LÍMITES Y CONTINUIDAD 1.- Límites de funciones Ejemplos gráficos

En este caso, podemos ver que el valor de f(x) se aproxima a 1, tanto como queramos, por la derecha y por la izquierda. Por lo tanto, podemos intuir que, el límite de la función f(x) es 1, cuando el valor de la variable independiente x se acerca a 4 y se expresa de la siguiente forma: lim

$→&𝑓(𝑥) = 1

Definición intuitiva de límite Si a y b son dos números reales, la expresión lim

$→-𝑓(𝑥) = 𝑏 quiere decir que

siempre que 𝑥 tome valores próximos al número 𝑎, tanto mayores (por la

derecha) como menores (por la izquierda), los correspondientes valores de 𝑓 se aproximan al número 𝑏. Si existe el límite de una función en un punto, este es único y su valor coincide con los límites laterales. (izquierda y derecha)

Ejemplo: lim$→0

√$23454$2

De estos datos se deduce que el límite buscado vale 0,5 El límite lateral de 𝑓 cuando 𝑥 tiende al número 𝑎 por la izquierda es el número 𝑏, si al tomar 𝑥 valores próximos a 𝑎 pero menores que 𝑎, los correspodientes vlores de 𝑓 se aproximan al número 𝑏. Se escribe lim

$→-6𝑓(𝑥) = 𝑏.

De forma análoga se define el límite por la derecha, lim$→-8

𝑓(𝑥) = 𝑏. De las definiciones de límite y de límited laterales, se puede afirmar que: lim$→-

𝑓(𝑥) = 𝑏 si y solo si lim$→-6

𝑓(𝑥) = lim$→-8

𝑓(𝑥). Relación entre el valor del límite y el valor de una función en un punto Para muchas funciones, el lim

$→-𝑓(𝑥) coincide con 𝑓(𝑎), entre otras, esto ocurre para dos

funciones importantes, la función constante 𝑓(𝑥) = 𝑘 y la función identidad 𝑓(𝑥) = 𝑥 Ejemplos: 𝑓(𝑥) = 3 𝑓(𝑥) = 𝑥 lim$→;<

3 = 3 lim$→=

𝑥 = 5

𝑓(38) = 3 𝑓(5) = 5 Dada una función 𝑓 y un punto 𝑥 = 𝑎, puede ocurrir que las expresiones lim

$→-𝑓(𝑥) y

𝑓(𝑎):

- Existan ambas como números reales y que coincidan o no. - Alguna de las dos o las dos no existan.

x y -0,1 0,49875 -0,01 0,499987 -0,001 0,49999987 0,001 0,49999987 0,01 0,499987 0,1 0,49875

2.- Propiedades de los límites El cálculo de los límites de funciones obtenidas mediante operaciones entre otras funciones se simplifica notablemente si se tiene en cuenta las siguientes propiedades:

Actividad 1.- Sabiendo que lim

$→-𝑓(𝑥) = −3 y lim

$→-𝑔(𝑥) = 0, cakcula los límites cuando

𝑥 → 𝑎 de las siguientes funciones:

Soluciones: a) -6; b) 81; c) 0; d) -3; e) 0; f) 1; g) 4

5DE; h) 0; i) 1; j) Sin solución (de momento)

3.- Límites en el infinito y límites infinitos Límites en el infinito Las expresiones lim

$→F𝑓(𝑥) y lim

$→5F𝑓(𝑥) denotan los valores a los que tiende la función 𝑓

cuando 𝑥 tiende a valores muy grandes o muy pequeños respectivamente. Dichos límites pueden existir o no como números reales. Los límites en el infinito tienen las mismas propiedades que los límites en un punto. Límites infinitos La expresión lim

$→-𝑓(𝑥) = +∞, significa que cuando 𝑥 toma valores próximos al punto 𝑎,

por ambis lados, los correspondientes valores de 𝑓 se harán arbitrariamente grandes y positivos. De forma análoga se definen para lim

$→-𝑓(𝑥) = −∞, valores pequeños y negativos.

Ejemplo: lim$→3F

𝑓(𝑥) = −2

lim$→5F

𝑓(𝑥) = −2

lim$→D

𝑓(𝑥) = Jlim$→D5

𝑓(𝑥) = +∞

lim$→D3

𝑓(𝑥) = −∞

4.- Cálculo de límites. Indeterminaciones

Las indeterminaciones se resuelven manipulando las expresiones que aparecen en el límite hasta llegar a otras equivalentes que tienden a un valor real o a ±∞.

Ejemplo lim

$→3F√𝑥 + 1 − √𝑥 = ∞ −∞ IND

lim$→3F

√𝑥 + 1 − √𝑥 ·√𝑥 + 1 + √𝑥√𝑥 + 1 + √𝑥

= lim$→3F

𝑥 + 1 − 𝑥√𝑥 + 1 + √𝑥

= lim$→3F

1√𝑥 + 1 + √𝑥

=

=1

∞ +∞ =1∞ = 0

• Indeterminación 1F Aparece una función elevada a otra, para resolver dicho límite utilizamos una propiedad de los logaritmos y el número 𝑒. (𝑓(𝑥)N($))

Ejemplo lim$→3F

O;$5=;$5D

PD$2

= 1F IND Calculamos el siguiente límite: 𝑒 QRS

T→8UN($)·(V($)54)

𝑒 QRST→8U

N($)·(V($)54) = 𝑒 QRST→8U

D$2·(WT6XWT6254) = 𝑒 QRST→8U

D$2·(WT6X6WT82WT62 ) = 𝑒 QRST→8U

D$2·( 6WWT62) =

𝑒 QRST→8U

(6YT2

WT62) = 𝑒6UU IND

Al ser mayor el grado del denominador, tenemos que:

𝑒 QRST→8U

(6YT2

WT62) = 𝑒5F = 4ZU

= 4F= 0.