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MECANISMOS

CRITERO DE GRÜBEL Y SUS EXCEPCIONES

CATEDRATICO: DR. JOSE GARRIDO ANTONIO NATAREN

ALUMNOS:

JAIRO ABEL VIERA MENDEZ E10020152

JULIO ARMANDO ORTEGA LICONA E11020300

SANTIAGO CONDE GOMEZ E10020119

PAHOLA ARACELI CORDERO REBOLLEDO E09021267

CARLOS ALBERTO HERMANN CROWSON E09020518

DAMIAN BARUCH LAGUNES SARMIENTO E12020633

ALEJANDRA VEGA ALBERTO E09021441

BRYAN MONOLA GUZMAN E11021005

INGENIERIA

MECATRONICA

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INDICE

Portada …………………………………………1

Índice …………………………………………2

Resumen …………………………………………3

Criterio de Grübler …………………………………………4

Aplicación del criterio de Grübler …………………………………………7

Excepciones al criterio de Grübler. …………………………………………10

Bibliografía …………………………………………12

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RESUMEN

Por grado de libertad se entiende el número de entradas independientes requeridas para determinar la posición de todos los eslabones del mecanismo respecto a tierra en cualquier instante.

En muchos casos resulta posible conocer la movilidad de un mecanismo a partir del número de eslabones y la cantidad y tipo de los pares que los enlazan. El criterio de grübler para mecanismos planos establece que la movilidad está dada por:

Siendo:

N = número de eslabones.

J1 = número de pares con un grado de libertad.

J2 = número de pares con dos grados de libertad.

Los gdl de un ensamble de eslabones predicen por completo su carácter. Hay varias posibilidades:

· M Positivo: se tendrá un mecanismo, y los eslabones tendrán movimiento relativo.

· M=1: El mecanismo puede ser impulsado con un solo movimiento de entrada.

· M = 0: se tendrá una estructura, y ningún movimiento es posible.

· M Negativo: se tendrá una estructura precargada, estáticamente indeterminada en la que hay exceso de ligaduras, por lo que ningún movimiento es posible y algunos esfuerzos pueden también estar presentes en el momento del ensamble.

El eslabonamiento de cuatro barras es el mecanismo articulado más simple posible para movimiento controlado de un grado de libertad.

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Criterio de Grübler

Grados de Libertad de un Eslabonamiento

DEFINICION: Grados de libertad, o movilidad, de un eslabonamiento es el número

mínimo y suficiente de variables requeridas para determinar completamente la

posición del eslabonamiento.

Es decir conociendo esas variables debe ser posible conocer la posición de

cualquiera de los eslabones que forman parte del eslabonamiento.

EJEMPLO. A continuación se presentan dos ejemplos de eslabonamientos que

incluyen un conteo de sus grados de libertad o movilidad.

1. Un mecanismo plano de cuatro barras. Este es un eslabonamiento plano

con cuatro barras y cuatro pares de revoluta. Todos los ejes de los pares de

revoluta son paralelos. El eslabonamiento tiene un grado de libertad o

movilidad igual a 1.

Mecanismo Plano de Cuatro Barras

2. Leva espacial. Este es un eslabonamiento espacial de tres eslabones y tres pares, un par cilíndrico entre el marco y la leva, un par de leva entre la leva y el seguidor y un par prismático entre el seguidor y el marco. El eslabonamiento tiene dos grados de libertad o movilidad igual a 2.

Leva espacial

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Una forma de determinar el número de grados de libertad de un eslabonamiento consiste en observar su movimiento, si lo hay y determinar empíricamente ese número mínimo y suficiente de variables.

Sin embargo frecuentemente es necesario determinar los grados de libertad de eslabonamientos que no han sido construidos para solucionar este problema, desde el siglo pasado se formularon diferentes criterios de movilidad, uno de los más sencillos es el criterio de Grübler.

A continuación se deducirá el criterio Grübler para eslabonamientos planos. Es decir, para aquellos eslabonamientos cuyos eslabones se mueven en planos paralelos. La secuencia del razonamiento es la siguiente.

1. Imagine la formación de un eslabonamiento constituido por N eslabones, como se muestra en la figura, originalmente el sistema tiene 3N grados de libertad, 3 grados de libertad por cada uno de los cuerpos que se conectaran para construir el eslabonamiento.

Cuerpos rígidos aislados que formaran un eslabonamiento

2. Para formar un eslabonamiento, se requiere que uno de los eslabones se

fije al sistema de referencia. Por lo tanto el conjunto tiene ahora 3(N-1)

grados de libertad.

Cuerpos rígidos aislados que formaran un eslabonamiento, con uno de ellos fijo.

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3. Por ultimo a fin de transmitir movimiento, los eslabones deben unirse

mediante pares cinemáticos, puesto que los eslabones están originalmente

obligados a tener movimiento plano general, entonces un par de la clase I

prismático o de revoluta elimina 2 grados de libertad y un par de leva de la

clase II elimina un grado de libertad.

Eslabonamiento formado a partir de los cuerpos rígidos inicialmente aislados.

Así pues, con base a los anteriores razonamientos es posible formular la ecuación:

F = 3 (N – 1) – 2P₁ - P₂

Donde F es el número de grados de libertad del eslabonamiento, N es el número

de eslabones que forman el eslabonamiento, P₁ es el número de pares de la clase

I que forman parte del eslabonamiento y P₂ es el número de pares de la clase II

que forman parte del eslabonamiento. La ecuación anterior se conoce como el

criterio de Grübler.

Dependiendo del número de grados de libertad, un eslabonamiento se clasifica

en:

1. F < 0, grado de libertad o movimiento negativo. El eslabonamiento es una

estructura estáticamente indeterminada.

2. F = 0, grado de libertad o movilidad cero. El eslabonamiento es una

estructura estáticamente determinada.

3. F > 0, grado de libertad o movilidad positivo. El eslabonamiento es un

mecanismo de 1, 2, 3, etc. Grados de libertad, según sea el caso.

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APLICACIÓN DEL CRITERIO DE GLÜBLER

En esta sección se determinaran los grados de libertad de diferentes

abonamientos aplicando el criterio de Grübler.

1. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura siguiente , el

eslabonamiento contiene 5 eslabones y 6 pares cinemáticos, indicados en

itálica, todos estos pares, excepto el par 6, que es un par de leva, entre los

eslabones 2 y 5, son pares de la clase I, de manera que aplicando el criterio

de Grübler, se tiene que:

Eslabonamiento formado a partir de los cuerpos rígidos inicialmente aislados.

F = 3 (N - 1) – 2 P₁ – P₂ = 3 (5 – 1) – 2 (5) – 1 = 12 – 10 – 1 = 1

El eslabonamiento es un mecanismo de un grado de libertad.

2. Considere el eslabonamiento mostrado en la figura siguiente, el

eslabonamiento contiene 4 eslabones, y pares de revoluta, todos estos

pares pertenecen a la clase I, de manera que aplicando el criterio de

Grübler, se tiene que:

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Eslabonamiento formado por cuatro eslabones y cuatro pares de revoluta. Mecanismo

plano de cuatro barras.

F = 3 (N - 1) – 2 P₁ – P₂ = 3 (4 – 1) – 2 (4) – 0 = 9 – 8 – 0 = 1

El eslabonamiento es un mecanismo de un grado de libertad, como era de

esperarse. Este mecanismo se le conoce como un mecanismo plano de cuatro

barras.

3. Considere el eslabonamiento de la siguiente figura, el eslabonamiento

contiene 3 eslabones, y 3 pares de revoluta, todos estos pares pertenecen

a la clase I, de manera que aplicando el criterio de Grübler, se tiene que:

Eslabonamiento formado por tres eslabones y tres pares de revoluta. Estructura

estáticamente determinada.

F = 3 (N - 1) – 2 P₁ – P₂ = 3 (3 – 1) – 2 (3) – 0 =6 – 6 – 0 = 0

El eslabonamiento de una estructura estáticamente determinada, como era de

esperarse pues, del estudio de la estatica, se sabe bien que un triangulo es la

celula básica de las estructuras.

4. Considere el eslabonamiento mostrado en la siguiente figura, el

eslabonamiento contiene 3 eslabones, y 3 pares cinemático, todos estos

pares, excepto el par 3 que es un par de leva, entre los eslabones 2 y 3,

son pares de clase I, pares de revoluta, de manera que aplicando el criterio

de Grübler, se tiene que:

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Eslabonamiento formado por tres eslabones, dos pares de revoluta y un par de leva. Leva

de disco seguidor de cara plana.

F = 3 (N - 1) – 2 P₁ – P₂ = 3 (3 – 1) – 2 (2) – 1 =6 – 4 – 1 = 1

El eslabonamiento es un mecanismo de un grado de libertad. Este mecanismo se

conoce como un mecanismo de leva de disco con seguidor de cara plana.

5. Finalmente, considere el eslabonamiento mostrado en la siguiente figura, el

eslabonamiento contiene 4 eslabones, y 4 pares cinemáticos indicados,

todos estos pares, excepto el par 4, que es un par de leva, entre los

eslabones 2 y 3, son pares de la clase I, pares de revoluta, de manera que

aplicando el criterio de Grübler, se tiene que:

Eslabonamiento formado por cuatro eslabones, dos pares de revoluta y un par de leva.

Leva de disco con seguidor de rodillo.

F = 3 (N - 1) – 2 P₁ – P₂ = 3 (4 – 1) – 2 (3) – 1 =9 – 6 – 1 = 2

El eslabonamiento es un mecanismo de dos grados de libertad, este mecanismo

se conoce como un mecanismo de leva de disco con seguidor de rodillo. A primera

vista, este resultado parece erróneo, pues una leva de disco con seguidor de cara

plana, un mecanismo que tiene únicamente un grado de libertad. Sin embargo,

debe notarse que la leva de disco con seguidor de rodillo presenta un grado de

libertad pasivo que consiste en un movimiento de rotación del rodillo, cuando el

resto de los eslabones del mecanismo permanecen fijos.

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EXCEPCIONES AL CRITERIO DE GRÜBLER.

Un criterio de movilidad, como el de Grübler, basado exclusivamente en

consideraciones del número de eslabones y de pares necesariamente debe tener

excepciones; es decir eslabonamientos para los cuales el número de grados de

libertad determinado mediante el criterio de Grübler no es el correcto.

Algunas de ellos se muestran a continuación.

1. Considere un mecanismo de cuatro barras y cuatro pares de revoluta, tal

como el mostrado en la figura 31.

Figure 31: Mecanismo Plano de Cuatro Barras que Constituye una

Excepcion del Criterio de Gr¨ubler.

Aplicando el criterio de Gr¨ubler, se tiene que:

Sin embargo, si las longitudes de los eslabones del mecanismo plano de

cuatro barras son a1 = 4 u.l., a2 = 2 u.l., a3 = 7 u.l. y a4 = 1 u.l.. y se trata

de ensamblar el mecanismo.Consecuentemente, este “mecanismo plano de

cuatro barras” tiene 0 grados de libertad

y es en realidad una estructura.

2.Considere ahora el eslabonamiento mostrado en la figura:

Eslabonamiento de 5 barras y 6 pares cinemáticos que constituye una excepción del

criterio de Grübler.

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Aplicando el criterio de Grübler, se tiene que:

F = 3 (5 – 1) – 2 (6) – 0 = 12 – 12 - 0 = 0

Sin embargo, es necesario reconocer que, en este caso, los eslabones 1, 3 y 4

son paralelos, además los eslabones 2 y 4 son, igualmente paralelos y permiten

que es eslabonamiento gire en el sentido indicado, por lo tanto F =1

3.Considere el eslabonamiento mostrado en la figura:

Eslabonamiento de dos lazos con pares prismáticos y de revoluta que constituye una

excepción del criterio de Grübler.

Aplicando el criterio de Grübler se tiene que:

F = 3 (5 – 1) – 2 (6) – 0 = 12 – 12 - 0 = 0

Este eslabonamiento es un ejemplo de mecanismos complejos, en los que un

lazo, aquel formado por los eslabones conectados por los pares prismáticos está

asociado a las traslacionales planas, mientras que cualquiera de los dos restantes

lazos está asociado al movimiento plano general. Puede probarse que el

eslabonamiento es movible y tiene un grado de libertad.

4. . Finalmente, considere el eslabonamiento mostrado en la figura 34. El

eslabonamiento tiene

23 eslabones, 33 pares cinemáticos de la clase I y no tiene pares cinemáticos de

la clase II.

Por lo tanto, aplicando el criterio de Gr¨ubler, se tiene que:

El resultado, correcto en este caso, indica que el eslabonamiento es un estructura.

Estas estructuras se emplean frecuentemente en techos y puentes.

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Figure 34: Un eslabonamiento con cero grados de libertad: Estructura reticular

para un puente.

De manera similar, considere el eslabonamiento mostrado en la figura 35. Este

eslabonamiento tiene el mismo n´umero de eslabones y pares cinem´aticos que el

eslabonamiento de la figura

34. Por lo tanto, aplicando el criterio de Gr¨ubler, se tiene que:

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BIBLIOGRAFIA

LIBROS:

Hamilton H. Mabie, Charles F. Reinholtz, Mecanismos Y Dinámica De

Maquinaria, 4 Edición.

Robert L. Norton, Diseño De Maquinaria, McGraw Hill

SITOS WEB:

http://www.unioviedo.es/DCIF/IMecanica/GestionCortizo/Metodolo~gia/

conceptos%20de%20mecanica/Glosario%20de%20t%E9rminos/Grados

%20de%20libertad%20y%20ecuaci%F3n%20de%20G.html

http://www.fimee.ugto.mx/profesores/chema/documentos/An%C3%A1li

sis%20y%20S%C3%ADntesis%20de%20Mecanismos/IntroduccionALo

sMecanismos.pdf

www.fimee.ugto.mx/profesores/.../IntroduccionALosMecanismos.pdf