz adierazten dira. r(r1–r2) notazioak, adibidez, esan nahi dur zuzenaren proiekzio horizontala eta bertikala, hurrenez hurren, r1 eta r2 direla.
Planoak, alfabeto grekoko hizkiz izendatzen dira: α, β, γ…
1.4 PUNTUAREN, ZUZENAREN ETA PLANOARENIRUDIKAPENA
1.4.1 PUNTUAREN IRUDIKAPENA
Puntu baten irudikapen diedrikoa puntuaren A1 proiekzio horizontalean etapuntuaren A2 proiekzio bertikalean gauzatzen da. Erreferentzia-lerro deritzo biproiekzioak elkartzen dituen lerroari. Beste puntu batzuen proiekzioak erreferen-tziatzat hartuta mugatzen da espazioan duen posizioa.
1.11 irudian erakusten dira A puntuaren proiek-zioak eta horren X, Y, Z koordenatuak B puntu bate-kiko.
X koordenatuak bi puntuen arteko urrunera azal-tzen digu, profil-planoaren proiekzioaren norabidean.
Y koordenatuak bi puntuen arteko urrunera azal-tzen digu, plano bertikalaren proiekzioaren norabi-dean
Z koordenatuak bi puntuen artean dagoen kota--diferentzia azaltzen du.
10
B1
1.11 irudia
B2
A1
A2
1.4.2 ZUZENAREN IRUDIKAPENA
1.4.2.1 Determinazioa
Zuzen baten plano baterakoproiekzioa da zuzenaren puntuguztien proiekzioez osatutakobeste zuzen bat. Zuzenarenproiekzio diedrikoa lortzeko,aski da zuzena zehazten dutenbi puntuen proiekzio diedrikoakgauzatzea. Adibidez, A eta Bpuntuek r zuzena zehaztendute; A1 eta B1 puntuek zehaz-ten dute r zuzenaren r1 proiek-zio horizontala; eta A2 eta B2proiekzioek zehazten dute rzuzenaren r2 proiekzio bertikala(1.12 irudia).
1.4.2.2 Zuzen baten barneko puntua
Puntu bat zuzen baten barnean dagoela esan ahal izateko, ezinbestekoa dapuntuaren proiekzioak zuzenaren proiekzioetan egotea: P1 r1-ean eta P2 r2-an(1.12 irudia).
Zuzena profilekoa bada, bere hirugarren proiekzioan ziurtatu beharko dugup3 r3-an dagoela. 1.13.a) irudiko P puntua ez da r zuzenekoa, baina 1.13.b) iru-diko P puntua bai.
11Sistema diedrikoa
A1
A2r2
r1P1
P2
B1
B2
1.12 irudia
1.13 irudia
r2
r1P1
P2 P3
r3
P1
P2P3
r2
r1
r3
a) b)
1.4.2.3 Posizio egokiak
Zuzen baten posizio egokiak dira, zuzenaren proiekzio batean, haren bene-tako magnitudea azaltzen duten posizioak; beste elementuekiko erlazio geome-trikoak zehazteko ere baliagarriak dira, proiekzio-planoarekiko angelua esate-rako. Hurrengo irudietan, zuzenak proiekzio-planoarekiko dituen posizio egokihauek azaltzen dira, r zuzenaren AB segmentuaren proiekzioaren bidez.
1.4.2.3.1 Proiekzio-planoekiko zuzen paraleloak
Zuzen horizontalak. Paraleloak dira proiekzio-plano horizontalarekiko. Proiek-zio horizontalean egiazko magnitudean proiektatzen dira eta zuzenek proiekzio--plano bertikalarekin osatzen duten β angelua ere neurtzen da (1.14 irudia).
Zuzen frontala edo aurrez aurreko zuzenak. Paraleloak dira proiekzio--plano bertikalarekiko. Proiekzio bertikalean egiazko magnitudean proiektatzendira eta zuzenek proiekzio-plano horizontalarekin osatzen duen α angelua ereneurtzen da (1.15 irudia).
Profil zuzena. Paraleloak dira profil-planoarekiko. Profileko bistan egiazkomagnitudean proiektatzen dira eta zuzenek proiekzio-plano horizontalarekin osa-tzen duen α angelua eta proiekzio-plano bertikalarekin osatzen duen β angeluaere neurtzen dira (1.16 irudia).
12
PB
A1 β
1.14 irudia
A2
B1
B2
B
PH
β
A1
A2
B1
B2
β
1.4.2.3.2 Proiekzio-planoekiko zuzen zutak
Zuzen bertikalak. Zutak dira proiekzio-plano horizontalarekiko, eta parale-loak beste bi proiekzio-planoekiko. Proiekzio bertikalean eta profileko bistan
13Sistema diedrikoa
1.15 irudia
1.16 irudia
PB
A1
A2
B1
B2
B
PH
α
α
A1
A2 α
B1
B2
PB
A3A2
B1
B3
PP
A1
A2
α
B1
B2
β
α
β
PH
A3
B3α
β
egiazko magnitudean proiektatzen dira. Proiekzio horizontalean, proiekzioapuntu bat da (1.17 irudia).
Punta-zuzenak. Zutak dira proiekzio-plano bertikalarekiko, eta paraleloakbeste bi proiekzio-planoekiko. Proiekzio horizontalean eta profileko bistanegiazko magnitudean proiektatzen dira. Proiekzio bertikalean, proiekzioa puntubat da (1.18 irudia).
14
PB
B2
B≡B1≡A1
A2
PH
A
A2 A3
B2 B3
A1≡B1
1.17 irudia
PB
B1
B≡B2≡A2
A1
PH
A
A1
A3
B1
B3A2≡B2
1.18 irudia
Profil-planoarekiko zuzen zutak. Beste bi proiekzio-planoekiko paraleloakdira. Proiekzio horizontalean eta proiekzio bertikalean egiazko magnitudeanproiektatzen dira. Profileko proiekzioan, proiekzioa puntu bat da (1.19. irudia).
1.4.3 PLANOAREN IRUDIKAPENA
1.4.3.1 Determinazioa
Diedriko zuzenean, plano bat irudikatzeko modurikohikoena da itxura poligonal itxi baten bitartez egitea.Baina ikuspuntu kontzeptual batetik, plano bat erabatdefinituta geratzen da elementu hauek ezagututa:
Elkar ebakitzen duten bi zuzenen bidez. Planobat definitzeko oinarrizko forma da (1.20 irudia).
Bi zuzen paraleloren bidez. Paraleloak diren bizuzenek elkar ebakitzen dute infinituan (1.21 irudia).
Lerrokatu gabeko hiru punturen bidez. Puntuhoriek zuzenen bidez lotu ditzakegu, eta elkar ebaki-tzen duten bi zuzenen bitartez plano bat lortu (1.22 iru-dia).
15Sistema diedrikoa
1.19 irudia
PB
B2
B≡B3≡A3
A1
PH
A
A2
A2
B1
B2
A3≡B3PP
A1
B1
P2
P1
1.20 irudia
1.21 irudia
r1
r2
s1
s2
r1
r2
s1
s2
Zuzen baten eta hor ez dagoen puntu baten bidez. Kanpoko puntutik aipa-tutako zuzena ebakitzen duen beste bat eraikitzen badugu, elkar ebakitzen dutenbi zuzenen bitartez definituko dugu planoa (1.23 irudia).
1.4.3.2 Plano baten barneko zuzena
Zuzen bateko bi puntu plano baten barnean badaude, zuzen osoa planoarenbarnean dagoela esaten da. Plano baten barnean dauden zuzen guztiek elkarebakitzen dute binaka, planoaren barneko puntu batean. Bi zuzen paralelorenkasuan, infinituko puntu ez-jatorra da ebakitze-puntu hori. (1.24.a) irudia).
16
r1
r2
P1
P2
1.23 irudia
A2
M1
1.22 irudia
A1
M2
T1
T2
r2
A2
1.24 irudia
B2
M2
N2
c2
A1
M1
B1
N1
c1
r1
A2
B2
c2
r2
M2
N2P2
A1
B1a) b)
c1M1
N1
r1
P1
1.4.3.3 Plano baten barneko puntua
Puntu bat planoaren barnean dagoela esaten da plano horren barneko zuzenbatean badago, hau da, puntuaren proiekzioak planoko zuzen baten izen berekoproiekzioetan daudenean. 1.24.b) irudiko P puntua ABC planokoa da.
Esandakoaren arabera, puntu bat ezin daiteke planoan edozein tokitan ipini.Izan ere, aurrez zuzena kokatu behar da plano horretan.
1.4.3.4 Posizio egokiak
Plano baten posizio egokiak dira planoaren benetako magnitudeak azaltzendituzten posizioak, edo erlazio geometrikoak mugatu eta ebazteko baliagarri dire-nak, esate baterako, beste plano batekin osatzen duen angelua, zuzenekiko etabeste planoekiko elkarguneak.
Ondoren, plano batek proiekzio-planoekiko izan ditzakeen posizio egokiakerlazionatzen dira. Adibide hauetan, proiekzio diedrikoetan, planoa triangelubaten bitartez irudikatuta azaltzen da.
1.4.3.4.1 Proiekzio-plano batekiko zutak diren planoak
Plano proiektatzaile horizontala. Zuta da proiekzio-plano horizontalarekiko.
Plano honetan dauden irudi eta puntuak horizontalki zuzen baten gaineanproiektatzen dira. Planoak proiekzio-plano bertikalarekin osatzen duen β angeluaere neurtzen da (1.25 irudia).
17Sistema diedrikoa
1.25 irudia
PB
PH
β
π A2
B2
C2
A1
B1
C1
β
