Clculo por Elementos Finitos

OBJETIVOS

Analizar la estructura de una barra de seccin variable.

Utilizar mtodos matemticos (modelamiento) para aproximar la forma de la seccin a una ms sencilla de estudiar.

Calcular los esfuerzos en determinadas secciones de la barra de seccin variable.

Calcular la reaccin en los apoyos.

PRIMERA PRCTICA

ENUNCIADO DEL PROBLEMA:De la siguiente placa triangular de espesor constante, t=150mm. Calcule:Los esfuerzos en cada elemento finito y la reaccin en el apoyo. Utilizar tres elementos finitos.

Sabiendo que:P =30000 NT (espesor) = 150 mmE = 3.0x105 N/mm2 = 8.0 gr-f/cm3 = 7,848x10-5 N/mm3

SOLUCIN:1. MODELADO DEL CUERPO REALConsideramos tres elementos finitos de longitud de 250, 250 y 500 mm desde la base hasta la punta.El ancho de cada elemento lo calculamos tomando el punto medio de cada elemento finito:

Y las reas se calculan de la siguiente relacin:

Luego:Conectividad:

eNODOSGDLle(mm)Ae(mm2)

(1)Primer nodo(2)SegundoNodo12

112Q1Q2250157500

223Q2Q3250112500

334Q3Q450045000

2. GRADOS DE LIBERTAD NODALES.- (GDL) (VECTOR DESPLAZAMIENTO)En el siguiente grfico se muestran los vectores desplazamientos nodales globales

El vector de desplazamiento ser:

Donde Q1=0 debido a que la placa esta empotrada y los dems desplazamientos son incgnitas donde procederemos a calcularlos.3. VECTOR CARGA

Analizando las fuerzas para todo el cuerpo:

Entonces, el vector carga se expresara de la siguiente manera

4.-MATRIZ DE RIGIDEZ

A continuacin pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que est determinada por la siguiente ecuacin:

Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad obtenemos:

Finalmente:

5.-ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO

La ecuacin de rigidez est determinada por la siguiente ecuacin:

Con nuestros valores calculados tenemos:

Para obtener los desplazamientos tomamos la siguiente submatriz:

Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:

Para obtener la reaccin en el empotramiento tmanos la siguiente submatriz:

Resolviendo obtenemos:

6.-ESFUERZOSPara calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuacin:

Y obtenemos lo siguiente:

4. RESULTADOS

5. DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

INGRESO DE DATOSCONSTANTE: E, f, tVECTORES: L, A, P

CALCULO DE VECTORES

F= ; K=

TRAFORMACION DE ECUACION MATRICIAL

=

CALCULO DE ESFUERZOS

IMPRESIN DE RESULTADOS

FIN

9. DIGITACIN EN MATLAB% Practica N01: Traccion Pura clcclear allformat longsyms R disp('**************************************************')disp('*****************TRACCION PURA********************')disp('***********Triangulo isoceles invertido***********')disp('******INGRESE LAS CARACTERSTICAS DEL CUERPO******')disp(' ')disp('NOTA: - Los datos deben ingresarse en milmetros')disp(' - Las longitudes deben senumerarse en forma ascendente')disp(' ')h=input('Ingrese el ancho del cuerpo: ')l=input('Ingrese la longitud del cuerpo: ')t=input('Ingrese el espesor del cuerpo: ') % Seccion constante en este casoE=input('Ingrese el modulo de elasticidad: ')m=input('Ingrese la densidad especifica: ') disp('*******INGRESE LAS CONDICIONES DEL PROBLEMA*******')disp(' ')e=input('Ingrese la cantidad de elementos a utilizar: ')li=input('Ingrese las longitudes de los elementos: ')P=input('Ingrese la fuerza aplicada: ')p=input('Indicque la posicin vertical de la fuerza: ') % SOLUCION DEL PROBLEMAdisp('************SOLUCION DEL PROBLEMA*************')disp(' ')disp('Por ser traccion pura, cada elemento presenta 2 grados de libertad')disp(' ')disp('********Tabla de Conectividad********') hi=[];for i=1:e; hj=(sum(li(1:i)))*h/l; hi=[hi hj]; end; disp(hi);lt=li(3:-1:1);f=[1:1:e]';g=f+ones(3,1);ht=hi(3:-1:1);hmi=(ht+[ht(2:3) 0])/2;Ai=hmi'*t; disp(' elemento nodos grad. libertad long area')[f f g f g lt' Ai] disp('****Matrices de Rigidez****') uno=[1 -1;-1 1];cero=[0 0;0 0];k=E*Ai./lt';k1=k(1:1)*[uno cero;cero cero];k2=k(2:2)*[0 0 0 0;0 1 -1 0;0 -1 1 0;0 0 0 0];k3=k(3:3)*[cero cero;cero uno]; Kij=k1+k2+k3 disp(' ')disp('*******Vector Carga*******') fi=m.*Ai.*lt'/2; Fi=[];for i=1:e+1; if i==1; q=fi(i:i); else if i==e+1; q=fi(i-1:i-1); else q=(fi(i:i)+fi(i-1:i-1)); end end Fi=[Fi q];endFij=Fi+[0 P 0 0];disp(Fij'); Fti=[Fi(1:1)-R Fi(2:4)];Fti' disp('**********RESULTADOS**********') disp('**Desplazamientos de los nodos (Qi)**') Ft=Fij';F2=Ft(2:end,1)Kij2=Kij(2:end,2:end);Q=inv(Kij2)*F2;Qi=[0 ;Q] disp('*****Reaccion R en el nodo Q1*****') R=Fij(1:1)-Kij(1,1:4)*Qi;disp(R) disp('*****Esfuerzos*****') Oi=[];[-1 1]*[Qi(1:2,1)]; for i=1:e; oi=([-1 1]*[Qi(i:i+1,1)]).*E./lt(i:i); Oi=[Oi oi];end disp(Oi)

Resultados obtenidos en Matlab: *******************************************************************TRACCION PURA*******************************Triangulo issceles invertido*****************INGRESE LAS CARACTERSTICAS DEL CUERPO****** NOTA: - Los datos deben ingresarse en milmetros - Las longitudes deben enumerarse en forma ascendente Ingrese el ancho del cuerpo: 1200

h =

1200

Ingrese la longitud del cuerpo: 1000

l =

1000

Ingrese el espesor del cuerpo: 150

t =

150

Ingrese el mdulo de elasticidad: 300000

E =

300000

Ingrese la densidad especifica: 7.848*10^(-5)

m =

7.847999999999999e-005

*******INGRESE LAS CONDICIONES DEL PROBLEMA******* Ingrese la cantidad de elementos a utilizar: 3

e =

3

Ingrese las longitudes de los elementos: [250 250 500]

li =

250 250 500

Ingrese la fuerza aplicada: 30000

P =

30000

Indicque la posicin vertical de la fuerza: 500

p =

500

************SOLUCION DEL PROBLEMA************* Por ser traccion pura, cada elemento presenta 2 grados de libertad ********Tabla de Conectividad******** 600 900 1200

elemento nodos grad. libertad long area

ans =

1 1 2 1 2 250 157500 2 2 3 2 3 250 112500 3 3 4 3 4 500 45000

****Matrices de Rigidez****

Kij =

189000000 -189000000 0 0 -189000000 324000000 -135000000 0 0 -135000000 162000000 -27000000 0 0 -27000000 27000000 *******Vector Carga******* 1.0e+04 *

0.154507500000000 3.264870000000000 0.198652500000000 0.088290000000000

ans = 61803/40 - conj(R) 26487/10 79461/40 8829/10 **********RESULTADOS************Desplazamientos de los nodos (Qi)**

F2 =

1.0e+04 *

3.264870000000000 0.198652500000000 0.088290000000000

Qi =

1.0e-03 *

0 0.187926587301587 0.209181587301587 0.241881587301587

*****Reaccion R en el nodo Q1***** 3.706320000000000e+04

*****Esfuerzos***** 0.225511904761905 0.025506000000000 0.019620000000000

10. CONCLUSIONES

Los esfuerzos calculados son tres positivos, lo que significa que tres son de traccin, respecto al sistema de referencia elegido. En el programa hemos usado la format long en vez de la format short ya que as obtendremos una mayor exactitud. El uso de MATLAB es muy importante, ya que podemos modelarlo de forma ms sencilla y as poder tener un resultado con mayor exactitud. La fuerza neta total que se ejerce sobre el cuerpo, es en contra del sistema de referencia (opuesta al eje x), y es igual al volumen total por su Peso especfico (=7,848x10-5 N/mm3) ms la Fuerza aplicada (P=30000N), lo que da de resultado un valor de . Tericamente este resultado sera el valor de la reaccin en el nodo (1). La precisin en el resultado con respecto al uso del Matlab es muy alta, lo que significa que para el cuerpo estudiado el nmero de elementos finitos (tres) es suficiente gracias a su geometra simple. Para otras figuras, la precisin ser directamente proporcional al nmero de elementos finitos en que se divida, pues entre ms se escojan, menor error en los clculos.

11. BIBLIOGRAFA

CHANDRUPATLA, T. Introduccin al Estudio de los Elementos Finitos en Ingeniera, Prentice Hall, 1999

ZIENKIEWCTZ, O. The Finite Element Method, New Cord, Mec Graw Hill, 1977.

ZIENKIEWCTZ, O. and MORGAN K. Finite Elements and Approximation, New Cork, Wiley, 1982.

LIVESLEY, R. Finite Element: An Introduction for Engineers, Cambridge, Great Britain, Cambridge University Press, 1983.