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MATRICES

ANALISIS MATEMÁTICO PARA ANALISIS MATEMÁTICO PARA ECONOMISTAS IVECONOMISTAS IV

Luis Figueroa S.

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Competencias:

.Define una matriz.Tipos de matrices

.Igualdad de matrices

.Realiza operaciones de suma y producto

por un escalar. Propiedades.

.Transposición. Propiedades.

.Define el producto de matrices.

.Propiedades.

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Introducción• Una empresa desea fabricar 4 productos A, B, C, D que requieren de dos materias primas

digamos “X” e “Y” y de cantidades de unidades de mano de obra. Desea además comparar los números de unidades que se requieren en la producción semanal de dichos artículos.

• Supongamos que tal información se encuentra dada en la siguiente tabla:

Producto A B C D

Unidades de material X 250 300 170 200

Unidades de material Y 160 230 75 120

Unidades de mano de obra 80 85 120 100

• Las columnas expresan las unidades requeridas por cada producto, mientras que las filas expresan las unidades de cada insumo requeridas por los 4 productos

Por ejemplo: 230 es el número de unidades de la materia prima Y usadas para la

producción semanal del producto (artículo) B

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Definición:

Una matriz es un arreglo rectangular de números reales, encerrados en grandes paréntesis.

Se denotan con letras mayúsculas. El orden o tamaño mxn lo determina el número de filas m y el número de columnas n.

100120858012075230200170300250

A 160

filas

100120858012075230200170300250

A 160

columnas

NOTACIÓN: La matriz A = [ aij ] , donde aij representa el elemento que se encuentra enLa i-esima fila y la j-esima columna. En general una matriz A de orden mxn se escribe:

mxn

mnm3m2m1

2n232221

1n131211

aaaa

aaaaaaaa

A

....

.

.........

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Nota: A las matrices se les acostumbra denotar por letras mayúsculas. Se emplean paréntesis ( ) o corchetes [ ] para encerrar los elementos que conforman a la matriz. En nuestro curso emplearemos corchetes.

Matriz A de orden mxn

: Elemento de la fila i y columna jija

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TIPOS DE MATRICES

Es una matriz que tiene todos sus elementos nulos. Se denota por O.

Es una matriz cero de orden 4x3

000

000

000

000

A

Matriz Nula o Cero

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Tiene m filas y una sola columna.

La matriz C tiene 3 filas.

1

6

2

C

MATRIZ COLUMNA

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El número de filas es igual al número de columnas. En este caso se dice que la matriz es de orden n.

La matriz M es cuadrada de orden 3.

Una matriz de orden 1 tiene un sólo elemento

270

469

172

M

MATRIZ CUADRADA

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La matriz cuadrada A se dice que es diagonal si cumple con las siguientes condiciones :

Si ij entonces aij= 0

Los elementos aii no son todos nulos.

MATRIZ DIAGONAL

5000

0000

0040

0002

x0

01

Matriz Diagonal de orden 4

Matriz Diagonal de orden 2

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La matriz cuadrada A se dice que es triangular superior si cumple con las siguientes condiciones :

Si i > j entonces aij= 0Si i j entonces aij es cualquiera

MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR

5000

3000

51140

8932

A

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La matriz cuadrada A se dice que es triangular inferior si cumple con las siguientes condiciones :

Si i j entonces aij= 0Si i j entonces aij es cualquiera

MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR

2570

01412

0083

0002

A

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Es una matriz diagonal con todos los elementos aii=1. Se denota por In.

Matriz identidad de orden 3

MATRIZ IDENTIDAD

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Sean A=(aij) y B=(bij) dos matrices del mismo orden, se dice que A es igual B y se escribe A=B si para todo elemento ij se tiene aij= bij

IGUALDAD DE MATRICES

Además el orden de A es igual que el orden de B.

54

31

52

1

y

x23 yx

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Ejemplo:

¿Para que valores de x, y, z las matrices A y B son iguales?

231

541B23zyx1A

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Un agricultor que posee 3 fincas muestra sus perdidas o ganancias medidas en toneladas en los dos últimos años:

AÑO 1999

TRIGO ARROZ FRIJOL MAÍZ CAFÉ

FFINCA1

FINCA2 FINCA3

-1/2 -3 4

10 2/3 -2

3 0 -1

7 12 15

2 -1 13

AÑO 2000

TRIGO ARROZ FRIJOL MAÍZ CAFÉ

FINCA1 FINCA2 FINCA3

3 8/5 8

2 1 -3

-4 -2 4

3 0 7

5 4 10

Si queremos la perdida o ganancia en ambos años que operación se debe realizar y ¿cómo?

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Sean A=(aij) y B=(bij) dos matrices de orden mxn , se denota por A+B a la suma de las matrices A y B y se define por C=(cij) como la nueva matriz tal que cij= aij+ bij para todo ij:

C=A+B

OPERACIONES CON MATRICES

1. SUMA DE MATRICES

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Sean A, B y C tres matrices del mismo orden. Entonces:

1. A+B=B+A

2. A+O=A

3. (A+B)+C=A+(B+C)

Propiedades de la suma

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Sean A=(aij) y una matriz de orden mxn y un escalar respectivamente, se denota por A al producto de un número por una matriz. Es decir:

A = ( aij)

Producto de un escalar por una Matriz

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Propiedades del Producto por un Escalar

Sean A y B dos matrices del mismo orden y , dos escalares. Entonces:

1. (A+B)= A+ B

5. 0A=O

2. (+)A=A+A

4. 1A=A

3. ( ) A= ( A)

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Ejercicios

1.- Determine una matriz B = [ bij ]3x2 tal que

bij = 2i + 3j – 4

2.- Hallar x, y, z, w para que la siguiente igualdad tenga sentido

3wzyx4

2w16x

wzyx3

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Ejercicios2.- Una cadena de tiendas tiene dos distribuidores. En mayo las ventas de TV,

DVD y estéreos en los dos almacenes estuvieron dadas por:

204014163422Distribuidor 1

Distribuidor 2

TV DVD estéreos

a) Si las ventas para junio se esperan con un 50% de aumento sobre las de mayo, escriba la

matriz que representa las ventas proyectadas para junio.

b) El número de TV, DVD y estéreos en existencias para el mes de mayo vienen

representadas por la matriz B. Durante este mes se hicieron entregas a los almacenes de

acuerdo a la información dada por la matriz C. Determine la matriz que representa el

número de artículos en existencias al final de mayo, si las matrices B y C son:

04810

123820C283218203030B

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Una empresa fabrica dos productos lápices y marcadores, usando tres materias primas digamos P, Q y R.

Sea A la matriz de las unidades de las materias

primas usadas por los productos

La producción se realiza en dos plantas, Caracas y Valencia.

Sea B la matriz de los costos de la materias

primas (por unidad) en las dos plantas

¿Como se expresa el costo total de las materias primas para la producción de Lápices en Caracas?

CT = 3.10 + 2. 8 + 4.6

Ejemplo

152423Lápices

Marcadores

P Q R

5678

1210Materia prima P

Materia prima Q

Materia prima R

Caracas Valencia

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¿Cómo será el costo total en Valencia?

CT =

¿Cómo es el costo en el caso de la producción de marcadores en Caracas y en Valencia?

¿Se puede escribir esto en una matriz?

¿Cuál será dicha matriz?

Ejemplo

Lápices

Marcadores

Caracas Valencia

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Producto de matricesDef: Dadas las matrices A = [ aij]mxp y B = [ bij]pxn , tales que el número de columnas

de A es igual al número de filas de B, el producto AB es una matriz C = [ cij]mxn ,cuyo elemento Cij se obtiene al multiplicar escalarmente la fila i-esima

de A con la columna j-esima de B.

• Propiedades: Sean A, B y C matrices de tamaños “adecuados” y K escalar.

– (AB)C = A(BC), (asociativa)

– A(B + C) = AB + AC, (distributiva a la izquierda)

– (A + B)C = AC + BC, (distributiva a la derecha)

– K(AB) = (KA)B = A(KB), para K escalar

– Si A es una matriz cuadrada A. I = I.A = A

232221

131211

CCCCCC

BA116

250B

4102

A:Ejm

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Ejercicios• Efectúa el producto entre las siguientes matrices A y B

304201-

By323201

A

623402

By1-2

31Ai)

)ii

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Observaciones

NOTA 1: El producto de dos matrices no es conmutativo, sin embargo para ciertas matrices se cumple esta propiedad.

NOTA 2: Se pueden tener dos matrices A y B tales que AB = O y sin embargo ninguna de las matrices sea una matriz cero.

23-

-12B;2312A

01

01B0011A ;

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Ejercicio

Una empresa usa 4 diferentes materias primas M1 , M2 , M3 , M4 en la elaboración de su producto. El no de unidades de M1 , M2 , M3 , M4 usadas por unidad del producto son 4, 3 , 2 y 5 respectivamente. El costo por unidad de las 4 materias primas es $5, $7, $6 y $3, respectivamente.

¿Cómo es la matriz que expresa el Nº de unidades de las materias primas M1 , M2 , M3 , M4 usadas por unidad de producto?

¿Cómo es la matriz que expresa el costo por unidad de éstas materias primas? ¿Cómo se calcula el costo total de las materias primas por unidad del producto expresada como el producto de dos matrices ?

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TRASPOSICION DE MATRICES

Definición:

Sea A=(aij) una matriz de orden mxn se denota AT y se llama traspuesta de A, a la nueva matriz de orden nxm con elementos aji , es decir:

AT=(aji )

303

352

431

A

334

053

321tA

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PROPIEDADES DE LA TRANSPOSICION

1. (AT)T=A

2. (A+B)T= AT+BT

3. (cA)T=cAT

Nota: En la propiedad 2, A y B tienen que ser del mismo orden.

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Operaciones definidas

Producto escalar: Se define entre A = [ aij ]1xn una matriz fila y

B = [ bij ]nx1 una matriz columna,

Se denota por A• B se realiza operando las matrices de la siguiente manera:

nn2211

n

1

n1 ba.......babab.

ba.....aAB

.

44

3D

10

C112B21-A

¿Que tienen en común estos pares de matrices A y B?

¿Se podrá definir este producto para algunos pares de las siguientes matrices? Señale para cueles pares de matrices es posible.

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PRODUCTO DE MATRICES

Si A1xn y Bnx1 son matrices de elementos reales entonces se denota por AB al producto de A por B y se define como la matriz que tiene por elemento el número real

n

iiibaAB

1

Definición 1:

32

Ejemplo

1x3-1x4+2x0+5x7 = 34

33

PRODUCTO DE MATRICES

Si Amxp y Bpxn se denota por AB al producto de A por B y se define como la nueva matriz C=AB de orden mxn con elementos cij dados por:

p

kjkki

jp

j

j

ipiiji ba

b

b

b

aaac1

2

1

21 .]....[

Definición 2:

34

OBSERVACIONES

1. Notar que para que el producto AB se pueda realizar se requiere que el número de columnas de A tiene que ser igual al número de filas de B.

2. El resultado de la operación AB es una nueva matriz C que tiene:

El mismo número de filas que la matriz A. El mismo número de columnas de B.

mxnpxnmxp CBA

35

3. El producto AB puede existir y sin embargo no existir BA.

Ejemplo

434223 xxx CBA

2342 xx ABSin embargo:

NO EXISTE

36

4. Si existe AB y BA, el producto matricial entre A y B no es conmutativo.

CAB

CBA

37

5. La matriz identidad permite conmutar el producto de AI

Ejemplo

38

6. Si AB = 0 esto no implica que

A = 0 B = 0 o ambos.

Ejemplo

39

PROPIEDADES DEL PRODUCTO MATRICIAL

Sean A, B y C matrices tales que las operaciones que aparecen a seguir están definidas, entonces:

1. AI=A IA=A

2. (AB)C=A(BC) Ley asociativa

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A (B+C)= AB+AC(B+C) A= BA+CA Ley distributiva3.

41

4. (AB)T=BTAT

=

=

Nota: En esta propiedad se requiere que A y B sean multiplicativas.