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M. en C. Gal Vargas Neri

ESTADISTICA I CSH, Tema III TEMARIO

Distribuciones discretas y continuas

Variable Aleatoria Discreta

• Variable Aleatoria: resultados de un experimento expresado numéricamente

Por ejemplo,

Lanzar un dado 2 veces: Contar el número de veces que cae 4 (0, 1, o 2 veces)

Variable Aleatoria Discreta

•Variable Aleatoria Discreta: • Obtenida al Contar (0, 1, 2, 3, etc.)

• Usualmente toma un número finito de diferentes valores

Por ejemplo,

Lanzar una moneda 5 veces. Contar el número de caras. (0, 1, 2, 3, 4, o 5 veces)

Probabilidad Discreta Ejemplo de Distribución

Distribución de Probabilidad Valores probabilidad

0 1/4 = .25

1 2/4 = .50

2 1/4 = .25

Evento: Lanzar 2 Monedas. Contar # Caras.

T

T

T T

Distribución de Probabilidad Discreta

Lista de todos los posibles [ xi, p(xi) ] pares

Xi = valores de una variable aleatoria

P(xi) = probabilidad asociada con un valor

Mutuamente exclusivos (nada en común)

Colectivamente exhaustivos (nada queda fuera)0 p(xi) 1

P(xi) = 1

Variable Aleatoria Discreta Medidas Sumarias

Valor esperado (La media) Promedio ponderado de la distribución de probabilidad

= E(X) = xi p(xi) P.E. Lanzar 2 monedas, contar las caras, calcular el valor esperado:

= 0 .25 + 1 .50 + 2 .25 = 1

Número de Caras Probabilidad del evento

Variable Aleatoria Discreta Resumen de medidas

Varianza

Promedios ponderados del cuadrado de la desviación estándar alrededor de la media

= E [ (xi - )2]= (xi - )2p(xi)

= E(X 2)-E 2(X)

P.E. Lanzar 2 monedas, contar las caras, calcular la varianza:

= (0 - 1)2(.25) + (1 - 1)2(.50) + (2 - 1)2(.25) = .50

Probabilidades Discretas Importantes

Modelos de Distribución

Probabilidad Discreta Distribuciones

Binomial Poisson

Distribución Binomial

‘N’ ensayos idénticos 15 lanzamientos de una moneda, 10 focos

tomados de un almacén

2 resultados mutuamente exclusivos en cada ensayo Águilas o Soles en cada lanzamiento de una

moneda, un foco con defecto o sin defecto

Distribuciones Binomiales

• Probabilidad Constante para cada ensayo:• Probabilidad de obtener sol es la misma que cada vez que arrojamos la moneda y cada foco tiene la misma probabilidad de ser defectuoso

• 2 Métodos de muestreo:• Población infinita sin reemplazo• Población finita con reemplazo

• Los ensayos son independientes:

• Los resultados de un ensayo no afectan los resultados de otros

Probabilidad Binomial Distribución Función

P(X) = probabilidad que x tenga acierto dando un conocimiento de n y p

X = número de éxitos

ejemplo, (X = 0, 1, 2, ..., n)

p = probabilidad de cada ‘éxito’

n = tamaño de ejemplo

caras en 2 lanzamientos de monedas:

X P(X) 0 1/4 = .25

1 2/4 = .50

2 1/4 = .25

pqdondeqpx

nxXP xnx

1)(

Características de la Distribución Binomial

n = 5 p = 0.1

n = 5 p = 0.5

Media

Desviación Estandar

E X np

np p

( )

)

0.2.4.6

0 1 2 3 4 5

X

P(X)

.2

.4

.6

0 1 2 3 4 5

X

P(X)

Por ejemplo, = 5 (.1) = .5

Por ejemplo, =5(.5)(1 - .5)=

1.118 0

(1

Distribución de Poisson

Proceso de Poisson: Eventos discretos en un ‘intervalo’:

La probabilidad de un éxito en un intervalo es estable

La probabilidad de más de un acierto en este evento es 0

Probabilidad de éxito es independiente de intervalo a intervalo

# Clientes que llegan en 15 min # Defectos por caso de los focos

P X x

x

x

( |

!

e-

Función de Distribución de Poisson

P(X ) = probabilidad de X éxitos dando = valor esperado(media) número de éxitos

e = 2.71828 (base de registros naturales)

X = número de éxitos por unidad

P XX

X

( )!

e

Ejemplo, Encontrar la probabilidad que 4 clientes lleguen en 3 minutos cuando la media es 3.6

P(X) = e-3.6

3.64!

4

= .1912

Características de la Distribución de Poisson

= 0.5

= 6

Media

Desviación Estandar

ii

N

i

E X

X P X

( )

( )1

0.2.4.6

0 1 2 3 4 5

X

P(X)

0.2.4.6

0 2 4 6 8 10

X

P(X)

Covarianza

X = variable aleatoria discreta X

Xi = valor de los resultados ith X

P(xiyi) = probabilidad de ocurrencia de un resultado i-ésimo de X y resultado i-ésimo de Y

Y = variable aleatoria discreta Y

Yi = valor de los resultados de Y

I = 1, 2, …, N

)YX(P)Y(EY)X(EX iii

N

iiXY

1

Calculando la media para Retorno de Inversión

Retorno de $1,000 para dos tipos de inversiones

P(XiYi) Condición Económica Dow Jones X Growth Stock Y

.2 Recesión -$100 -$200

.5 Economía Estable + 100 + 50

.3 Economía en Expansión + 250 + 350

Inversión

E(X) = X = (-100)(.2) + (100)(.5) + (250)(.3) = $105

E(Y) = Y = (-200)(.2) + (50)(.5) + (350)(.3) = $90

Calculando la Varianza de Retorno de Inversión

P(XiYi) Condición Económica Dow Jones X Growth Stock Y

.2 Recesión -$100 -$200

.5 Economía Estable + 100 + 50

.3 Economía de Expansión + 250 + 350

Inversión

Var(X) = = (.2)(-100 -105)2 + (.5)(100 - 105)2 + (.3)(250 - 105)2

= 14,725, X = 121.35

Var(Y) = = (.2)(-200 - 90)2 + (.5)(50 - 90)2 + (.3)(350 - 90)2

= 37,900, Y = 194.68

2X

2Y

Calculando la Covarianza para Retorno de Inversión

P(XiYi) Condición Económica Dow Jones X Growth Stock Y

.2 Recesión -$100 -$200

.5 Economía Estable + 100 + 50

.3 Economía en Expansión + 250 + 350

Inversión

XY = (.2)(-100 - 105)(-200 - 90) + (.5)(100 - 105)(50 - 90)

+ (.3)(250 -105)(350 - 90) = 23,300La covarianza de 23,000 indica que de dos inversiones están posiblemente relacionadas y podrán variar juntas dentro de la misma dirección.

La distribución Normal

• ‘Forma de Campana’

• Simétrica

• Media, Mediana y Moda son iguales

• ‘Diseminación Media’

Iguales 1.33

• Variables aleatorias tienen rangos infinitos.

Media Moda

Mediana

X

f(X)

El Modelo Matemático

f(X) = frecuencia de variable aleatoria X

= 3.14159; e = 2.71828

= Desviación estándar de población

X = valor variable aleatoria (- < X < )

= media de población

21

2

2

1

2

X

f X e

Variación de los Parámetros y , se obtiene Distribuciones Diferentes de Normal.

Éstas son un número

infinito

Distribución Normal

Distribución Normal: Encontrando Probabilidades

Probabilidad es el área debajo de la curva¡

c dX

f(X)

P c X d( ) ?

¡Infinidad de Distribuciones Normales significa infinidad de tablas para buscar!

¿Cada distribución tiene su propia tabla?

¿Cuál Tabla?

Estandarización de una variable aleatoria normal

Xx1 x2 Zz1 0 z2

)1,0(, NZdondeX

Z

Distribución Normal

Distribución Normal Estandarizada

Asignación de Normalidad

Compare las características de los datos con las Propiedades de la Distribución Normal

• Poner los datos en un arreglo ordenado

• Encontrar correspondencia con los cuantiles de la Distribución normal estandarizada

• Dibujar los pares de puntos

• Ajustar una línea recta

Checar la gráfica normal

30

60

90

-2 -1 0 1 2

Z

X

Gráficas de Probabilidad Normal

Sesgada a la izquierda

Rectangular U

30

60

90

-2 -1 0 1 2

Z

X

30

60

90

-2 -1 0 1 2

Z

X

30

60

90

-2 -1 0 1 2

Z

X

30

60

90

-2 -1 0 1 2

Z

X

Sesgada a la derecha