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1 JUI. 1991

Volumen 6

Estudios en educacity + matemtica Educacin matemtica extraescolar

Editado por Robert Morris

La ensefianza de las ciencias bsicas

Estudios en educacin matemtica

Educacin matemtica extraescolar

Volumen 6 Editado por Robert Morris

Unesco

Traduccin: Oscar Ladera

Publicado en 1987 por la Organizacin de las Naciones Unidas para la Educacin, la Ciencia y la Cultura, Unesco - 7, place de Fontenoy, 75700 Pars - Francia

Impreso en 1990 por la Oficina Regional de Ciencia y Tecnologa de la Unesco para Amrica Latina y el Caribe - Montevideo - Uruguay

ISBN 92-9089-0134

Versin inglesa: ISBN 92-3-1025264

Ca Unesco 1987

Prefacio

La enseanza de matemtica trae la imagen del pizarrn y de la tiza, y an, quizs, de las calculadorasydelosmicrocomputadorcs.EstevolumendeEstudios~Ed~inM~mtica aporta una visin diferente, que no tiene nada que ver con el aula. En l se examinan varias formas de alentara los alumnos para que aprendan matemtica en la escuela, a travs de actividades realizadas fuera del aula o del edificio escolar, tales como clubes de matemtica, ferias y competencias. Se describen, asimismo, formas de aportar educacin matemtica a aquellos que no asisten, oque no han asistido nunca quizs, a la escuela. Algunas de estas formas se vinculan a travs de artculos de popularizacin matemtica en la prensa o en la televisin, de museos de ciencia, de microcomputadores y de calculadoras en el hogar, medios todos que podran estar disponibles para todo pblico interesado en aprender ms matemtica.

Se espera que este volumen resulte de inters - y sobre todo de utilidad para aquellos que desean prolongar el aprendizaje de matemtica.

Los prximos volmenes estarn dedicados a la enseanza de la estadstica y al papel de los microcomputadorcs en la enseanza de matemtica.

Unesco desea expresar su reconocimiento a Robert Morris, editor de la serie, as como a todos los que han contribuido a este volumen, el sexto correspondiente a Estudios OI Educacin Matemtica. Los puntos de vista expresados en los diversos captulos son, obvia- mente, los de sus autores y no representan, necesariamente, ninguna posicin de parte de la Unesco o del editor.

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Contenido

Introduccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Parte 1: Actioidades pkmifd para los dumnos m4.s jbuenes ..................................... 13

1. Clubes de matemtica, por Su& Rada-Aranda .................................................. 15

2. Campamentos matemticos, por Barbara Rabijewska y Mieczyshw Trad .......... .21

3. Competencias y olimpadas matemticas , por Sum~l L. Greitxr ................... .3 1

4. Olimpiadas matemticas nacionales en Vietnam, por U Hi Ch&. ................ .37

Parte JI: ?b4&mbx y ios medios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5. Las emisiones de radio y televisin y la Universidad Abierta del Reino Unido, por Frank Louis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6. Educacin matemtica a distancia, por Gordon Ktight . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

Parte 111: Otras fuentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7. Educacin matemtica de los nios de talento en Hungria, por Ferenc Genwein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

8. Matemtica en clases de alfabetizacin, por Raymond @p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

9. Formacin matemhica para el trabajo, por Rudolf Straesser ............................ .103

10. Matemtica en familia, porjerm Kerr Stenrnark ............................................... 115

Parte IV: Un estudio de uu0 ................................................................................... .119

ll. La matemtica extraescolar en Colombia, por Mary Falk de Losada y Ricardo Losada Mrquez ......................................... ,12 1

Notas biogdicas .................................................................................................... .139

Introduccin

Este sexto volumen de Estudios en Educucibn Matemtica rompe completamente con el aula, ya que est dedicado, exclusivamente, ala educacin matemticaextraescolar. La amplitud del tema permite considerarlo separado en tres sectores, a saber: actividades dirigidas a alentar aquellos que estn todava en los niveles primario y secundario de la educacin; la matemtica difundida por los medios de comunicacin; y las otras varias formas de proporcionar y de apoyar la educacin matematica, distintas de las dos anteriores.

Las actividades extraescolares que se ofrecen a los que estn todavla en la escuela incluyen clubes de matemtica, campamentos matemticos, competencias matemticas, matemtica en ferias de ciencia y en otros tipos de ferias y aquellas visitas y excursiones especialmente organizadas para mostrar la matemtica empleada en las actividades hu- manas.

La matemtica surge, unas veces, deliberadamente de los medios de difusin cuando, por ejemplo, se dictan cursos regulares por radio y televisin y, otras veces, aparece por accidente cuando, por ejemplo, el editorialista de un peridico de prestigio se lamenta de que la mitad de todos los escolares esdn por debajo del promedio de habilidad para la lectura. Y hay que agregar, todavia, que existen muchos tipos de libros y revistas que ofrecen artculos de matemtica o, ms a menudo an, acertijos matemticos.

Las otras fuentes incluyen museos de ciencia con exhibiciones sobre matemtica, cursos de matemtica especficamente orientados hacia una ocupacin determinada, educacin matemtica proporcionada por una fuente distante, instruccin matemtica brindada en clases alfabetizadas de adultos y, como es de suponer, la presencia creciente de calculadoras y de computadores en los hogares que, adems de ser tratados como juguetes, siempre realizan tarea instructiva.

Las tres categorias que se terminan de presentar muy brevemente explican la sub- divisin del material que aparece en las tres primeras partes del volumen. La cuarta parte esta dedicada a un caso de estudio referente a la matemtica extraescolar en Colombia.

Los clubes de matemtica constituyen el tema del Captulo 1. Su propsito esencial, como lo seala Saulo Rada-Aranda, es completar y enriquecer la cuota regular de matemtica que se brinda en las aulas. Se discuten en este capitulo, los propsitos de estos clubes, la forma como podnan estar organizados asi como el tipo de actividades que podran llevarse a cabo. Brbara Rabijewska y Mieczyslaw Trad informan, en el Captulo 2, respecto

10 lntmduccin

a los campamentos de verano en Polonia, los que han probado a travs de los ltimosdoce anos, su valor como medios de alimentar los intereses y las habilidades de los jvenes en edad escolar que han demostrado talento para matemtica. Su descripcin de tales campamentos brinda una descripcin vvida de su organizacin, de las actividades que proporciona, as como dc la forma como estas actividades se relacionan con las actividades regularesdelClubPitgoraspara JvenesMatemticosalquepertenecenloscampamentos.

Los captulos siguientes se ocupan de las competencias matemticas, particularmente aquellas que tienen como propsito subsidiario poner en evidencia aquellos talentos destacados que pueden llevar la representacin en una olimpada internacional. En el primero de ellos, Samuel Greitzer proporciona informacin, en base a su larga experiencia con estas actividades, relativa al origen y al desarrollo de las Olimpadas Matemticas de los Estados Unidos de Amrica y de las Olimpiadas Matemticas Internacionales. Este informe conduce a una discusin interesante respecto a las diferencias entre talento y aptitlldesH,asicomodelaformaenquelospasespuedenatenderdela mejor forma-tanto enlaescuelacomoenelmbitomsampliodelacomunida~aaquellosmatemticamente dotados. Su conclusin -de que el tamao de un psis es menos importante que la estima pblica que se tiene en l por los maternaticos- se ve apoyada por el caso especial de Hungra. El Profesor L Hi Chu brinda, en el Captulo 4, una informacin interesante y clara respecto a la forma en que se identifica en Viemam a los alumnos que demuestran aptitudes para la matemtica, alentndolos y entrenndolos para competir en pruebas nacionales y regionales de habilidad matemtica. El informe del Profesor L incluye un conjunto de problemas propuesto en una reciente Olimpada Nacional. Resulta de especial inters la forma como discute la influencia que las Olimpiadas Nacionales ejercen, en general, sobre la enseanza de matemtica a nivel escolar.

El lugar de la matemticaen los mediosdedifusinconstituye un tema evasivo y, eneste volumen, se brinda s610 un ejemplo, a saber, el de la experiencia acumulada con el trabajo realizado en ese sector por la Universidad Abierta del Reino Unido de Gran Bretaa e Irlanda del Norte. La discusin se centra sobre el material emitido dentro del contexto de los cursos bsicosde matemtica que proporciona la Universidad Abierta e incluye el lugar queocupanlosaudioylos videocasetes. Loque resultade especial inters, enloquerespecta a la efectividadde estos medios, es la conclusin de que las emisiones de televisin resultan de utilidad, mientras que las de radio no lo son. 0, para expresar la conclusin de manera ms clara, que el material transmitido por radio no constituye un sustituto del material escrito, pero que el material televisado puede, en ciertos casos, aventajarlo.

Este curso de matemtica de la Universidad Abierta es seguido por alrededor de 3.400 estudiantes y una caracterstica de su importancia, referida en el Captulo 5, es la riqueza de ejemplos de las secuencias de instruccinempkadas en el curso para ilustrar sus mtodos de enseanza. Se presentan, as, tres ejemplos del material empleado para preparar a los estudiantes para el curso, mientras que la secuencia titulada Funciones y Nmeros ilustra respecto a la forma como se combinan las audiciones de televisin, los audiocasetes y el material escrito. Se cita, finalmente, una secuencia para la determinacin de antigedad mediante el empleo del carbono que conduce a la definicin de ax para valores irracionales de x con la finalidad de transmitir el gusto del material post programa con el que concluye el curso.

Sigue el Captulo dedicado a Educacin Matemtica a Distancia. Basado en una experiencia realizada en Nueva Zelandia, logra una feliz yuxtaposicin con el captulo anterior en el sentido de que refuerza los resultados de la Universidad Abierta, a saber, que los estudiantes que dependen para su aprendizaje de lo que les trae el correo, tienen que pasar,

Inm&cci6n ll

casi invariablemente, por tres etapas de desarrollo intelectual: en primer termino un proceso de familiarizacin con una unidad de trabajo de manera de enterarse de lo relativo a lo que la Universidad Abierta llama orientaci6n; en segundo lugar, una etapa de trabajo activo para resolver una serie de problemas, etapa que la Universidad Abierta denomina experiencia; y en tercer lugar una etapa de terminacin, etapa que la Universidad Abierta denomina de dominio. Esta evolucin en tres etapas de la madurez matemtica ha influenciado fuertemente el material diseado durante los diecisis aos de enseanza de matemtica a distancia en Nueva Zelandia.

El Capitulo 7 puede ser mirado como un interludio en el sentido de que se refiere ms especificamente a la identificacin de talentos que a su atencin dentro de algn contexto extraescolar, apoyndose en la experiencia hngara la que, como se ha dicho, es especial en lo que se refiere a su preocupacin por la matematica extraescolar. De alli la relevancia de la contribucin de Ferenc Genzwein.

La Parte III concluye con tres capkulos relativos a la matemtica que se proporciona particularmente a aquellos de menor talento o a aquellos que perdieron sus oportunidades para aprender matemtica: matemtica en clases alfabetizadas, preparacin matemtica para cl trabajo y Matemtica en Familia. El primero de ellos est basado en la experiencia de Africa, Asia y el Caribe y cubre cuestiones tales como propsitos, valor social y educacional de las clases numkricamente alfabetizadas, mtodos de ensefianza, contenido curricular, consideraciones lingsticas y la evaluacin del progresode los adultos. De todo ello resulta una conclusin interesante: las clases numericamente alfabetizadas tienden a ser mantenidas en menor estima que las clases alfabetizadas, aunque ellas tienden a ser ms exitosas. El ideal es que ambos alfabetismos, literario y numkico, deberian ir de la mano para reforzarse, asi, mutuamente.

La Preparacin Matemtica para el Trabajo comienza con una pregunta desafiante: tque es trabajo? De la respuesta a esta cuestin depende la diferencia entre la matemtica utilizada en cl trabajo y la matemtica concebida como una disciplina. Es decir, que se contrasta la instruccin matematica en el trabajo con la instruccin dentro de un contexto institucional. Y ambas modalidades tienen sus propias ventajas y sus propios inconvenientes. Mientras que la principal preocupacin del Captulo apunta al empleado considerado a nivel operacional, se toman tambin en cuenta las necesidades del graduado que se incorpora a la industria, lo que conduce a una discusin corriente en Francia. El Capitulo concluye considerando cuidadosamente las tendencias en la industria y en el comercio y predice que sus necesidades matemticas aumentadn tanto en cantidad como en nivel de dificultad.

La Matemtica en Familia proporciona habilidades y confianza a aquellos grupos de estudiantesquereducensusfuturasopcioneseliminando,prematuramente,alamatemtica. Desarrollada en el Lawrence Hall of Science de la Universidad de California como parte de su programa dirigido a incrementar la comprensin y el gusto del pblico por la matemtica y por la ciencia, la Matemtica en Familia junta a padres e hijos en un intento por desarrollar las habilidades matemticas necesarias para la educacin futura o para el trabajo. Y mientras se ensea a los padres a ayudar a sus hijos en matemtica, se promueve una comunicacin ms estrecha entre los padres y la escuela.

La Parte IV est dedicada, como ya se ha dicho, a un nico caso de estudio, a saber, el de la matemtica extraescolar en Colombia, en el que se traza el desarrollo, a lo largo de cinco ahos, de un esfueno bien determinado y muy exi toso dirigido a influenciar los cursos de matematica escolar hacia una orientacin de resolucin de problemas. Lo que comenz en 1981 con una competencia matemtica organizada con carcter local en la capital del

12 Intmducci6n

pashacrecido~pidamentetransformndoseenunaaceptacinentusiastadelamatemtica como un estimulante mental disponible para todos los miembros de la comunidad, ya se trate de profesionales o artesanos, poblador urbano o miembro de una comunidad campesina aislada. Esta contribucin constituye una historia particularmente apropiada para cerrar con ella este volumen.

Parte 1

Actividades planificadas para los alumnos ms jvenes

1. Clubes de matemtica

Saulo Rada-Aranda

Las actividades extraescolares en matemtica tienen diversas finalidades, entre las cuales se pueden destacar las siguientes: Complementar la formacin matemtica que reciben nios y jvenes. Por lo general, el

proceso de adaptacin de los programas escolares de acuerdo con las nuevas tendencias en la enseanza de la matemftica, es lento. Las actividades extraescolares ofrecen una excelente oportunidad para que los participantes se familiaricen con tpicos novedosos y de actualidad.

Detectar estudiantes que poseen capacidad especial para el aprendizaje de la matemtica. En muchos pakes no existen mecanismos sistemticos que permitan descubrir estos estudiantes especialmente dotados y, si se detectan ocasionalmente, el sistema escolar no brinda medios eficientes para desarrollar y orientar a quienes poseen estas aptitudes.

Promover la matemtica a nivel de estudiantes, docentes y pblico en general. Tradicio- nalmente, buena parte de la poblacin escolar manifiesta un sentimiento de rechazo hacia el aprendizaje de la matemtica. Es conveniente que el nio y el joven tengan oportunidad de participar en actividades atractivas y significativas que contribuyan a despertar o estimular su vocacin en ramas cientficas y tcnicas y que no sea la matemtica un factor que limite negativamente en el momento de tomar decisiones para proseguir estudios superiores.

La forma ms sencilla de iniciar la realizacin de actividades extraescolares en matemtica, sin necesidad de una estructura organizativa complicada ni de costos elevados que obliguen a recurrir a un financiamiento externo significativo, es por medio de clubes de matematica, entendidos como asociaciones permanentes de nios y jvenes con una organizacin establecida que, orientados por asesores debidamente calificados, desarrollan actividades que contribuyen a la educacin cientfica y tecnolgica de sus miembros y de la comunidad (SECAB-Unesco, 1985).

Objetivos tpicos de un club de matemtica

Incrementai el inters de los jvenes hacia las ramas cientficas y tkcnicas, al proporcio- narles la oportunidad de desarrollar sus habilidades y destrezas a trav&s de actividades amenas que contribuyan a crear nuevos intereses en tomo a la matemtica.

16 Estudios en educncibn matemtica

Complementar la formacin matemtica que los estudiantes reciben en la educacin formal, al ponerlos en contacto con temas que, generalmente, no estin incluidos en los programas escolares y permiten al joven una mejor comprensin del papel que juega la matemtica en la sociedad.

Estimular la capacidad creativa, el esplritu de investigacin y la actitud critica entre los jvenes, al mismo tiempo que se desarrollan valores como la objetividad, la honestidad intelectual y el uso del pensamiento reflexivo y lgico en el anlisis de los problemas.

Propiciar el desarrollo de actividades y proyectos de interes comn, a traves de una organizacin que estimule el trabajo en equipo.

Mejorar la formacin matemtica de los estudiantes miembros de! club, lo que les permitid rendir mejor en sus estudios regulares y les ayudar5 a obtener una preparacin adecuada para seguir estudios superiores en los cuales se requiera de la matemtica.

Condiciones de ingreso y organizacin

La constitucin de un club de matem&ica puede deberse a la iniciativa de un profesor o de un grupo de estudiantes. En todo caso, al tratarse de una actividad mediante la cual se pretende captar el inter&de los participantes con un trabajo agradable, el ingreso a un club de matemtica debe ser voluntario y lascondicionesque en tal sentido se establezcan deben garantizar la igualdad de oportunidades de participaci6n para todos los interesados. Lo fundamental es que loa jvenes que se comprometan a participar ene! club tengan presente que se trata de una actividad nueva, sistemtica, que les demandad tiempo extra aparte de sus estudios regulares y disciplina en el cumplimientn de los estatutos y normas que se acuerden.

Si el club es promovido por un grupo de estudiantes, debedn contar con la ayuda y orientaci6n permanente de un profesor asesor. Este debed ser un profesional calificado, entusiasta y con formaci6n matemtica que permita avalar la seriedad del trabajo que se va a realizar.

Es importante tambidn que el club tenga el apoyo de una escuela o institucibn educativa que permita que los miembros dispongan de un sitio de reuniones, de una biblioteca y, eventualmente, de otros recursos materiales, asf como de la asesor-fa de personas con experiencia en estas actividades.

El grupo promotor puede designar una comisibn que se encargue de elaborar los estatutos que regitin las actividades del club. Estos debed ser suficientemente figiles y flexibles, ya que de lo contrario le pueden restar dinamismo al club.

Los estatutos deben establecer las condiciones a llenar por los aspirantes a ser miembros de! club (edad, nivel escolar, instituto donde curse estudios, etc.). Generalmente, los clubes de matem9tica estan destinados a jvenes estudiantes de secundaria ( 13 a 18 aos aproximadamente), y a veces a estudiantes universitarios. No obstante, se ha reconocido la importancia de impulsar este tipo de actividades a nivel de escuelas primarias y de institutos de formacin de maestros y se han formulado sugerencias en cuanto a la organizacin de los mismos y a las actividades que se pueden programar en dichos niveles (Srinivasan, 1983).

En los estatutos deber-5 establecerse tambin c6mo estar4 integrada la Junta Directiva de! club (v.gr. Presidente, Vicepresidente, Secretario y Tesorero), las responsabilidades de cada uno de los miembros de la Junta Directiva, el tiempo de permanencia en sus funciones,

cmo se va a elaborar el programa anual de actividades de la asociacin, la posibilidad de designar algunos cargos para responsables de tareas especificas (relaciones pblicas, coordinacin de otras actividades matemticas extraescolares como ferias, concursos y olimpadas matemticas, difusin de actividades del club, etc.).

TambiCn se precisadn los deberes de los miembros en cuanto a la asistencia a reuniones y actividades programadas por el club, cancelacin de cuotas peridicas, si es el caso, y otras. Asimismo, en los estatutos se pueden distinguir diferentescategoriasde miembros (activos, colaboradores, honorarios, etc.). Esto da la posibilidad de brindar un reconocimiento a matemticos, profesionales y otros integrantes de la comunidad que, de alguna manera, apoyen las actividades que programa el club.

La Comisin presentad el proyecto de estatutos que redacte al resto de los miembros quienes, con la orientaci6n del asesor, se constituirn en asamblea para considerar y aprobar dicho proyecto incorporando las modificaciones que consideren necesarias, y para elegir la Junta Directiva de! club.

Caractersticas de las actividades a realizar

Afindecumplircon losobjetivosque seproponeelclub, lasactividadesadesarrollardeben tener las siguientes caracterlsticas: Deben ser interesantes, amenas y de calidad cientfica. Esto permite garantizar que la

participacinactivadecada miembrodel club setiespontnea y nosujeta a ningnotro compromiso que no sea el contrakdo voluntariamente al aceptar los estatutos que rigen a la asociacin.

Deben tener un propuito educativo, de manera que contribuyan eficazmente al mejora- miento de la formacin matemtica de los miembros.

Deben ser variadas a fin de atender a las diferencias individuales de los miembros, tanto en lo relativo a grados de inters y maduracin como en lo que respecta a los intereses individuales, adems del intert% comn por la matemtica.

Deben tomar en consideracin las limitaciones de tiempo del grupo, de manera que el desarrollo de la actividad extraescolar no obstaculice la educaci6n formal de los miembros ni otros aspectos propios de la vida estudiantil.

Deben desarrollarse en un ambiente diferente al que prevalece en los estudios regulares. La relacin asesor-miembro del club es diferente a la tradicional profesor-alumno, ya que en la primera deben ser los miembros activos quienes tengan la mayor iniciativa y participacin en la programacin y desarrollo de las actividades.

Ejemplos dpicos de actividades de un club de matem;jltica

Estudiodetemusespeciakrdema&m4tk.Unadelasactividadesfnc!amentalesquesepuede desarrollar en un club de matematica consiste en el estudio de tpicos que no aparecen, por lo general, contemplados como temas b&icos de los programas. Estos tbpicos pueden ser desarrollados individualmente o por grupos, con la orientacin del asesor, y estadn adaptados a la edad y nivel de formaci6n de los miembros. El tratamiento que se c& a los temas puede basarse en actividades como resolucin de problemas, manejo de materiales concretos, aplicaciones a otras ciencias o a situaciones cotidianas y no tienen por quC ser

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18 Estudiar en C&UXC~&~ matemtica

objeto necesariamente de un estudio sistemtico. Los miembros pueden exponer posteriormente sus trabajos, con el apoyo del asesor.

La seleccin de los temas puede comprender algunos que son fuente rica de problemas y son tratados muy superficialmente en los programas tradicionales como geometrta y teorfa de nmeros, otros que sern de utilidad al estudiante en sus estudios posteriores: calculo, estudio de algunos aspectos bsicos de la matemtica actual (funciones y relaciones, estructuras, etc.), y esencialmente, aspectos de la matemtica que tienen mayor aplicabili- dad; probabilidades y estadstica, teorla de grafos, programacin linea!, clculo matricia!, matemtica financiera y otros. Un listado excelente con ejemplos de aplicaciones en la ensefianza y el aprendizaje de la matemtica en la escuela secundaria, puede verse en el informe de la reunin auspiciada por Unesco en Montevideo sobre dicho tema (Unesco, 1974).

Programadn & conferencias, foros, proyecciones. La realizacin de estas actividades constituye un medio importante no ~610 para satisfacer las expectativas e intereses de los miembros, sino tambin para proyectar la accin de! club hacia la comunidad. Las conferencias y los foros pueden ser programados individualmente o por ciclos, y en los mismos deben participar maternaticos y otros profesionales que usen la matemtica como herramienta de trabajo. Se sugiere que los temas a desarrollar sean lo suficientemente generales e interesantes como para despertar la motivacin del mayor nmero de asistentes; por ejemplo, aspectos relativos a la historia de la matemtica y a la vida y obra de matemticosnotables, problemasde matemtica recreativa, relacionesentrela matemtica y el arte, importancia de la matemtica para el desarrollo de los pueblos, los requerimientos matemticos de la sociedad futura, la matemtica y la msica. Tambien pueden abordarse aspectos relativos al mtodo de la matemtica y la ciencia: tipo de razonamiento que se usa en la matemtica y en las ciencias naturales, la creacin matemtica, cmo estudiar matemtica, nociones elementales de lgica matemtica, cmo plantear y resolver problemas, etc.

Las proyecciones de pelculas, videos, diapositivas y otros audiovisuales pueden contribuir tambien a fomentar el inters por la matemtica en la comunidad donde ejerce su accin el club. Para que cumplan cabalmente con este objetivo, las proyecciones deben planificarse con suficiente anterioridad y debe preverse un periodo de tiempo que permita exposiciones adicionales, asl como preguntas y respuestas. Actualmente hay muchas instituciones que disponen de estos recursos. Los miembros del club pueden dirigirse a institutos educativos, centros de recursos para el aprendizaje, departamentos de tecnologia educativa, embajadas y otros que pueden ofrecer aportes.

Grupos de estudio para participar en otras actiwidades maem4tia.s exmesccilares . La estructura de los clubes es la ms sencilla de las diferentes actividades extraescolares, por lo cual pueden ser el punto de partida para la organizacin de ferias escolares y olimpadas matemticas, entre otras actividades. Asi, el club puede promover una feria matemtica, en la cual los miembros, con el apoyo y orientacin de! asesor, expongan y discutan entre sI los trabajos realizados.

Tambin el club puede auspiciar la realizacin de olimpiadas matemticas, bien a nivel delaescuelaoconlaparticipaci6ndeestudiantesdeotrosi~ti~tosenl~cualesfuncionen clubes semejantes. Para esto, el asesor puede organizar cursos y talleres de entrenamiento sobre resolucin de problemas matemticos dirigidos a todos los miembros interesados en

Clubes de matemtica 19

participar en estas competencias, con diferentes niveles en base a las edades y al grado de instruccin de los estudiantes. Estos cursos proporcionan adems un magnifico refuerzo al joven en sus estudios formales, por cuanto le ayudan a adquirir destrezas y habilidades para enfrentarse a situaciones nuevas, matemticas 0 no matemticas.

Organiwcin de una biblioteca. Es importante que el club de matemtica posea una pequefia biblioteca, con libros y revistas diferentes a los textos escolares tradicionales. Al iniciar sus actividades, el club debeti adquirir algunas publicaciones, probablemente por medio de la escuela o de la institucin que apoya a la asociacin. Uno de los miembros del club puede ser responsabilizado del buen uso y funcionamiento de la biblioteca, aslcomode realizar las diligencias que sean necesarias para ir ampliando los titulos originales a travs de aportes de los miembros, del presupuesto del club y de colaboraciones externas que pueda gestionar.

Publicacibnde una revista o boktfn. El club de matemtica debe difundir las actividades que realiza, no ~610 dentro de la misma comunidad escolar en la cual funciona, sino tambin debe dar a conocer sus logros a nivel de otros clubes que tengan intereses similares, asfcomo a matemticos,educadores,onosprofesionaleseinstitucionesquepuedan,eventualmente, ayudar para la buena marcha del programa de trabajo.

En ta! sentido, se deben preparar informes, programar visitas al club y, sobre todo, disponer de un rgano de difusin, revista o boletn, el cual puede ser muy sencillo en sus inicios, que permita mantener peridicamente informadas a todas las personas y grupos interesados sobre el funcionamiento del club. A travs del boletn se puede establecer intercambios de experiencias con clubes semejantes, tanto del pas como del exterior. Es conveniente que unode los miembros del club se responsabilice del boletn, con la asesora correspondiente.

Takr de matemtica. En una etapa ms adelantada, los miembros del club podran estar interesados en instalar un taller o laboratorio de matemtica. All los estudiantes, con asesora conveniente, tienen la posibilidad de elaborar materialespara visualizar y verificar conceptosy propiedadesmatcmticas,locual esparticularmentetilenciertos temascomo los geomtricos y, a la vez, puede servir de apoyo para la elaboracin de proyectos a ser presentados en ferias, concursos y otras actividades matemSticas extraescolares.

Adems, se podran construir materiales didcticos de provecho tanto para la propia escuela como para otros institutos educativos.

Evaluacin

De acuerdo con los objetivos del club, es importante ver en qu forma las actividades realizadas se traducen en un cambio favorable de las actitudes de los miembros hacia la matemtica y, por ende, cmo repercuten en un mejor aprovechamiento en sus estudios regulares. Para esto, serS de gran utilidad contar con una ficha persona! de cada uno de 10s miembros, en la cual se registren sus antecedentes previos a la participacin en el club asf como los rasgos que se vayan observando y evaluando posteriormente.

Al igual que en el resto de las actividades matemticas extraescolares, es preciso ver hasta qu punto el joven ha sido capaz de participar activamente en un proyecto, poniendo de manifiesto su creatividad y actitud crkica; de igual forma se debe constatar si ha

20 Estudios en educacin matmmtica

aprendido a trabajar armoniosamente en equipo con profesores y compaeros y si ha desarrollado o consolidado valores fundamentales en cuanto a colaboracin, disciplina, responsabilidad y tenacidad. Estos son algunos de los aspectos en los cuales el asesor debed poner especial atencin en el momento de evaluar el desarrollo de conductas deseables en los jvenes participantes en base al trabajo realizado.

Con respecto al plan de actividades del club, ste puede ser evaluado por medio de los trabajos que han llevado a cabo los integrantes as como por la participacin de los mismos en ferias, olimpadas matemticas y otras actividades extraescolares.

La evaluacin que se realice del club debe ser difundida. Esto, adems de contribuir a consolidarlo, provee retroalimentacin para futuros planes de trabajo. La difusin puede hacerse a travs del boletn y en convenciones de clubes de matemtica, donde se pueden intercambiar experiencias con otros grupos que persiguen los mismos fines a n-aves del anlisis y discusin, con la orientacin de especialistas, de temas que redunden en beneficio de sus respectivas asociaciones.

Referencias

SECAB-Unesco. 1985 Manual para el fomento de las actividades cientfm y tecnolbgicas juveniles. Bogot, Secretara Ejecutiva Permanente del Convenio Andrs Bello.

SRINIVASAN, P. K. 1983. Desarrollo de! ambiente matemtico a travs de clubes de matemtica. En:R. Morris (editor), Estudioseneducaci6nmatemtica.Vo1.3,pp. 295- 301. Montevideo, Oficina Regional de Ciencia y Tecnologla de la Unesco para Amrica Latina y el Caribe.

Unesco. 1974. LaS aplicaciones en fa enseiirmza y el a@endizaje de la nwtem&ica en la escr4ek1 S~~XUU&U. Montevideo, Oficina Regional de Ciencia y Tecnologa de la Unesco para Amrica Latina y el Caribe.

2. Campamentos matemticos

Barbara Rabijewsku y MieczyskzwTrd

La habilidad de un docente para dar y recibir respuestas adecuadas a preguntas planteadas y contestadas, parece constituir una habilidad tan fundamental como necesaria para lograr una enseanza efectiva, ya que ambos recursos estimulan el desarrollo del conocimiento de los alumnos mejor dotados, Pero tal desarrollo no est determinado solamente por los mtodos de enseanza, sino que puede ser mantenido, tambin, mediante tcnicas especficas de interaccin, por la propia organizacin del proceso didctico o, en otras palabras, a naves de un refuerzo de las estrategias de enseanza ms relevantes.

Las necesidades y los intereses de los alumnos -que motivan y estimulan sus esfucr- zas- pueden cambiar a medida que se desarrollan y pueden, tambin, cuando se les gua con habilidad, estimular la actividad de los alumnos, favoreciendo la voluntad de empren- der y de realizar tareas que, de otra manera, podran resultarles realmente difciles de acometer. Y son, precisamente, los factores de motivacin los que favorcccn el desarrollo deseado de las habilidades de los alumnos desde el estado innato a la situacin dc bien desarrolladas. Para asegurar condiciones favorables de desarrollo a 10s alumnos mejor dotados, se hace necesario, como una norma, poner especial cuidado, no solamente en las actividades normales del aula, sino, tambien durante la realizacin de actividades extraescolares, actividades que pueden adoptar diversas formas. As, por ejemplo, puede lograrseel progresomcdiantecl trabajodeequipoenlosclubcsde matemticaoencrculos de inters matemtico. Y un tal progreso puede ser logrado de mejor manera en los campamentos de matemtica o en las escuelas de matemtica de verano.

En los Estados Unidos se introducen en el aula tcnicas especficas, al margen de las actividades extraescolarcs entre las que se cuentan, por ejemplo, una atencin especial a los alumnos ms capaces. Y este temperamento implica una seleccin cuidadosa del materia! de aprendizaje y la adopcin de mtodos de enseanza que resulten apropiados para atender tanto las necesidades como las habilidades de los alumnos mejor dotados. Adems de ello se les proporciona, despus de la escuela, clases especiales en los clubes escolares o en las universidades. Y cuando llegan las vacaciones se organizan clases especiales en las escuelas de matemtica de verano o en los campamentos de matemtica destinados al grupo seleccionado de alumnos ms capaces (Hoyle y Wilks, 1974).

A su vez, en la Unin de Repblicas Socialistas Soviticas existen escuelas secundarias con pensionado patrocinadas por las Universidades de Mosc, Kiev, Leningrado y Novosi-

22 Estudios en eduucih matemtica

birsk y destinadas a alumnos particularmente dotados para ciencia. Las escuelas de verano para matemticas, que comenzaron a funcionar en 1963, colaboran en la identificacin de alumnos que pueden asistir a las escuelas con pensionado (Volkov y Rubinov, 1970) y (Vavilov y Zemiakov, 1979). Se organizan, tambien, campamentos maternaticos para nifiosprovenientesdelascomunidades rurales (Gorbunova ycolab., 1975).Tanto!oscam- pamentos como las escuelas de verano tienen por finalidad desarrollar el inte& por la matemtica, desarrollar habitos de autoconfianza en el trabajo, desarrollar habilidad para resolver problemas no convencionales, ampliar el alcance del conocimiento y desarro!!ar la apreciacin esttica de la matemtica.

Se han realizado en Checoslovaquia asf como tambien en la Repblica DemocrMca Alemana. Por ejemplo, en el distrito de Kosice, en Checoslovaquia, se eligen los participantes de! campamento entre aquellos alumnos de mejor actuacin en la resolucin de los problemas que se les envian, mensualmente, en grupos de seis problemas por vez. Yen la Repblica Democmtica Alemana se utilizan los campamentos matemticos para preparar a futuros participantes en olimpfadas matemticas.

En la regin sudoeste de Polonia se han organizado varios campamentos matem5ticos para alumnos de 13 y 14 aos de edad. Estos campamentos comenzaron en 1978 y se organizan con la idea de incrementar y de profundizar el intert% de los participantes por la matemtica. Y, adems de estos, se organizaron otros campamentos matemticos.

En 1974 se estableci, en el distrito de Zielona Gora, de Polonia, el llamado Club Piegoras destinado a los jvenes maternaticos. Los objetivos de este club (que resultan igualmente pertinentes para los campamentos matemticos) son los siguientes: Desarrollar los intereses y las habilidades de sus miembros.

Alentar el pensamiento creativo y original. Incrementar la autoconfianza en el pensamiento y en el trabajo. Elaborar un sistema apropiado para seleccionar alumnos matemticamente bien dotados. Ampliar el bagaje de conocimientos de sus miembros. Preparar para una educacin posterior en escuelas de nivel secundario orientada hacia la

matemticaylaffsica,paraestudiosdenive! universitarioenmatematicayeneconomfa y en facultades politcnicas universitarias.

Formar una conducta socialmente aceptable. Los miembros del club participan en una variedad de actividades, entre ellas las siguientes: Tomar clases en equipo, tales como actividades que conducen a matemtica, a rompe-

cabezas, semi-seminarios y torneos matemticos.

Las tareas asignadas corresponden a los aos escolares que cursan los miembros del club, e incluyen el desarrollo de temas asignados, la redaccin de trabajos breves, la resolucin de problemas y la participacin en torneos y en competencias.

Organizacin de sesiones a las que invitan cientficos provenientes de universidades y de institutos de investigacin.

Realizar trabajos individuales que puedan conducir a la obtencin de una medalla del Club Pitgoras.

Lectura de publicaciones de popularizacin de la ciencia y revistas matemticas. Participar en viajes matemticos y en expediciones. Asistir a actos culturales y de diversin.

campamentos-s 23

La incorporacin de los miembros al Club se hace de acuerdo a sus logros en las tareas escolares, a las recomendaciones de sus profesores de matemtica y est sujeta a la aprobacin del formulario de solicitud de ingreso por parte del director de la escuela. La incorporacin al Club est limitada para alumnos de escuelas primarias y secundarias de edades comprendidas entre los 12 y los 18 aos. Algunos trabajan en equipos en los locales del Club y otros figuran como miembros correspondientes.

El Club Pitgoras mantiene relaciones amistosas con un club de la regin de Cottbus de la Repblica Democdtica Alemana, las que permiten el intercambio de ideas, de puntos de vista y de experiencias de trabajo con alumnos matemticamente bien dotados. Y se mantiene, tambin, un intercambio mutuo de miembros cuando se organizan olimpadas, competencias 0 campamentos matemticos.

Es necesariosealarque los campamentos matemticos tienen una relacin importante con las actividades diarias del Club, de manera que el trabajo del Club se contina en los campamentos matemticos. Y, recprocamente, las actividades del campamento tienen implicaciones en las actividades que el Club desarrolla en el ano escolar siguiente.

El primer campamento matemtico para miembros del Club se organiz en junio de 1975. Y cada ao, varios miembros de equipos determinados y de grupos de edad determinada toman parte en las actividades del campamento, dndose prioridad a los mejores alumnos de un equipo dado.

Las autoridades locales de educacin patrocinan los campamentos, compartiendo sus gastos y los participantes de un campamento cubrir-arr entre un 6 y un 50 por ciento de los gastos, de acuerdo con la entrada familiar.

Un campamento tiene una duracin de alrededor de diecisiete das. Y como el aloja- miento y dems comodidades se brindan en el mismo lugar, la organizacin de las actividades didcticas y dems actividades no ofrecen dificultades; solamente la sala de lectura y la librerade referencia tienenqueestar instaladasala iniciacindel campamento.

La Tabla 1, que sigue, muestra el nmero de asistentes a los campamentos.

Tabla 1. Nmero de miembros del club que asisten a los campamentos matemticos

Edad 1975 1976 1978 1979 1980 1980 1981 1982 1983 1984 1985 13-15 53 78 64 - 30 44 56 68 - 65 602 16-18 p - - 65 - 31 18 - 57 - -

Incluye once alumnos provenientes de la Repblica Democrtica Alemana. Excluye doce miembros que asistieron a un campamento en la Repblica Democrtica Alemana.

Antes que un campamento comience a funcionar deben estar resueltas todas las cuestiones relativas a su organizacin. Se disea, asimismo, la estructura del programa a desarrollar. Se forman distintos grupos con los asistentes al campamento los que, a su vez, se subdividen en equipos de acuerdo con sus intereses y habilidades.

Fue costumbre, durante varios aos, dividir a los participantes en tres grupos, Alfa, Beta y Gamma, los que a su vez, se subdividan en tres equipos. Se designaba a los nueve equipos con nombres tales que sus iniciales podan formar el nombre Pitgoras, tal como se escribe en polaco y como se indica a continuacin:

24 Esrudim en edwzci6n mawm&ico

P entagrama 1 deal T oro A xioma G rupoide 0 perador R adin A baco S implex

En los ltimos tres afios se introdujeron algunos cambios. Los participantes de! cam- pamentosedividen,ahora,encuatrogrupos,Alfa,Beta,GammayDeltaycadaunodeestos grupossesubdivideendosequipos,recibiendocadaunodeestosequiposnombresdecurvas: Asteroide, Cicloide, Cardiode, Leminescata, Nefroide, Roseta, Strofoide y Tractrix. La divisin en pequeos equipos de siete a ocho alumnos result una medida beneficiosa ya que ello permiti una mayor y ms independiente participacin de los integrantes en su trabajo matemtico. Los equipos eligen sus Ilderes, llamados capitanes, los que constituyen el consejo del campamento.

Lasactividadesquesedesa~ollanenelcampamentomatemticodirigidasa!salumnos ms capaces se agrupan en tres categorias: matemtica, cultura, entretenimiento y deporte, turismo y recreacin, considedndose cada categor(a en el mismo nivel de importancia. El programa de nueve horas diarias se divide en cuatro sesiones: de 9 a 13 horas; de 14:30 a 153O;de 16:30a 18:30yde 20a 21:30. Deestas nueve horas, alrededordecuatrosededican a matemtica, una y media a cultura y entretenimiento y tres y media a deporte, turismo y recreacin. La primera sesin del dia se dedica casi enteramente al trabjoen matemtica.

A la luz de la experiencia recogida se desarrollaron y se mejoraron ciertos metodos y formas de actividad, llegndose ahora, a un conjunto de veinticinco actividades que resultaron las ms efectivas para los alumnos ms capaces (Rabijewska y Trad, 1985~). En la sesin siguiente se describen brevemente estas veinticinco actividades, pero es necesario tener en cuenta que este conjunto de actividades se enriquece constantemente.

Detalle de las actividades del campamento

Reuniones de cientfiis protientes de unioersidades y de institutos de investigacibn. Las reuniones entre cientlficos universitarios y participantes del campamento adopta la forma de una conferencia o de una charla sobre algunos problemas matemticos interesantes, las que, como es natural, se adaptan al nivel de conocimiento de los participantes. El propsito del conferencista es desarrollar el inter& de los alumnos por la matemtica y exhibir sus atracciones intelectuales. Resulta de gran importancia la personalidad del orador, aslcomo el estilo de presentacin y la eleccin de problemas particulares. La idea es despertar un mayor inter& por los problemas que se estn discutiendo.

VeladBs mutem&iw. Las veladas maternaticas estn destinadas a presentar a la matemtica como un medio de entretenimiento. Tales veladas estin divididas, corriente-

mente, en dos partes. La primera de ellas puede incluir historias, trozos curiosos de informacin, discusiones, una conferencia o una reunin interesantes o la reunin con un matemtico bienconocido. La segunda parte se dedica, corrientemente, a trucos matemM- cos, juegos con nmeros, sofismas, ejemplos de clculos rpidos, poemas, ankdotas o presentacin de escenas que incluyen matemtica. Durante las veladas matemticas, los alumnosmsjvenessefamiliarizande manerainformalconvariasramasdelamatemtica.

Concursos murem&cos. Un concurso matemtico es una competencia que se realiza en presencia de pblico. De doce a diecisis alumnos participan en 6l mientras que el resto observa. Los que participan en el concurso deben resolver un conjunto de problemas especialmente preparados. El concurso puede dividirse en doso tres etapas con la finalidad de permitir que un mayor nmero de personas pueda participar activamente entl. Adern&, empleando tres o cuatro pizarrones se posibilita que varias personas puedan tratar simult- neamente las mismas cuestiones. Una vez finalizado el concurso, un jurado adjudica puntos a los participantes.

RompecabezpJ . Rompecakas es el nombre que se emplea para designar ciertos tipos de clases que pueden ser realizadas en grupos o con la totalidad de la clase. La finalidad de estas clases es complementar, mediante explicaciones adicionales, los problemas discutidos en las reuniones realizadas con cien tlficos provenientes de la universidad o de institutos de investigacin. Esta actividad puede desarrollarse, tambien, en clases separadas dedicadas a un determinado problema.

Semi-seminurius. En los semi-seminarios, los alumnos toman la palabra y presentan sus comentarios respecto a algn tema que les haya interesado. Se organiza esta actividad con la finalidad de alentara los alumnos para que lean libros de popularizacin de la ciencia, revistas o peridicos que se ocupen de matemtica, acostumbr5ndolos, a la vez, a trabajar independientemente con textos matemticos o alendndolos a conseguir libros para su propia biblioteca matemtica. Para el que presenta su informe, el nico criterio para la eleccin del tema es su habilidad para despertar el inters de los oyentes. Los temas presentados por los oradores, que muchas veces constituyen curiosos fragmentos de informacin, resultan, con frecuencia, realmente muy interesantes. Previamente a la presentacin, el alumno registra en la cartelera su nombre, el problema a tratar en el semi- seminario, y una bibliografa.

Presewcibn de ukas. Es esta una forma de actividad que busca estimular un mayor conocimiento de ciertos problemas maternaticos, asf como de las formas en que pueden tratarse. La metodologfa empleada en estas clases implica la creacin de situaciones en las que se ensea a los alumnos a imaginar y a formular un problema nuevo en base a otro problema que ya hancomprendido y resuelto. La idea perseguida es desarrollar en el alumno la habilidad para formular problemas con un nivel de dificultad cada vez mayor. Se espera que, de esta forma, su actividad matemtica se aproxime a la de un matemtico creativo. En resumen, con esta actividad se pretende desarrollar habilidades queayuden a estructurar el pensamiento creativo de un alumno.

Textos guks . Se emplean estos textos en los campamentos matemticos con la finalidad de hacer posible a los alumnos la resolucin de un problema difki! o la demostracin de un

26 Estudim en txiucazibn rnamndica

teorema con la ayuda de elementos claves para tales soluciones o demostraciones. Se incluyen los elementos claves en la parte inferior de hojas de papel separadas y numeradas; el alumno presenta la solucin completa del problema o la demostracin completa del teorema, arreglando los elementos claves en el orden adecuado. Un conjunto de tales hojas puede contener los elementos claves de varios problemas propuestos o de teoremas que deben demostrarse, y todo ello dentro del mismo conjunto temtico o en los que se utilizan los mismos smbolos matemticos. Los problemas para los textos gulas deben ser cuidadosamente elegidos de manera de incluir, fundamentalmente, problemas cruciales o difkiles, cuyas soluciones puedan lograrse mediante la utilizacin, precisamente, de los textos gulas.

Club olfmpico. El club olmpico es una actividad dirigida a preparar alumnos para que participen en competencias, torneos o en olimpfadas matemticas. Durante las reuniones del club se discuten, en forma completa, diversas maneras de resolver un problema, prestando especial atencin a los problemas de naturaleza metodolgica. Se espera, con ello, que los alumnos adquieran algunas competencias fundamentales y que lleguen a conocer y a poner en pdctica aquellas formas de proceder tpicas que aparecen como indispensables para todo trabajo que se les plantee.

Juegos muternkicos. Son juegos con contenido matemtico y sus reglas no estn basadas en las estructuras matemticas corrientes lo que hace que la estrategia ganadora pueda depender del descubrimiento de una propiedad de una cierta estructura o de la resolucin de algn problema matemtico; esa estrategia puede depender, tambin, del uso adecuado que pueda hacerse de un conocimiento anteriormente adquirido. Se considera la actividad de los alumnos desde el punto de vista de los caminos que buscan para llegara una estrategia exitosa. Lafinalidadde losjuegosestdirigida aalentar tantolaactividadintelectual como el inters en la teora. Y en el deseo de triunfar se sita, a menudo, la motivacin de los participantes.

Consultas durunre las horas de trabajo. Durante las horas de trabajo, los profesores estn disponibles para aclarar cualquier dificul tad que se le pueda presentar a un alumno. Asi, por ejemplo, un alumno puede haber sido incapaz de seguir la argumentacin empleada para llegara un resultado particular durante una competencia matematica y, en ese caso, puede preguntar cualquier duda que tenga o discutir cualquier problema que le interese y con el que ha tenido dificultades. La finalidad de tales consultas es guiar al alumno en forma individual, sirviendo, a la vez, para estimular y para desarrollar sus intereses y sus habilidades.

Auenrura con matemtica. La aventura con matemtica es una actividad que se realiza, normalmente, al aire libre y que tiene, generalmente, cankter de competencia. Diferentes equipos de alumnos compiten entre ellos con la finalidad de ganar el mayor nmero de puntos. La asignacin de puntos se hace en base al xito logrado en la solucin de problemas, con la ayuda de objetos tales como cuadrados, cubos, varillas, dados, piezas de ajedrez y materiales concretos semejantes.

Marchas denominadas Deportes y Maremtica. Las marchas en grupos denominadas Deportes y Matemtica combinan diversiones con actividad matemtica. Durante la marcha, equipos particulares realizan tareas de habilidad a lo largo de la ruta, resolviendo, tambin, diversos problemas de matemtica.

campalnentosmatemrItims 27

EI juego de cuzp. Esta actividad se organiza dentro de un rea claramente delimitada de un bosque. Los integrantes de! equipo que se esconde van primero al bosque y disimulan su escondite lo mejor que pueden. Y los miembros del equipo de bsqueda se ponen en camino ms tarde a la bsqueda de! primer equipo. Si encuentran a alguien, el que lo loca!iz le plantea un problema. Si ste resuelve el problema pierde un pequefio punto, pero si falta en la solucinde! problema pierde, entonces, un punto mayor. El equipo ganadores aquel cuyos miembros logran la mayor cantidad de puntos mayores. Es frecuente, sin embargo, que los puntos pequeos resulten decisivos. El equipo de bsqueda tiene que plantear los problemas que tendm que resolver el equipo que se esconde.

Matemtica y OTOS. Esta actividad requiere una cierta habilidad fsica. Los alumnos tiran aros para acertar en postes dispuestos en forma conc&nrica. Y, al mismo tiempo, se ocupan de resolver problemas interesantes de matemtica.

&npemn&matermiricaporeqtipos. Unequipodealumnosresuelveproblemastomados de un conjunto de problemas preparados antes del comienzo de la competencia. Los problemas pueden ser resueltos por un equipo completo, por grupos menores, o por miembros individuales. Al trmino de la competencia, el equipo presenta las soluciones obtenidas.

LigumBtemtica. Algunos equipos formulan y plantean una sucesinde problemas y los proponen al equipo rival para que los resuelva en un plazo determinado.

Purtido matemdtico. Con una anticipacin no menor de una hora, previa al partido, se les propone a los equipos un conjunto de problemas que tienen que resolver durante el partido. Para los problemas que se proponen existe una probabilidad del 75 por ciento de ser resueltos por los equipos. El partido se desarrolla, generalmente, frente a una audiencia y tres rbitros adjudican pblicamente los puntos que cada solucin merece.

Cfrcu!o y cruz. Este juego, tambien denominado tres en raya, resulta ms adecuado para dos alumnos o para dos equipos y, en ambos casos, puede desarrollarse con pblico o sin el. El grupo de problemas destinados a este juego se divide en nueve grupos temticos, a saber, problemas de construccin, vectores, teorfa combinatoria, funciones, problemas geomtricos con demostraciones, rompecabezas lgicos, desigualdades numricas, anlisis de figuras geometricas y divisibilidad numrica. Las reglas que rigen el juego son las mismas querigenel tresen raya. Unalumnoo unequiposolicita unproblemade unode losnueve grupos temticos. Si resuelven el problema, se marca un clrculoo una cruz en el espacio que representa el grupo temtico particular de problemas. Y el juego termina con un alumno o un equipo ganador que logra una linea con tres crculos o con tres cruces marcadas vertical, horizontal o diagonalmente.

Probkmas maremkkos enunciudos en knguujes extranjeros. En esta actividad se le proponen a alumnos individuales, a gruposdealumnos oa equipos, problemas u otros textos matemticos redactados en un lenguaje extranjero. Estos textos deben traducirse a la lengua materna y deben resolverse los problemas que pueden aparecer en ellos.

28 Estudios en educmi6n macem&icn

Competencia por pares de alumnos. Se plantean problemas para ser resueltos por dos alumnos, pero la solucin que se presenta debe ser acordada en comn.

Competencias indio&des. Las competencias individuales y las olimpadas son pruebas de habilidad individual en las que los participantes estn obligados, y sin ninguna clase de ayuda, a resolver un conjunto dado de problemas hacindolos bajoel control de un jurado. Estas competencias individuales proporcionan una experiencia til a aquellos alumnos que esperan ser seleccionados para participar en la competencia mayor.

Competencias masters. Aquellos que han logrado una mejor actuacin en una compe tencia individual se consideran masters y, en consecuencia, compiten con otros en competencias ms importantes denominadas competencias masters.

Problemas del dia. Un problema denominado problema del da se presenta en la cartelera y debe ser resuelto dumnte el da. Los alumnos que resuelven el problema toman parte en una lotera y el poseedor del billete ganador recibe un libro como premio.

Formducin de problemas. Los alumnos compiten entre ellos imaginando y formulando problemas y aquellos problemas adecuadamente propuestos se publican en la cartelera.

Canekra mutetiica. La cartelera no s6lo proporciona informacin a los alumnos del campamento, sino que proporciona, tambin, una cierta cantidad de contenido matemtico preparado con fines didcticos.

El conjunto de veinticinco formas de actividad que se termina de presentar puede clasificarse de acuerdo a varios criterios y puede analizarse desde diferentes puntos de vista. No se incluyen ejemplos ilustrativos relevantes de actividad matemtica, dado que tales ejemplos pueden encontrarse en un estudio separado (Rabijewska y Trad, 1985b). La lista de las formas de actividad sugeridas como adecuadas para trabajar con los alumnos mejor dotados est, evidentemente, lejos de ser completa. Ello implica que debe mantenerse una investigacin continua en bsqueda de actividades nuevas y ms atractivas para incluir en el currculo del campamento, dado que su nico propsito es incrementar los intereses y las habilidades de los alumnos. En consecuencia, las innovaciones se introducen ao a ao; se dan ejemplos, en lo que sigue, de nuevas formas de actividad introducidas en el campamento en los aos 1984 y 1985.

Ho& matemtico. Los objetos que caracterizan esta forma de actividad en el campamento son discos de cartn semejantes a los usados en el hockey sobre hielo. Los discos estn numerados y los tiene el rbitro jefe. Estos discos de cartn llevan escrito problemas dematemticadecarjcter nocorriente. Ene1 juegointervienendosequiposdeseisalumnos (tres forwards, dos backs y un guardameta) y cada equipo puede tener jugadores de reserva que pueden ser sustituidos durante cl juego. El capitn del equipo entrega el disco y le dice su nmero al equipo contrario. El disco pasa sucesivamente a los forwards, los backs y al guardameta, permitindosequecada jugador lo tenga durante30 segundossolamente, lapso durante el cual se espera que el equipo resuelva el problema. Dos rbitros evalan la solucin. Si ninguno de los jugadores resuelve el problema, el equipo contrario anota un punto y si lo resuelve, el equipo contrario no anota ningn punto. A continuacin, el

campamentos - 29

capitn del equipo contrario sirve el disco y sigue asI, repitindose el proceso hasta el fin del juego. Un silbato interrumpe el partido o indica que el disco debe ser pasado al otro equipo. El arbitro puede separar por un lapso de 2 a 5 minutos a todo jugador de actuacin incorrecta, 0 que instigue 0 moleste a un jugador 0 a un partidario de uno de los equipos. Se registra a todo jugador que se revele como un destacado solucionador de problemas.

Matenuftica d aire /ibre. Esta actividad comprende tareas pticticas que implican, fundamentalmente, trabajo al aire libre. Por ejemplo, se les pide a los alumnos que midan la distancia que han recorrido para determinar, asl, su velocidad media de marcha. Pueden calcular, tambien, el ancho de un rlo o la altura de un rbol o estimar la distancia a algn punto distante o calcular el nmero aproximado de rboles en el bosque. Otra posible tarea puede consistir en el trazado de un mapa o en la confecci6n de un plano.

Matemtico-Departe. Los principios de esta actividad son similares a los de matemtica y aros, con la diferencia de que en vez de arrojar aros, los alumnos emplean pelotas, dardos o bolas para tirar a determinados objetivos.

Informes sobre trubujo indiuidual. Se le solicita a los alumnos que preparen informes escritos sobre el trabajo individual que han realizado en matemtica durante el afro escolar 0 en un campamento.

Trubujo en unu sala de lectura. Se aconseja a los alumnos que trabajen solos en la sala de lectura como una forma de estar bien preparados para las clases. El tutor o los alumnos designados a tal fin informan a los participantes del campamento acerca del material disponible en la sala de lectura, incluyendo informes y diarios de todos los campamentos precedentes. De esta manera, los alumnos adquieren experiencia para extraer informacin de libros o de otros materiales de referencia.

Dado que los participantes del campamento son tambin miembros del Club Pitgoras de Jvenes Matemticos, todas las actividades del campamento significan una extensin de las actividades del Club. Una cuidadosa eleccin de actividades acrecentar& en gran medida, los intereses y las habilidades de los alumnos y las actividades atractivas y estimulantes motivadn y anima& a los participantes del campamento. Actividades tales como semi-seminarios, consultas durante las horas de trabajo, informes sobre el trabajo individual, trabajo en la sala de lectura, competencias individuales, participacin en programas de preguntas y respuestas y el planteo de problemas desarrollan la confianza en si mismo, mientras que el estudio de libros de matemtica y de revistas robustece la autoseguridad. Las competencias por equipos, los partidos de matemtica, el hockey matem5tico, las competencias por pares de alumnos y cruz o nada, ensefian a los participantes del campamento cmo cooperar o cmo competir entre ellos. Y en caso de tener xito adquieren una sensacin de autoconfianza y de satisfaccin. Las reuniones con cientficos universitarios y de institutos de investigacin, asi como las veladas matemticas contribuyen a familiarizara los participantes del campamento con la matemtica. Otras actividades, tales como aventuras con matemtica, deportes y matemtica y juegos matemticos tienen la doble finalidad de ensear y de entretener. Pero, y como es natural, todas estas actividades estn subordinadas a la finalidad principal que es la de desarrollar

30 Estudios en ehcaci6n matemhtica

y de reforzar los intereses y las habilidades matemticas, asi como la de desarrollar una conducta socialmente aceptable.

Cuando termina el campamento y los participantes regresan a las actividades escolares diarias, utilizan las experiencias del campamento asl como el conocimiento adquirido en el trabajo normal del aula. Tanto la metodologfa como las formas de trabajo planificadas yverificadasenuncampamentocontribuyendeformaapreciablealprocesodidcticodesa- rrollado en el ao escolar siguiente.

Los tutores del campamento son estudiantes provenientes de institutos de matemtica que se estn formando para ser profesores despus de graduarse. Y al trabajar en los campamentosmatemticosconalumnosbiendotadosadquierenunaexperienciadidctica que, muy probablemente, les resultar muy til en su trabajo futuro. Las reuniones con cientficos universitarios y de institutos de investigacin son provechosas tanto para los participantes del campamento como pan los tutores.

Referencias

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3. Competencias y olimpadas matemticas

Samuel L . Greiter

Algunos jvenes encuentran en las actividades atl&icas una salida para su exceso de energa, otros pueden encontrarlas en la msica o, quizs, en el ajedrez. Existe, sin embargo, un nmero sorprendente de jvenes para quienes la resolucin de problemas matemticos ocupa el lugar de aquellas actividades o de otras similares. Los diarios y las publicaciones peridicas pueden ser los proveedores de tales problemas, pero existen, adems, competencias matemticas con diversos grados de dificultad. Un ejemplo de stas, lo constituyen las Competencias Etvs, que se realizan en Hunda desde 1894. Otros ejemplos son las denominadas Pruebas de Conocimiento, que se realizan en el Reino Unido y IosConcours franceses. Se utilizaban estas pruebas para seleccionar el ingreso a la Universidad de Cambridge y a las Grandes Ecoles francesas. Pero limitaremos nuestra discusin, aqu, a las comperencias organizadas con propsitos de cadcter ms general.

No es necesario explicar por qu se necesitan personas con competencia matemtica en la investigaci6n cientfica, en la ingeniera, en los negocios, etc.; procederemos, en cambiot a describir algunas formas de competencias para tratar, despus, de explicar por qu han tenido tanto xito.

Podra considerarse al Examen de Matemtica de las Escuelas Secundarias Americanas (sigla inglesa AHSME) como una de las competencias matemticas ms amplias y ms exitosas. Esta competencia -originada en 1959 como una competencia local realizada en la ciudad de Nueva York- se fue extendiendo hasta transformarse en una competencia de alcance nacional en la que compiten, anualmente, alrededor de 400.000 estudiantes. Y existen, adems, otros pases que realizan el mismo tipo de competencia. Asi, Colombia emplea una versin en espafiol de esta competencia. En este sentido, esta competencia se ha transformadoactualmenteen unacompetenciadecaticter internacional. Porotrolado, otra paises ofrecen competencias semejantes. Asl, los ingleses realizan Ia Competencia Nacional Inglesa de Matemtica; Polonia tiene su propiaolimplada Polaca de Matemtica y Suecia realiza su Competencia Sueca de Matemtica.

La Olimpada Matemtica Internacional

Adems de las competencias sefialadasexiste, como es natural, una Olimpiada Matemtica Internacional (sigla inglesa IMO). Esta competencia comenz en 1959 cuando Rumania

32 Estudios en txhuacibn nuztem&icn

invit6 a otras naciones del este europeo para participar en una prueba para talentos matemticos, patrocinada en conjunto, por los pakes participantes. Al comienzo, siete paises respondieron a la invitacin: Bulgaria, Checoslovaquia, Repblica Democtitica Alemana, Hungrfa, Polonia, Rumania y Ia URSS, enviando un grupo simblico de estudiantes. La participacin en la competencia estaba limitada a estudiantes de nivel secundario y de edad no superior a 20 afios. Y esta competencia fue aumentando el nmero de paises participantes; en 1965 se incorpor Finlandia, en 1967 lo hicieron Francia, el Reino Unido, Italia y Suecia y en 1974 se. incorporaron los Estados Unidos llegndose., en 1985 a una participacin de 38 palses. Los problemas propuestos versaban sobre los temas de la matemtica de nivel secundario, pero exigiendo ingenio para su resolucin. Las IMO duran varios dfas, proponi&dose tres problemas cada dla y asignando cuatro horas y media de duracibn a cada secci6n.

Se solicita a cada pals participante que presente problemas para su posible inclusin en cada Olimpiada y, dentro del conjunto presentado, los organizadores seleccionan los seis problemas que constituidn la prueba de la competencia. Despu& que los participantes han tratado los problemas, los delegados de cada pais participante le atribuyen puntaje al trabajo de los representantes de su pas, puntaje que es examinado, despus, por un grupo de coordinadores del pals sede. Se distribuyen premios bajo forma de certificados especiales y las soluciones particularmente ingeniosas pueden ser objeto de menciones y de premios especiales.

Cada pak acta, cada airo, como pals sedee invita a participara los otros paises. Todos lo-s que aceptan la invitacin son huspedes del psis sede y tienen oportunidad para visitar, en los momentos libres, puntos de inter& del pals. La atmsfera inicial de la competencia es calma hasta que el conocimiento de los primeros resultados provoca una natural excitacin que termina cuando los delegados y los estudiantes participantes comparten reuniones de camaraderia.

Competencias nacionales

Consideraremos, ahora, el contenido y los propsitos de algunas competencias, comenzando por el AHSME. El propsito principal de esta competencia es promover en los estudiantes el inters por la matemtica. Pero sirve, tambien, como un medio de examinar el progreso de los participantes y de mejorar el arte de ensefiar. El examen consta, corrientemente, de 30 preguntas de respuesta breve, comenzando con una realmente fkil y terminando con algunas ms difciles. La participaci6n de los estudiantes es voluntaria, independientemente del grado que cursa en la escuela.

Esta competencia se ha utilizado, tambien, en la Olimpiada Matematica de los Estados Unidos (sigla inglesa USAMO). Y, ms recientemente, se ha organizado un examen denominado Examen Americano Intermedio de Matemfitica (sigla inglesa AIME) con la finalidad de mejorar la seleccin de estudiantes para la USAMO. Resulta, asf, que el AIME y la USAMO fueron organizados para seleccionar miembros de los equipos que intervienen en la IMO. Siguiendo la experiencia de la USAMO se acostumbra organizar secciones de entrenamiento, de ttes semanas de duracibn, para aquellos estudiantes que integran o que pueden integrar el equipo para la IMO. Estas sesiones incluyen una preparacin adicional en matem8tica asf como entrenamiento en la resohcin de problemas. Varios pafses han seguido esta pdctica organizando sesiones de entrenamiento similares. Y ha resultado socptendente lo que puede lograrse en ~510 tres semanas de trabajo intensivo.

compete& y olimpfadas matemcticas 33

En Polonia, las Olimpfadas Matemticas tienen como finalidad estimular el inters por la matemtica e impulsara los estudiantes mejor dotados a ingresara las universidades y a los institutos politcnicos. Las olimpiadas polacas son distintas de las competencias norteamericanas. Se realizan a tres niveles, en el primero de los cuales se envan problemas a alrededor de 1500 estudiantes, los que deben resolverlos y enviar la solucin por correo, a razn de un problema por mes, a una dependencia que centraliza la recepcin. Los niveles dos y tres incluyen alrededor de 350 y de 70 estudiantes respectivamente, los que deben resolver tres problemas por da durante dos das. Los ganadores pueden ser seleccionados para intervenir en la IMO y reciben, adems, algunos beneficios acadmicos especiales.

En el ReinoUnidoexiste, deforma anloga yademsde lacompetencia ya mencionada, una segunda ronda de problemas denominada Prueba Adicional de Seleccin Inter- nacional (sigla inglesa FIST). En esta segunda prueba se selecciona el equipo britnico para intervenir en la IMO. En los Pases Bajos se organiza, tambien, una segunda ronda de problemas a la que se invita a participar alrededor de 100 estudiantes.

Parecera que existen, aproximadamente, tantos pases que realizan una sola competencia, como pases que organizan dos o tres rondas. Y los objetivos perseguidos pareceran tambin ser, en buena medida, los mismos. Estos objetivos se proponen en primer termino identificar y alentara los jvenes con talento matemtico y, en segundo lugar, seleccionar un equipo para la IMO. Y un posible tercer objetivo podra ser influir, de cierta manera, en elcurrculoescolardemaneradeinducircambios tendientesalograrunamejorpreparacin de los estudiantes. Puede citarse como ejemplo, que se propuso recientemente un problema que involucraba el concepto de homogeneidad. Y un pas objet este problema dado que en sus escuelas no se enseaba este concepto particular, lo que provoc el retiro del problema. Ese problema hubiese sido aceptable en la actualidad dado que satisfaca todas las otras condiciones que se imponen a un buen problema. Esto permi te suponer que el tema homogeneidad figura, ahora, en el currculo de aquel pas.

El talentoso y el superdotado

Hacemos, ahora, una digresin para discutir la diferencia entre tener talento y ser un superdotado. Desde nuestro punto de vista, un estudiante talentoso es aquel que posee una excelente memoria y que, habiendo visto una vez un problema, puede, comnmente, aplicar a la resolucin de un problema similar lo que ha visto antes. Entiendo, en cambio, por estudiante superdotado, aquel estudiante que frente a un problema es capaz de aplicar para su resolucin tanto lo que sabe al respecto, como su imaginacin para elaborar lo que resulta, con frecuencia, una va de solucin inesperada e ingeniosa. Un ejemplo puede ilustrar concretamente esta diferencia:

Sea el problema: resolver, en nmeros naturales, el sistema, a-l?-c=3abc

u2 = 2(b + c)

El estudiante talentoso que ya ha visto anteseste tipo de problema eliminara, probablemente, a la incgnita a para trabajar, despus, con la ecuacin diofntica que resulta.

El estudiante superdotado podd, por otra parte, razonar de esta manera:

34 Estudios en &u~i6n matemtica

1. a2 es par, entonces, a es par y puede ser 2,4,6,8, etc.; 2. a > b y a > c (como resulta de la primera ecuacin); 3. entonces, 2a > b + c y 4a > 2(b + c); 4. dedonde4a>a2y4>a; 5. y, en consecuencia, a = 2 y, finalmente, b = c = 1

Y siguiendo este camino resuelve mentalmente el problema. Nos referiremos nuevamente a esta diferencia entre tener talento y ser superdotado.

Deberia resultar obvio que la formulacin de problemas adecuados no es cuestin fkil. En las competencias preliminares, como el AHSME, uno de sus objetivos es identificar lo que se denomina habilidad manipulativa. Los primeros ejercicios que se proponen-y en nmero reducido- (disfrazados como problemas) ponen a prueba la habilidad del estudiante para realizar, entre otras, operaciones algebraicas simples. Los problemas aparecen con mayores complicaciones en la mitad de la prueba y los pocos ltimos, requieren un talentoespecialosersuperdotadopara matemtica. Enmuchospakessepuedeapreciaruna graduacin semejante en las competencias que realizan. La descripcin anterior indica que se requiere habilidad para manejar problemas adecuados, ya que si deben basarse en los curriculos de enseanza secundaria, no pueden reducirse meramente a problemas adicionales, as como no pueden ser, tampoco, de naturaleza rutinaria. En realidad, los que imaginan los problemas deben ser tan ingeniosos como los estudiantes que se espera descubrir con ellos. Es asl que en algunos palses los miembros de la facultad matemtica trabajan juntos para preparar problemas a solicitud de las autoridades responsables de la competencia. Yen otros paises, el comit de problemas puede estar formado por matem&i- cos interesados en la realizacin de la competencia y, an en ciertos casos, el comit de la competencia puede incluir a alguien que ha participado en competencias anteriores y que ha continuado trabajando en la universidad.

Qmo puede reconocerse el talento o el genio mateti tico?No es comn detectar tales estudiantes superdotados como, por ejemplo, Gauss, cuya habilidad se manifest espon& neamente cuando s610 contaba tres aos de edad. En la mayorfa de los ca=, la revelacin de esas dotes est lejos de aparecer en forma obvia. Sin embargo, padres o docentes alertas pueden reconocer que un nifioes capaz de realizar tareas que estn ms alla del nivel normal y que demuestra gusto por la matemkica, por los rompecabezas y que se muestra dispuesto a dedicar un largo tiempo a los problemas que le interesan. La mayorfa de nosotros hemos tenido alumnos que han logrado resultados que, aunque no siendo originales, constitufan una novedad para la clase. Los estudiantes pueden solicitar trabajo complementario en las reas de matemtica que les interesan, actitud que resulta muy marcada en lo que se refiere, por ejemplo, ala teorfade nmeros. Y estos estudiantes realizan siempre un trabajo de mejor calidad, presentando explicaciones ms correctas y muestran un intert% especial por la matemtica en general.

El docente tiene que ser receptivo para des evidencias. No es raro que un estudiante quiera resolver un problema por un camino original y no siguiendo el texto; estos estudiantes deben ser observados y alentados.

Atencin a los superdotados

Cuando se identifican estudiantes talentosos o superdotados, la tarea del docente es atender y apoyar el desarrollo de sus habilidades. Una forma de hacerlo es proponindoles trabajo adicional para realizar; en algunas escuelas existen clases especiales para los superdotados

competencias y olimpladac lnaemum 35

en las que los mtodos empleados pueden ser la proposicin de trabajo mas intenso agregado al que demanda el cuniculo normal, o un tratamiento ms tipido del programa normal. Y, en otros casos, existen escuelas especiales a las que pueden concurrir los mejores estudiantes. As, por ejemplo, en la URSS los estudiantes ingresan a tales escuelas tan temprano como a los ocho aos de edad. Cuando se ha determinado que un estudiante tiene talento se le ubica en una escuela especial. Ese alumno recibe el equivalente de una beca y su familia recibe, corrientemente, alguna clase de apoyo y esta situacin se mantiene durante todo el tiempo en que el estudiante demuestra una habilidad superior al promedio, pero cesa cuando el estudiante deja de ser acreedor a ella.

Tuvimos oportunidad de visitar una de tales escuelas en la que los estudiantes estaban pasando el verano ocupados en tareas matemticas. Se trataba, en realidad, de una escuela con internado, en la que todos los gastos corran por cuenta del gobierno. En esta escuela, los estudiantes aprendan matemtica ms all del currculo normal y se les proponan problemas para resolver con el grado de dificultad de la IMO. Las condiciones que imperaban eran agradables y los estudiantes encontraban todas las razones para querer permanecer en ella. Ya dijimos que, a medida que aumentaba la edad de los estudiantes, algunos deban abandonar tales escuelas y deban ingresar a una escuela de tipo regular o, eventualmente, a una escuela vocacional.

Se utilizaban muchos mtodos para formar y para alentar a los estudiantes destacados. En algunos pases, las escuelas pueden tener un club de matemtica en el que los estudiantes miembros del club pueden reunirse para resolver problemas propuestos por el profesor organizador. Se dictan, tambin, conferencias a cargo de oradores provenientes de las facultades locales. Adems, los estudiantes son alentados para que diserten acerca de algn tema que ellos mismos eligen.

En algunos pases se organizan competencias locales en las que participan dos o tres escuelas vecinas, tales como las que cuentan con la participacin de la Escuela Secundaria de Ciencia del Bronx, la Escuela Secundaria Walton, la Escuela Secundaria De Witt Clinton y la Escuela Secundaria de la Universidad Yeshiva. Cada una de estas escuelas organizaba, por turnos, estas competencias, las que constituan oportunidades tanto para el contacto social como para el intercambio de experiencias matemticas apoyando, de manera significativa, el inters en el trabajo en matemtica.

Por otra parte, algunas facultades realizan sus propias competencias. La Facultad de Stockton y la Universidad de Rutgers son ejemplos de tales actividades en los alrededores de Nueva York, pero son muchas las escuelas de los Estados Unidos que organizan competencias de este tipo. Existen, por otra parte, competencias de carcter regional como, por ejemplo, en la URSS y en los Estados Unidos, donde estados tale como Texas, Wisconsin y California organizan competencias.

Quizs resulta relevante mencionar, ahora, una competencia que es peculiar de los Estados Unidos, pero que parece ser un medio muy valioso para desarrollar la habilidad matemtica, como lo es la Liga Regional Americana de Matematica (sigla inglesa ARML) que constituye, ahora, una competencia de cadcter casi nacional. Los estudiantes que participan en ella tienen que concurrir a una facultad central viajando, en algunos casos, masde 1000millas. Allserecreancon juegos matemticosyenloqueserefiereaproblemas para resolver, algunos tienen camcter individual y otros son para resolver en equipo. Estos ltimos incluyen una cuestin difcil o exigente para se tratada por los equipos. Existen, tambin, problemas de relevo para ser abordados por equipos de una escuela o de un estado, en los que cada integrante de un equipo enfrenta un problema que requiere para SU

36 Estudiose.neducnci6nmntrmcltica

resoluci6n la utilizacin de un resultado obtenido por el estudiante precedente. El entusiasmo que despierta la ARML es muy marcado y su crecimiento continuo atestigua la peculiaridad de esta actividad.

Peridicos y material de referencia

Es creencia corriente que los estudiantes aprenden en el aula la mayor parte de la matemtica que saben. Simplemente, esto noesasf. Los estudiantes aprenden muchoentre ellos, asi comode lecturas, de conferencias y de otras actividades extraescolares. En muchos pases, los peridicos forman parte de las fuentes de conocimiento de los estudiantes superdotados. La URSS tiene, por ejemplo, su peri&bcoKuant , Canad el CruxMu&rn& corrun, HungraelKMal, etc. Esdeseable, yenlamedidadeloposible, quecadapastratase de proporcionar un peridico para uso de sus estudiantes. Adems, es til confeccionar una lista de libros relevantes en varios temas. Existen muchas de tales publicaciones en paks tales como la URSS, los Estados Unidos, los Pases Bajos y el Reino Unido. La mscompleta de estas listas es la titulada New Matkmukd Libmry, publicada por la Asociacin Matemtica de Amrica. Tendran que estar disponibles, asimismo, textos de algebra, geometrfa, trigonometra, clculo y de otros temas especiales. Todo este material bi- bliografico deberfa figurar en la biblioteca de la escuela para permitir a los estudiantes recurrir a l con fines de informacin y de aprendizaje. En caso de que la biblioteca de la escuela resulte insuficiente, alguna facultad local podra permitir a alumnos destacados de la escuela, utilizar su biblioteca como fuente de referencia y de lecturas suplementarias.

A trav& de contactos con colegas de otros palses los profesores podrfan obtener copias de problemas propuestos en competencias anteriores, particularmente los propuestos en las Olimpiadas Matemticas Internacionales (IMO). Y estos problemas pueden utilizarse para poner aprueba a los estudiantes. Ao a afro aumenta el nmero de paises que publican estas colecciones de problemas, colecciones que contienen, ademas y con frecuencia, soluciones que otros estudiantes pueden estudiar y analizar e, incluso en algunos casos, mejorar.

Con un nmero tan grande de palses que participan en la IMO aslcomo con sus propias competencias locales, resulta pnkticamente imposible darle al tema la especificidad que se quisiera. De todas maneras se espera que lo presentadoy comentado en este articulo motive a los pases interesados para que contacten a los paks vecinos para un intercambio fructffero de experiencias. Queda, sin embargo, una observacin final para presentar que se refiere, precisamente, al logro de participantes. Se dice, a menudo, que dado que Estados Unidos tiene una poblacin tan numerosa, puede contar con un m5s amplio nmero de estudiantes en condiciones y con disposicin de participar. Sin embargo, el ejemplo, con una poblacin muchsimo menor, es digno de atencin para todos nosotros. En ese pafs se unen todos los medios para presentar la matematica en una forma que interesar& seguta- mente, a los estudiantes. El problema se centra en una cuestin de motivacin. En algunos palses, el ftbol predomina sobre la televisin y en ouos puede ser el baseball o el cricket. Y en Hungta puede ser la matemtica. Es conveniente tener siempre presente que un nifto intentar4 cualquier cosa siempre que ella sea divertida y desafiante. Los educadores 10 ven confirmado en la prktica docente y los especialistas en pedagogfa podrtan considerar las implicaciones de este observable. En uno de los cuentos de Lewis Carroll titulado S$uk und Bruno, la herofna dice yo creo que un ni& realmente sano disfrutarfa ampliamente de la gram&ka griega, si fuese capaz de emplear su cabera para aprenderla.

Lewis Carroll era un maestro sagas.

4. Olimpadas matemticas nacionales en Vietnam

Li? Hi chu

Con la finalidad de incentivar y de apoyar a los alumnos especialmente dotados, se identifican a aquellos que demuestran talento para matemtica y se crean condiciones para ayudarlos a desarrollar sus habilidades. Los medios de seleccin utilizados desde el ao acadmico 1961-62 han sido las olimpadas matemticas nacionales organizadas por el Ministerio de Educacin. Estas competencias, que resumen una estrategia caracterstica de Vietnam, han sido aprobadas en todos los niveles educativos, desde los locales al central, y constituyen un movimiento de amplitud nacional que rene a miembros del personal escolar, aprofesoresy apadresen la tareadedetectarydeformaralosalumnossuperdotados.

Lasolimpadas matemticas nacionales se organizan anualmente cada mes de abril y se destinan a alumnos que se encuentran al final del primero, segundo y tercer nivel de educacin. La seleccin de competidores se cumple mediante un procedimiento en cuatro etapas.

La primera etapa esta dirigida a detectar a los alumnos de talento desde la iniciacin del ao escolar. Los profesores de primero, segundo y tercer nivel de educacin (lo que corresponde en la actualidad a la escuela elemental y a la escuela secundaria) esperan poder atender y apoyar a los alumnos que demuestren destacadas condiciones matemticas.

Durante la segunda etapa, se ponen aprueba estos alumnos tanto a nivel escolar como a nivel de distrito. Las competencias organizadas por el Departamento de Educacin, en cada escuela o en cada distrito, tienen por finalidad la formacin de equipos de alumnos superdotados en matematica y que actan como representantes de los dos primeros niveles de educacin. Estos equipos quedan, despus, de instructores en clases extraordinarias, dado que los alumnos involucrados tienen que continuar su educacin completa en la escuela. Resulta, muy a menudo, que los alumnos seleccionados para participar en las clases extraordinarias son ms que los necesarios para formar el eventual equipo local, dado que su integracin final se determina despus de otras pruebas de seleccin realizadas por el Departamento de Educacin. Pero, en todo caso, se entrenan alumnos de reserva para la integracin del equipo.

La tercera etapa comprende pruebas locales realizadas en pueblos y en provincias y las competencias para alumnos del primero y segundo nivel son organizadas por el Depar- tamento de Educacin provincial. Y en base a los resultados que arrojan estas pruebas se

38 Estudios en t&caci6n matemtica

determina la integracin de los equipos provinciales en los que, a semejanza de lo que se hace en la segunda etapa, el nmero de alumnos seleccionados para integrar el equipo provincial es mayor que el nmero de los que integradn el equipo definitivo. Los alumnos que integranlosequiposprovincialesparticipan, r~mbin,delasclasesespecialesdematemtica. Y, en igual forma, se proporciona entrenamiento especial a los alumnos del tercer nivel de educacin, es decir, a los estudiantes de escuela secundaria, los que integran equipos provinciales resultando, eventualmente, candidatos a intervenir en lasolimpfadasde nivel nacional.

Y esta constituye la cuarta etapa del proceso de seleccin. El Ministerio de Educacin enva los problemas a todas las provincias y poblaciones en una fecha dada. Los participantes, en nmero de cinco a diez, segn lo establezca el Ministerio de Educacin, son miembros de los equipos provinciales.

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1 JUI. 1991 Estudios en educacióty + Volumen 6...

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