MAGNITUTS I MESURES

1. INTRODUCCI.

El Sistema Mtric Decimal de mesures es va establir a Frana amb la finalitat de solucionar els dos grans inconvenients que presentaven les antigues mesures:1. Unitats amb el mateix nom variaven d'una provncia a una altra2. Les subdivisions de les diferents mesures no eren decimals, la qual cosa representava grans complicacions per al clcul.Es tractava de crear un sistema simple i nic de mesures que pogus reproduir-se amb exactitud en qualsevol moment i en qualsevol lloc, amb mitjans disponibles per a qualsevol persona.En 1795 es va instituir a Frana el Sistema Mtric Decimal. A Espanya va ser declarat obligatori en 1849.El Sistema Mtric es basa en la unitat "el metre" amb mltiples i submltiples decimals. Del metre es deriva el metre quadrat, el metre cbic, i el quilogram que era la massa d'un decmetre cbic d'aigua.La nova definici de metre en comptes d'estar basada en un nic objecte (la barra de plat) o en una nica font de llum, est oberta a qualsevol altra radiaci la freqncia de la qual sigui coneguda amb suficient exactitud.La velocitat de la llum queda convencionalment fixada i exactament igual a 299 792 458 m/s deguda a la definici convencional del terme m (el metre) en la seva expressi.Una altra qesti que suscita la nova definici de metre, s la segent: no seria ms lgic definir 1/299 792 458 vegades la velocitat de la llum com a unitat bsica de la velocitat i considerar el metre com a unitat derivada?. No obstant aix, l'elecci de les magnituds bsiques s una qesti de convenincia i de simplicitat en la definici de les magnituds derivades.

2. SISTEMA INTERNACIONAL DE MESURES (SI).El Sistema Internacional d'Unitats s una forma acceptada internacionalment d'utilitzaci de les unitats de mesura de les magnituds fsiques dels cossos. En el Sistema Internacional d'unitats existeixen 3 classes d'unitats.

2.1 UNITATS BSIQUES O FONAMENTALS.Es tracta de les unitats que es consideren com independents des del punt de vista dimensional: Magnitud fsica Unitat bsicaSmbol Definici

LongitudmetremEl metre s la longitud del cam recorregut per la llum en el buit durant un temps d'1/229792458 de segon (decret 85-1500 del 30/12/85).

MassakilogramkgEl quilogram s la massa del prototip internacional conservat a la seu del BIPM.

TempssegonsEl segon s la durada de 9.192.631.770 cicles de la radiaci corresponent a la transici entre els dos nivells hiperfins de l'estat fonamental de l'tom de cesi 133

Corrent elctricaampere ALampere s la intensitat del corrent elctric constant, que mantinguda en dos conductors rectilinis parallels de longitud infinita i de secci transversal menyspreable, i situats a la distncia d'1 m en el buit produeix una fora de 2 10-7 N/m entre els conductors.

TemperaturakelvinKEl kelvin s la fracci 1/273.16 de la temperatura termodinmica (o absoluta) del punt triple de l'aigua (273.16 k).

Quantitat de substanciamolmolEl mol s la quantitat d'unitats elementals (toms, molcules ions, etc.) en un sistema material, igual al numero d'toms existent en 0,012 kg de carboni 12.

Intensitat lluminosacandelacdLa candela s la intensitat lluminosa en una adrea donada, corresponent a una energia d'1/683 W/sr d'una font que emet una radiaci monocromtica de freqncia igual a 540 1012Hz..

Les unitats poden portar prefixos del Sistema Internacional, que van de 1000 a 1000: mltiples (exemple: quilo indica mil, 1 km = 1000 m), o submltiples (exemple: mili indica millsima, 1 mA = 0,001 A). Mltiples (en majscules a partir de Mega): deca (da), hecto (h), quilo (k), mega (M), giga (G), tera (T), peta (P), exa (EI) , zetta (Z), yotta (I). Submltiples (en minscules): deci (d), centi (c), mili (m), micro (), nano (n), pic (p), femto (f), atto (a), zepto (z ), yocto (i).

2.1 UNITATS DERIVADES.Sn les unitats que poden formar-se combinant les unitats bsiques segons relacions algebraiques escollides que lliguin les magnituds corresponents: velocitat, acceleraci, tensi, fora, potncia, volum,Exemples d'unitats derivades Unitat de volum o metre cbic : resultat de combinar tres vegades la longitud. Unitat de densitat:resultat de combinar massa (magnitud bsica) amb volum (magnitud derivada). S'expressa en quilograms per metre cbic. Manca de nom especial. Unitat de fora : magnitud que es defineix a partir de la segona llei de Newton (fora = massa acceleraci). La massa s una de les magnituds bsiques; l'acceleraci s derivada. Per tant, la unitat resultant (kg m s-2) s derivada, de nom especial: newton Unitat d'energia : s l'energia necessria per moure un objecte una distncia d'un metre aplicant-li una fora d'un newton; s a dir, fora per distncia. Se li denomina juliol (unitat) (en angls, joule). El seu smbol s J. Per tant, J = N m.En qualsevol cas, mitjanant les equacions dimensionals corresponents, sempre s possible relacionar unitats derivades amb bsiques.

3. SISTEMA ANGLOSAX.El sistema anglosax d'unitats s el conjunt de les unitats no mtriques que s'utilitzen actualmenten pasos de ascendncia anglesa, sent oficial en sol 3 pasos al mn , com ara Estats Units d'Amrica, Libria i la Uni de Myanmar (antigament coneguda com Birmnia), a ms d'altres territoris i pasos amb influncia anglosaxona per de forma no oficial com Bahames, Barbados, Jamaica, Puerto Rico o Panam. Per existeixen discrepncies entre els sistemes d'Estats Units i el Regne Unit (on es diu el sistema imperial), i fins i tot sobre la diferncia de valors entre uns altres temps i ara. Les seves unitats de mesura sn guardades a Londres, Anglaterra.La unitat ms coneguda entre nosaltres es la polzada ( inch) que equival a 1 pul = 2,54 cm. La resta de dimensions deriven de la polzada 1 peu = 12 polzades ; 1 yarda = 3 peusTamb tenen unitats de temperatura en Fahrenheit si b est en dess.http://genesis.uag.mx/edmedia/material/fisica/introduccion9.htm

4. XIFRES SIGNIFICATIVES.En un mesurament les xifres significatives sn els dgits que es coneixen amb certesa, ms un dgit que s incert. La mesura de 53,2 cm t tres xifres significatives, dos delles, 5 i 3 exactes i 2 estimada. En canvi el resultat obtingut amb una altra regla pot tenir quatre xifres significatives de les quals la corresponent al segon decimal seria estimada o incerta.

Shan desenvolupat regles per a escriure i usar les xifres significatives:

Regla 1. En nmeros que no contenen zeros, tots els dgits sn significatius.

Regla 2. Tots els zeros entre dgits significatius sn significatius.

Regla 3. Els zeros a lesquerra del primer dgit que no s zero serveixen noms per a fixar la posici del punt decimal i no sn significatius.

Regla 4. En un nmero amb dgits a la dreta del punt decimal els zeros a la dreta de lultima xifra diferent de zero sn significatius.

Regla 5. En un nmero que no t punt decimal i que acaba amb un o ms zeros, aquests poden ser o no significatius (indicatius de lordre de magnitud). Seviten confusions expressant els nmeros en notaci cientfica.

Exemples:

4,523 4 xifres significatives (Regla 1)

70,054 5 xifres significatives (Regla 2)

0,0789 3 xifres significatives (Regla 3)

0,0020 2 xifres significatives (Regla 4)

3600 sha dexpressar 3,6.103 si els zeros no sn significatius o 3,600.103 si els zeros sn significatius (Regla 5)Xifres significatives tenint en compte la imprecisiPer exemple:

Incorrecte Correcte

4,7 0,082 4,7 0,1

25 0,6 25 1

ExercicisIndiqueu el nombre de xifres significatives dels segents valors:

0,321 s 0,120 m 17,25 kg 0,035 m 400 cm 4,0 m/s

ArrodonimentsSi s necessari arrodonir es segueixen les segents regles:

Regla 1. Si el primer dgit que es menysprea s 5 o major que 5, la xifra anterior saugmenta en una unitat. Per exemple, el nmero 436 arrodonit a 2 xifres significatives s 4,4102.

Regla 2. Si la primera xifra que es menysprea s menor que 5, la xifra anterior es deixa com est. Per exemple, el nmero 3,726 arrodonit a 2 xifres significatives s 3,7 i el nmero 3,756 arrodonit a 2 xifres significatives s ara 3,8.

Xifres significatives en les mesures indirectes: operacions amb la calculadoraEn molts casos el valor experimental duna magnitud sobt, dacord amb una determinada expressi matemtica, a partir de la mesura daltres magnituds de qu depn. Hi ha procediments per a determinar lerror resultant en la magnitud calculada. No obstant aqu ens limitarem nicament a donar unes reglessenzilles que ens permetran conixer les xifres significatives de les operacions additives i multiplicadores.

Regla 1: Multiplicaci i divisi. EI nombre de xifres significatives que haur de tenir loperaci ser el mateix que el de loperand que tingui menys xifres significatives. Aix per exemple, 8,536 x 0,47 = 4,01192 que ha darrodonir-se a 4,0.

p.e.: 73,24 x 4,52 = 3311,83764 / 1,4 = 1,3(7,8 x 23,4562) / 3,1416 = 58

Les constants no tenen error i pel tant no aporten cap limitaci en el nmero de xifres significatives. Aix, si volem determinar el perode duna oscillaci i mesurem el temps que es tarda a realitzar 10 oscillacions obtenint un valor de 22,3 s, considerarem el valor 10 com una constant pel que el valor del perode ser 2,23 s.

Si una constant no s exacta (com el nmero ) hauran de prendres per a la mateixa suficients xifres significatives perqu no influeixi en el resultat. Per exemple, en determinar el valor del permetre duna circumferncia el dimetre del qual s 81,25 m, si utilitzem per a p el valor 3,14 obtindrem un permetre de 255,1 m en lloc del correcte 255,3 m trobat prenent ms xifres per a p.p.e.: 3,141592 + 2,10 = 5,2483,12 72 = 113,0 + 1,12 6,75 = -2,6

Regla 2: Suma i resta. EI resultat no ha de tenir dgits ms enll de la posici de lltim dgit com a tots els sumands. EI resultada de loperaci 34,6 + 85 -17,8 = 101,8 ha darrodonir-se a 102 ja que lltim dgit com a tots els sumands correspon al de les unitats.

ExerciciQuin s el resultat de:

Sumar 3,3452 + 27,1 3,4102 + 9102 27 5,3

Multiplicar 4,27 0,34

4.2 ARRODONIMENT.L'arrodoniment s el procs mitjanant el qual s'eliminen xifres significatives d'un nombre a partir de la seva representaci decimal, per obtenir un valor aproximat. Es simbolitza amb . Per exemple 2,95 3 o 2 1,414. S'utilitza per tal de facilitar els clculs. Com a desavantatge, en calcular amb valors aproximats s'acumulen errors d'arrodoniment que poden fer variar significativament el valor estimat obtingut respecte del valor real.Les regles de l'arrodoniment s'apliquen al decimal situat en la segent posici al nombre de decimals que es vol transformar, s a dir, si tenim un nombre de 3 decimals i volem arrodonir a la centsima, s'aplicar les regles d'arrodoniment:

Dgit menor que 5: Si el segent decimal s menor que 5, l'anterior no es modifica. Exemple: 12,612. Arrodonint a 2 decimals s'ha de tenir en compte el tercer decimal: 12,612 12,61. Dgit ms gran o igual que 5: Si el segent decimal s major o igual que 5, l'anterior s'incrementa en una unitat. Exemple: 12,618. Arrodonint a 2 decimals s'ha de tenir en compte el tercer decimal: 12,618 12,62 Exemple: 2,3571 arrodonit a la centsima s 2,36, ja que 2,3571 est ms a prop de 2.36 que de 2.35.

Per mostrar el resultat de forma correcta, el procs a seguir s el segent:a. Calcular amb totes les xifres possibles el resultat matemtic final, tal i com apareixeria en la pantalla de la calculadora. Efectuar retalls durant el procs del clcul podria suposar la prdua dinformaci significativa i afegir errors matemtics al resultat final.b. Preveure quantes xifres significatives ha de tenir el resultat final.c. Arrodonir el resultat final al valor ms proper, respectant el nombre de xifres previstes.

5.MESURES DE POSICI.5.1 MITJANA ARITMTICAEn matemtiques i estadstica, la mitjana aritmtica (tamb anomenada mitjana o mitjana) dun conjunt finit de nombres s el valor caracterstic d'una srie de dades quantitatives objecte d'estudi que parteix del principi de l'esperana matemtica o valor esperat, s'obt a partir de la suma de tots els seus valors dividida entre el nombre de sumands. Quan el conjunt s una mostra aleatria rep el nom de mitjana mostral sent un dels principals estadstics mostrals.Expressada de forma ms intutiva, podem dir que la mitjana (aritmtica) s la quantitat total de la variable distribuda a parts iguals entre cada observaci.

5.2 MODA.En estadstica, la moda s el valor amb una major freqncia en una distribuci de dades.Parlarem d'una distribuci bimodal de les dades adquirides en una columna quan trobem dues modes, s a dir, dues dades que tinguin la mateixa freqncia absoluta mxima. Una distribuci trimodal de les dades s en la qual trobem tres modes. Si totes les variables tenen la mateixa freqncia direm que no hi ha moda.

5.3 DESVIACI MITJANA.La desviaci respecte a la mitjana s la diferncia en valor absolut entre cada valor de la variable estadstica i la mitjana aritmtica.

La desviaci mitjana s la mitjana aritmtica dels valors absoluts de les desviacions respecte a la mitjana. La desviaci mitjana es representa per

6.ERRORS DE MESURA.Quan es parla del valor real d'una magnitud fsica sempre s'ha d'entendre com una abstracci. Fins i tot en les mesures ms acurades els valors que s'obtenen estan afectats per un error. La desviaci s la diferncia entre el valor obtingut en la mesura i el valor real (que es desconeix). Distingirem dos tipus de desviacions: sistemtiques i accidentals.

Errors sistemtics.Sn causats per les limitacions i imperfeccions dels elements de mesura o pels defectes interns de l'aparell de mesura. El disseny del sistema o el mtode experimental afecten tamb aquest tipus derrors. Normalment s'agafa com a lmit d'aquest error la diferncia ms petita que es pot apreciar en l'instrument de mesura, s a dir la seva resoluci. Altres errors sistemtics sn els que resulten de modificar en una experincia les condicions fsiques, com canvis de temperatura, pressi, etc., les quals poden afectar el resultat. La desviaci s sistemtica quan la diferncia entre les dades mesurades i el valor real sn del mateix sentit i magnitud.Desviacions accidentals.Procedeixen de multitud de causes imprevisibles i aleatries. No es pot assegurar mai que una mesura es pugui repetir exactament en condicions idntiques. La repetici reiterada d'una mesura realitzada per un mateix observador no sempre porta al mateix resultat. Les mesures es dispersen al voltant dun valor central. Diem aleshores que lerror accidental t una distribuci aleatria. Existeixen tcniques estadstiques per al tractament daquest tipus derror.Els errors sempre sacumulen i per tant lerror total s aleshores la suma de lerror sistemtic i laccidental.

6.1 EXPRESSI DUN VALOR.Per expressar el resultat d'una mesura o un clcul agafarem en cada cas un valor representatiu del valor real", acompanyat de la cota d'error, de la manera segent: "valor representatiu" "cota derror" "unitat"L' expressi anterior vol indicar que el "valor real " es troba segurament en l'entorn centrat del valor representatiu i amb un radi igual a la cota d'error o error absolut. Aix, el resultat de qualsevol mesura no ha de ser mai un simple valor V, sin que aquest ha d'anar acompanyat de la seva cota d'error V ,denominada error absolut, o b de l'error relatiu .

L'error absolut en una mesura x de determinada magnitud s la diferncia entreaquest valor i el valor veritable de la mesura; es notar per x i, per tant, la sevaexpressi s:

on representa el valor veritable de la mesura. L'error absolut quantificala desviaci en termes absoluts respecte al valor veritable. Els errors absoluts tenen les mateixes unitats que el valor representatiu que acompanyen. Aix el resultat donat ser : el valor representatiu, les unitats, el signe i l'error.

Lobtenci del resultat pot implicar la realitzaci de clculs i presa de decisions a partir de les dades inicials experimentals. (p.e.: extrapolaci duna dada experimental a la recta patr, descartar un valor, mesures indirectes...). Cal prendre algunes precaucions a lhora de donar un resultat:- Ha danar sempre acompanyat de la seva unitat (si en t).- Cal indicar el tractament matemtic sofert per les dades experimentals fins arribar al resultat definitiu (si s el cas).- Sha dexpressar amb el nombre correcte de xifres, ja que aquestes indiquen la qualitat de la mesura.No obstant aix, enocasions s ms interessant ressaltar la importncia relativa d'aquesta desviaci. Peraix, es defineix l'error relatiu com el quocient entre l'error absolut i el valorveritable; notant-ho per sol expressar-se percentualment sense ms que multiplicar per 100.

6.2 TRACTAMENT DELS ERRORS6.2.1 EXACTITUD. PRECISI. REPETIBILITAT. REPRODUCTIBILITATQuan es realitza una mesura sempre apareix un determinat tipus derror associat a ella. Mai podem tenir un 100% de certesa que el valor coincideix amb el valor veritable o real, dit daltre manera, mai podrem saber el valor real duna determinada variable mesurada, ja que sempre existir un cert grau dindeterminaci.Anem a veure una srie de conceptes relacionats amb la consideraci anterior:EXACTITUD: s la propietat per la qual una mesura o el representant duna srie delles sacosta al valor real o de referncia acceptat. Lexactitud dun instrument es determina mitjanant un patr i s ms exacte quant ms sapropa la seva lectura al valor proporcionat pel patr.PRECISI: s el grau de dispersi o concordana que presenten els resultats que sobtenen quan es mesura repetidament un determinat valor duna variable.Un instrument s tant ms precs com ms xifres significatives pot proporcionar.Es relaciona amb els conceptes:REPETIBILITAT: grau de concordana entre els resultats de mesures successives de la mateixa magnitud, obtinguts amb el mateix mtode, pel mateix observador, amb el mateix instrument, lloc i condicions.REPRODUCTIBILITAT: grau de concordana entre els resultats de mesures allades de la mateixa magnitud, quan s diferent el mtode, per diferents observadors, diferents llocs, condicions diferents.Els conceptes dexactitud i precisi sn independents i ambdues qualitats de mesura sn sempre necessries.

6.2.2 EXPRESSI DE L'ERROR.En Fsica, presentar una mesura experimental significa donar el valor d'aquestaquantitat i expressar com s el seu error; no t sentit establir un determinatvalor si no es fita degudament el mateix. Aix, l'expressi correcta d'unamesura ha de ser:x xCal ressaltar que el valor d'una magnitud ha de tenir el mateix ordre decimalque l'error absolut. Aix s raonable ats que no tindria sentit trobar elvalor d'una magnitud amb un grau de precisi superior al de l'error de la mesura.Aix, no podem mesurar dcimes de millmetre amb un regla la sensibilitat de la qual s delmillmetre. Finalment, s'accepta com a criteri que si el valor d'una mesura sllegit d'una taula o un altre lloc, sense indicaci del seu error, es prendr com a erroruna unitat de l'ordre de l'ltima xifra amb que s'expressa; per exemple, si en unataula apareix que el valor d'una mesura s de 0.056 sense cap indicaci d'error,es conv que el mateix s de 0.001. En la segent taula es donendiferents exemples.

Valors incorrectesValors correctes

6.3 0.09 46288 1551 0.01683 0.0058428.351 0.36.30 0.0946300 16000.017 0.006428.4 0.3

6.3 ERROR DUNA MESURA FETA UNA SOLA VEGADA.Quan noms s possible efectuar una mesura d'una determinada magnitud, no s possible fer una avaluaci de lerror accidental. Aleshores admetrem com a valor representatiu el valor mesurat, i la cota d'error com a mnim ser la resoluci de l'aparell, o linterval mnim que permet apreciar. La sensibilitat de l'aparell s el valor de les divisions de les escales dels aparells calibrats (regles, termmetres, ampermetres, etc.). Per exemple, si volem mesurar una longitud amb un regle millimetrat, quan l'extrem de la longitud estigui prop de 30 mm, la cota d'error ser 1 mm, i escriurem: 30 1 mmLa resoluci de linstrument s un valor mnim per a la cota derror. Altres consideracions lligades al sistema experimental podrien recomanar daugmentar la cota derror sistemtic. Daltra banda, una mesura feta una sola vegada no cont cap estimaci de lerror accidental, que podria ser considerable.Sempre que sigui possible, cal augmentar el nombre de mesures fetes en les mateixes condicions.

PROBLEMAS

http://www.educamix.com/educacion/3_eso_materiales/b_i/3eso_bloque_i.htm#metodo

pgina 4 de 12